第5章 刚体的定轴转动
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大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
5-刚体的定轴转动
L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体 定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因，可能
1）F＝0（不受外力） 2）外力作用于转轴上 3）外力作用线通过转轴
4）外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置，求它由此下摆角时的角速度。
解：如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为：
O
M ＝ gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d＝ m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有 一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直 与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方 向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,（已知杆绕点 o 的转动惯 量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例：已知圆盘
第5章 刚体的定轴转动
（1） 式中n表示转动方向，ω表示角速度的大小。 2、角加速度矢量
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
第五章刚体定轴转动典型题型
• 例3一质量为ｍ，半径为Ｒ的均匀圆盘，求 通过中心ｏ并与盘面垂直的轴的转动惯量
• 例4一半径为Ｒ的光滑置于竖直平面内，一 质量为ｍ的小球穿在圆环上，并可在圆环 上滑动，小球开始 时静止于圆环上的电 Ａ（该点在通过环心ｏ的水平面上），然 后从Ａ点开始下滑，设小球与圆环间的摩 擦略去不计。求小球滑到点Ｂ时对环心ｏ 的角动量和角速度。
Ｏ
Ａ
质点运动与钢体定轴转动对照表
质点运动
速度
v dr / dt
加速度 a dv / dt
力
Ｆ
钢体定轴转动
角速度 d / dt
角加速度 d / dt
力矩
Ｍ
质量 ｍ
转动惯量 Ｊ
动量 p mv
角动量 L J
牛二律 F m a
F dp / dt
转动定律 M J
M dL / dt
第五章 刚体定轴转动
• 例1一飞轮半径为0.2m，转速为150r/min， 因受到制动二均匀减速，经30s停止转动， 试求：
1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数
2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度
3） t=6s时飞轮边缘上一点的线速度，切线 加速度和法线加速度。
• 例2一质量为ｍ，长为的均匀细长棒，求 1）通过其中心并于棒垂直的转动惯量 2）通过棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量
角加速度（ ）
• 例8 质量为Ｍ，半径为Ｒ的转台，可绕过 中心的竖直轴无摩擦的转动。质量为ｍ的 一个人，站在距离中心ｒ处（ｒ<R），开 始时，人和台处于静止状态。如果这个人 沿着半径为ｒ的圆周匀速走一圈，设它相 对于转台的运动速度为ｕ，求转台的旋转 角速度和相对地面的转过的角度。
ｒ
Ｒ
• 5）角动量守恒定律和机械能守恒定律的综 合应用
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
05刚体的定轴转动习题解答.
第五章刚体的定轴转动一选择题1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（）A. α > 0B. ω > 0，α > 0C. ω < 0，α > 0D. ω > 0，α < 0解：答案是B。
2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。
（）A. 相等；B. 铅盘的大；C. 铁盘的大；D. 无法确定谁大谁小解：答案是C。
简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。
3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω 按图示方向转动。
若将两个大小相等、方向相反但不在同一条直线的力F 1和F 2沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω的大小在刚作用后不久 （ ）A. 必然增大B. 必然减少C. 不会改变D. 如何变化，不能确定解：答案是B 。
简要提示：力F 1和F 2的对转轴力矩之和垂直于纸面向里，根据刚体定轴转动定律，角加速度的方向也是垂直于纸面向里，与角速度的方向（垂直于纸面向外）相反，故开始时一选择题3图定减速。
4. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ）A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解：答案是B 。
简要提示：(1) 由刚体定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21= (2) 受力分析得：⎪⎩⎪⎨⎧===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。
得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。
5. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为： （ ）A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m解：答案是A 。
第5章 刚体定轴转动.
J过一端垂直于杆 13m L2
圆环： J对称轴mR2
圆盘：
J对称轴
1 2
mR2
薄球壳：
J直径
2 3
mR2
球体：
J 直径
2 5
mR2
例: 如图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动
mL
惯量如何计算？(棒长为L ,
球半径为R）
mO
刚体的转动定律
力矩质点系的角动量改变 任意质点系的角动量定理：
M
轴向总力矩： M z M iz riF isin i
i
i
§5-4 转动定Biblioteka 的应用规范的解题思路：认物体
分析题意，确定哪些物体是刚体， 哪些是质点，及其与问题关系。
看运动
分析刚体的转动和质点运动情况，
找出相关的线量( v,a ) 和角量(,)，
确定它们之间的关系。
查受力
画隔离体受力分析图，确定对刚体 有力矩贡献的力和质点的受力及其关系。
列方程
选择坐标系和角量的参考方向，对 刚体列出转动定律方程，对质点列出牛 顿定律方程，并列出角量与线量的关系， 再求解。
[例]一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O以
角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样， F
将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿
F
O
盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度 [
时刻=0 ，代入方程= 0+at 得
0
O
an r
v
a
at
a0 50rad/2s
t
50
3.14rad/2s
从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为
00t1 2a2t505 01 2520 125ra0d
[理学]第5章-刚体的定轴转动
![[理学]第5章-刚体的定轴转动](https://img.taocdn.com/s3/m/9cd5eb80c0c708a1284ac850ad02de80d5d8065b.png)
(2)刚体可以看作是由许多质点组成,每一个 质点叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系 的特点是,在外力作用下各质元之间的相对 位置保持不变。
质元
Δmi
Δmｊ ｒiｊ
2. 刚体的运动形式:
⑴平动： 在描述刚体的平动时,可以用一点的运动
来代表，通常就用刚体的质心的运动来代 表整个刚体的平动。
转轴
⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。 刚体转动时各质元均做圆周运动,而且各
列方程
mg－T2 = ma2 T1－mg = ma1
T2 (2r)－T1r = 9mr2 / 2 2r = a2 r = a1
2r T2 T2 a2 m mg
r m 2m T1
T1 m a1
mg
解联立方程，得： 2g
19r
练习1：如图所示,有两个质量分别为 M1 、M2 ，对转轴的转动惯
量分别为
Z’ Z
C d
J = Jc+ m d 2
例: 如图一质量为M 长为l的匀质细杆，中间和右端各有一 质量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直 的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放， 求:杆转到与水平方向成θ角时,杆的角加速度是多少?
解:设转轴垂直向里为正,系统对该转轴的转动惯量为
J
第五章 刚体的定轴转动
转轴
复习
一、力矩
M rF
1. 大小：M = rFsinθ
Z F// F
O r F⊥ p
2.方向：由右手螺旋定则确定。
注意：上式中F指的是与转轴垂直平面(转动平面)上的力，
若F不再该平面上，可将F分解为垂直于转轴和平行于转
轴的两个分力，力矩是指的是在转动平面内力F⊥（平行
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C C 解 以飞轮A、B和啮合器C作为 一系统来考虑，在啮合过程中， 系统受到轴向的正压力和啮合器 A 间的切向摩擦力，前者对转轴的 力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受 到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得
J A A J B B＝ J A J B
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。 力F 是使物体平动状态发生改变而产生加速度的原因。
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学 的联系---- ，从而求出 M或 F。 例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水 平桌面上转动，求摩擦力的力矩 解：杆上各质元均受摩擦力作用， 但各质元受的摩擦阻力矩不同。 l dm m o x 细杆的质量密度 m dx x l 质元质量 dm dx 质元受阻力矩 细杆受的阻力矩
t
6s
0
5 87圈 则 t =6 · s 时电动机转过的圈数 N 0 2
0 [t e ]6 s 9[(6 2 0 05) (0 2)] 36 9rad 0
5.2
刚体的转动定律
(2) 力在转动平面外 Z f f1 f2 O r P
转轴
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4
刚体的运动及描述 刚体定轴转动 转动惯量的计算 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动及描述
•刚体（rigid body） 任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位臵保持不变。 （或任意两点之间的距离始终保持不变） •自由度 ——完全描述运动所需的独立坐标数 （确定物体的空间位置）
F3 r F1 d r1 F2
M M1 M 2 M n
是各分力产生的力矩的代数和. （4） 一对内力对转轴的力矩 由于成对内力大小相等,方向相反 则其力臂必相同.故力矩大小相等.
M1 F1 r1 sin 1 F1d M 2 F2 r2 sin 2 F2 d
r2
F1 F2
一对内力对转轴的合力矩为零. 由于刚体中的内力都是成对出现的.故整个刚体的合 内力矩为零.
M M1 M 2 0
刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出
设刚体中质元mi受外力Fi ,内力fi 作用
Fi 由牛顿定律 • mi 在自然坐标中,切向分量为: dvi Fit fit Δ mi ait 其中 ait ri dt 即 Fit fit Δ mi ri 则刚体转动定律为 2 变形有 Fit ri fit ri Δ mi ri M J 对所有质元求和: Fit ri fit ri ( mi ri2 ) 上式表明: 刚体绕定轴转动时,刚 这里 Fit ri M i M 外 体的角加速度与它所 fit ri 0 受的合外力矩成正比. 2 定义 J Δ mi ri 叫转动惯量
因
f ' f ， 由两式得
f 'ldt l f ' dt J
3mv0l 9mv0 1 2 这里J Ml 4J 4Ml 3
v0
m
v
请问:子弹和棒的总动量守恒吗? 不守恒—上端有水平阻力 总角动量守恒吗?
v0 mv0l m l J 4
例2 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转 动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动 惯量为JA，B的转动惯量为JB 。开始时A轮的转速为nA，B轮静止 。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮 A A B B 的机械能有何变化？
Fi fi Δ mi ai
fi
ri
2、刚体定轴转动的转动定律
d ( J ) dL M J dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
地位相当 M＝ J 与 F m a m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
当M z 0时， Lz J11 J 2 2 恒量
例如：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运 动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢； 收臂时转动惯量减小，转速加快。 再如：跳水 c.角动量守恒定律，不仅适用于宏观、低速 领域，而且通过相应的扩展和修正后也适用 于微观、高速（接近光速）的领域，是比牛 顿力学理论更为普适的物理定律
对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守 恒。
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止， 原来转动的将永远转动下去。
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。J 大→ 小,J 小→ 大。
5.2.1力对转轴的力矩 (1) 力在转动平面内 Z Mz O r f d P
转动平面 力矩 M z r f
M z rf sin
M z rf
方向：右手螺旋法则
转动平面
任意方向的力对转轴 的力矩
取其在转动平面内的分力 f 2 产生力矩。
（3） 几个外力产生的合力矩 M M1 M 2 M n 如果是定轴转动:
5.1.3 刚体的运动及描述
（只讨论定轴转动） 定轴转动：刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动。
o
转轴
各质元均作圆周运动，其圆心 都在一条固定不动的直线（转 轴）上。各质元的线量一般不 同（因为半径不同）但角量 （角位移、角速度、角加速度） 都相同。
∴描述刚体整体的运动用角量最方便。
角位移:描写刚体位臵变化的物理量。 刚体初始角坐标 末态角坐标
t
t0
L Mdt dL L L0
L0
Mdt dL
冲量矩（角冲量） 单位： 牛顿· 秒 米· 表示合外力矩在t0t 时间内的累积作用。
角动量定理
J不变时， Mdt L J J 0
t t0
作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。
J 改变时
例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一
静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子 弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l ,质量为M. 解: 以 f 代表棒对子弹的阻力,对子弹有: 3 fdt m(v v0 ) 4 mv0 子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为： M
L J J 0 0
5.2.5、刚体定轴转动的角动量守恒定律 dL 在M 中，若M 0 dt 则L 常矢量，即L （J C） 0
当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量 保持不变。——角动量守恒定律 角动量守恒的条件
M = 0的原因，可能 F＝0；r = 0; F∥r ； 在定轴转动中还有M ≠0，但力与轴平行，即Mz=0 ,
0 (1 e ) 0 95 0 8 6(rad s )
d 0 t t e 4 5e (rad s 2 ) ⑵角加速度随时间变化的规律为： dt
⑶ t =6 · s 时转过的角度为 0
t
6s
0
dt 0 (1 e )dt
L r p r mv
2
刚体上的一个质元△mi ,绕固 定轴做圆周运动角动量为：
Li ri mi vi ri mi
2 i
所以整个刚体绕此轴的角动量为：
i
L Li ( mi ri ) J
5.2.4、刚体定轴转动的角动量定理 d dL d ( J ) 转动定律 M J J M dt dt dt
1 2 0 0 t t 2
但是 非匀变速转动时：
2
积分
求导
积分
求导
三、角量与线量的关系
线量 速度、加速度
v r at r v a n r r
2 2
角量
角速度、角加速度
一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都相同； 各点的线速度 v 与各点到转轴的距离 r 成正比， 距离越远，线速度越大；同样，距离越远处，其切 向加速度和法向加速度也越大。
例：某种电动机启动后转速随时间变化的关系为： t 0 9 0rad s 1 0 (1 e ), 式中 2 0s
求： ⑴t =6 · s时的转速 ； 0 ⑵角加速随时间变化的规律； ⑶启动后6 · s 内转过的圈数。 0 解：⑴根据题意转速随时间的变化关系， 将t =6 · s 代入，即 0 t 得： 1
如果略去滑轮的运动 ，即T1=T2=T 、J=0 ，有：
m1 m2 a g m1 m2
2m1m2 T T1 T2 g m1 m2
上题中的装臵叫阿特伍德机，是一种可用来测量 重力加速度g的简单装臵。
5.2.2、刚体定轴转动的角
dM 阻 dmgx
1 M 阻 mgl 2
1 2
l M 阻 dM 阻 0 gxdx gl2
由细杆质量
m l 有
第二类问题：已知J 和力矩M ：求出运动情况a和 及F。 N 如图，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳 M R 的两端分别悬有质量为m1 和m2的物体， T2 且m1 ＞m2 。设定滑轮是一质量为M ，半 T1 P a a 径为R的圆盘 。绳的质量略去不计 ，且绳 T1 与滑轮无相对滑动 。试求物体的加速度和 m1 T2 绳的张力 。如果略去滑轮的运动，将会得 m2 到什么结果？ 解：分别作出滑轮M、物体m1和m2的受 m2g 力图。 由于绳索质量不计，且长度不变， m1 g 故m1和m2两物体运动的加速度大小相等，但方向相反。 ⑴ 对m1 ： m1g –T1=m1a 应用牛顿第二定律 对m2 ： T2–m2g = m2a ⑵ 对M ：（T1–T2）R=J ⑶ 应用转动定律
J A A J B B＝ J A J B
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。 力F 是使物体平动状态发生改变而产生加速度的原因。
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学 的联系---- ，从而求出 M或 F。 例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水 平桌面上转动，求摩擦力的力矩 解：杆上各质元均受摩擦力作用， 但各质元受的摩擦阻力矩不同。 l dm m o x 细杆的质量密度 m dx x l 质元质量 dm dx 质元受阻力矩 细杆受的阻力矩
t
6s
0
5 87圈 则 t =6 · s 时电动机转过的圈数 N 0 2
0 [t e ]6 s 9[(6 2 0 05) (0 2)] 36 9rad 0
5.2
刚体的转动定律
(2) 力在转动平面外 Z f f1 f2 O r P
转轴
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4
刚体的运动及描述 刚体定轴转动 转动惯量的计算 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动及描述
•刚体（rigid body） 任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位臵保持不变。 （或任意两点之间的距离始终保持不变） •自由度 ——完全描述运动所需的独立坐标数 （确定物体的空间位置）
F3 r F1 d r1 F2
M M1 M 2 M n
是各分力产生的力矩的代数和. （4） 一对内力对转轴的力矩 由于成对内力大小相等,方向相反 则其力臂必相同.故力矩大小相等.
M1 F1 r1 sin 1 F1d M 2 F2 r2 sin 2 F2 d
r2
F1 F2
一对内力对转轴的合力矩为零. 由于刚体中的内力都是成对出现的.故整个刚体的合 内力矩为零.
M M1 M 2 0
刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出
设刚体中质元mi受外力Fi ,内力fi 作用
Fi 由牛顿定律 • mi 在自然坐标中,切向分量为: dvi Fit fit Δ mi ait 其中 ait ri dt 即 Fit fit Δ mi ri 则刚体转动定律为 2 变形有 Fit ri fit ri Δ mi ri M J 对所有质元求和: Fit ri fit ri ( mi ri2 ) 上式表明: 刚体绕定轴转动时,刚 这里 Fit ri M i M 外 体的角加速度与它所 fit ri 0 受的合外力矩成正比. 2 定义 J Δ mi ri 叫转动惯量
因
f ' f ， 由两式得
f 'ldt l f ' dt J
3mv0l 9mv0 1 2 这里J Ml 4J 4Ml 3
v0
m
v
请问:子弹和棒的总动量守恒吗? 不守恒—上端有水平阻力 总角动量守恒吗?
v0 mv0l m l J 4
例2 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转 动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动 惯量为JA，B的转动惯量为JB 。开始时A轮的转速为nA，B轮静止 。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮 A A B B 的机械能有何变化？
Fi fi Δ mi ai
fi
ri
2、刚体定轴转动的转动定律
d ( J ) dL M J dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
地位相当 M＝ J 与 F m a m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
当M z 0时， Lz J11 J 2 2 恒量
例如：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运 动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢； 收臂时转动惯量减小，转速加快。 再如：跳水 c.角动量守恒定律，不仅适用于宏观、低速 领域，而且通过相应的扩展和修正后也适用 于微观、高速（接近光速）的领域，是比牛 顿力学理论更为普适的物理定律
对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守 恒。
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止， 原来转动的将永远转动下去。
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。J 大→ 小,J 小→ 大。
5.2.1力对转轴的力矩 (1) 力在转动平面内 Z Mz O r f d P
转动平面 力矩 M z r f
M z rf sin
M z rf
方向：右手螺旋法则
转动平面
任意方向的力对转轴 的力矩
取其在转动平面内的分力 f 2 产生力矩。
（3） 几个外力产生的合力矩 M M1 M 2 M n 如果是定轴转动:
5.1.3 刚体的运动及描述
（只讨论定轴转动） 定轴转动：刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动。
o
转轴
各质元均作圆周运动，其圆心 都在一条固定不动的直线（转 轴）上。各质元的线量一般不 同（因为半径不同）但角量 （角位移、角速度、角加速度） 都相同。
∴描述刚体整体的运动用角量最方便。
角位移:描写刚体位臵变化的物理量。 刚体初始角坐标 末态角坐标
t
t0
L Mdt dL L L0
L0
Mdt dL
冲量矩（角冲量） 单位： 牛顿· 秒 米· 表示合外力矩在t0t 时间内的累积作用。
角动量定理
J不变时， Mdt L J J 0
t t0
作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。
J 改变时
例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一
静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子 弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l ,质量为M. 解: 以 f 代表棒对子弹的阻力,对子弹有: 3 fdt m(v v0 ) 4 mv0 子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为： M
L J J 0 0
5.2.5、刚体定轴转动的角动量守恒定律 dL 在M 中，若M 0 dt 则L 常矢量，即L （J C） 0
当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量 保持不变。——角动量守恒定律 角动量守恒的条件
M = 0的原因，可能 F＝0；r = 0; F∥r ； 在定轴转动中还有M ≠0，但力与轴平行，即Mz=0 ,
0 (1 e ) 0 95 0 8 6(rad s )
d 0 t t e 4 5e (rad s 2 ) ⑵角加速度随时间变化的规律为： dt
⑶ t =6 · s 时转过的角度为 0
t
6s
0
dt 0 (1 e )dt
L r p r mv
2
刚体上的一个质元△mi ,绕固 定轴做圆周运动角动量为：
Li ri mi vi ri mi
2 i
所以整个刚体绕此轴的角动量为：
i
L Li ( mi ri ) J
5.2.4、刚体定轴转动的角动量定理 d dL d ( J ) 转动定律 M J J M dt dt dt
1 2 0 0 t t 2
但是 非匀变速转动时：
2
积分
求导
积分
求导
三、角量与线量的关系
线量 速度、加速度
v r at r v a n r r
2 2
角量
角速度、角加速度
一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都相同； 各点的线速度 v 与各点到转轴的距离 r 成正比， 距离越远，线速度越大；同样，距离越远处，其切 向加速度和法向加速度也越大。
例：某种电动机启动后转速随时间变化的关系为： t 0 9 0rad s 1 0 (1 e ), 式中 2 0s
求： ⑴t =6 · s时的转速 ； 0 ⑵角加速随时间变化的规律； ⑶启动后6 · s 内转过的圈数。 0 解：⑴根据题意转速随时间的变化关系， 将t =6 · s 代入，即 0 t 得： 1
如果略去滑轮的运动 ，即T1=T2=T 、J=0 ，有：
m1 m2 a g m1 m2
2m1m2 T T1 T2 g m1 m2
上题中的装臵叫阿特伍德机，是一种可用来测量 重力加速度g的简单装臵。
5.2.2、刚体定轴转动的角
dM 阻 dmgx
1 M 阻 mgl 2
1 2
l M 阻 dM 阻 0 gxdx gl2
由细杆质量
m l 有
第二类问题：已知J 和力矩M ：求出运动情况a和 及F。 N 如图，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳 M R 的两端分别悬有质量为m1 和m2的物体， T2 且m1 ＞m2 。设定滑轮是一质量为M ，半 T1 P a a 径为R的圆盘 。绳的质量略去不计 ，且绳 T1 与滑轮无相对滑动 。试求物体的加速度和 m1 T2 绳的张力 。如果略去滑轮的运动，将会得 m2 到什么结果？ 解：分别作出滑轮M、物体m1和m2的受 m2g 力图。 由于绳索质量不计，且长度不变， m1 g 故m1和m2两物体运动的加速度大小相等，但方向相反。 ⑴ 对m1 ： m1g –T1=m1a 应用牛顿第二定律 对m2 ： T2–m2g = m2a ⑵ 对M ：（T1–T2）R=J ⑶ 应用转动定律