2017届上海市普陀区高三二模数学卷(含答案).
3AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23
.-----------------------7分
(2由:3:1BC AB =得AC =400,且0120APC ∠=, ------------------------------9分由(1,可设AP =2x ,则CP =3x , ---------------------------------------------10分
=⎨+≥⎪⎩,
.若函数( ( g x f x k =-有两个不同的零点,则实数k
的取值范围是____________.
10.某部门有8位员工,其中6位员工的月工资分别为8200, 8300, 8500, 9100, 9500, 9600(单位:元,另两位员工的月工资数据不清楚,但两人的月工资和为17000元,则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元.
2017届第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科
2017. 4
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.设全集{}1,2,3,4U =,集合{}
2
|540, A x x x x Z =-+<∈,则U C A =____________.
在APC ∆中,由余弦定理,得160000=(2x 2+(3x 2-2(2x (3x cos1200, ------12分解得x
19=
,即无人机到丙船的距离为CP =3x
275≈米. ----14分20、解:(1由条件,得2(1,0 F ,根据220F A F B +=
知, F 2、A、B三点共线,
11.如图:在ABC ∆中, M为BC上不同于, B C的任意一点,点N满足
2AN NM = .若AN xAB yAC =+
,则229x y +的最小值为
____________.
12.设单调函数( y p x =的定义域为D ,值域为A ,如果单调函数( y q x =使得函数
(( y p q x =的值域也是A ,则称函数( y q x =是函数( y p x =的一个“保值域函数”
0n a的值;若不是,请说明理由;
(3令123n n S a a a a =++++ ,求2017S的值.
参考答案
一、
填空题:(共54分,第1~6题每题4分;第7~12题每题5分
1. {}1,4 2. (1,0 3. []1,3 4. 1 5. 8 6. 7
10
7. |2, 3x x k k Z π
因此, 2W的方程为22
11122
x y -=(1x >. ------------4分(2由P (x p , y p、M (x M , y M ,得1F P =(x p +1,y p , 1F M
( 2x x
m f x ⋅+=是定义域为R的偶函数,所以有( ( f x f x -=, -2分
即414122
x x x x
m m --⋅+⋅+=,即441
22x x x x
m m +⋅+=, ------------------------------4分故m =1. -----------------------------------------6分
19. (本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分
如图所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行,某一时刻,甲船在最前面的A点处,乙船在中间的B点处,丙船在最后面的C点处,且
:3:1BC AB =.一架无人机在空中的P点处对它们
进行数据测量,在同一时刻测得030APB ∠=,
090BPC ∠=. (船只与无人机的大小及其它因素忽
(A 21斛(B 34斛(C 55斛(D 63斛
15.将函数1y x
=-的图像按向量(1,0 a =平移,得到的函数图像与函数
2sin (24 y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于(
(A 2 (B 4 (C 6 (D 8
16.过椭圆
22
1(4 4
x y m m m +=>-右焦点F的圆与圆22:1O x y +=外切,则该圆直径FQ的端点Q的轨迹是(
(A一条射线(B两条射线(C双曲线的一支(D抛物线
三、解答题(本大题共有5题,满分76分解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分
如图:在四棱锥P ABCD -中, PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD是正方形, 2PA AD ==.
所以, (2,2,2, (2,0,0PC AB =-=
,--------4分
设, PC AB
的夹角为α,
则cos 3PC AB PC AB α⋅==
=⋅
分所以, , PC AB
的夹角为,
即异面直线PC与AB所成角的大小为.--------6分(2因为点E、F分别是棱AD和PC的中点,
可得(0,1,0E , (1,1,1F ,所以(1,0,1 EF =
且由椭圆与双曲线的对称性知, A、B关于x轴对称,故AB所在直线为x =1
,从而得(1,2A
, (1,2
B -.--------------2分所以,
221112a b
-=,又因为2F为双曲线的焦点,所以22
1a b +=,解得22
12
a b ==. ---------------------------------------------------------------3分
π⎧⎫
=±
∈⎨⎬⎩
⎭
8. 2- 9. 5(,1 9 10. 8800 11. 25 12.
1
二、选择题:(共20分,每题5分
13. A 14. A 15. D 16. C三、解答题17、
解:(1以点A为原点,以AB方向为x轴正方向, AD方向为y轴正方向,建立空间直角坐标系,则(0,0,2,(0,0,0,(2,0,0,(2,2,0,(0,2,0P A B C D ,--------2分
2.参数方程为2
2x t y t
⎧=⎨=⎩(t为参数的曲线的焦点坐标为____________.
3.已知复数z满足1z =,则2z -的取值范围是____________. 4.设数列{}n a的前n项和为n S ,若*2
1( 3
n n S a n N =-∈,则lim n n S →∞=____________.
, --------8分又(0,2,0BC = , (2,2,2 PC =-
, --------10分
计算可得0, 0EF PC EF BC ⋅=⋅=
, --------12分
所以, , EF PC EF BC ⊥⊥,又PC BC C = ,所以EF ⊥平面PBC .--------14分
18、(1因为函数41
19、(1在APB ∆中,由正弦定理,得
1sin sin 2
AP AB AB
ABP APB
==∠∠, -----------2分在BPC ∆中,由正弦定理,得
s i n s i n 1
C P B C B C
C B P C P B ==∠∠, -----------4分
又
3
1
BC AB =, s i n s i n A B P C B P ∠=∠, --------------------------------------------6分故
第五行: 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 …… …… ……
第k行:先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行, ⋯,直至按原序抄写
第1k -行,最后添上数k . (如第四行,先抄写第一行的数1,接着按原序抄写第二行的数1, 2,接着按原序抄写第三行的数1, 1, 2, 3,最后添上数4 .
5.若*1( (4, 2n
x n n N x +
≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列,则n =_____. 6.把12345678910、
、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上,随机抽取一张卡片,则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________. (结果用最简分数表示
将按照上述方式写下的第n个数记作n a (如11a =, 21a =, 32a =, 41a =, ⋯, 73a =, ⋯,
14153, 4, a a == .
(1用k t表示数表第k行的数的个数,求数列{}k t的前k项和k T ;
(2第8行中的数是否超过73个?若是,用0n a表示第8行中的第73个数,试求0n和
.已知定义域为[], a b的函数2
( 3
h x x =
-,函数( f x与( g x互为反函数,且( h x是( f x的一个“保值域函数” , ( g x是( h x的一个“保值域函数” ,则b a -=___________.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
(1求异面直线PC与AB所成角的大小(结果用反三角函数值表示; (2若点E、F分别是棱AD和PC的中点,求证:EF ⊥平面PBC .
18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分
已知函数41
( 2x x
m f x ⋅+=是偶函数.
(1求实数m的值;
(2若关于x的不等式22( 31k f x k ⋅>+在(,0 -∞上恒成立,求实数k的取值范围.
2017届上海市嘉定区高三二模数学卷(含答案)
（
）．
A
D
EM
H
N G
B
F
C
（A ）
（B）
（ C）
（D）
15．已知△ ABC 是边长为 4 的等边三角形， D 、 P 是△ ABC 内部两点，且满足
AD
1 ( AB
AC) ，AP
AD
1 BC
，则△
ADP
的面积为
,,,,,,,
4
8
（ ）．
3
（A）
4
3
（ B）
3
3
（ C）
2
（D） 3
16．已知 f ( x) 是偶函数，且 f (x) 在 [0 , ) 上是增函数，若
（ C）若 x2 3x 2 0 ，则 x 1
（ D）若 x2 3x 2 0 ，则 x 1
14．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M 、 E 是
A1
AB 的三等分点， G 、 N 是 CD 的三等分点， F 、
B1
H 分别是 BC 、 MN 的中点，则四棱锥 A1 EFGH
D1 C1
的左视图是 ,,,,,,,,,,,,,,,,
的倾斜角是 C1 的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，则 C2 的方程为 __________________ ．
1
1
9．若 f ( x) x3 x 2 ，则满足 f ( x) 0 的 x 的取值范围是 _______________ ．
10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为
2 和 3 ．现安排甲 35
所以 AM 平面 ． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
（
S 因为 梯形 AA1EH 14， S AA1E 4 ，所以 S AEH 10 ，）
2022年上海市普陀区高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2022年上海市普陀区高考数学二模试卷1. 若，则实数m的值为______.2. 若复数z在复平面内对应的点为，则______.3. 已知等差数列满足，则______.4. 在的展开式中，含项的系数为______.5. 若增广矩阵为的线性方程组无实数解，则实数______.6. 已知一个圆锥的侧面积为，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为______.7. 设函数的反函数为，若集合，则由A中所有元素所组成的一组数据的中位数为______.8.设椭圆的左、右两焦点分别为，，P是上的点，则使得是直角三角形的点P的个数为______.9. 从集合的非空子集中随机任取两个不同的集合M和N，则使得的不同取法的概率为______结果用最简分数表示10. 若，则等式成立的一个x的值可以是______.11. 设直线l：与函数和的图像分别交于，两点，则______.12. 如图，动点C在以AB为直径的半圆O上异于A，，，且，若，则的取值范围为______.13. 已知点，直线l ：，若动点P 到l 的距离等于，则点P 的轨迹是( )A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 直线14. “”是“”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 数列的前n 项的和满足，则下列选项中正确的是( )A. 数列是常数列B. 若，则是递增数列C. 若，则D. 若，则的最小项的值为16. 已知定义在R 上的偶函数，满足对任意的实数x 都成立，且值域为设函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数m 的取值范围为( )A. B. C. D.17. 如图所示，正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，设当时，求直线与平面ABCD所成角的大小．结果用反三角函数值表示；当时，若，且，求正实数t的值．18. 设是各项为正的等比数列的前n项的和，且，，求数列的通项公式；在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，求的值．19.如图所示，等腰直角是某大型商场一楼大厅的局部，商场管理部门拟用围栏在其中围出一个三角形区域OEF，供商家开展促销活动．已知米，E，F分别是AB，AC上的动点，O为BC的中点，且，设当时，求围栏EF段的长度精确到；求区域OEF面积的最小值精确到，并指出面积达到最小值时的相应的值．20. 设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线l：与的右支交于M，N两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为求双曲线的方程；当时，求实数m的值；设点M关于坐标原点O的对称点为P，当时，求面积S的值．21. 对于函数和，设集合，，若存在，，使得，则称函数与“具有性质”．判断函数与是否“具有性质”，并说明理由；若函数与“具有性质”，求实数m的最大值和最小值；设且，，若函数与“具有性质”，求的取值范围．答案和解析1.【答案】2【解析】解：由，可得：，解得：故答案为：根据矩阵的运算法则列式计算即可．本题考查矩阵的运算，是基础题．2.【答案】【解析】解：复数z在复平面内对应的点为，，故答案为：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数的几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】1【解析】解：等差数列满足，，解得故答案为：利用等差中项的性质可得，进而可求结果．本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】80【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，令，所以含项的系数为，故答案为：先求得二项式展开式的通项公式，再令y的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5.【答案】【解析】解：增广矩阵为的线性方程组无实数解，所以，且，所以且，解得：故答案为：由，且求解即可．本题考查矩阵的运算，是基础题．6.【答案】【解析】解：其左视图为正三角形，设圆锥底面半径为r，则高为，母线为2r，所以，则，故圆锥的体积为故答案为：由圆锥侧面积公式求得底面半径，圆锥的高为，应用圆锥的体积公式求体积．本题考查圆锥的体积公式，属于基础题．7.【答案】5【解析】解：，则，即，，集合，，，解得，，，由A中所有元素所组成的一组数据的中位数为故答案为：先求出反函数，再求出集合A，根据中位数的定义可得．本题考查了反函数的定义和中位数，属于基础题．8.【答案】6【解析】解：由椭圆性质知：当P为Г上下顶点时，最大，此时，，，故焦点三角形中最大为，故有2个；又，对应直角三角形各有2个；综上，使得是直角三角形的点P的个数为6个．故答案为：根据椭圆的性质，判断P为Г上下顶点时的大小，从而判断直角三角形个数，再加上，对应直角三角形个数，即可得结果．本题考查椭圆的性质，属于中档题，焦点三角形是关键．9.【答案】【解析】解：集合的非空子集有个，从中任取两个不同的集合M和N，共有种，要使，①M中含有1个元素，N中也含有1个元素，有种，②M中含有1个元素，N中含有2个元素，有种，③M中含有2个元素，N中含有1个元素，有种，满足的集合M，N的取法有种，故使得的不同取法的概率为故答案为：先求出集合的子集，依题意对集合M，N中元素的个数分类讨论，最后利用古典概型的概率公式计算能求出结果．本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】答案不唯一【解析】解：，，即，，解得，，当时，符合题意．故答案为：答案不唯一根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，即可求解．本题主要考查三角函数的恒等变换公式，属于基础题．11.【答案】【解析】解：直线l的斜率，如图，故答案为：两条曲线一条无限接近x轴，另一条无限接近，画出图像分析即可．本题考查了函数极限，属于基础题，数形结合是关键．12.【答案】【解析】解：设，则，作交OC的延长线于点E，由余弦定理，所以，即，，因为，所以，所以所以故答案为：利用，把向量内积通过投影转化为三角函数问题进行求解即可．本题主要考查数量积的运算，平面向量的坐标运算等知识，属于中等题．13.【答案】C【解析】解：由点，直线l：，所以点M不在直线上，又动点P到l的距离等于，由抛物线的定义知点P的轨迹是抛物线．故选：由抛物线的定义可判断点P的轨迹是抛物线．本题考查抛物线的定义，属基础题．14.【答案】A【解析】解：由，又，所以，即，充分性成立；当时，即，显，时成立，必要性不成立；故“”是“”的充分非必要条件．故选：应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．15.【答案】D【解析】解：当时，，当时，由已知可得，所以，而不一定成立，故数列不一定是常数列，故A错误；由，显然有且，即不是单调数列，故B错误；若，则，，故时，数列的偶数项为3，奇数项为，而，故C 错误；若，则，，故时，数列的偶数项为，奇数项为2，故的最小项的值为，故D正确．故选：由题设可得且，进而可知时，数列的偶数项的值，奇数项的值分别相等，再结合各选项的条件判断即可．本题考查数列的递推公式，涉及数列的求和，属于中档题．16.【答案】D【解析】解：变形为，所以或，即或，因为为偶函数，且值域为，所以，因为，所以在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图：要想满足若对任意的，存在，使得成立，则当时，，所以，且时，的图象要位于的下方，故只需，即，解得：，综上：实数m的取值范围是故选：先根据函数满足的关系式及奇偶性，值域，得到，再写出同一坐标系中画出两函数图象，结合当时，及时，的图象要位于的下方，得到，求出实数m的取值范围．对于函数恒成立或有解问题，要画出函数图象，对比函数值域，数形结合，列出不等式，求出参数的取值范围．17.【答案】解：以A为坐标原点，AB，AD，分别为坐标轴，建立如图所示的空间坐标系，则点，，即，平面ABCD的一个法向量，设直线与平面ABCD所成角为，则，即，则直线与平面ABCD所成角的大小为由中所建坐标系得，，，则，又，则，则，又，则，解得【解析】以A为坐标原点，AB，AD，分别为坐标轴，建立如图所示的空间坐标系，求得直线的方向向量与平面ABCD的一个法向量，利用向量法可求线与平面ABCD所成角的大小．求得，，利用数量积可求t的值．本题考查直线与平面所成的角的求法，利用向量的数量积求参数的值，属中档题．18.【答案】解：设等比数列的公比为，则，，，则等比数列的通项公式为，数列中在之前共有…项当时当时则……，…则所求的数列的前100项和为【解析】设等比数列的公比为，由已知建立方程组求解可得数列的通项公式数列中在之前共有…项，再分组，分别利用等差．等比求和公式可求得答案该题考查了等比数列的基本运算和等比数列求和公式的应用，属于较难题型．19.【答案】解：由，可得，，，，在中，可得，，即，在中，可得，即，则米．由条件得，，，且，在中，可得，即，在中，可得，即，所以的面积为，可得，又，即，当，即时，S取得最小值，且值为，则区域OEF面积的最小值为平方米，对应的值为【解析】在三角形OFC中，由正弦定理得，，可求OF，再由余弦定理可示EF；在三角形OFC中，由正弦定理得，可得OF，在三角形OEF中，由正弦定理得，可求OE，可求面积的最小值，以及面积达到最小值时的相应的值．本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．20.【答案】因为双曲线过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为，可得：，解得：，所以双曲线的方程为因为直线l：，且过点，则，解得：，由得：三角形为等腰三角形，所以等腰三角形底边上的高的大小为，又因为点到直线l：的距离等于等腰三角形底边上的高，则，化简得：，即设，，由直线与双曲线联立得：，化简得：，由韦达定理得：，，又，即，则，，即，则，又点M关于坐标原点O的对称点为P，则则所求的面积为【解析】根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；由点在直线上求得根据到直线l：与等腰三角形底边上的高相等，列方程求参数m；设，，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得，，由向量的数量关系可得，根据对称点，三角形面积公式，求面积．本题考查直线与双曲线的综合应用问题，利用韦达定理是解决本题的关键．21.【答案】解：不具有性质，设，，任取，即，则，，任取，即，则，即，则与不具有性质；设，，由函数与图像交点得，是方程的解，又与皆为单调递增函数，则函数也为单调递增函数，即是方程的唯一解，又函数与具有性质，则存在，，使得，即，即方程在区间上有解，则，又，则，当且仅当，即时，m的最小值为2，当，即时，m的最大值为；设，，因为函数与具有性质，所以存在，，使得，由得，，又，则，由得，，又，则，①当时，由得，，即，即，则，由，满足，利用可行域得，②当时，由得，，即，即，则，由，满足，利用可行域得，，综上得，当时，，当时，【解析】可得，，，即，从而求解；依题意可得在，，使得，即，即方程在区间上有解，分离参数即可求解；当时，由得，则，由，满足，利用可行域即可求解，当时，由得，则，由，满足，利用可行域即可求解，本题考查函数与方程的综合运用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查分类讨论的数学思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题。
上海各区二模题含解析
2017年上海市初三二模数学汇编之18题（十六区全）1. （2017徐汇二模）如图，在V ABC 中，(90180)ACB αα∠=<<o o，将V ABC 绕点A 逆时针旋转2β后得V AED ，其中点E 、D 分别和点B 、C 对应，联结CD ，如果⊥CD ED ，请写出一个关于α与β的等量关系式 ：________________.【考点】图形的旋转、等腰三角形【解析】根据题意：ACB ADE α∠=∠=，90CDE ∠=︒Q ，90ADC α∴∠=-︒，2,BAE DAC AC BC β∠=∠==Q ， 90ACD ADC β∴∠=∠=︒-，180αβ∴+=︒.2. （2017黄埔二模）如图，矩形ABCD ，将它分别沿AE 和AF 折叠，恰好使点B 、C 落到对角线AC 上点M 、N 处.已知2MN =，1NC =，则矩形ABCD 的面积是 .【考点】图形的翻折、勾股定理【解析】设AB x =，由题意可得：2,3.AN AD x AC x ==+=+在Rt ADC V 中，222AD DC AC +=，即222(2)(3)x x x ++=+.解得：1x =((319ABCD S AD DC ∴=⨯==+X3. (2017静安二模)如图，A e 和B e 的半径分别为5和1，3AB =，点O 在直线AB上. O e 与A e 、B e 都内切，那么O e 半径是 .【考点】圆与圆的位置关系【解析】根据题意：,A O O B OA R R OB R R =-=-,|||62|3O AB OA OB R ∴=-=-=32RO ∴=,924. （2017闵行二模）如图，在Rt ABC V 中，90,8,6,C AC BC ∠=︒==点D E 、分别在边AB AC 、上，将ADE V 沿直线DE 翻折，点A 的对应点在边AB 上，联结'A C . 如果''A C A A =，那么BD = .【考点】勾股定理、图形的翻折【解析】根据题意： 115'''5,''222A A AB AC AB AD DB A B ======= 5. （2017普陀二模）将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转得到EBD V，点E 、点D 分别与点A 、点C 对应，且点D 在边AC 上，边DE 交边AB 于点F ，BDC ABC V :V ，已知BC =5AC =，那么DBF V的面积等于 . 【考点】图形的旋转、相似、八字形【解析】223BDC ABC BC CD CA CD AD AC CD ∴=⋅∴==∴=-=Q V :V 6. （2017杨浦二模）如图，在Rt ABC V 中，90, 4.C CA CB ∠=︒==将ABC V 翻折，是得点B 与点AC 的中点M 重合，如果折痕与边AB 的交点为E ，那么BE 的长为 . 【考点】图形的翻折、勾股定理、等腰直角三角 【解析】过点M 作MH AB ⊥，设BE x =，根据题意得：,AB ME BE x AH MH HE x ======，在Rt MHE V 中，7. （2017嘉定二模）如图，在ABC V 中，390,10,cos 5ACB AB A ∠=︒==，将ABC V 绕着点C 旋转，点A 、B 的对应点分别记为'A 、'B ，''A B 与边AB 相交于点E ，如果''A B AC ⊥那么线段'B E 的长为 .【考点】图形的旋转、母子三角形、锐角三角比 【解析】根据题意：3'''cos '1065A C A B A =⋅=⨯=，318''cos '655A F A C A =⋅=⨯= 32''''5B F A B A F ∴=-=，246,55CF AF AC CF ==∴=-=Q 8. （2017长宁、金山、青浦二模）如图，在Rt ABC V 中，,AB AC D E =、是斜边BC上两点，45DAE ∠=︒，将ADC V 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到AFB V .设,=BD a EC b =.那么AB = .【考点】图形的翻折、勾股定理HB A【解析】将ABD V 沿AD 翻折得到ADF V ，联结EF .根据题意得：,ABD AFD AEF AEC ≅≅V V V V ，,DF BD a EF EC b ∴====.9. （2017崇明二模）如图，已知ABC V 中，3,4,BC AC BD ==平分ABC ∠，将ABC V 绕着点A 旋转后，点B 、C 的对应点分别记为11B C 、，如果点1B 落在射线BD 上.那么1CC 的长度为 .【考点】图形的旋转、八字形、旋转相似【解析】1111111,//ABB CBB ABB AB B CBB AB B AB BC ∠=∠∠=∠∴∠=∠∴Q1111111AB B D BB AD AB BB ABB ACC BC DC DB AC CC ∴==∴=∴=V :V，即154= 10. （2017虹口二模）如图，在Rt ABC V 中，490,10,sin ,5C AB B ∠=︒==点D 在斜边AB 上，把ACD V 沿直线CD 翻折，使得点A 落在同一平面内的'A 处，当'A D 平行Rt ABC V 的直角边时，AD 的长为 .【考点】图形的翻折、八字形【解析】图（2）根据题意12,1332AC AB ∠=∠∠=∠∴∠=∠∴⊥Q图（3）根据题意1238AD AC ∠=∠=∠∴==.综上：4AD =或8.11. (2017松江二模)如图，已知在矩形ABCD 中，4,=8AB AD =,将ABCV 沿对角线AC 翻折，点B落在点E 处，联结DE ，则DE 的长为 . 【考点】图形的翻折、八字形、勾股定理【解析】根据题意：123AF CF ∠=∠=∠∴=，设AF x =，在Rt AFC V 中12. （2017宝山二模）如图，E F 、分别在正方形ABCD 的边AB 、AD 上的点，且AE AF =，联结EF ，将AEF V 绕点A 逆时针旋转45︒，使E 落在1E ，F 落在1F ，联结1BE 并延长交1DF 于点EG，如果1AB AE ==，则DG = .【考点】图形的旋转、勾股定理、全等、八字型、A 字型【解析】根据题意：11ABE AF D ABF ADG AQB DQG AQB DQG ≅∴∠=∠∠=∠∴V V Q V :V13. （2017奉贤二模）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边AD 上的一点，过点E 作EF BC ⊥.垂足为点F ，将BEF V 绕点E 逆时针旋转，使点B 落在边BC 上的点N处，点F 落在边DC 上的点M 处，如果点M 恰好使边DC 的中点，那么AD AB 的值是 .【考点】图形的旋转、一线三等角【解析】根据题意：,EBF EFN ENM NMC DEM ENM ≅≅V V V V :V :V设CM x =，则2,DM CM CD AB EN x ED CN x ED ⋅===∴=∴==14. (2017 浦东二模)如图，矩形ABCD 中，4,7AB AD ==，点E F 、分别在边AD BC 、上，且点B F 、关于过点E 的直线对称，如果以CD 为直径的圆与EF 相切，那么AE = .【考点】图形的翻折、勾股定理【解析】根据题意：设AE x = ，则7DE x =-，2,72BF x FC x ==-，143,BE FE x ∴==-在Rt ABE V 中，222AB AE BE +=，即2216(143x x +=-） 解得：12153,()2x x ==舍去，故 3.AE =2x7-2x4。
上海市浦东新区2017届高考数学二模试卷(解析版)
2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y |0≤y ＜4}，则A ∩B= ．2．若直线l 的参数方程为，t ∈R ，则直线l 在y 轴上的截距是 ．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为 ．4．抛物线的焦点和准线的距离是 ．5．已知关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x ﹣y= ．6．若三个数a 1，a 2，a 3的方差为1，则3a 1+2，3a 2+2，3a 3+2的方差为 ． 7．已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是 ．8．函数，的单调递减区间是 ．9．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，则= ．10．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x ）+f （2﹣x ）=0；②f （x ）﹣f （2﹣x ）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f （x ）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为 ．11．已知各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），且a 1=a 10，则首项a 1所有可能取值中最大值为 ．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为 ．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或016．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．18．（14分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19．（18分）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．20．（16分）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．21．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若函数sin[g（x）]是奇函数，则称g（x）为正弦奇函数．已知f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f （0）=0．（1）已知g（x）是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；（2）若f（a）=，f（b）=﹣，求a+b的值；（3）证明：f（x）是奇函数．2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y|0≤y＜4}，则A∩B=[2，4）．【考点】1E：交集及其运算．【分析】先求出集合A，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：由≥0，解得x≥2或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），集合B={y|0≤y＜4}=[0，4），则A∩B=[2，4），故答案为：[2，4），【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是1．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】令x=0，可得t=1，y=1，即可得出结论．【解答】解：令x=0，可得t=1，y=1，∴直线l在y轴上的截距是1．故答案为1．【点评】本题考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可．【解答】解：由题意，底面的半径r=2，∴该圆椎的侧面积S=π×2×4=8π，故答案为：8π．【点评】熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键．4．抛物线的焦点和准线的距离是2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】首先将化成开口向上的抛物线方程的标准方程，得到系数2p=4，然后根据公式得到焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，最后可得该抛物线焦点到准线的距离．【解答】解：化抛物线为标准方程形式：x2=4y∴抛物线开口向上，满足2p=4∵=1，焦点为（0，）∴抛物线的焦点坐标为（0，1）又∵抛物线准线方程为y=﹣，即y=﹣1∴抛物线的焦点和准线的距离为d=1﹣（﹣1）=2故答案为：2【点评】本题以一个二次函数图象的抛物线为例，着重考查了抛物线的焦点和准线等基本概念，属于基础题．5．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x﹣y=5．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【分析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得3x﹣y=5．【解答】解：由二元一次方程组的增广矩阵为，则二元一次方程组为：，两式相加得：3x﹣y=5，∴3x﹣y=5，故答案为：5．【点评】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．6．若三个数a1，a2，a3的方差为1，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差为9．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据所给的三个数字的方差的值，列出方差的表示式要求3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差值，只要根据原来方差的表示式变化出来即可．【解答】解：∵三个数a1，a2，a3的方差为1，设三个数的平均数是，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的平均数是3+2有1=∴3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差是+]==9故答案为：9．【点评】本题考查方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．7．已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是0.98．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率．【解答】解：射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率：p=1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）=0.98．故答案为：0.98．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用．8．函数，的单调递减区间是．【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】函数=﹣sin（x﹣），将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】解：由函数=﹣sin（x﹣），令x﹣，k∈Z得： +2kπ≤x≤，∵，当k=0时，可得单调递减区间为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．9．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，则=．【考点】8J：数列的极限．【分析】先表示出S n，a n，即可求出极限的值．【解答】解：由于数列{a n}是公差为2的等差数列，S n是{a n}的前n项和，则S n=na1+n（n﹣1）•2=n（n+a1﹣1），a n=a1+（n﹣1）•2=2n+a1﹣2，则==．故答案为：．【点评】本题主要考察极限及其运算．解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！10．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x ）+f （2﹣x ）=0；②f （x ）﹣f （2﹣x ）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f （x ）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为 6 ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f （x ）和g （x ）的部分图象，由图象观察交点的个数．【解答】解：∵①f （x ）+f （2﹣x ）=0，②f （x ）﹣f （﹣2﹣x ）=0， ∴f （x ）图象的对称中心为（1，0），f （x ）图象的对称轴为x=﹣1，结合③画出f （x ）和g （x ）的部分图象，如图所示，据此可知f （x ）与g （x ）的图象在[﹣3，3]上有6个交点． 故答案为：6．【点评】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图象交点个数等问题，属于中档题．11．已知各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），且a 1=a 10，则首项a 1所有可能取值中最大值为 16 ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），可得a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），∴a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．根据a n +1=a n ，可得数列{a n }为等比数列，公比为．取a 9=a 1×，a 1＞0．又a 9=，∴=28，解得a 1=24=16． ∴a 1的最大值是16． 故答案为：16．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为 5 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由向量投影的定义可得当++与共线时，取得最大值，再根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：||+|2|+3||=||+2||+3||，其几何意义为在的投影的绝对值与在上投影的绝对值的2倍与在上投影的绝对值的倍的3和，当++与共线时，取得最大值．∵•==，∴=﹣∴（||+|2|+3||）max2=||2+4||2+9||2+4||+6||+12||=1+4+9+2+3+6=25，故||+|2|+3||的最大值为5，故答案为：5．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，即可得出结论．【解答】解：|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，因此在复平面上，满足|z+i|+|z﹣i|=2的复数z对应的点Z的集合表示的是：线段，∴复数在平面上对应的图形是线段．故选：D．【点评】本题考查了复平面上的两点间的距离公式及其复数的几何意义、点的集合，属于基础题．14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的直观图得到三视图．【解答】解：由于几何体被切去一个角，所以正视图、俯视图以及侧视图的矩形都有对角线；关键放置的位置得到C；故选C．【点评】本题考查了几何体的三视图；属于基础题．15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或0【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】推导出cot==，由此能求出结果．【解答】解：∵cot===，2sinx=1+cosx，∴当cosx=﹣1时，sinx=0，无解；当cosx≠﹣1时，cot==2．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数关系式、二倍角公式、降幂公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．16．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，根据a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），可得可得q的取值范围，再利用a4=a3q，即可得出．【解答】解：设公比为q，则∵a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），∴∴③÷②：1＜q＜4④③÷①：或q＞⑤由④⑤可得：＜q＜4∴a4=a3q，∴a4∈．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）（2017•浦东新区二模）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；L*：球面距离及相关计算．【分析】（1）求出球心角，即可求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求出平面ABC的法向量，即可求直线CD与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）由题意，cos∠COD==，∴∠COD=，∴D，C两点在球O上的球面距离为；（2）A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），重心坐标为（，，），∴平面ABC的法向量为=（，，），∵=（0，﹣，﹣），∴直线CD与平面ABC所成角的正弦=||=，∴直线CD与平面ABC所成角的大小为．【点评】本题考查球面距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）（2017•浦东新区二模）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB，利用基本不等式的性质即可得出最大值．方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．可得S2=+，即可比较出S1与S2的大小关系．【解答】解：（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos≥2ab+ab，可得ab，当且仅当时取等号．S=absin≤=．∴当且仅当时，养殖场△POQ的面积最大，（平方千米）（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB≤=，当且仅当x=时取等号．∴（平方千米），方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．∴S2=+≈0.144（平方千米）∴S1＜S2，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好．【点评】本题考查了基本不等式的性质、三角形面积计算公式、余弦定理、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（18分）（2017•浦东新区二模）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．【考点】KM：直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程；（2）求出与直线l平行，且与双曲线消去的直线方程，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，P（2，0），双曲线的渐近线方程为y=±x，P到渐近线的距离d==，∴圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=；（2）由题意，直线l的斜率为1，设与直线l平行的直线方程为y=x+m，代入双曲线方程整理可得x2+8mx+4m2+12=0，△=64m2﹣4（4m2+12）=0，可得m=±1，与直线l：y=x+2的距离分别为或，即d=或【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查圆的方程，考查直线与双曲线位置关系的运用，属于中档题．20．（16分）（2017•浦东新区二模）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】（1）数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：，可得a n+1+1=+1=≠0，即可证明．（2）正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，．b n===…==．又b1=10，利用指数的运算性质可得数列{b n}的前n项积T n=．（3）α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），可得β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n}的通项=βn﹣1×=．【解答】（1）解：数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：∵，∴2a n+1+1=+1=≠0，∴数列{2a n+1}是“2级创新数列”．（2）解：∵正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，∴．∴b n====…==．又b 1=10，∴数列{b n }的前n 项积T n =b n b n ﹣1•…•b 1==．（3）证明：α，β是方程x 2﹣x ﹣1=0的两个实根（α＞β）， ∴β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n }的通项=βn ﹣1×=βn ﹣1×=．∴c n +2=．c n +1+c n =+．∴c n +2﹣（c n +1+c n ）==0．∴c n +2=c n +1+c n ．【点评】本题考查了数列递推关系、指数的运算性质、一元二次风吹草动根与系数的关系、作差法，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．21．（18分）（2017•浦东新区二模）对于定义域为R 的函数g （x ），若函数sin [g （x ）]是奇函数，则称g （x ）为正弦奇函数．已知f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0．（1）已知g （x ）是正弦奇函数，证明：“u 0为方程sin [g （x ）]=1的解”的充要条件是“﹣u 0为方程sin [g （x ）]=﹣1的解”；（2）若f （a ）=，f （b ）=﹣，求a +b 的值；（3）证明：f （x ）是奇函数． 【考点】3P ：抽象函数及其应用．【分析】（1）根据正弦奇函数的定义，结合充要条件的定义，分别证明必要性和充分性，可得结论；（2）由f （x ）是单调递增的正弦奇函数，f （a ）=，f （b ）=﹣，可得a ，b互为相反数，进而得到答案．（3）根据f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0得到：f （﹣x）=﹣f（x），可得结论．【解答】证明（1）∵g（x）是正弦奇函数，故sin[g（x）]是奇函数，当：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”时，sin[g（u0）]=1，则sin[g（﹣u0）]=﹣1，即“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的必要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；当：“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”时，sin[g（﹣u0）]=﹣1，则sin[g（u0）]=1，即“u0为方程sin[g（x）]=1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充分条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；综上可得：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；解：（2）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，f（a）=，f（b）=﹣，则sin[f（a）]+sin[f（b）]=1﹣1=0，则a=﹣b，则a+b=0证明：（3）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．故sin[f（﹣x）]+sin[f（x）]=0，即sin[f（﹣x）]=﹣sin[f（x）]=sin[﹣f（x）]，f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的奇偶性，函数的单调性，充要条件，难度中档．。
2017年上海市杨浦区高考数学二模试卷含答案
- - - 1 - 2017年杨浦区高考数学二模试卷含答案2017.4 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 1. 行列式行列式123456789中, , 元素元素5的代数余子式的值为的代数余子式的值为_________. _________.2. 设实数0w >, 若函数()c o s ()s i n (f x x x w w =+的最小正周期为p , 则w =_________.3. 3. 已知圆锥的底面半径和高均为已知圆锥的底面半径和高均为1, 1, 则该圆锥的侧面积为则该圆锥的侧面积为则该圆锥的侧面积为_________. _________.4. 4. 设向量设向量(2,3)a =, , 向量向量(6,)b t =. . 若若a 与b 的夹角为钝角的夹角为钝角, , , 则实数则实数t 的取值范围的取值范围 为 _________.5. 5. 集合集合2{1,3,}A a =, , 集合集合{1,2}B a a =++. . 若若B A A È=, , 则实数则实数则实数 a =_______.6. 6. 设设12,z z 是方程2230z z ++=的两根的两根, , , 则则12||z z -= _________.7. 设()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x >时, 3()2xf x =-. 则不等式()5f x <-的解为的解为________. ________.8. 8. 若变量若变量,x y 满足约束条件12,20,20,x y x y x y +£ìï-³íï-£î则z y x =-的最小值为的最小值为_________. _________.- - - 2 - C 3C 2C 1O SN DCBA9. 9. 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子, , , 两人相互独立地进行两人相互独立地进行两人相互独立地进行. . . 则小明掷出的点则小明掷出的点则小明掷出的点 数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为的概率为_________. _________.10. 10. 设设A 是椭圆()22221 04x y a a a +=>-上的动点上的动点, , , 点点F 的坐标为(2,0)-, , 若满足若满足||10AF =的点A 有且仅有两个有且仅有两个, , , 则实数则实数a 的取值范围为的取值范围为_________. _________.11. 11. 已知已知0a >, 0b >, , 当当21(4)a b ab++取到最小值时取到最小值时, , b =_________. 12. 12. 设函数设函数()||||af x x x a =+-. . 当当a 在实数范围内变化时在实数范围内变化时, , , 在圆盘在圆盘221x y +£内, 且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为的图像上的点的全体组成的图形的面积为_________. _________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13. 13. 设设z ÎC 且0z ¹. . ““z 是纯虚数”是“2z ÎR ”的”的 ( ) (A) (A) 充分非必要条件充分非必要条件充分非必要条件 (B) (B) 必要非充分条件必要非充分条件必要非充分条件(C) (C) 充要条件充要条件充要条件(D) (D) 既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件14．设等差数列{}na 的公差为d , 0d ¹. . 若若{}n a 的前10项之和大于其项之和大于其前21项之和项之和, , , 则则 ( ) (A) 0d <(B) 0d > (C) 160a <(D) 160a >15．如图．如图, , N 、S 是球O 直径的两个端点直径的两个端点. . . 圆圆1C 是经过N 和S 点的大圆点的大圆,, , 圆圆2C 和圆3C 分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆垂直的大圆和小圆. . . 圆圆1C 和2C 交于点A 、B , , 圆圆1C 和3C- - - 3 - 交于点C 、D .设a 、b 、c 分别表示圆1C 上劣弧CND 的弧长、圆2C 上半圆弧AB 的弧长、圆3C 上半圆弧CD 的弧长的弧长. . . 则则,,a b c 的大小关系为的大小关系为 ( )(A) b a c >= (B) b c a => (C) b a c >>(D) b c a >>16．对于定义在R 上的函数()f x , , 若存在正常数若存在正常数,a b , , 使得使得()()f x a f x b +£+对一切x ÎR 均成立均成立, , , 则称则称()f x 是“控制增长函数”。
2017年上海普陀区初三二模数学试卷
2017年上海普陀区初三二模数学试卷一、选择题（共6小题；共30分）1. 下列计算正确的是A. B. C. D.2. 如果下列二次根式中有一个与是同类二次根式，那么这个根式是A. B. C. D.3. 在学校举办的“中华诗词大赛”中，有名选手进入决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己是否能进入前名，他需要了解这名学生成绩的A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差4. 如图，在中，点，分别在边，上，如果，那么的大小为A. B. C. D.5. 如图，在中，中线，交于点，设，，那么向量用向量，表示为A. B. C. D.6. 在中，，，以点为圆心，为半径作圆，以点为圆心，半径长为作圆，圆与圆的位置关系是A. 外切B. 相交C. 内切D. 内含二、填空题（共12小题；共60分）7. 分解因式： ______．8. 方程的根是______．9. 不等式组的解集是______．10. 函数的定义域是______．11. 如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是______．12. 已知反比例函数（是常数，）的图象在第二、四象限，点和点在函数的图象上，当时，可得 ______ ．（填“”，“”，“”）．13. 一次抽奖活动设置了翻奖牌（图展示的分别是翻奖牌的正反两面），抽奖时，你只能看到正面，你可以在个数字中任意选中一个数字，可见抽中一副球拍的概率是，那么请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是．这个事件是______．翻奖牌正面谢谢参与三张球票谢谢参与一张唱片一副球拍一张唱片谢谢参与一张唱片谢谢参与翻奖牌反面14. 正八边形的中心角等于______ 度．15. 如图，在中，，分别是边，上的点，如果，那么与周长的比是______．16. 某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的成绩整理后分为小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于分的学生占全班参赛人数的百分率是______．17. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为时，重物上升______ （结果保留）．18. 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，点、点分别与点、点对应，且点在边上，边交边于点，．已知，，那么的面积等于______．三、解答题（共7小题；共91分）19. 计算：．20. 解方程组：21. 在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．（1）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图象向下平移个单位得到直线，设直线与轴的交点为，求的正弦值．22. 上海首条中运量公交线路路已正式开通．该线路西起沪青平公路申昆路，东至延安东路中山东一路，全长千米．路车行驶于专设的公交车道，又配以专用的公交信号灯．经测试，早晚高峰时路车在专用车道内行驶的平均速度比在非专用车道每小时快千米，因此单程可节省时间分钟．求早晚高峰时段路车在专用车道内行驶的平均车速．23. 已知：如图，在平行四边形中，为对角线，是边上一点，交于点，，的延长线交于点，且．（1）求证：四边形是矩形；（2）如果，求证：．24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴与比例系数为的反比例函数图象交于点，与轴交于点，抛物线的图象与轴交于点，且．（1）求点的坐标；（2）求直线的表达式；（3）点是直线上一动点，点在轴上方的平面内，且使以，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．25. 如图，半圆的直径，有一条定长为的动弦在弧上滑动（点、点分别不与点、点重合），点，在上，，．（1）求证：；（2）连接，如果中有一个内角等于，求线段的长；（3）当动弦在弧上滑动时，设变量，四边形面积为，周长为，问：与是否分别随着的变化而变化?试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．答案第一部分1. D2. C3. A4. C5. B6. B第二部分7.8.9.10.11.12.13. 抽中一张唱片14.15.16.17.18.第三部分原式19.20. 由得：即：或所以原方程组可化为解方程组得解方程组得所以原方程组的解是或21. （1）反比例函数的图象经过，，解得．点的坐标为．设正比例函数的解析式为，正比例函数的图象经过点，可得，解得．正比例函数的解析式是．（2）正比例函数向下平移个单位得到直线，直线的表达式为，直线与轴的交点为，点的坐标是，由勾股定理可知：，．22. 设早晚高峰时段路在专用车道内行驶的平均车速为千米/时．根据题意，可列方程整理得解得经检验，都是原方程的解．因为速度不能为负数，所以取．答：路在专用车道内行驶的平均车速为千米/时．23. （1）因为，所以，所以，因为．所以．即．因为四边形是平行四边形，所以四边形是矩形．（2）连接．，所以．因为四边形是平行四边形，所以，．所以．所以．所以．所以．因为，所以．所以．因为四边形是矩形，所以，所以．所以．所以．24. （1）由题意可知二次函数图象的对称轴是直线，反比例函数解析式是，把代入，得，点的坐标为；（2）由题意可得点的坐标为，，，，，可设直线的表达式是，点在直线上，，直线的表达式是；（3）当，为菱形的边时，如图，，则，四边形为菱形，，，解得（，重合，舍去）或，此时，且，，当，为边时，则，同理可求得，，解得（此时点在第三象限，舍去）或，，且，；当为对角线时，如图，过的中点，，，的中点为，轴，点纵坐标为，代入可得，解得，，；综上可知点的坐标为或或．25. （1）过点作于，如图所示：，，，，，，．（2），，，，，，；①当时，过点作于，是等腰直角三角形，，，，，．在中，设，．则，，，，解得：，，．②当时，过点作于；中，，．在中，．．综上所述，线段的长等于或（3）四边形的面积不随变量的变化而变化，是一个不变量；四边形的周长随变量的变化而变化．理由如下：由①得：，，是梯形的中位线，，四边形面积为（是一个常值函数）；作于，，，，，四边形周长即．。
2017届上海市嘉定区高三二模数学卷(含答案)
2017届度嘉定区高三年级第二次质量调研数 学 试 卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数1)2(sin 22-=x y 的最小正周期是________________． 2．设i 为虚数单位，复数i2i21+-=z ，则=||z ____________． 3．设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)1(1f _____________． 4．=++++∞→nn n n n 3232lim11_______________． 5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是______________． 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3535=a a ，则=35S S___________． 7．直线⎩⎨⎧-=+=t y t x 4,2（t 为参数）与曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 25,cos 23y x （θ为参数）的公共点的个数是______________．8 ．已知双曲线1C 与双曲线2C 的焦点重合，1C 的方程为1322=-y x ，若2C 的一条渐近线 的倾斜角是1C 的一条渐近线的倾斜角的2倍，则2C 的方程为__________________． 9．若2131)(--=xx x f ，则满足0)(>x f 的x 的取值围是_______________．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为32和53．现安排甲 组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立 ，则至少有一种 新产品研发成功的概率为______________．11．设等差数列}{n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d ．若数列{}nS 也是公差为d 的等差数列，则}{n a 的通项公式为=n a _____________．12．设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数（如2]32.2[=，5]76.4[-=-），对于给定的*N ∈n ，定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C xn ΛΛ，其中),1[∞+∈x ，则当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,23x 时，函数xC x f 10)(=的值域是____________________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若1=x ，则0232=+-x x ”的逆否命题是………………………………（ ）．（A ）若1≠x ，则0232≠+-x x （B ）若0232=+-x x ，则1=x （C ）若0232=+-x x ，则1≠x （D ）若0232≠+-x x ，则1≠x 14．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、 H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥EFGH A -1的左视图是…………………………………………（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 部两点，且满足)(41AC AB AD +=，BC AD AP 81+=，则△ADP 的面积为…………………（ ）． （A ）43 （B ）33 （C ）23 （D ）3 16．已知)(x f 是偶函数，且)(x f 在),0[∞+上是增函数，若)2()1(-≤+x f ax f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 上恒成立，则实数a 的取值围是……………………………………（ ）．（A ）]1,2[- （B ）]0,2[- （C ）]1,1[- （D ）]0,1[-D A B CD 1F H EMN GA 1B 1C 1三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2=-b a ，4=c ，B A sin 2sin =．（1）求△ABC 的面积S ；（2）求)2sin(B A -的值．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，8=AB ，5=BC ，41=AA ，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且211==F D E A ，5==DG AH ．（1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1，两个焦点为)0,1(1-F 和)0,1(2F ．圆O 的方程为222a y x =+．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且斜率为k （0>k ）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当||2AF ，||2BF ，||AB 成等差数列时，求弦PQ 的长．A CDEF G A 1 B 1 1D 120．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）如果函数)(x f y =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域任意x ，都有)()(x f a x f -=+成立，则称此函数)(x f 具有“)(a P 性质”． （1）判断函数x y cos =是否具有“)(a P 性质”，若具有“)(a P 性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“)(a P 性质”，请说明理由；（2）已知函数)(x f y =具有“)0(P 性质”，且当0≤x 时，2)()(m x x f +=，求函数)(x f y =在区间]1,0[上的值域；（3）已知函数)(x g y =既具有“)0(P 性质”，又具有“)2(P 性质”，且当11≤≤-x 时，||)(x x g =，若函数)(x g y =的图像与直线px y =有2017个公共点，数p 的值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）给定数列}{n a ，若满足a a =1（0>a 且1≠a ），对于任意的*,N ∈m n ，都有m n m n a a a ⋅=+，则称数列}{n a 为指数数列．（1）已知数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为123-⋅=n n a ，nn b 3=，试判断}{n a ，}{n b 是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列}{n a 满足：21=a ，42=a ，n n n a a a 2312-=++，证明：}{n a 是指数数列；（3）若数列}{n a 是指数数列，431++=t t a （*N ∈t ），证明：数列}{n a 中任意三项都不能构成等差数列．2016学年度嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．2π 2．1 3．1 4．3 5．6π 6．257．1 8．1322=-y x 9．),1(∞+ 10．1513 11．412-n 12．(]45,15320,5Y ⎥⎦⎤⎝⎛二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13．D 14．C 15．A 16．B三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）因为B A sin 2sin =，所以由正弦定理得b a 2=， ……………………（1分） 又2=-b a ，故4=a ，2=b ， ……………………………………………（3分）所以412cos 222=-+=bc a c b A ，因为),0(π∈A ，所以415sin =A ．………（5分）所以154154221sin 21=⋅⋅⋅==A bc S ．………………………………（6分） （2）因为415sin =A ，41cos =A ，所以815cos sin 22sin ==A A A ，87sin cos 2cos 22-=-=A A A ，……………（4分）815sin 21sin ==A B ，因为a b <，所以B 为锐角，所以87cos =B （或由c a =得到A B 2-=π，872cos )2cos(cos =-=-=A A B π）．………………………………（5分） 所以，32157sin 2cos cos 2sin )2sin(=-=-B A B A B A ． ………………………（8分）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，7054)52(21)(211111=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-AD A A AH E A V FG DD EH AA ， ………………（2分）9054)63(21)(211111=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-BC B B E B BH V CGFC BHEB ，…………………（4分） 所以，971111=--CGFC BHEB FG DD EH AA V V ．………………………………………………………………（6分）（2）解法一：作EH AM ⊥，垂足为M ，由题意，⊥HG 平面11A ABB ，故AM HG ⊥，所以⊥AM 平面α． ………………………………………………………………（2分） 因为141=EH AA S 梯形，41=∆E AA S ，所以10=∆AEH S ，）因为5=EH ，所以4=AM ． ……………………………………………………（4分） 又532121121=++=F D D A AA AF ， ……………………………………………（6分）设直线AF 与平面α所成角为θ，则1554sin ==AF AM θ．………………………（7分）所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为1554． …………………（8分） 解法二：以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,5(A ，)0,5,5(H ，)4,2,5(E ，)4,2,0(F ， ………………………（2分）故)0,0,5(=FE ，)4,3,0(-=HE ， …………………………………（3分）设平面α一个法向量为),,(z y x n =ρ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0HE n FE n ρρ即⎩⎨⎧=+-=,043,05z y x所以可取)3,4,0(=n ρ． ……………………………………………………………（5分）设直线AF 与平面α所成角为θ，则1554||||sin ==AF n AF ρρθ． ……………………（7分） 所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为1554． ………………………………（8分） 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）由题意，1=c ， ………………………………………………………………（1分）设椭圆C 的方程为112222=-+a y a x ，将点⎪⎭⎫⎝⎛23,1代入， 1)1(49122=-+a a ，解得42=a （412=a 舍去）， ………………………………（3分） 所以，椭圆C 的方程为13422=+y x ． ………………………………………………（4分） （2）由椭圆定义，4||||21=+AF AF ，4||||21=+BF BF ，两式相加，得 8||||||22=++BF AF AB ，因为||2AF ，||2BF ，||AB 成等差数列，所以||2||||22BF AF AB =+，于是8||32=BF ，即38||2=BF ． …………………（3分）设),(00y x B ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-,134,964)1(20202020y x y x 解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--315,34B ，…………………（5分） （或设)sin 3,cos 2(θθB ，则964sin 3)1cos 2(22=+-θθ，解得32cos -=θ，35sin -=θ，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛--315,34B ）．所以，15=k ，直线l 的方程为)1(15+=x y ，即01515=+-y x ，……（6分）圆O 的方程为422=+y x ，圆心O 到直线l 的距离415=d ， ………………（7分） 此时，弦PQ 的长2742||2=-=d PQ ． …………………………………………（8分） 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）由题意，)cos()cos(x a x -=+，即x a x cos )cos(=+对于任意实数x 成立， …………………………………………（1分） 由诱导公式x k x cos )2cos(=+π，函数x y cos =具有“)(a P 性质”，且所有a 的值的集合为},2{Z ∈=k k a a π． ……………………………………………………………（4分） （2）因为函数)(x f y =具有“)0(P 性质”，所以)()(x f x f -=，即)(x f y =是偶函数． ………………………………………………………………（1分） 所以当0≥x 时，0≤-x ，22)()()()(m x m x x f x f -=+-=-=． ……………（2分） 当0≤m 时，函数)(x f y =在]1,0[上递增，值域为])1(,[22m m -． ……………（3分） 当210<<m 时，函数)(x f y =在],0[m 上递减，在]1,[m 上递增，0)(min ==m f y ，2max )1()1(m f y -==，值域为])1(,0[2m -． …………………………………（4分）同理，当121≤≤m 时，0)(min ==m f y ，2max )0(m f y ==，值域为],0[2m ．…（5分）当1>m 时，函数)(x f y =在]1,0[上递减，值域为],)1[(22m m -． ……………（6分） （3）由题意)()(x g x g -=，函数)(x g y =偶函数，又)()()2(x g x g x g =-=+，所以函数)(x g y =是以2为周期的函数． …………………………………………（1分） 因为当11≤≤-x 时，||)(x x g =，所以当31≤≤x 时，121≤-≤-x ，|2|)2()(-=-=x x g x g ， …………………………………………………………（2分） 一般地，当1212+≤≤-k x k （Z ∈k ）时，|2|)(k x x g -=． …………………（3分） 作出函数)(x g y =的图像，可知，当0=p 时，函数)(x g y =与直线px y =交于点)0,2(k (Z ∈k )，即有无数个交点，不合题意． …………………………………（4分） 当0>p 时，在区间]2016,0[上，函数)(x g y =有1008个周期，要使函数)(x g y =的图像与直线px y =有2017个交点，则直线在每个周期都有2个交点，且第2017个交点恰好为)1,2017(，所以20171=p ．同理，当0<p 时，20171-=p ．综上，20171±=p ． ……………………………………………………（6分）（p 的值漏掉一个扣1分）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） （1）对于数列}{n a ，31=a ，62=a ，123=a ，因为21213a a a a ⋅≠=+，所以}{n a 不是指数数列． ………………………………………………………………………………（2分）对于数列}{n b ，对任意*,N ∈m n ，因为m n m n m n m n b b b ⋅=⋅==++333，所以}{n b 是指数数列． ……………………………………………………………………………………（4分）（2） 由题意，)(2112n n n n a a a a -=-+++，所以数列}{1n n a a -+是首项为212=-a a ，公比为2的等比数列． ……………………………………………………………………（2分）所以nn n a a 21=-+．所以，2222)()()(21112211++++=+-++-+-=-----ΛΛn n n n n n n a a a a a a a an n 2221)21(21=+--=-，即}{n a 的通项公式为n n a 2=（*N ∈n ）． ………………（5分）所以m n m n mn m n a a a ⋅=⋅==++222，故}{n a 是指数数列． …………………………（6分）（3）因为数列}{n a 是指数数列，故对于任意的*,N ∈m n ，有m n m n a a a ⋅=+，令1=m ，则n n n a t t a a a ⋅++=⋅=+4311，所以}{n a 是首项为43++t t ，公比为43++t t 的等比数列，所以，nn t t a ⎪⎭⎫⎝⎛++=43． …………………………………………………………………………（2分）假设数列}{n a 中存在三项u a ，v a ，w a 构成等差数列，不妨设w v u <<，则由w u v a a a +=2，得wu v t t t t t t ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++4343432，所以u w u w u v vw t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2， ………………………………（3分）当t 为偶数时，u v vw t t --++)3()4(2是偶数，而u w t -+)4(是偶数，u w t -+)3(是奇数，故u w u w u v vw t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2不能成立； …………………………（5分）当t 为奇数时，u v vw t t --++)3()4(2是偶数，而u w t -+)4(是奇数，u w t -+)3(是偶数，故u w u w u v vw t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2也不能成立．…………………………（7分）所以，对任意*N ∈t ，u w u w u v vw t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2不能成立，即数列}{n a 的任意三项都不成构成等差数列． ……………………………………………………（8分）（另证：因为对任意*N ∈t ，u v vw t t --++)3()4(2一定是偶数，而4+t 与3+t 为一奇一偶，故uw t -+)4(与uw t -+)3(也为一奇一偶，故等式右边一定是奇数，等式不能成立．）。
普陀区高考数学二模试卷含答案精选文档
普陀区高考数学二模试卷含答案精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-2016年普陀区高考数学二模试卷含答案一 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分； 1.、若集合{}R x x y x A ∈-==,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则=B A _______2.、若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为____3、（理）若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫⎝⎛-42cot πα________ （文）若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα________4.、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f _______5.、在831⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，其常数项的值为_________6、若函数x x f 2sin )(=，⎪⎭⎫⎝⎛+=6)(πx f x g ，则函数)(x g 的单调递增区间为_______7、（理）设P 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θθtan sec 22y x （θ为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_______ （文）设P 是曲线1222=-y x 上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为_______8、（理）在极坐标系中，O 为极点，若⎪⎭⎫ ⎝⎛6,1πA ，⎪⎭⎫⎝⎛32,2πB ，则△AOB 的面积为______（文）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 所表示的区域的面积为________9、（理）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则=ξE _________ （文）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是__________（结果用最简分数表示）10、若函数x x f 5log )(=（0>x ），则方程1)3()1(=-++x f x f 的解=x ________11、某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm ，高为10cm ），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为_______2cm （损耗忽略不计） 12.、如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P ，记i i AP AB M ⋅=2（10,,2,1 =i ），则=+++1021M M M ________13、设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________14.、已知*N n ∈，从集合{}n ,,3,2,1 中选出k （N k ∈,2≥k ）个数k j j j ,,,21 ，使之同时满足下面两个条件：①n j j j k ≤<<≤ 211； ②m j j i i ≥-+1（1,,2,1-=k i ），则称数组()k j j j ,,21为从n 个元素中选出k个元素且限距为m 的组合，其组合数记为()m k n C ,. 例如根据集合{}3,2,1可得()31,23=C .给定集合{}7,6,5,4,3,2,1，可得()=2,37C ______ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ）（A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a // 16、过抛物线x y 82=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ）（A ）有且只有一条 （B ）有两条 （C ）有无穷多条 （D ）必不存在17、若z C ∈，则“1Im ,1Re ≤≤z z ”是“1||≤z ”成立的( )条件（A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充要 （D ）既非充分又非必要18、对于正实数α，记αM 是满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：对于任意的实数R x x ∈21,且21x x <，都有()()121212)()(x x x f x f x x -<-<--αα成立.下列结论中正确的是（ ）（A ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f（B ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈ （C ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x f（D ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、（本题满分12分）（文）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，体积为2，E 为AB 的中点；证明：E A 1与B C 1是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） （理）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（理）已知函数x x x f cos 3sin 2)(⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=π （文）已知函数)(x f x x x 2cos 3cos sin += （1）若20π≤≤x ，求函数)(x f 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值；21、（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭⎫⎝⎛-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x ；（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？ （2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围；22、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.已知椭圆Γ：14522=+y x 的中心为O ，一个方向向量为),1(k d =的直线l 与Γ只有一个公共点M ；（1）若1=k 且点M 在第二象限，求点M 的坐标；（2）若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离25-≤d ；（3）若点N 、P 在椭圆上，记直线ON 的斜率为1k ，且为直线OP 的一个法向量，且541=k k ，求22OP ON +的值；23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，121+⋅=n n n a a S （*N n ∈）；（1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122+-=n n a an b ，且()3841lim 1211=+++++++∞→n n k k k k n b b b b b b ，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2≥m ，m k <，在数列{}k c 中，11=c ，11++-=k k k a mk c c ，求m c c c +++ 21；2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则二 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.{}12. ⎪⎭⎫ ⎝⎛231， 3.【理科】2 【文科】7- 4. 0 5.286.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k ，z k ∈7.14822=-y x .8.【理科】1.【文科】16 9.【理科】29【文科】52 10．4. 11.π9. 12. 180 13． 2->a 14. 10二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）【文科】【解】根据已知条件,C C 1为正四棱柱1111D C B A ABCD -的高底面四边形11ABB A 是正方形，且面积为1, 故由sh V =2=，可得21=C C .……2分假设E A 1与B C 1不是异面直线，则它们在同一平面内 由于点1A 、E 、B 在平面11ABB A 内，则点1C 也在平面11ABB A 内，这是不可能的，故E A 1与B C 1是异面直线.…………5分 取11B A 的中点为E ，连接BE ,1EC ,所以E A BE 1//,1EBC ∠或其补角，即为异面直线E A 1与B C 1所成的角.……7分在1BEC ∆，51=BC ,217=BE ,251=EC ,……9分 由余弦定理得，8585821752454175cos 1=⨯-+=∠EBC 0>,即85858arccos 1=∠EBC 所以异面直线E A 1与B C 1所成的角的大小为85858arccos.……12分 【理科】【解】根据题意，可得⊥C C 1底面ABCD ，所以BC 是B C 1在平面ABCD 上的射影，故BC C 1∠即为直线B C 1与 底面ABCD 所成的角，即BC C 1∠=2arctan .……2分在BC C RT 1∆中，2tan 11=∠⋅=BC B BC C C ……3分以D 为坐标原点，以射线1,,DD DC DA 所在的直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：由于D D 1⊥平面ABCD ，故1DD 是平面的一个法向量，且1DD ()2,0,0=……5分()0,1,1B ,()1,0,01D ,()2,1,01C ,故()2,1,11--=,()2,0,11-=BC ……7分设()z y x ,,=是平面11C BD 的一个法向量,所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011BC n BD ,即⎩⎨⎧=-=-+0202z x z y x ,不妨取1=z ,则⎩⎨⎧==02y x ,即()1,0,2=……9分设平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角为θ,则5552120002cos =⨯⨯+⨯+⨯==θ, 即55arccos=θ……11分 所以平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角大小为55arccos.……12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.20.【解】（1）()x x x x f cos cos 3sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=232cos 232sin 21++=x x 2332sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx …………2分 由20π≤≤x 得，34323πππ≤+≤x ，132sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx …………4分 2312332sin 0+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ，所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+231,0………6分（2）由232332sin )(=+⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f 得，032sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA 又由20π<<A 得，34323πππ<+<A ，只有ππ=+32A ，故3π=A .…………8分在ABC ∆中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=73cos32294=⨯⨯⨯-+=π,故7=a …………10分由正弦定理得，BbA a sin sin =，所以721sin sin ==a A bB 由于a b <，所以772cos =B …………12分()B A B A B A sin sin cos cos cos +=-14757212377221=⨯+⨯=……14分21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，【解】（1）根据题意可得，()()≥⨯+-%2.010101000x x 101000⨯……3分展开并整理得，05002≤-x x ……5分 解得5000≤≤x ，最多调出的人数为500人……6分（2）⎩⎨⎧⨯≤≤≤%4010005000x x ，解得4000≤≤x ……7分()()%2.010101000500310x x x x a ⨯+⋅-≤⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-，对于任意的[]400,0∈x 恒成立……9分即%210201010005031022x x x x ax --+⨯≤- 即10002502++≤x x ax 对于任意的[]400,0∈x 恒成立……10分 当0=x 时，不等式显然成立；当4000≤<x 时，1250000250111000250+⎪⎭⎫⎝⎛+=++≤x x x x a ……11分 令函数xx x f 250000)(+=，可知函数)(x f 在区间[]400,0上是单调递减函数……12分故()1025400)(min ==f x f ，故1.511000250≥++xx ……13分 故1.50≤<a ，所以实数a 的取值范围是1.50≤<a ……14分22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.【解】（1）设直线l ：m x y +=，根据题意可得：……1分⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x mx y ，消去y 并整理得()04510922=-++m bx x ……①…………2分 ()()045941022=-⨯⨯-=∆b b ，解得92=m ，因为M 在第二象限，故3=m ，……3分代入①得0253092=++x x ，解得35-=x ，进而34=y ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,35M .……4分（2）根据题意可得，直线1l ：0=+ky x ……5分设直线l ：m kx y +=（0≠m ），则⎪⎩⎪⎨=+14522y x ……5分消去y 得()()0451054222=-+++m kmx x k ……6分()()()0454*******=-⋅+-=∆m k km ，解得04522=+-m k ，即4522+=k m ……7分且4552+-=k km x ，4542+=k m y ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛++-454,45522k m k kmM ……8分 点M 到直线1l 的距离222221451454455kk km kk km k km d ++=++++-=()()22541k k k++=① 当0=k 时，0=d ；……9分② 当0≠k 时，=d 25945122-≤++k k ，当且仅当454±=k 时等号成立. 综上①②可得，点M 到直线1l 距离25-≤d .……10分 （3）根据条件可得直线OP 的斜率kk 12-=，……11分由于541=k k ，则直线ON 的斜率的k k 541=……12分于是直线ON 的方程为kx y 54=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨==+kxy 54145，可得224525kx +=……13分 设点),(11y x P ，则222122121245162525161k kx k y x OP ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=……14分 同理2ON ()22222245120k k y x ++=+=……15分22ON OP +=22451625k k +++()2245120k k ++945364522=++=k k ……16分23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1）当1=n 时，121211==a a S ，11=a ，故22=a ；……1分 当2≥n 时，=-=-1n n n S S a -⋅+121n n a a n n a a ⋅-121变形得()112-+-⋅=n n n n a a a a ，由于0≠n a ，所以211=--+n n a a ……2分 所以1212-=-n a n ，n a n 22=，*N n ∈，于是n a n =，*N n ∈.……3分 由于11=-+n n a a ，所以数列{}n a 是以1首项，1为公差的等差数列.…………4分（2）由（1）得n a n =，所以122+-=n n a an b nn n ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==+-21412)1(2……5分 52121++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅n n n b b ，且128121=b b ，当2≥n 时，4111=-+n n n n b b b b …………7分 故数列{}1+n n b b 是以1281为首项，41为公比的等比数列.……8分 于是()=+++++++∞→1211lim n n k k k k n b b b b b b =-+4111k k b b 3841，即912-+=⋅k k b b ……9分 k kk k b b 251241321--+=⎪⎭⎫⎝⎛=⋅，故92522---=k ，解得2=k .…………10分 （3）则由（1）得k a k =，11++-=k k k a m k c c 1+-=k m k ，12211c cc c c c c k k k k k ⋅⋅⋅=--- ……12分()()km k k k C mk k k m k m c 1112)1()2)(1(111⋅-=⋅⋅-⋅+-+-⋅-=-- …………14分m c c c +++ 21()[]m mm m m m C C C C m132111--+-+-=…………16分 ()()[]mC C C C m mm m m m m 1111210=-+-+--=故m c c c +++ 21m1=.……18分。
2017届上海市嘉定区高三二模数学卷(含答案)
2017届上海市嘉定区高三二模数学卷(含答案)2017届度嘉定区高三年级第二次质量调研数 学 试 卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．函数1)2(sin 22-=x y 的最小正周期是________________．2．设i为虚数单位，复数i2i21+-=z ，则=||z ____________．3．设)(1x f -为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)1(1f _____________．4．=++++∞→nn n n n 3232lim 11_______________．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是______________． 6．设等差数列}{na 的前n 项和为nS ，若3535=aa，则=35S S ___________．7．直线⎩⎨⎧-=+=ty t x 4,2（t 为参数）与曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 25,cos 23y x （θ为参数）的公共点的个数是______________．8 ．已知双曲线1C 与双曲线2C 的焦点重合，1C 的方程为1322=-y x ，若2C 的一条渐近线的倾斜角是1C 的一条渐近线的倾斜角的2倍，则2C 的方程为__________________．9．若2131)(--=xxx f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是_______________．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为32和53．现安排甲 组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立 ，则至少有一种新产品研发成功的概率为______________．11．设等差数列}{na 的各项都是正数，前n 项和为nS ，公差为d ．若数列{}nS 也是公差为d 的等差数列，则}{na 的通项公式为=n a _____________． 12．设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数（如2]32.2[=，5]76.4[-=-），对于给定的*N ∈n ，定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n CxnΛΛ，其中),1[∞+∈x ，则当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,23x 时，函数xC x f 10)(=的值域是____________________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若1=x ，则0232=+-x x”的逆否命题是………………………………（ ）．（A ）若1≠x ，则0232≠+-x x（B ）若232=+-x x ，则1=x（C ）若0232=+-x x，则1≠x （D ）若232≠+-x x ，则1≠x14．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥EFGH A -1的左视图是…………………………………………（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 内部两点，且满足)(41+=，81+=，则△ADP 的面积为…………………（ ）．（A ）43 （B ）33 （C ）23D A CD 1F H E M NG A 1 B 1 C 1（D ）3 16．已知)(x f 是偶函数，且)(x f 在),0[∞+上是增函数，若)2()1(-≤+x f ax f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 上恒成立，则实数a 的取值范围是……………………………………（ ）． （A ）]1,2[- （B ）]0,2[- （C ）]1,1[- （D ）]0,1[-三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b、c ，已知2=-b a ，4=c ，B A sin 2sin =．（1）求△ABC 的面积S ； （2）求)2sin(B A -的值．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，8=AB ，5=BC ，41=AA ，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且211==F D E A ，5==DG AH ．（1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知椭圆C ：12222=+by ax（0>>b a ）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1，两个焦点为)0,1(1-F 和)0,1(2F ．圆O 的方程为222a y x=+．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且斜率为k （0>k ）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P在x 轴上方），当||2AF ，||2BF ，||AB 成等差数列时，求弦PQ 的长．A BC D EF HG A 1 B 1 1D 1 y F ·· FO A B xPQ20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）如果函数)(x fy=的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有)f-x=+成(x(a)f立，则称此函数)(x f具有“)(a P性质”．（1）判断函数xy cos=是否具有“)(a P性质”，若具有“)(a P性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“)(a P性质”，请说明理由；（2）已知函数)(x fy=具有“)0(P性质”，且当0≤x时，2)f+x=，求函数)(x f()(mxy=在区间]1,0[上的值域；（3）已知函数)(x g y =既具有“)0(P 性质”，又具有“)2(P 性质”，且当11≤≤-x 时，||)(x x g =，若函数)(x g y =的图像与直线px y =有2017个公共点，求实数p 的值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）给定数列}{na ，若满足aa=1（0>a 且1≠a ），对于任意的*,N ∈m n ，都有mn mn a a a⋅=+，则称数列}{na 为指数数列．（1）已知数列}{na ，}{nb 的通项公式分别为123-⋅=n n a ，nnb3=，试判断}{na ，}{nb 是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列}{na 满足：21=a，42=a，nn n a a a2312-=++，证明：}{na 是指数数列；（3）若数列}{na 是指数数列，431++=t t a（*N ∈t ），证明：数列}{na 中任意三项都不能构成等差数列．2016学年度嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．2π 2．1 3．1 4．3 5．6π 6．25 7．1 8．1322=-y x 9．),1(∞+ 10．1513 11．412-n 12．(]45,15320,5Y ⎥⎦⎤⎝⎛二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．D 14．C 15．A 16．B三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）因为BA sin 2sin =，所以由正弦定理得ba 2=， ……………………（1分）又2=-b a ，故4=a ，2=b ， ……………………………………………（3分） 所以412cos 222=-+=bc a c bA ，因为),0(π∈A ，所以415sin =A ．………（5分）所以154154221sin 21=⋅⋅⋅==A bc S ．………………………………（6分） （2）因为415sin =A ，41cos =A ， 所以815cos sin 22sin ==A A A ，87sin cos 2cos 22-=-=A A A ，……………（4分）815sin 21sin ==A B ，因为a b <，所以B 为锐角，所以87cos =B （或由ca =得到AB 2-=π，872cos )2cos(cos =-=-=A A B π）．………………………………（5分） 所以，32157sin 2cos cos 2sin )2sin(=-=-B A B A B A ． ………………………（8分）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，7054)52(21)(211111=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-AD A A AH E A V FG DD EH AA ， ………………（2分）9054)63(21)(211111=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-BC B B E B BH V CGFC BHEB ， …………………（4分） 所以，971111=--CGFC BHEB FG DD EH AA V V ．………………………………………………………………（6分）（2）解法一：作EH AM ⊥，垂足为M ，由题意，⊥HG 平面11A ABB ，故AM HG ⊥， 所以⊥AM 平面α． ………………………………………………………………（2分）因为141=EHAA S 梯形，41=∆EAA S，所以10=∆AEHS ，） 因为5=EH ，所以4=AM ． ……………………………………………………（4分） 又532121121=++=F D D A AA AF ， ……………………………………………（6分）设直线AF 与平面α所成角为θ，则1554sin ==AF AM θ．………………………（7分） 所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为1554． …………………（8分） 解法二：以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,5(A ，)0,5,5(H ，)4,2,5(E ，)4,2,0(F ， ………………………（2分）故)0,0,5(=，)4,3,0(-=HE ， …………………………………（3分）设平面α一个法向量为),,(z y x n =ρ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0n n ρρ即⎩⎨⎧=+-=,043,05z y x所以可取)3,4,0(=n ρ． ……………………………………………………………（5分）设直线AF 与平面α所成角为θ，则1554||||sin ==AF n ρρθ． ……………………（7分） 所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为1554． ………………………………（8分）19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）由题意，1=c ， ………………………………………………………………（1分）设椭圆C 的方程为112222=-+a y ax ，将点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1代入， 1)1(49122=-+a a ，解得42=a （412=a 舍去）， ………………………………（3分） 所以，椭圆C 的方程为13422=+y x ． ………………………………………………（4分）（2）由椭圆定义，4||||21=+AF AF ，4||||21=+BF BF ，两式相加，得8||||||22=++BF AF AB ，因为||2AF ，||2BF ，||AB 成等差数列，所以||2||||22BF AF AB =+，于是8||32=BF ，即38||2=BF ． …………………（3分） 设),(00y x B ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-,134,964)1(20202020y x y x 解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--315,34B ，…………………（5分）（或设)sin 3,cos 2(θθB ，则964sin 3)1cos 2(22=+-θθ，解得32cos -=θ，35sin -=θ，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛--315,34B ）．所以，15=k ，直线l 的方程为)1(15+=x y ，即01515=+-y x ，……（6分）圆O 的方程为422=+y x ，圆心O 到直线l 的距离415=d ， ………………（7分） 此时，弦PQ的长2742||2=-=d PQ ． …………………………………………（8分）20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） （1）由题意，)cos()cos(x a x -=+， 即x a x cos )cos(=+对于任意实数x 成立， …………………………………………（1分）由诱导公式x k x cos )2cos(=+π，函数x y cos =具有“)(a P 性质”，且所有a 的值的集合为},2{Z ∈=k k a a π． ……………………………………………………………（4分）（2）因为函数)(x f y =具有“)0(P 性质”，所以)()(x f x f -=， 即)(x f y =是偶函数． ………………………………………………………………（1分） 所以当0≥x 时，0≤-x ，22)()()()(m x m x x f x f -=+-=-=． ……………（2分） 当0≤m 时，函数)(x f y =在]1,0[上递增，值域为])1(,[22m m -． ……………（3分）当210<<m 时，函数)(x f y =在],0[m 上递减，在]1,[m 上递增，0)(min ==m f y，2max)1()1(m f y -==，值域为])1(,0[2m -． …………………………………（4分）同理，当121≤≤m 时，0)(min==m f y，2max)0(m f y==，值域为],0[2m ．…（5分）当1>m 时，函数)(x f y =在]1,0[上递减，值域为],)1[(22m m -． ……………（6分）（3）由题意)()(x g x g -=，函数)(x g y =偶函数，又)()()2(x g x g x g =-=+，所以函数)(x g y =是以2为周期的函数． …………………………………………（1分）因为当11≤≤-x 时，||)(x x g =，所以当31≤≤x 时，121≤-≤-x ，|2|)2()(-=-=x x g x g ， …………………………………………………………（2分）一般地，当1212+≤≤-k x k （Z ∈k ）时，|2|)(k x x g -=． …………………（3分） 作出函数)(x g y =的图像，可知，当0=p 时，函数)(x g y =与直线px y =交于点)0,2(k (Z ∈k )，即有无数个交点，不合题意． …………………………………（4分）当0>p 时，在区间]2016,0[上，函数)(x g y =有1008个周期，要使函数)(x g y =的图像与直线px y =有2017个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2017个交点恰好为)1,2017(，所以20171=p ． 同理，当0<p 时，20171-=p ．综上，20171±=p ． ……………………………………………………（6分）（p 的值漏掉一个扣1分）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）对于数列}{na ，31=a ，62=a ，123=a ，因为21213a a a a ⋅≠=+，所以}{na 不是指数数列． ………………………………………………………………………………（2分）对于数列}{nb ，对任意*,N ∈m n ，因为m n mn m n m n b b b ⋅=⋅==++333，所以}{nb 是指数数列． ……………………………………………………………………………………（4分）（2） 由题意，)(2112n n n n a a a a -=-+++，所以数列}{1nn a a -+是首项为212=-a a ，公比为2的等比数列． ……………………………………………………………………（2分） 所以nnn a a 21=-+．所以，2222)()()(21112211++++=+-++-+-=-----ΛΛn n n n n n n a a a a a a a ann 2221)21(21=+--=-，即}{n a 的通项公式为nn a 2=（*N ∈n ）． ………………（5分）所以mnmnmn mn a a a ⋅=⋅==++222，故}{na 是指数数列． …………………………（6分）（3）因为数列}{na 是指数数列，故对于任意的*,N ∈m n ，有mn mn a a a⋅=+，令1=m ，则nn n a t t a a a⋅++=⋅=+4311，所以}{na 是首项为43++t t ，公比为43++t t 的等比数列，所以，nn t t a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=43． …………………………………………………………………………（2分）假设数列}{na 中存在三项ua ，va ，wa 构成等差数列，不妨设w v u <<， 则由wu va a a +=2，得wu v t t t t t t ⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++4343432，所以uw u w u v v w t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2， ………………………………（3分） 当t 为偶数时，uv vw t t --++)3()4(2是偶数，而uw t -+)4(是偶数，uw t -+)3(是奇数， 故uw u w u v v w t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2不能成立； …………………………（5分） 当t 为奇数时，uv vw t t --++)3()4(2是偶数，而uw t -+)4(是奇数，uw t -+)3(是偶数，故uw u w u v v w t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2也不能成立．…………………………（7分） 所以，对任意*N ∈t ，uw u w u v vw t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2不能成立，即数列}{na 的任意三项都不成构成等差数列． ……………………………………………………（8分）（另证：因为对任意*N ∈t ，uv vw t t --++)3()4(2一定是偶数，而4+t 与3+t 为一奇一偶，故uw t -+)4(与uw t -+)3(也为一奇一偶，故等式右边一定是奇数，等式不能成立．）。
【数学】上海市金山区2017届高考二模试卷(解析版)
上海市金山区2017届高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={x|x＞﹣1，x∈R}，集合B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B=．2．（4分）已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|=．3．（4分）函数f（x）=的最小正周期是．4．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=．5．（4分）若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为cm3（结果精确到0.1cm3）6．（4分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是．7．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．8．（5分）已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=．9．（5分）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．10．（5分）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=．11．（5分）已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．12．（5分）对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④15．（5分）如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣116．（5分）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为（）A．512 B．256 C．255 D．64三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。