力学近似分析方法之势能原理
弹性势能原理
弹性势能原理弹性力学是物质在外力作用下形变和变形后能够恢复原状的力学分支。
而弹性势能原理则是弹性力学中的基本原理之一，它描述了弹性体在外力作用下蓄积的弹性势能以及弹性体恢复原状的能力。
1. 弹性势能的概念弹性势能是指在外力作用下，弹性体发生形变时储存的能量。
弹性体在形变时，其分子会发生位移，形成相应的势能。
弹性势能的大小与外力作用的程度、物体的形状以及物体的弹性特性有关。
2. 弹性势能的计算弹性势能通常可以通过材料的应力-应变关系来计算。
对于简单的弹性体，可以使用胡克定律来计算弹性势能。
胡克定律表明，弹性体的形变与外力成正比，即应变与应力成正比。
根据胡克定律，可以得到弹性体弹性势能的计算公式为：弹性势能 = 1/2 ×应力 ×应变 ×体积其中应力是外力作用下物体产生的应力，应变是物体在外力作用下发生的形变，体积则是物体的体积。
3. 弹性势能的应用弹性势能在物理学和工程学中有着广泛的应用。
以下是一些例子：3.1 弹簧势能弹簧是一种常见的弹性体，其弹性势能可以用于各种机械装置中，例如悬挂系统、减震器等。
当外力作用于弹簧时，弹簧会发生形变，并将外力转化为弹性势能。
在外力消失或减小时，弹簧会通过释放存储的弹性势能，恢复到原来的形状。
3.2 弹性体的应变能当外力作用在变形体上时，物体会发生形变。
通过计算物体在形变过程中蓄积的弹性势能，可以了解变形体的弹性特性和材料性质。
这对于材料工程、结构设计等领域具有重要意义。
3.3 弹性势能在物体运动中的应用弹性势能也在运动学中有重要的应用。
例如，当一个物体被拉伸或压缩时，它的弹性势能将随之发生变化。
根据该弹性势能的变化，可以计算物体的速度、加速度和路径等信息。
4. 弹性势能原理的重要性弹性势能原理是弹性力学研究中的基本原理之一，它为解决弹性体变形问题提供了重要的思路和方法。
通过理解和运用弹性势能原理，可以更好地研究材料的弹性特性、结构的稳定性以及设计中的优化问题。
力学近似分析方法之Rayleigh
Rayleigh-Ritz 法势能驻值原理可以计算结构的稳定问题，但需用变分法，得到的结果是微分方程，还需求解微分方程才能得到临界荷载。
Rayleigh-Ritz 法是建立在势能驻值原理基础上的一个近似方法，用求解代数方程式代替求解微分方程式。
为避免求解微分方程，可以先假定体系在中性平衡时变形图形：∑==n i i i z y x a u 1),,(φ,∑==n i i i z y x b v 1),,(ψ,∑==ni i i z y x c w 1),,(η （1）式中, i i i c b a ,,是n 3个独立参数，叫做广义坐标；i i i ηψφ,,是n 3个连续函数，叫做坐标函数。
坐标函数可以任意假定（试解函数），但须满足几何边界条件而不一定满足力学边界条件。
这样体系在中性平衡时的位形取决于n 3个独立参数，一旦这n 3个独立参数确定了，位移也就确定。
无限自由度的连续体系便用n 3个有限自由度替代，n 越大，两者越接近。
将式（1）代入W U -=∏中，则∏是n 3个广义坐标或独立参数的函数，根据势能驻值原理，可得∑=∂∏∂+∂∏∂+∂∏∂=∏=n i i ii i i i c c b b a a 10)(δδδδ由于i i i c b a δδδ,,是微小的任意值，则 0=∂∏∂i a ，0,0=∂∏∂=∂∏∂i i c b （n i ,,2,1 =） （2）求解这n 3个代数方程，即得位移解y 。
当为线性屈曲问题时，令0=∆，即得cr P 。
例：求两端铰支轴心压杆的临界荷载设∑=+++==n i i i n n x f a x f a x f a x f a y 12211)()()()(122002121222)(2)(2F P F EI P dx f a P dx f a EI P W U l l n i i i n i i i -=⎰⎰∑'-∑=-=∏==由0=∂∏∂ka （n k ,2,1=），得 ⎰∑⎰='∑'-==l n i l k n i i i k i i dx f f a P dx f f a EI P 010120)()( （n k 2,1=） 或0])([10=∑''-⎰=n i k i l k i i dx f f EI f Pf a （n k 2,1=）（3）),2,1(n i a i =有非零解的条件是0212222111211==∆nn n n n n b b b b b b b b b（4） 式中，⎰''-=l iki k i ik dx f f EI f Pf b 0)( 上式关于P 的最小根就是临界荷载cr P .Reyleigh-Ritz 法与Timoshenko 能量法的异同由式（3）令0=∂∏∂i a 得021=∂∂-∂∂ii a F EI P a F 可见所得结果完全相同，但概念上不同。
势能最小原理
势能最小原理势能最小原理也称为哈密顿原理，它是应用于描述力学系统中的运动方程的若干基本原理之一。
它是在保持氢原子不变时，物理学家哈密顿提出的。
这个原理可以被看作是一个变分原理，用于从势能方程出发推出理论中的运动方程。
1. 势能最小原理的定义势能最小原理可以被定义为系统沿着能量最小的路径运动的趋势。
它可以被理解为一种变分原理的应用，即给定一些规则，并在其中选择一个路径或方案，从而获得某种期望的结果。
在此原理中，沿着路径运动的物体的势能始终保持最小。
势能最小原理可用于描述力学系统中的导致运动的力或势能，其中物体的位置会发生某种改变。
2. 能量守恒原理势能最小原理是基于能量守恒原理的基础上提出的。
能量守恒原理是指，在一个封闭系统中，能量的总量是恒定不变的。
在这个原理中，能量可以转换为一个系统的诸如动能、势能等的不同形式。
3. 势能曲线势能曲线是被势能最小原理所描述的一种形式，它代表了系统中势能与任意位置的关系。
当物体沿着作用力的方向运动时，势能曲线趋近于0，代表了运动路径的最小势能。
4. 势能最小原理的应用势能最小原理可以被应用于描述力学系统中的运动。
例如，在牛顿力学的基础上，势能最小原理可以推导出哈密顿动力学。
它可以被应用于描述电动力学中的电磁波的传播和弦振动的模型等各种领域。
此外，势能最小原理还可以被应用于量子力学中，描述电子的运动以及分子之间的相互作用等问题。
正是因为势能最小原理具有广泛的应用性，使得它成为了力学学科中至关重要的一个原理。
5. 势能最小原理与量子力学在量子力学中，势能最小原理是对物理学家波尔的原子结构理论的支撑。
在其理论中，原子中的电子以一种特定的路径绕着原子核运动。
势能最小原理可用于描述电子的运动，并推断出原子的基态。
此外，势能最小原理还可以被用于解释原子和分子的电荷分布等问题。
6. 势能最小原理的优点势能最小原理是一种非常简单而且有效的原理。
它可以被应用于多种领域中，包括力学、电动力学、量子力学以及其他几乎所有的自然科学学科。
最小势能原理
最小势能原理
最小势能原理是固体力学中的一个重要原理，它描述了物体在受力作用下的平
衡状态。
最小势能原理在工程学、物理学和数学中都有着广泛的应用，对于研究物体的力学性质具有重要意义。
最小势能原理的基本思想是，当物体处于平衡状态时，它的势能达到最小值。
在受力作用下，物体会沿着势能减小的方向移动，直到达到平衡位置。
这一原理可以通过能量最小化的观点来理解，即物体在受力作用下会沿着能量减小的方向运动，直到达到能量最小的状态。
最小势能原理可以用数学语言来描述。
对于一个受力作用下的物体，可以通过
最小化势能函数来求解物体的平衡位置。
在弹性力学中，最小势能原理可以用来推导出弹性体的位移场方程，从而得到物体的形变和应力分布。
在结构力学中，最小势能原理可以用来计算结构的变形和应力状态，为工程设计提供重要参考。
最小势能原理在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在建筑结构设计中，可以
通过最小势能原理来分析结构的受力性能，优化结构设计方案。
在材料科学中，最小势能原理可以用来研究材料的变形和断裂行为，为材料选择和设计提供依据。
在地质力学中，最小势能原理可以用来分析地层的应力和位移分布，预测地震和地质灾害。
总之，最小势能原理是固体力学中的重要原理，它描述了物体在受力作用下的
平衡状态，并在工程学、物理学和数学中有着广泛的应用。
通过最小化势能函数，可以求解物体的平衡位置，分析结构的受力性能，研究材料的变形和断裂行为，预测地震和地质灾害，为工程设计和科学研究提供重要参考。
最小势能原理的深入理解和应用，将有助于推动固体力学领域的发展，促进工程技术的进步。
结构力学：势能原理
2EA
P12l EA
P12l 2EA
杆件轴力
45
45
45
杆件伸长量
N1l 2 P1l
EA 2 EA
l Al
l
A点竖向位移 1
外力势能 Ve*
2 P1l
EA Pi i P11
P1
P12l EA
应变能
Ve
1 2
N1
2
P12l 2 EA
1
EP
P12l
结构势能
势能驻值原理
EP
Ve
VP*
例:求图示桁架在平衡状态下的结构势能.EA=常数.
解: 杆件轴力
杆件伸长量 N1l 2 P1l
EA 2 EA
45
45
l Al
A点竖向位移
1
2 P1l
EA
外力势能 Ve*
Pi i
P11Leabharlann P12l EAP1 1
应变能 结构势能
Ve
1 2
EP Ve
N1
VP*
2
P12l
P122l
EA
dEP d
EA l
(
1
)
0
应变能 外力势能
Ve Ve*
1 N 2
2 P1
EA2
1
2l
EP (1)
EA21 2l
P11
P12l 2EA
结构势能
EP
EA2 2l
P1
EA[( 2l
1 ) 2
21 ]
P12l 2 EA
2EA
1
设A点发生任意竖向位移 , EP 是 的函数.
45
Al
P1
能量守恒原理和势能的计算
势能的定义
形式
重力势能 弹性势能
大小取决于
物体的位置 物体的状态
重力势能
与物体的高度有关
弹性势能
与物体的形变有关
势能的计算方法
重力势能公 式
PE mgh
重力势能计 算
使用物体的质量、 重力加速度和高
度
弹性势能计 算
使用弹簧的弹性 系数和形变量
弹性势能公 式
PE = 1/2kx^2
势能的转化与利用
能量守恒原理
不会消失
能量不会在系统 中消失
转换形式
只会在各种形式 之间转换
基本原理
在物理学中是基 本原理之一
不会产生
能量也不会凭空 产生
势能的定义
势能是指物体由于位 置或状态而具有的能 量，是能量的一种形 式。其大小取决于物 体的位置或状态，例 如重力势能与物体的 高度有关，弹性势能 与物体的形变有关。 势能是研究物体运动 和相互作用中重要的 概念。
能量守恒原理与生态平衡
01 生态系统能量转化
各种生物体之间和生物体与环境之间的能量 传递
02 重要作用
维持生态平衡、促进生物多样性和稳定
03 应用价值
保护生态环境，实现可持续发展
能量流动与食物链
食物链
生态系统中能量传递和转 化的重要途径
能量流动规律
了解不同生物体能量转化 过程
关系分析
各个层次生物体间的关系 和转化过程
● 06
第六章 总结
能量守恒原理的重要性
能量守恒原理是自然界中不可或缺的基本原则， 其贯穿于物理学、化学、生态学等多个领域。了 解和应用能量守恒原理可以帮助我们更好地理解 自然现象，推动科学研究和社会进步。
最小势能原理
λ λ K = K (i)
(i)T (i) (i)
T
T
轴力单元刚度矩阵
⎡ Cx Cy 0 0 ⎢⎢− Cy Cx 0 0
0 0⎤ 0 0⎥⎥
⎢
λ( i ) T
=
⎢
⎢
0 0
0 1 0 0 0⎥ 0 0 Cx Cy 0⎥⎥
⎢0 ⎢
0
0 −Cy
Cx
0⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 1⎥⎦
轴力单元刚度矩阵
⎢⎢u2
⎥ ⎥
⎡ S1 ⎤
⎢ ⎢
S2
⎥ ⎥
u(i)
=
⎢⎢⎢uu43
⎥ ⎥ ⎥
S (i)
=
⎢ ⎢ ⎢
S3 S4
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎢u5
⎥ ⎥
⎢ ⎢
S5
⎥ ⎥
⎢⎣u6 ⎥⎦
⎢⎣S6 ⎥⎦
⎡ 1 0 0 −1 0 0⎤
⎢ ⎢
0
00
0
0 0⎥⎥
K (i)
=
AE l
⎢0 ⎢⎢−1
0 0
0 0
0 1
0 0⎥ 0 0⎥⎥
−
6EI l2
⎥ ⎥
4EI ⎥
l ⎥⎦
局部坐标系中的单元刚度矩阵
单元刚度矩阵是对称矩阵； 单元刚度矩阵是奇异矩阵； 刚度元素Kij的物理意义是，当单元仅在 第j个方向上有一个单位位移时，在第i个方 向上产生的杆端力的大小。
斜杆单元刚度矩阵
整体坐标系中的单元刚度矩阵
在整体分析时，各单元需要统一的坐 标系——整体坐标系。
0⎤ 0⎥⎥
(i)
K
=
AE
⎢ ⎢
l⎢
0 − Cx2
由结构力学的平面问题例说最小势能原理
最小势能原理是指在平衡状态 下，一个结构的势能（即外力 势能和内部弹性势能之和）达
到最小值。
该原理是结构力学中的一个 基本原理，广泛应用于结构 的静力学和动力学分析。
通过最小势能原理，可以推导 出结构的平衡方程和本构关系 ，从而解决各种实际工程问题
。
03
最小势能原理详解
最小势能原理的数学表达
最小势能原理是指在平衡状态下，一个保守系统的总势能 达到最小。在数学表达上，它通常表示为系统势能的导数 等于零，即在平衡状态下，系统势能的一阶导数在给定约 束条件下达到最小值。
质。
这一原理在结构分析中具有极其 重要的地位，因为它为解决各种 复杂的结构问题提供了一个基本
的理论框架。
通过最小势能原理，我们可以推 导出许多重要的结构力学公式和 定理，如弹性力学的基本方程、
梁和板的弯曲公式等。
对实际工程的指导意义
最小势能原理对于实际工程具有重要的指导意 义，它可以帮助工程师们更好地理解和分析结 构的受力情况。
在设计过程中，工程师们可以根据最小势能原 理来优化设计方案，使结构的总势能达到最小 ，从而提高结构的稳定性和安全性。
在施工阶段，最小势能原理也可以帮助工程师 们预测结构的变形和应力分布，从而避免因受 力不均而导致的结构破坏。
未来研究的方向和展望
尽管最小势能原理在结构力学中已经得到了广泛的应 用，但仍然有许多问题需要进一步研究和探索。
目的和意义
通过研究最小势能原理在结构力学平面问题中的应用，可以深入理解结构的稳定 性和优化设计。
最小势能原理在工程实践中具有广泛的应用，如桥梁、建筑和机械等领域的设计 和优化。
02
结构力学基础
结构力学概述
01
结构力学是研究结构在各种力和力矩作用下的响应的学科，主 要关注结构的内力和位移。
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势能驻值原理和最小势能原理
势能驻值原理和最小势能原理是能量法中的一个重要原理，应用极广，它可导自虚位移原理。
虚位移原理：当弹性体（线性或非线性的）处于平衡状态时，对任意虚位移，外力虚功与内力虚功的总和应等于零，即
0=+内外W W δδ （1）
内W δ始终为负值，应等于负的应变能U δ-，即U W δδ-=内，则
0)(=-+U W δδ外 （2）
或0=-W U δδ （3）
式（2）与式（3）意义不同：式（2）表示内力虚功与外力虚功的和为零，是虚位移原理；式（3）表示虚应变能（虚内力势能）U δ与虚外力势能W δ-之和为零。
虚位移是位移的微小增量，实际是位移的一阶变分，W U δδ,也是一阶变分。
因此，式
（3）为 0)(=-=∏W U δδ （4）
式中，W U -=∏为总势能，它是应变能和外力势能之和；∏、U 、W 均可从某一参考状态算起。
例如杆的屈曲问题。
式（4）导自虚位移原理，适用于弹性体。
其意义是当弹性体系处于平衡状态时，总势能一阶变分为零，或体系总势能为一驻值，这就叫势能驻值原理。
0=∏δ是弹性体系处于平衡状态的充要条件。
但平衡是否稳定，还要进一步考察∏的高阶变分。
势能是以位移场为变量的函数，∏是一个泛函，由上节可知
+∏+∏+∏=∏∆32!
31!21δδδ 体系平衡时0=∏δ，则
+∏+∏=∏∆32!
31!21δδ （5） 对于稳定的平衡，给定任何虚位移，∏∆总为正。
因为只有干扰力作正功才可能偏离原来平衡位置。
因此，在稳定平衡状态，体系的总势能为最小，这就是最小势能原理。
因此，由式（5）可知
当02>∏δ时，0>∏∆，∏为极小，属稳定平衡；
当02=∏δ时， 0=∏∆，属中性平衡；
当02<∏δ时，0<∏∆，∏为极大，属不稳定平衡。
综上所述，可以概括求临界荷载的两种方法：
①中性平衡时的荷载即临界荷载，因此在中性平衡状态列出平衡条件0=∏δ（可不必求二阶变分），这是势能驻值原理；
②从稳定平衡过渡到不稳定平衡的荷载，即由02=∏δ（0=∏∆）求临界荷载，这是最小势能原理。
①、②概念上不同，①较简单常用，但从数学上讲0=∏δ只是平衡条件，它不表示从稳定平衡过渡到不稳定平衡的临界条件，因此，理论上方法②更严密。
例：两端简支的轴心压杆
以刚要屈曲的直杆为参考状态：
外力功 ⎰'=
l dx y P W 022
应变能 ⎰''=l dx y EI U 022
总势能dx y P y EI W U l ⎰'-''=-=∏022][2
1 由0=∏δ，得
⎰=''-''''=⎰⎰''+''''=⎰='-''=∏l l l l dx y y P y y EI dx y y F y y F Fdx dx y P y EI 0000220
][]2222[]2121[δδδδδδδ 利用分步积分和几何边界条件：00====l x x y y ，
因而00====l x x y y δδ
得到：0][][][0)4(0=⎰''++'''-'''=∏==ydx y P EIy
y y EI y y EI l x l x δδδδ 由此得
0)4(=''+y P EIy (平衡条件)
（6） 0)(=''=l x y EI 0)(0=''=x y EI
可见几何边界条件要预先给定，力学边界条件自然得出。
式（6）就是欧拉方程，可由0δ∏=从上节式（11）得到。
令222
121y P y EI F '-''=，则 0=∂∂y F ，y P y F '-='∂∂，y EI y F ''='
'∂∂ 代入0)()(22='
'∂∂+'∂∂-∂∂y F dx d y F dx d y F ，得 0)4(=''+y P EIy
利用势能驻值原理建立微分方程，有时比直接根据平衡条件建立简单。
该原理是适用于弹性（力学条件）
（7）
体系的普遍原理，并不是一个近似方法，但可在近似方法中应用它解决问题。