动点产生的面积问题
例1.已知△ABC 中，AB =4，BC =6，AC ＞AB ，点D 为AC 边上一点，且DC =AB ，E 为BC 边的中点，联结DE ，设AD =x 。设ABED
CDE
S y S ?=四边形，求y 关于x 的函数关系式，并写出定
义域。
【解法点拨】：
一．寻找题目中的已经条件：
1.边：AB =4，BC =6，DC =AB ；
2.特殊点：E 为BC 边的中点；
3.动点：点D 为AC 边上一动点。
（2）求面积比ABED
CDE
S S ?四边形：
方法一：用含x 的代数式单独表示四边形ABED 和三角形CDE ?的面积； 方法二：用面积比求解，
ABED CDE S S ?四边形=
1ABD BDE ABD
CDE CDE
S S S S S ?????+=+； 又因为
ABD DBC S S ??=24ABD CDE S x S ??=即2
ABD CDE S x
S ??=，即可求得。 【满分解答】：连BD ，∵点E 为BC 中点，∴BDE CDE S S ??= ∴1ABD BDE ABD
CDE CDE
S S S y S S ?????+=
=+
∵
4ABD DBC S x S ??=，∴24ABD CDE S x S ??=，即2
ABD CDE S x S ??= ∴12
x
y =
+（0＜x ＜6） 例2.如图，已知在直角梯形ABCD 中，BD ∥BC ，AB BC ⊥，11AD =，13BC =，
12AB =．
动点P 、Q 分别在边AD 和BC 上，且2BQ DP =．线段PQ 与BD 相交于点E ，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于点F ，射线PF 交BC 的延长线于点G ，设DP x =． （1）求
CF
DF
的值。（★★★★）
（2）当点P 运动时，试探究四边形EFGQ 的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x 的代数式表示四边形EFGQ 的面积S ；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S 。
【参考教法】：可参考以下教法，以问题式引导学生分析题目、解决问题 一．寻找题目中的不变条件或特殊条件，让学生找找看。
1.让学生从角、边、相似基本图形方面寻找一下题目中的已知量。
提示：①角的关系：90A ABC ∠=∠=o
；
②边的关系：11AD =，13BC =，12AB =，2BQ DP =； ③相似基本图形：八字形+A 字型。PD ∥EF ∥BC 产生的； ④注意相等的边：2BQ CG x ==，13QG BC ==。 二．求解
CF DF 的值，由相似基本图形得：1
2
DF DE DP CF BE BQ ===。 三．求EFGQ 的面积：
1.该图形为什么图形？提示：为梯形。
2.怎么求解该图形的面积？
3.怎么计算？提示：求梯形的底边和高线。让学生计算。
【满分解答】：（1）在梯形ABCD 中，
∵AD ∥BC ，∴BQ
DP
BE DE =． ∵EF ∥BC ，∴
CF DF
BE DE =
． 又∵BQ =2DP ，∴2
1
=CF DF ．
（2）不发生变化． 在△BCD 中，
∵EF ∥BC ，∴3
1
==DB DE BC EF ．
而BC =13，∴3
13
=EF ．
（例2题图） A
B
Q C
G
F
E
P
D
又∵PD ∥CG ，∴
2
1
==CF DF CG PD ． ∴CG =2PD ．
∴CG =BQ ，即QG =BC =13． 作EM ⊥BC ，垂足为点M ． 可求得EM =8． ∴3
208
8)13313(21=
?+?=
S ．
例3.把两块边长为4的等边三角板ABC 和DEF 先如图11-1放置，使三角板DEF 的顶点
D 与三角板ABC 的AC 边的中点重合，DF 经过点B ，
射线DE 与射线AB 相交与点M ，接着把三角形板ABC 固定不动，将三角形板DEF 由图11-1所示的位置绕点D 按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中060α< o ，射线DF 与线段BC 相交与点N （如图11-2示）。（★★★★★） （1）求AM CN ?的值； （2）设AM x =，两块三角形板重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式并求定义域。 【参考教法】：可以通过以下方式引导学生分析题目、解决题目。 一．寻找题目中的已知条件或特殊条件： （1） 题目中有哪些边的长度是已知，让学生找找？提示：两个等边三角形的边长为4。 （2） 有没有出现特殊图形？ 提示：①两个等边三角形。②A EDF C ∠=∠=∠形成一线三角相似三角形； （3） 旋转角：060α< o 。 1.求AM CN ?的值，让学生观察，能否定求解？ 提示：用△AMD ∽△CDN 得AM CN AD CD ?=?，即可求解。 2.求重叠部分的面积： 一．重叠部分为什么图形？提示：四边形 二．这个地方怎么求解？提示：直接发，面积和差关系； 三．该题用哪个方法求解比较好？为什么？提示：用面积和差关系求解比较好，因为该四边形形状不规则，不好直接求解。 四．怎么计算？提示：CDN AMD ABC MBNC S S S S ???--=，可让学生计算看看。 五．注意求解定义域。 【满分解答】： （1）∵△ABC 和△DEF 是等边三角形， ∴∠3=∠C =∠=60A o . ∵∠1＋∠3=∠2＋∠C ， ∴∠1=∠2． ∴△AMD ∽△CDN ． ∴ AM AD CD CN =． ∴AM CN AD CD ?=?． ∵2AD CD ==，∴4AM CN ?=． （2）过点D 作DP ⊥AB ，DQ ⊥BC ，垂足分别是点P 、Q ， 在Rt △APD 中，得PD = 。同理：DQ =. ∵AM x =，4 CN x = ∴CDN AMD ABC MBNC S S S S ???--=. ∴4)y x x =-<<. 例4.如图，直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6。动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C D A --向点A 运动。 当点M 到达点B 时，两点同时停止运动。过点M 作直线l ∥AD ，我来试一试！ 与折线A C B --的交点为Q 。点M 运动的时间为t （秒）。若△PCQ 的面积为y ，请求y 关于t 的函数关系式及自变量的取值范围。（★★★★★） 【参考教法】：可以通过以下方式引导学生分析题目、解决题目。 二．寻找题目中的已知条件或特殊条件： 1.题目中有哪些边的长度是已知，让学生找找？ 提示：AD=2DC=4，AB=6。 2.有没有出现特殊图形？ 提示：直角梯形ABCD 。 3.哪些点在动？是否有运动速度？ 提示：①点M 以每秒1个单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动； ②点P 以每秒1个单位长的速度，从点C 沿折线C D A --向点A 运动。 1.求解PCQ ?的面积： 1.与点的运动位置有怎么样的关系？ 提示：因为点P 是从点C 沿折线C D A --向点A 运动，所以应该分点P 在线段CD 和在线段AD 上两大类。 2.怎么求解？（可以让学生分析看看） ①当点P 在线段CD 时：即02t ＜＜，因为PCQ ?的底边和高都可以直接求解，可利用直接法求解； ②当点P 在线段AD 时：t ＞2，需要通过证明求解出PCQ ?的底边和高，因此也可利用直接法求解； 【满分解答】： 当0＜t ＜2时，点P 在线段CD 上，设直线l 交CD 于点E 由（1）可得 CD AD AM QM =． 即QM =2t ．∴QE =4-2t ．………………………2分 ∴S △PQC = 2 1 PC ·QE =t t 22+- ………………………………………………1分 即t t y 22 +-= 当t ＞2时，过点C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ，交PQ 于点H . 4(2)6PA DA DP t t =-=--=-． 由题意得，4BF AB AF =-=． ∴ CF BF =． ∴45CBF ∠=?． ∴ 6QM MB t ==-． ∴QM PA =． ∴ 四边形AMQP 为矩形． ∴ PQ ∥AB ．CH ⊥PQ ，HF=AP =6- t ∴ CH=AD=HF = t-2 …………………………………………………………2分 ∴S △PQC = 21PQ ·CH =t t -22 1 ………………………………………1分 即y = t t -2 2 1 综上所述 )20(22 ≤<+-=t t t y 或y = t t -2 2 1 （ 2 动点产生的面积关系的解题方法和策略： 1.注意题目中的已知量和特殊条件； 2.找到：动点、自变量、所求图形面积； 3.观察所求图形面积是否可以直接求解，如不能，则添加辅助线或利用面积转化求解； 4.注意求解面积的一般方法：直接法、面积和差关系、比例法等求解； 5.利用好以下定理：勾股定理、相似三角形的性质等 【备注】：该题具有综合性，需要学生在15分钟内独立完成，并给出学生得分，之后老师再讲评。满分14分。 1.如图，已知矩形ABCD ，8AB =，6BC =，现将一把三角尺放在矩形ABCD 上，并 Q A B C D l M P 图1 A B C D 图2 M Q F P H 使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动（点P 与A 、C 两点不重合），两条直角边分别交线段AB 、BC 于点E 、F ，且PE AB ⊥、PF BC ⊥．设CP 的长为x 。（满分14分） （1）求线段PE 、PF 的长；（用含x 的代数式表示）（4分） （2）过点E 作BEH ACB ∠=∠，交线段BC 于点H 。 ①如点H 在线段BF 上（点H 不与点F 重合），设四边形PEHF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（6分） ②当1HF =时，求CP 的长。（4分）（★★★★★） （图1） （图2） 【解法点拨】： 一．寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.角度：很多直角，让学生找找； 2.边：8AB =，6BC =，CP x =； 3.有相似基本图形“A 字型”； 二．求线段PE 、PF 的长的长，用相似基本图形可直接求解； 三．求面积关系式： 1.注意BEH ACB ∠=∠又产生一个相似基本图形； 2.注意四边形PEHF 为直角梯形； 方法一：直接求解，()1 = 2 PEHF y S HF PE PF =+四边形； 方法二：用面积和差关系求解：=ABC APE PCF BEH PEHF y S S S S S ????=---四边形，并且每一个三角形的二面角都可以求解，可让学生试试。 3.注意求定义域。 四．当1HF =时，根据点H 的位置分类讨论：分点H 在线段BF 上、点H 在线段CF 上两类讨论。 【满分解答】： 解：(1)3 65 PE x =- ................................2分 4 5 PF x = ................................2分 (2)①∵BEH ACB ∠=∠，B B ∠=∠ ∴△BEH ∽△BCA ................................1分 ∴ BH BE AB BC =解得16 15 BH x = ................................1分 ()113163423466122251555515y HF PE PF x x x x x x ???? = +=--+-?=- ? ????? .................2分 268241807555x x x ?? =- +<< ??? ................................1分 +1分 ②当点H 在线段BF 上，316 61515 x x --=解得，3x = ........................2分 当点H 在线段CF 上， 16361155x x ? ?--= ?? ?，解得215x = ........................2分 综上所述，CP 的长为3或者21 5 重叠面积及动点问题 1、已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，边长为2的正方形EFGH的EF边在 直线AB上且点F与点A重合，当正方形EFGH沿AB方向以每秒1cm的速度运动，设运动时间为t秒，正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围。 （F） 2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t/秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S． （1）当时t=1时，正方形EFGH的边长是1．当t=3时，正方形EFGH的边长是4．（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式； 3、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值； （2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S 与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围； （3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 4、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从 B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B 以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y． （1）求证：△DHQ∽△ABC； （2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值； （3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？ H （第4题） 相似三角形的动点问题题型( 整理) 相似三角形的动点问题 一、动点型 例 1、如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，△ DMN 也随之整体移动）． （1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍 然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立， 请说明理由； （3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（ 1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出 结论，不必证明或说明理由． 例 2、如图，在矩形 ABCD 中， AB=12cm ，BC=8cm ．点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点 E、 G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个 点随之停止移动．设移动开始后第 t 秒时，△EFG 的面积为 S（cm2） （1）当 t=1 秒时， S 的值是多少？ （2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自 变量 t 的取值范围 （3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由． 迁移应用 1、如图，已知△ ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的 速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时， P、 Q 两点都停止运动，设运动时间为 t （s）， 平面直角坐标系提升练习 热身题：如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动． （1）a= ，b= ，点B的坐标为； （2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； （3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时， 求点P移动的时间． 题型一:已知面积求点的坐标 1．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3） … （1）在坐标系中描出各点，画出△ABC．（2）求△ABC的面积； （3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等， 求点P的坐标． 2、已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）． （1）求△ABC的面积是多少 （2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S △ACP =2S △ABC ，求点P的坐标 / （3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S △BCQ =2S △ABC ，求点Q的坐标 3、如图，在平面直角坐标系2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． （1）直接写出点B和点C的坐标B（，）、C（，）； （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围； （3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S △APD =S ABOC ，若存在，请 求出t值，若不存在，请说明理由． 】 3、点P（x，y）在第一象限，且x+y=8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S． （1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围； （2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少 （3）当S=12时，求点P的坐标； （4）△OPA的面积能大于24吗为什么 { 4、如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0 （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． x y A B C O 第24题图 函数图象中的存在性问题——因动点产生的面积问题 例33、.如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． (1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标； (3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标； (4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由． 例34、如图，在平面直角坐标系xoy 中，等腰梯形OABC 的下底边OA 在x 轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB ．tan∠BA0=43 ，点B 的坐标为(7，4)． (1)求点A 、C 的坐标；(2)求经过点0、B 、C 的抛物线的解析式； (3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点P ，使得经过点P 且 与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分?若存在， 请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由． 例35、如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与 端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－1 2x ＋b 交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由. 例36、如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长； （3）连结EF ，设△BEF 与△BFC 的面积之差为S ，问：当CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值． 24.（2013普陀二模） 如图，抛物线c bx x y -+=2 经过直线 与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另 一个交点为C ，抛物线的顶点为D . ☆ 求此抛物线的解析式（4分）； ☆ 点P 为抛物线上的一个动点，求使 第24题 动点问题 知识点： 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 6 4 y x =-+ 与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点 Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S= 时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标． 提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60o． （1）求⊙O的直径； （2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切； （3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速 度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为 )2 )( (< 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P 从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形； （3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； （4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形． 分析： （1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM； 四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解； （3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC 面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值． （4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论： ①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值． ②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值． ③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值． 综上所述可得出符合条件的t的值． 解答: 解：（1）∵AQ=3-t ∴CN=4-（3-t）=1+t 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42 ∴AC=5 在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ． （2）由于四边形PCDQ构成平行四边形 1.6 因动点产生的面积问题 1、如图1,直线I 经过点A(1, 0),且与双曲线y=m (x >0)交于点B(2, 1).过点p(p,p _l)(p x > 1)作X 轴的平行线分别交曲线 y=m (x > 0)和y=_m (xv 0)于M 、N 两点. x x 求m 的值及直线I 的解析式； 若点P 在直线y = 2上，求证：△ PMBsA PNA ; 是否存在实数P ,使得S A AMN = 4S A AMP ?若存在，请求出所有满足条件的 请说明理由.(1) (2) (3) 若不存 P 的值; P 值 图 拓展：在本题情景下，△ AMN 能否成为直角三角形？若存在求出满足条件的 y x 2、如图1,四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0), (0,1).点D是线段BC上的 1 动点(与端点B、C不重合)，过点D作直线y=-—x + b交折线OAB于点E. 2 (1 )记^ ODE的面积为S,求S与b的函数关系式； (2)当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1, 试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由. 拓展：把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，那么这个菱形的最小面积为最大面积为 x 图1 x 3、如图1,在^ ABC 中，/ C = 90°, AC = 3, BC = 4, CD 是斜边 AB 上的高，点 E 在斜 边AB 上，过点E 作直线与^ ABC 的直角边相交于点 F ，设AE = *,△ AEF 的面积为y . (1) (2) ① 求 ② 当 (3) 存在直线EF 将^ ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线 求线段AD 的长； 若EF 丄AB ，当点E 在斜边AB 上移动时， y 与x 的函数关系式(写出自变 量 x 的取值范围)； x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值. 若点F 在直角边AC 上(点F 与A 、C 不重合)，点E 在斜边AB 上移动，试问，是否 EF ，求出x 的值；若不存在直 动点问题中的面积问题 1.小明到商店买学习用品，已知买20支铅笔、3块橡皮、2本笔记本需要32元；买39支铅笔、5块橡皮、 3本笔记本需要58元；则小明买5支铅笔、5块橡皮、5本笔记本需要 元。 2.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景。甲种盆景由１５朵红花、２４朵黄花和２５朵紫花搭配而成，乙种盆景由１０朵红花和１２朵黄花搭配而成，丙咱盆景由１０朵红花、１８朵黄花和２５朵紫花搭配而成。这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，由黄花一共用了 朵。 3.如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点,点Q 是AB 上一点,连接CQ ，DP ⊥CQ 于 点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；求证:(1)△BCQ ≌△CDP; (2)OP=OQ. 4.已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧．（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求BE 的长； （2）将（1）问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFC 为正方形B ′EFG ，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B ′EFG 的边EF 与AC 交于点M ，连接B ′D ，B ′M ，DM ，设正方形B ′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围． A B C D E O P Q 5.已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴 的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围； 6．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC= 23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3。一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧。设运动的时间为t秒（t≥0）。（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值； （2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围； 二次函数最大面积 例1如图所示，等边△ ABC中，BC=10cm，点R, P?分别从B,A同时岀发，以1cm/s的速度沿线段BA,AC 移动，当移动时间 练习 1如图，在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=12cm,点P从点A岀发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B岀发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果P,Q同时岀发，分别到达B、C两点就停止移动。 _ ___________________________________________ 2 (1 )设运动开始后第t秒，五边形APQCD的面积是Scm ，写岀S与t函数关系式，并指岀 t的取值范围。 (2) t为何值时，S最小？并求岀这个最小值。 A开始沿 Q B B边向点B以 A 2 如图，在△ ABC 中，/ B=9 0°, AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点 2cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿着BC边向点C以1cm/S的速度移动,P,Q分别从A,B 同时岀发。 2 求四边形APQC的面积y ( cm )与PQ移动时间x (s)的函数关系式, 以及自变 量x的取值范围。 C 3如图正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与B,C重合的任意一点点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为x cm，CQ的长为y cm。 (1)求点P在BC上的运动的过程中y的最大值。 1 (2 )当y= cm时，求x的值。 4 4如图所示，边长为 在线段 记CD (1) 过A D P B B 1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，动点点E, 连接O BC上移动(不与B,C重合)，连接OD，过点D作DE丄OD, 的长为 t o 1 当t=丄时，求线段DE 3 如果梯形CDEB的面积为所在直线的函数表达式 S,那么S是否 以及此时 (2) 存在最大值？若存在，请求出最大值，t的值； 若不存在，请说明理由。 2 2 (3)当OD DE的算术平方根取最小值时, (4)求点E的坐标。 二次函数最大面积交AB D B E 能力提高 例题如图所示，在梯形ABCD中，AD// BC,AB=AD=DC=2CM,BC=4C在等腰△ PQR中，/ QPR=120 ,底边QR=6CM点B,C,Q，R在同一直线 1cm/s的速度沿直线I向左匀速移动， (1) (2) t秒时梯形 I上，且C,Q两点重合，如果等腰△ PQR以 2 ABCD与等腰△ PQF重合部分的面积记为Scm 当t=4时，求S的值。 当4< t < 10时，求S与t的函数关系式, A 并求岀S的最大值。 D 1 / 2 例1如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”． 请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标． 图1 备用图 如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”． 请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标． 图1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P 在A 、C 两点间的抛物线上运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，“使△PDE 的面积为整数” 的点P 共有11个． 思路点拨 1．第（2）题通过计算进行说理．设点P 的坐标，用两点间的距离公式表示PD 、PF 的长． 2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求PE ＋PF 的最小值． 满分解答 （1）抛物线的解析式为21 88 y x =-+． （2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下： 设点P 的坐标为21(,8)8x x -+，那么PF ＝y F －y P ＝218 x ． 而FD 2＝22222222111+(86)+(2)(2)888x x x x x -+-=-=+，所以FD ＝2128 x +． 因此PD －PF ＝2为定值． （3）“好点”共有11个． 在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值． 而PD ＋PE ＝(PF ＋2)＋PE ＝(PF ＋PE )＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）． 相似三角形的动点问题 一、动点型 例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围 （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 迁移应用 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 3.动点问题题型方法归纳标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 动点问题 知识点： 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线 3 6 4 y x =-+ 与坐标轴分别交于A B 、两点，动点 P Q 、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S= 时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行 四边形的第四个顶点M的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 中考数学之 动点问题 一、选择题： 1. 如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ） 9 4x y O P D A 、10 B 、16 C 、18 D 、20 二、填空题： 1. 如上右图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。 三、解答题： 1．（2008年大连）如图12，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ．点P 为线段AD 上一动点，直线PM ∥AB ，交BC 、C H 于点M 、Q ．以PM 为斜边向右作等腰Rt △PMN ，直线MN 交直线AB 于点E ，直线PN 交直线A B 于点F ．设PD 的长为x ， EF 的长为y ． ⑴求PM 的长(用x 表示)； ⑵求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围(图13为备用图)； ⑶当点E 在线段AH 上时，求x 的取值范围(图14为备用图)． Q P O B E D C A 图 13 图 14 图 12 A H B C D A H B C D H M Q P D C B A 2.（2008年福建宁德）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全 程用时8秒；点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x 秒()80 ＜x＜，△DCQ 的面积为y 1平方厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米． ⑴求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象； ⑵如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长； ⑶在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ． ①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值． 1.6 因动点产生的面积问题 例1 2013年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线2 12 y x bx c = ++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)． （1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）； （2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围； ②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C 在y 轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA 与△COB 保持相似．点击按钮“C 、D 、E 三点共线”，此时△EHD ∽△COD ．拖动点P 从A 经过C 到达B ，数一数面积的正整数值共有11个． 请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C 在y 轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA 与△COB 保持相似．点击按钮“C 、D 、E 三点共线”，此时△EHD ∽△COD ．拖动点P 从A 经过C 到达B ，数一数面积的正整数值共有11个． 思路点拨 1．用c 表示b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB ＝2OC ． 2．当C 、D 、E 三点共线时，△EHA ∽△COB ，△EHD ∽△COD ． 3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在BC 上方或下方． 4．求得了S 的取值范围，然后罗列P 从A 经过C 运动到B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A 、C 、B 三个时刻的值． 满分解答 1.6 因动点产生的面积问题 例1 2013年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线2 12 y x bx c = ++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)． （1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）； （2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围； ②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个． 图1 满分解答 （1）b ＝1 2 c + ，点B 的横坐标为－2c ． （2）由2111 ()(1)(2)222 y x c x c x x c =+++=++，设E 1(,(1)(2))2x x x c ++． 过点E 作EH ⊥x 轴于H ． 由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ． 所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --． 当C 、D 、E 三点在同一直线上时， EH CO DH DO =．所以1212 c c c --= --． 整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或1 2 c =（舍去）． 所以抛物线的解析式为213 222 y x x =--． 反比例函数与面积、动点问题1、如图所示，Rt△ABC在第一象限，∠BAC=90°，AB=AC=2， 点A在直线y=x上，其中点A的横坐标为1，且AB∥x轴， AC∥y轴，若双曲线y=k/x（k≠0）与△ABC有交点，则k 的取值范围是_________ 2、如图，已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双 曲线y= 4/x（x＞0）的一个分支上，点B在x轴上，CD ⊥OB于D，则△AOC的面积为（） A、2 B、3 C、4 D、32 3、已知点A、B是反比例函数y=?2x（x＞0）的图象上任 两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C、 D，连接AB，AO，BO， 则S四边形ABCD：S△AOB等于（） 4、在平面直角坐标系中，有反比例函数y=?1x与y=-?1x的图象和正方形ABCD，原点O与对角线AC、BD的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则AB=__________ 5、反比例函数y=-?5x的图象如图所示，P是图象上的任意点，过点P分别做两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是对角线OP上的动点，连接DA、DB，则图中阴影部分的面积是 ____________ 6、如图，点A，C在反比例函数y=?3x（x＜0）的图象上，B，D在x轴上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C的坐标是____________ 7、如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…P n （x n，y n）在函数y=?9x（x＞0）的图象上，△OP1A1， △P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n…都是等腰直角三 角形，斜边OA1，A1A2…A n-1A n，都在x轴上，则 y1+y2+…y n=________ 8、如图，在直角坐标平面内，函数y=mx（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点 A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线， 垂足为D，连接AD，DC，CB． （1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标； （2）求证：DC∥AB； （3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式． 9、如图，直线y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A（1，6），B（a，3）两点． （1）求k1、k2的值． （2）直接写出k1x+b-k2x＞0时x的取值范 围； 一、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O 为坐标原点，点A 的坐 标为（10，0），点B 的坐标为（10，8）． ⑴直接写出点C 的坐标为：C （ ， ）； ⑵已知直线AC 与双曲线)0(≠=m x m y 在第一象限内有一点交点Q 为（5，n ） ； ①求m 及n 的值； ②若动点P 从A 点出发，沿折线AO →OC 的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C 处停止．求△OPQ 的面积S 与点P 的运动时间t （秒）的函数关系式，并求当t 取何值时S=10． 已知：如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数k y x = 的图象交于点()32A ，． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MN x ∥轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形 OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由． 二、 如图 1,在矩形ABCD 中,cm AB 6=,cm BC 8=, 动点N M 、同时从点A 出发, M 点按折线A →C →B →A 的路径以3 cm/s 的速度运动, N 点按折线A →C →D →A 的路径以2s cm /的速度运动．运动时间为t (s ),当点M 回到A 点时，两点都停止 运动． （1）求对角线AC 的长度； （2）经过几秒，以点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形? （3）设△CMN 的面积为s )(2 cm ， 求：当5>t 时，s 与t 的函数关系式． A P 十一、十二课时：动点问题与折叠问题 (1)：动点问题 1、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形? （2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的 关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三 分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由； 2、如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=-2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0 单位交x 轴于点M ,交直线1l 于点N ,求NMF 的面积． 4.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB=16cm ，AD=6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 位止，点Q 以2cm/s 速度向D 移动 （1）P 、Q 两点，从出发开始到几秒时，四边形PBCQ 面积是33cm 2？ （2）P 、Q 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ？ 5.已知，如图，在矩形ABCD 中，AB=1/3AD=3cm ，点Q 从A 点出发，以1cm/s 的速度沿AD 向终点D 运动，点P 从点C 出发，以1cm/s 的速度沿CB 向终点运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，两点同时出发，运动了t 秒。 （1）当0＜t ＜9，判断四边形BQDP 的形状，并说明理由 （2）求四边形BQDP 的面积S 与运动时间t 的函数关系式 B P D Q C A A B C D Q P重叠面积及动点问题
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