数学人教版九年级上册实际问题与二次函数之利润问题

实际问题与二次函数之利润问题
李集中学罗小罗
学习目标
1、通过探究商品销售中数量之间的关系及确定自变量的取值范围. 列出函数关
系式（难点）；

2、会用二次函数顶点公式求实际问题中的极值即能应用二次函数的性质解决商
品销售过程中的最大利润问题.（重点）

学习重难点
会列出二次函数关系式，并解决利润中的最大（小）值。

知识链接
1.函数y=a(x-h)2 +k中，顶点坐标是。
2.二次函数y=ax2+bx+c，顶点坐标是。
当a>0时，X= 时，函数有最值，是；
当 a<0时，X= 时，函数有最值，是。

一、自主学习
请自学课本，完成下列问题。
1、函数S=l （30 +l ）中，当l =_____时，S有最大值是。

2、（1）小王以每件120元的价格进回20件衣服，又以每件160元的价格全部卖
出，则这次销售活动小王共盈利元。

（2）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出
（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？
二、合作探究
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整
价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，
已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

想一想
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：
⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与
x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖10x件，实际卖出 (300-10x)
件,每件利润为 (60+x-40) 元，因此，所得利润为（60+x-40）(300-10x)元

y=(60+x-40)(300-10x)
即y=-10（x-5）²+6250(0≤X≤30)

∴当x=5时，y最大值=6250

也可以这样求极值
625060005100510522最大值时，yabx

所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250
可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图
像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式
可以求出顶点的横坐标.

（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。

解这类问题的一般步骤
（1）依据变量之间的关系列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，
确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，运用顶点公式或通过配方求出二次函数的最大值
或最小值。

\x
元\y
6250

6000

5
30

0
三、展示提升
某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出
500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个。
(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元,这种
篮球每月的销售量是______ 个(用X的代数式表示)
(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?如果是,说明理由,如果不是,请求
出最大利润,

此时篮球的售价应定为多少元?
四、自悟自得
你学到了哪些知识？
如何利用二次函数最大（小）值来解决实际问题。
你学到了哪些方法？
思想方法是建立函数关系，用函数的观点、思想去分析实际问题。
你还有哪些困惑？
①解决实际问题需注意什么？
②利用二次函数还可以解决哪些实际问题，请大家注意收集、分类，看它们各自
有何特点。

五、当堂检测
1、用配方法将二次函数y=3x2-4x-2写成形如y=a(x+m)2+n的形式，则m= ，n=
2、二次函数y=2x2-8x+1的图象顶点坐标是（2，-7），x= 时，y的值最小为
3、下图为某二次函数y=ax2+bx+c(2≤x≤7)的完整图像，根据图像回答。
x=时，y的最大值是。
x=时，y的最小值是。
4、某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量
与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件；
而单价每降低1元，就可以多售出200件。请你帮助分析，销售单价是多少时，
可以获利最多？

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九年级数学上册第22章优质习题课件实际问题与二次函数(商品利润)(人教版)

典型例题知识点2：利润问题——借助图象或表格【例2】某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售.已知这种干果销售量y（kg）与每千克降价x（单位：元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图1-22-25-1.
6. 某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（单位：件）与每件的销售价x（单位：元）满足一次函数，其图象如图1-22-25-2.
（1）每天的销售数量m与每件的销售价格x的函数解析式是 _______________________________；
m=-x+100（0≤x≤100）
（1）求y与x之间的函数关系式；
解：（1）y与x之间的函数关系式为 y=10x+100.
（2）该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？
解：（1）y与x之间的函数关系式为 y=10x+100. （2）该干果每千克降价x元时，商贸公司获利w元，根据题意，得w=（60-40-x）（10x+100）=-10x2+100x+2 000=-10（x-5）2+2 250. 答：该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2 250元.
x-8 10x-100
（2）当每件售价x定为多少元时，可使每天所获利润最大？并求出每天的最大利润.
解：（2）y=（x-8）［100-10（x-10）］
=-10（x-14)2+360（10≤x＜20）， ∵a=-10＜0， ∴当x=14时，y有最大值360. 答：将售价x定为14元时，才能使每天所获利润最大，每天的最大利润是360元.

数学人教版九年级上册实际问题与二次函数—利润问题

实际问题与二次函数—利润问题主备教师：张娜设计时间：第周课题实际问题与二次函数—利润问题教学目标让学生正确掌握解决实际问题与二次函数—利润问题重点解决实际问题与二次函数—利润问题中的取值范围难点解决实际问题与二次函数—利润问题中的最值教学过程教学内容一、新知探究：（复习课改知识回顾）每件利润=售价-进价总利润=每件利润×销售数量1.某种商品每件的进价为40元，在某段时间内若以每件60元出售，可卖出300件，则总利润是多少？解：每件利润=60-40=20元总利润=20 ×300=6000元答：总利润是6000元2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？y=(X-30)(100-X)y=-x2+130x-3000Y最大值=1225答:定价为65元时才能使利润最大.3.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润yy=(60+x-40)(300-10x)=-10x²+100x+6000(0≤X≤30)即y=-10（x-5）²+6250(0≤X≤30)∴当x=5时，y最大值=6250答：定价为65元时，利润最大，最大为6250归纳知识点：解这类问题的一般步骤:（1）依据变量之间的关系列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用顶点公式或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

二、例题讲解：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价2元，每星期少卖出20件；已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润yy=(60+x-40)(300-10x)=-10x²+100x+6000(0≤X≤30)即y=-10（x-5）²+6250(0≤X≤30)∴当x=5时，y最大值=6250答：定价为65元时，利润最大，最大为6250三、巩固练习：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每降价0.2元，每星期可多卖出4件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设每件降价x元，则每星期售出商品的利润yy=(60-x-40)(300+20x)=-20x²+100x+6000(0≤X≤20)y=-20(x- 2.5 )2+6125∴当x= 2.5 时，y最大值=6125四、作业：教科书练习1，2知识小结解这类问题的一般步骤: （1）依据变量之间的关系列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用顶点公式或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

实际问题与二次函数--利润问题人教版九年级上册数学

人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数--利润问题1.在2018年俄罗斯世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元，销售量为y套．(1) 求出y与x的函数关系式．(2) 当销售单价为多少元时，月销售额为14000元．(3) 当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少．2.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．(1) 请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2) 将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？3.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为{mx−76m,1≤x<20,x为整数n,20≤x≤30,x为整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入−成本）．(1) m=，n=；(2) 求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？(3) 在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？4.某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．(1) 商家一次购买这种产品多少件时，销售单价怡好为2800元？(2) 设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3) 该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）5.某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通信产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）为120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．(1) 直接写出y关于x的函数关系式为．(2) 市场管理部门规定，该产品销售单价不得超过100元，该公司销售该种产品当年获利55万元，求当年的销售单价．6.传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y={34x,0≤x≤6 20x+80,6<x≤20．(1) 李明第几天生产的粽子数量为280只？(2) 如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价−成本）7.某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．(1) 写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；(2) 写出销售该品牌童装获得的利润W元与销售单价x元之间的函数关系式；(3) 若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？8.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为，y={mx−76m,1≤x<20,x为正整数n,20≤x≤30,x为正整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入−成本）．(1) m=，n=．(2) 求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？(3) 在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？9.为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=−10x+ 1200．(1) 求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额−成本）；(2) 当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？10.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1) 写出每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求当x为多少时，w有最大值，最大值是多少？(2) 商场的营销部结合上述情况，提岀了甲、乙两种营销方案：方案甲：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案乙：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．11.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=−2x+80(20≤x≤40)，设这种健身球每天的销售利润为w元．(1) 求w与x之间的函数关系式；(2) 该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3) 如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？12.销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．(1) 请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2) 当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元．(3) 足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元．13.诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．(1) 设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表示）(2) 每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．(3) 要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．14.某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元千克）之间的函数关系如图所示．(1) 求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2) 当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3) 某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．15.小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小米所有玩具的进价均为2元/件，在销售过程中发现：每天玩具销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分，设小米销售这种玩具的日利润为w元．(1) 根据图象，求出y与x之间的函数解析式；(2) 求出每天销售这种玩具的利润w（元）与x（元/件）之间的函数解析式，并求每天利润的最大值；(3) 若小米某天将价格定为超过4元（x>4），那么要使得小米在该天的销售利润不低于54元，求该天玩具销售价格的取值范围．16.由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品．某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元．经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y=−2x+1000．(1) 该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式．(2) 若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？(3) 公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？17.某水产品养殖企业为指导该企业某种产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品的养殖情况进行了调查，调查发现这种水产品每千克的售价y1（元）与x+36，其每千克成本y2（元）与销销售月份x（月）满足关系式y1=−38售月份x（月）满足的函数关系如图所示：(1) 试确定b，c的值；(2) 求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；(3) 几月份出售这种水产品可使每千克利润最大？每千克的最大利润是多少？Array18.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费−月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润−月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：(1) 当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等．(2) 求两公司月利润差的最大值．(3) 甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a>0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．利润问题答案 1. 【答案】(1) y =240−x−605×20，∴y =−4x +480．(2) 根据题意可得，x (−4x +480)=14000，解得：x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），∴ 当销售单价为 70 元时，月销售额为 14000 元．(3) 设一个月内获得的利润为 w 元，根据题意，得w =(x −40)(−4x +480)=−4x 2+640x −19200=−4(x −80)2+6400,当 x =80 时，w 的最大值为 6400， ∴ 当销售单价为 80 元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是 6400 元．2. 【答案】(1) y =−10x +740(44≤x ≤52)．(2) w =(x −40)(−10x +740)=−10x 2+1140x −29600=−10(x −57)2+2890,当 x <57 时，w 随 x 的增大而增大，而 44≤x ≤52， ∴ 当 x =52 时，w 有最大值，最大值为 2640．答：将足球纪念册销售单价定位 52 元时，商店每天销售纪念册得的利润 w 元最大，最大利润 2640 元．3. 【答案】(1) −12；25(2) 由（1）第 x 天的销售量为 20+4(x −1)=4x +16，当 1≤x <20 时，W =(4x +16)(−12x +38−18)=−2x 2+72x +320=−2(x −18)2+968，∴ 当 x =18 时，W 最大=968，当 20≤x ≤30 时，W =(4x +16)(25−18)=28x +112， ∵28>0，∴W 随 x 的增大而增大，∴ 当 x =30 时，W 最大=952， ∵968>952，∴ 当 x =18 时，W 最大=968．(3) 当 1≤x <20 时，令 −2x 2+72x +320=870，解得 x 1=25，x 2=11，∵ 抛物线 W =−2x 2+72x +320 的开口向下， ∴11≤x ≤25 时，W ≥870， ∴11≤x <20， ∵x 为正整数，∴ 有 9 天利润不低于 870 元，当 20≤x ≤30 时，令 28x +112≥870，解得 x ≥27114，∴27114≤x ≤30， ∵x 为正整数，∴ 有 3 天利润不低于 870 元，∴ 综上所述，当天利润不低于 870 元的天数共有 12 天．4. 【答案】(1) 设商家一次性购买这种产品 x 件时，销售单价恰好为 2800 元，根据题意得：3200−5(x −10)=2800,解得x =90.答：商家一次性购买这种产品 90 件时，销售单价怡好为 2800 元．(2) 由题意得：当 0≤x ≤10 时，y =(3200−2500)x =700x ，当 10<x ≤90 时，y =[3200−5(x −10)−2500]⋅x =−5x 2+750x ，当 x >90 时，y =(2800−2500)⋅x =300x ．(3) 因为要满足一次性购买数量越多，所获利润最大，所以 y 随 x 的增大而增大，函数 y =700x ，y =300x 均是 y 随 x 的增大而增大，而 y =−5x 2+750x =−5(x −75)2+28125 在 10<x ≤75 时，y 随 x 的增大而增大．由上述分析可知 x 的取值范围为 10<x ≤75，即一次购买 75 件时，恰好是最低价，最低价为 3200−5×(75−10)=2875 (元)．答：公司应将最低销售单价调整为 2875 元．5. 【答案】(1) y =−120x +8(2) W =yx −40y −120=(−120x +8)(x −40)−120=−120x 2+10x −440.令 W =55，−120x 2+10x −440=55， x 2−200x +9900=0，(x −90)(x −110)=0，x 1=90，x 2=110，∵x ≤100，∴x =90，∴ 当年的销售价为 90 元．6. 【答案】(1) 设李明第 x 天生产的粽子数量为 280 只，由题意可知：20x +80=280,解得x =10.答：第 10 天生产的粽子数量为 420 只．(2) 由图象得，当 0≤x <10 时，p =2；当 10≤x ≤20 时，设 P =kx +b ，把点 (10,2)，(20,3) 代入得，{10k +b =2,20k +b =3, 解得 {k =0.1,b =1,∴p =0.1x +1，① 0≤x ≤6 时，w =(4−2)×34x =68x ，当 x =6 时，w 最大=408（元）；② 6<x ≤10 时，w =(4−2)×(20x +80)=40x +160，∵x 是整数，∴ 当 x =10 时，w 最大=560（元）；③ 10<x ≤20 时，w =(4−0.1x −1)×(20x +80)=−2x 2+52x +240， ∵a =−3<0，∴ 当 x =−b 2a =13 时，w 最大=578（元）．综上，当 x =13 时，w 有最大值，最大值为 578．7. 【答案】(1) 根据题意得，y =200+(80−x )×20=−20x +1800，∴ 销售量 y 件与销售单价 x 元之间的函数关系式为 y =−20x +1800(60≤x ≤80)．(2) W =(x −60)y=(x −60)(−20x +1800)=−20x 2+3000x −108000,∴ 销售该品牌童装获得的利润 W 元与销售单价 x 元之间的函数关系式 W =−20x 2+3000x −108000．(3) 根据题意得，−20x +1800≥240，解得 x ≤78，∴76≤x ≤78，W =−20x 2+3000x −108000，对称轴为 x =−30002×(−20)=75， ∵a =−20<0，∴ 抛物线开口向下，∴ 当 76≤x ≤78 时，W 随 x 的增大而减小，∴x =76 时，W 有最大值，最大值 =(76−60)(−20×76+1800)=4480（元）．∴ 商场销售该品牌童装获得的最大利润是 4480 元．8. 【答案】(1) −12；25(2) 由（1）得第x天的销售量为20+4(x−1)=4x+16，当1≤x<20时，W=(4x+16)(−12x+38−18)=−2x2+72x+320=−2(x−18)2+968，∴当x=18时，W最大=968元，当20≤x≤30时，W=(4x+16)(25−18)=28x+112，∵28>0，∴W随x的增大而增大，∴当x=30时，W最大=952元．∵968>952，∴当x=18时，W最大=968元．(3) 当1≤x<20时，令−2x2+72x+320=870，解得x1=25，x2=11，∵抛物线W=−2x2+72x+320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870，∴11≤x<20．∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元．当20≤x≤30时，令28x+112≥870，解得x≥27114．∴27114≤x≤30，∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元．∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．9. 【答案】(1) S=y(x−40)=(x−40)(−10x+1200)=−10x2+1600x−48000；(2) S=−10x2+1600x−48000=−10(x−80)2+16000，则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．10. 【答案】(1) 由题意得：w=(x−20)[250−10(x−25)]=−10(x−5)(x−20)，∵−10<0，故w有最大值，当x=35时，w最大值为2250．(2) 甲方案：x≤30，把x=30代入函数表达式得：w=2000，乙方案：250−10(x−25)≥10，且x−20≥25，解得：45≤x≤49，当x=45时，w有最大值为1250，∵2000>1250，故：甲方案最大利润最高．11. 【答案】(1) 根据题意可得：w=(x−20)⋅y=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600.w与x之间的函数关系为：w=−2x2+120x−1600．(2) 根据题意可得：w=−2x2+120x−1600=−2(x−30)2+200.∵−2<0，∴当x=30时，w有最大值，w最大值为200．答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．(3) 当w=150时，可得方程−2(x−30)2+200=150．解得x1=25，x2=35，∵35>28，∴x2=35不符合题意，应舍去．答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元．12. 【答案】(1) y=−10x+740(44≤x≤52)．(2) 根据题意得(x−40)(−10x+740)=2400，解得x1=50，x2=64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元．(3) w=(x−40)(−10x+740) =−10x2+1140x−29600=−10(x−57)2+2890.当x<57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，∴当x=52时，w有最大值，最大值为−10(52−57)2+2890=2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大，最大利润是2640元．13. 【答案】(1) 设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40−x元，故答案为：(20+2x )；(40−x )；(2) 根据题意，得：(20+2x )(40−x )=1200，解得：x 1=20，x 2=10（舍去）答：每件童装降价 20 元，平均每天赢利 1200 元；(3) 不能，∵(20+2x )(40−x )=2000 此方程无解，故不可能做到平均每天盈利 2000 元．14. 【答案】(1) 设 y 与 x 的函数关系式为 y =kx +b ，将 (10,200)，(15,150) 代入，得：{10k +b =20015k +b =150,解得：{k =−10b =300,∴ y 与 x 的函数关系式为 y =−10x +300(8≤x ≤30)；(2) 设每天销售获得的利润为 W ，则W =(x −8)y=(x −8)(−10x +300)=−10(x −19)2+1210,∵ 8≤x ≤30，∴ 当 x =19 时，w 取得最大值，最大值为 1210；(3) 由（2）知，当获得最大利润时，定价为 19 元/千克，则每天的销售量为 y =−10×19+300=110 千克，∵ 保质期为 40 天，∴ 总销售量为 40×110=4400，又 ∵ 4400<4800，∴ 不能销售完这批蜜柚．15. 【答案】(1) 因为 AB 段为反比例函数图象的一部分，A (2,40)，所以当 2≤x ≤4 时，y =80x ，因为 BC 段为一次函数图象的一部分，且 B (4,20)，C (14,0)，所以设 BC 段的解析式为 y =kx +b ，有 {4k +b =20,14k +b =0, 解得 {k =−2,b =28,所以当 4<x ≤14 时，y =−2x +28，所以 y 与 x 之间的函数解析式为y ={80x , 2≤x ≤4−2x +28, 4<x ≤14．(2) 当 2≤x ≤4 时，w=(x −2)y =(x −2)⋅80x =80−160x , 因为随着 x 的增大，−160x 增大，w =80+−160x 也增大，所以当 x =4 时，w 取得最大值，为 40；当 4<x ≤14 时，w =(x −2)y=(x −2)(−2x +28)=−2x 2+32x −56=−2(x −8)2+72,因为 −2<0，4<8<14，所以当 x =8 时，w 取得最大值，为 72．综上所述，每天利润的最大值为 72 元．(3) 由题意可知 w =−2x 2+32x −56=−2(x −8)2+72，令 w =54，即 w =−2x 2+32x −56=54，解得 x 1=5，x 2=11，由函数解析式及函数图象可知，要使 w ≥54，5≤x ≤11，所以当 5≤x ≤11 时，小米的销售利润不低于 54 元．16. 【答案】(1) 由题意得w =(x −200)y=(x −200)(−2x +1000)=−2x 2+1400x −200000.(2) 令 w =−2x 2+1400x −200000=40000，解得：x =300 或 x =400，故要使每月的利润为 40000 元，销售单价应定为 300 或 400 元．(3) y =−2x 2+1400x −200000=−2(x −350)，当 x =250 时，y =−2×2502+1400×250−200000=2500．故最高利润为 45000 元，最低利润为 25000 元．17. 【答案】(1) 将 (3,25) 和 (4,24) 分别代入 y 2=18x 2+bx +c ，得 {98+3b +c =25,2+4b +c =24,解得 {b =−158,c =592.(2) 由题意得y=y1−y2，∴y=(−38x+36)−(18x2−158x+592)=−18x2+32x+132．(3) 将y=−18x2+32x+132化为顶点式，得y=−18(x−6)2+11，∵a=−18<0，∴抛物线开口向下，∴当x=6时，二次函数取得最大值，此时y=11，∴6月份出售这种水产品可使每千克利润最大，每千克的最大利润是11元．18. 【答案】(1) 48000；37(2) 设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，则y甲=[(50−x)×50+3000]x−200x，y乙=3500x−1850，当甲公司的利润大于乙公司时，0<x<37，y=y甲−y乙=[(50−x)×50+3000]x−200x−(3500x−1850)=−50x2+1800x−1850，当x=−1800−50×2=18时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，37<x≤50，y=y乙−y甲=3500x−1850−[(50−x)×50+3000]x+200x=50x2−1800x−1850，∵对称轴为直线x=−−180050×2=18，当x=50时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元．(3) ∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为y=−50x2+1800x+1850−ax=−50x2+(1800−a)x+1850，对称轴为直线x=1800−a100，∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，所以16.5≤1800−a100≤17.5，解得：50≤a≤150．。

上册二次函数与商品利润问题人教版九年级数学全一册作业课件

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(1)求销售量 n 与第 x 天之间的函数关系式；解：当 1≤x≤10 时，设 n＝kx＋b，由题意得 3102＝＝1k0＋k＋b，b，解得kb＝＝21， 0，∴n＝2x＋10.同理得，当 10＜x≤30 时， n＝－1.4x＋44.∴销售量 n 与第 x 天之间的函数关系式：
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当 10＜x＜15 时，∵y＝－4.2x2＋111x＋580 的对称轴是 x＝－2ba＝ 4.121×1 2＝811.14≈13.2＜13.5，∴当 x＝13 时，y 取得最大值，此时 y＝1 313.2.
当 15≤x≤30 时，∵y＝1.4x2－149x＋3 220 的对称轴为 x＝－2ba＝21.489＞ 30，
2x＋10(1≤x≤10)， n＝－1.4x＋44(10<x≤30).
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(2)求在草莓上市销售的 30 天中，每天的销售利润 y 与第 x 天之间的函数关系式；(日销售利润＝日销售额－日维护费)
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解：设每天的定价增加了 a 个 20 元，则有 2a 个房间空闲． m＝(20－2a)(200＋20a－80)＝－40a2＋160a＋2 400 ＝－40(a－2)2＋2 560. ∵－40＜0，∴当 a＝2 时，m 取得最大值，最大值为 2 560，此时房间的定价为 200＋2×20＝240(元)．答：当每间房间定价为 240 元时，乙种风格客房每天的利润 m 最大，最大利润是 2 560 元．

数学人教版九年级上册二次函数与商品利润问题

2.（云南中考）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40 元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．
例1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
解：设每件定价x元，每星期总利润为y元 2 则y=(x-40)[300-l0（x-60）]= -l0x +1300x-36 000 2 = - 10（x-65） +6250 ∵900-l0x≥0且x≥0 ∴60≤x≤90． ∴当x=65时，y最大是6250．答：商品定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．
1、选择恰当的自变量，根据题意列出函数解析式； 2、由实际情况的条件，求出自变量的取值范围；
3、根据自变量的取值范围和二次函数性质，求出函数的最大最小值。
：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件。设该商品每件降价x元,商场销售该商品每周总利润为y元，则： 20-x 该商品每件利润为_____________ 元； 300+20x 该商品的销量为_______________ 件；商场销售该商品每周总利润 2 y=___________________________________ (20-x)(300+20x)=-20x +100x+6000 0≤x≤20 ；自变量的取值范围是_______________.