莫顿期权定价模型
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2、标准布朗运动为普通布朗运动的特例。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2019
8
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量
x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可
以得到
d xa (x,t)d tb (x,t)dz
x(t)x00 tad s0 tbdz
下过程：
dG (G aG 12G b2)d tG bdz
x t 2x2
x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2019
10
泰勒展开式
G
GxGt
x
t
½2xG2 x2
2G x
xt
t
½2tG2 t2
忽略比 t高阶的项
因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变 化规律。在 了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来 复制期权，并以此为依据给期权定价。
在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思 想。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2019
Biblioteka Baidu
2
布朗运动（Brownian Motion）起源于英国植物学家 布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。
– 均值等于 0 – 方差等于T
– 标准差等于 T
– 方差可加性
为何使用布朗运动？
• 正态分布的使用：经验事实证明，股票价格 的连续复利收益率近似地服从正态分布
• 数学上可以证明，具备特征1 和特征2的维 纳过程是一个马尔可夫随机过程
• 维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次 变分（Quadratic Variation）不为零的性质， 与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质 也是相符的
这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz是一个 标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率 为a，方差率为b2。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2019
9
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导
出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如
标准布朗运动两大特征： 特征1 z t (正态分布) 特征2：对于任何两个不同时间间隔 ，z的值 相互独立。(独立增量）
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2019
3
维纳过程的性质
z(T)z(0)i n1i t
• [z (T ) – z (0)]也是正态分布
We obtain
dGGxaGt ½2xG2 b2dt
Gbdz x
This is Ito's Lemma
伊藤引理的运用
• 如果我们知道x遵循的随机过程，通过 伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机 过程。
这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2019
7
普通布朗运动的离差形式为 xatb t ，显然，Δx也
具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b t ，方差为b2t
1、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值 为aT，标准差为b T ，方差为b2T。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2019
1
布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型基本思路
我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。 因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知 执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价 格是影响期权价格的最根本因素。
第十一章 布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确 定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反 响；同年，Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般 化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了2019年的诺贝尔经 济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地 介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-SM模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen
5
Rong, 2019
有效 市场 三个 层次
1965年，法玛（Fama）提出了 著名的效率市场假说。该假说认为， 证券价格对新的市场信息的反应是 迅速而准确的，证券价格能完全反 应全部信息。
1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说
E ( 2 ) [E ( )]2 1
E ( 2 ) 1
因 此 E ( 2t) t
而 t的 方 差 与 t 2同 阶 ， 可 以 忽 略 ， 因 此
G
G x
x
G t
t
1 2
2G x2
b2t
取极限
Taking limits
dGGdxGdt x t
½2xG2 b2dt
Substituting dxadtbdz
6
标准布朗运动的扩展：普通布郎运动，令漂移 率为a，方差率为b2，：
dxadb t dz
or: x(t)=x0+at+bz(t) 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动
态过程：
adt为确定项，意味着x的漂移率是每单位时间
为a；
bdz是随机项，代表着对x的时间趋势过程所添
加的噪音，使变量x围绕着确定趋势上下随机波动，且
• 在常微分中，我们得到
GGxGt x t
• 在随机微分中我们得到： GG xG t12G( x)2 x t 2x2
• 因为最后一项的阶数为t
将x代入
将x=a t+b t代入最后一项，
并忽略比t高阶的项,则
G
GxGt x t
１ ２2xG2 b22t
2t
由 于 ~ (0,1) E ( ) 0
根据众多学者的实证研
究，发达国家的证券市场 大体符合弱式效率市场假 说。一般认为，弱式效率 市场假说与马尔可夫随机 过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。 因此我们可以用数学来刻 画股票的这种特征。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2019
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普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量
x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可
以得到
d xa (x,t)d tb (x,t)dz
x(t)x00 tad s0 tbdz
下过程：
dG (G aG 12G b2)d tG bdz
x t 2x2
x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
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泰勒展开式
G
GxGt
x
t
½2xG2 x2
2G x
xt
t
½2tG2 t2
忽略比 t高阶的项
因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变 化规律。在 了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来 复制期权，并以此为依据给期权定价。
在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思 想。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2019
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布朗运动（Brownian Motion）起源于英国植物学家 布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。
– 均值等于 0 – 方差等于T
– 标准差等于 T
– 方差可加性
为何使用布朗运动？
• 正态分布的使用：经验事实证明，股票价格 的连续复利收益率近似地服从正态分布
• 数学上可以证明，具备特征1 和特征2的维 纳过程是一个马尔可夫随机过程
• 维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次 变分（Quadratic Variation）不为零的性质， 与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质 也是相符的
这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz是一个 标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率 为a，方差率为b2。
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在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导
出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如
标准布朗运动两大特征： 特征1 z t (正态分布) 特征2：对于任何两个不同时间间隔 ，z的值 相互独立。(独立增量）
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2019
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维纳过程的性质
z(T)z(0)i n1i t
• [z (T ) – z (0)]也是正态分布
We obtain
dGGxaGt ½2xG2 b2dt
Gbdz x
This is Ito's Lemma
伊藤引理的运用
• 如果我们知道x遵循的随机过程，通过 伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机 过程。
这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2019
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普通布朗运动的离差形式为 xatb t ，显然，Δx也
具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b t ，方差为b2t
1、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值 为aT，标准差为b T ，方差为b2T。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2019
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布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型基本思路
我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。 因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知 执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价 格是影响期权价格的最根本因素。
第十一章 布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确 定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反 响；同年，Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般 化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了2019年的诺贝尔经 济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地 介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-SM模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen
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Rong, 2019
有效 市场 三个 层次
1965年，法玛（Fama）提出了 著名的效率市场假说。该假说认为， 证券价格对新的市场信息的反应是 迅速而准确的，证券价格能完全反 应全部信息。
1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说
E ( 2 ) [E ( )]2 1
E ( 2 ) 1
因 此 E ( 2t) t
而 t的 方 差 与 t 2同 阶 ， 可 以 忽 略 ， 因 此
G
G x
x
G t
t
1 2
2G x2
b2t
取极限
Taking limits
dGGdxGdt x t
½2xG2 b2dt
Substituting dxadtbdz
6
标准布朗运动的扩展：普通布郎运动，令漂移 率为a，方差率为b2，：
dxadb t dz
or: x(t)=x0+at+bz(t) 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动
态过程：
adt为确定项，意味着x的漂移率是每单位时间
为a；
bdz是随机项，代表着对x的时间趋势过程所添
加的噪音，使变量x围绕着确定趋势上下随机波动，且
• 在常微分中，我们得到
GGxGt x t
• 在随机微分中我们得到： GG xG t12G( x)2 x t 2x2
• 因为最后一项的阶数为t
将x代入
将x=a t+b t代入最后一项，
并忽略比t高阶的项,则
G
GxGt x t
１ ２2xG2 b22t
2t
由 于 ~ (0,1) E ( ) 0
根据众多学者的实证研
究，发达国家的证券市场 大体符合弱式效率市场假 说。一般认为，弱式效率 市场假说与马尔可夫随机 过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。 因此我们可以用数学来刻 画股票的这种特征。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2019