第五章图论树
图论中的生成树计数算法
图论中的生成树计数算法生成树是图论中重要的概念之一，它是指由给定图的节点组成的树形结构，其中包含了原图中的所有节点，但是边的数量最少。
生成树的计数问题是指在一个给定的图中，有多少种不同的生成树。
生成树计数算法是解决这个问题的关键步骤，本文将介绍一些常见的生成树计数算法及其应用。
1. Kirchhoff矩阵树定理Kirchhoff矩阵树定理是图论中经典的生成树计数方法之一。
该定理是由Kirchhoff在19世纪提出的，它建立了图的Laplacian矩阵与其生成树个数的关系。
Laplacian矩阵是一个$n\times n$的矩阵，其中$n$是图中的节点数。
对于一个连通图而言，Laplacian矩阵的任意一个$n-1$阶主子式，其绝对值等于该图中生成树的个数。
应用示例：假设我们有一个无向连通图，其中每个节点之间的边权均为1。
我们可以通过计算图的Laplacian矩阵的任意一个$n-1$阶主子式的绝对值来得到该图中的生成树个数。
2. Prufer编码Prufer编码是一种编码方法，可用于求解生成树计数问题。
它是基于树的叶子节点的度数的编码方式。
Prufer编码将一个树转换为一个长度为$n-2$的序列，其中$n$是树中的节点数。
通过给定的Prufer序列，可以构造出对应的生成树。
应用示例：假设我们有一个具有$n$个节点的有标号的无根树。
我们可以通过构造一个长度为$n-2$的Prufer序列，然后根据Prufer编码的规则构造出对应的生成树。
3. 生成函数方法生成函数方法是一种利用形式幂级数求解生成树计数问题的方法。
通过将图的生成树计数问题转化为生成函数的乘法运算，可以得到生成函数的一个闭形式表达式，从而求解生成树的个数。
应用示例：假设我们有一个具有$n$个节点的有根树，其中根节点的度数为$d$。
我们可以通过生成函数方法求解出该有根树中的生成树个数。
4. Matrix-Tree定理Matrix-Tree定理是对Kirchhoff矩阵树定理的一种扩展，适用于带权图中生成树计数的问题。
离散数学图论(图、树)常考考点知识点总结
离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。
第五章 树分析
1. 双亲表示法 这种方法是用一组连续的存储空间来存储树的结点。 每个结点包括数据元素的值本身和指向结点双亲位置的指 针两个成员。
这种存储结构利用了每个结点（除 根以外）只有惟一的双亲的性质，很容 易由孩子找到双亲，但无法从双亲找到 孩子。
数据结构（第五版）
5.1 树的基本概念
2. 多重链表表示法 每个结点可能含有 m个孩子，即每个结点发出m 个链， 分别指向它的一个孩子。
typedef struct btnode ｛ int data; struct btnode *lchi ld; struct btnode *rchi ld; ｝TNODE，*BINTREE; 二叉树的每个结点包括三个成员。其中，lchild是指向该结点左孩子的指 针，rchild是指向该结点右孩子的指针，data存放结点本身的值。
数据结构（第五版）
5.1 树的基本概念
5.1.3 树的表示方法
1. 树形表示法。 2. 集合包含关系的文氏图表示法，如图（a）所示。 3. 广义表表示法，为:（A（B，C（E，F），D））。 4. 凹入表表示法，如图（b）所示。
数据结构（第五版）
5.1 树的基本概念
5.1.4 树的存储结构
树有顺序存储和链式存储两种存储方式。
当n=0时称为空树;否则，称为非空树。在任一非空树中: 1. 有且仅有一个特定的称为根的结点; 2. 除根结点之外的其余结点被分成m（m≥0）个互不相 交的集合T1，T2，…，Tm 。且其中每一个集合本身又是一 棵树，它们被称为根的子树。
数据结构（第五版）
5.1 树的基本概念
特性: 1. 空树是树的特例; 2. 非空树中至少有一个结点，称为树的根，只有根 结点的树称为最小树; 3. 在含有多个结点的树中，除根结点外，其余结点 构成若干棵子树，且各子树间互不相交。
教学课件：第五章-最小树问题
最小树问题在现实生活中具有广泛的应用，如电路设计、网络路由、物流配送等。通过解 决最小树问题，可以优化网络结构、降低成本、提高效率，为实际问题的解决提供重要的 理论支持和实践指导。
最小树问题的未来研究方向
算法优化与改进
尽管已经存在许多有效的算 法用于解决最小树问题，但 随着问题规模的扩大和复杂 度的增加，需要进一步优化 和改进现有算法，以提高求 解速度和精度。
04 最小小生成树问题是在最小生成树问题的基础上，给 每条边赋予一个权重值，目标是寻找一棵权值最小的生成树 。
详细描述
在带权重的最小生成树问题中，每条边都有一个关联的权重 ，表示该边的长度或代价。算法需要选择一组边，这些边能 够连接所有节点并且总权值最小。常见的带权重的最小生成 树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
理论分析与证明
对于最小树问题的求解算法 ，需要深入的理论分析和证 明，以揭示算法的内在机制 和性能。未来可以进一步研 究算法的理论基础和数学证 明，为算法的设计和分析提 供更严格的依据。
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05 总结与展望
最小树问题的研究现状与成果
最小树问题的定义和性质
最小树问题是一类组合优化问题，旨在寻找一棵具有最小权值的树，该树连接给定的顶点 集。最小树问题在计算机科学、运筹学和图论等领域具有广泛的应用。
最小树问题的研究进展
近年来，最小树问题的研究取得了重要的进展。研究者们提出了许多有效的算法和近似算 法，用于解决最小树问题及其变种。这些算法在理论和实践方面都取得了重要的突破，为 解决实际问题提供了有效的工具。
教学课件：第五章-最小树问
目录
• 引言 • 最小树问题的算法 • 最小树问题的实例分析 • 最小树问题的扩展问题 • 总结与展望
图论第五章
Ch.5. Coloring of Graphs
4
Graph Theory
Clique number
5.1.6
The clique number of a graph G, written ω(G), is the maximum size of a set of pairwise adjacent vertices (clique) in G.
Ch.5. Coloring of Graphs
11
Graph Theory
Proposition 5.1.16. If G is an interval graph, then (G) =ω(G)
Proof: Order the vertices according to the left endpoints of the intervals in an interval representation. Apply greedy coloring, and suppose that x receives k, the maximum color assigned. Since x does not receive a smaller color, the left endpoint a of its interval belongs also to intervals that already have colors 1 through k-1. These intervals all share the point a, so we have a k-clique consisting of x and neighbors of x with colors 1 through k-1. Hence ω(G) ≥ k ≥ (G). Since (G) ≥ ω(G) always, this coloring is optimal.
图论-树自测题
图 论 部 分 自 测 题一、内容提要基本概念：图，无向图，有向图，关联，邻接，零图，平凡图，环（自回路），结点度数（度数、入度、出度），简单图，多重图，正则图，完全图，子图（子图、真子图、生成子图），图的同构.路，回路，通路（初级通路，简单通路），通路的长度，闭通路（圈也即初级回路，简单回路），结点之间的连通性与可达性，无向图的连通性，有向图的连通性（弱连通、单向连通、强连通）。
邻接矩阵，可达矩阵，关联矩阵.树，森林，生成树，生成树的权，最小生成树，破圈法，避圈法.有向树，根树，有序树，根树高度，带权树，最优二叉树，求最优二叉树的方法，前辍码，求前辍码的方法.主要定理：Th 1 每个图G=<υ，E>中，结点总度数等于边数的两倍，∑∈ννdeg(υ)=2|E|.Th 2 在任何图中，度数为奇数的结点个数为偶数.定理1，2常称为握手定理及推论.Th 3 在有向图中，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和， Th 4 n 个结点的无向完全图K n 的边数为).1(21-n n Th 5 在有n 个结点的简单图中，如果从结点υi 到结点υj 存在一条路，则从结点υi 到结点υj 必存在一条长度小于等于n-1的路.推论 在有n 个结点的图中，若从结点υi 到结点υj 存在一条中路，则必存在一条从υi 到υj 而长度小于n 的基本通路.Th 7 在有n 个结点的简单图中，若υi 到自身存在回路，则从υi 到自身存在长度小于等于n 的回路.推论 在有n 个结点的图中，若υi 到自身存在回路，则从υi 到自身存在长度小于等于n 的闭通路(基本回路).Th 10 设A(G)是图G 的邻接矩阵，则(A(G))L中的第i 行j 列元素)(L ij a 等于G 中联结υi 与υj 的长度为L 的路的数目.Th 20 (n,m)无向图G 是树，当且仅当G 连通且m=n-1. Th 21 (n,m)无向图G 是树，当且仅当G 中无回路且m=n-1.Th 22 连通无向图G 是树，当且仅当G 中任何一对结点间恰有一条基本通路.Th 23 无向图G 为树，当且仅当G 中无回路且对G 中任两点υi ,υj 间加一条边(υi , υj )则形成唯一的初级回路.Th 24 设T 为结点数为n(n ≥2)的无向树，则T 中至少有两片叶子.Th 30 任一棵二叉树的树叶可对应一个前辍码；任一个前辍码都对应一棵二叉树.二 自测题Ⅰ1、 单项选择题（35题）1、 仅由孤立点组成的图称为( ) (1)零图； (2)平凡图； (3)完全图； (4)多重图.2、 仅由一个孤立点组成的图称为( ) (1)零图； (2)平凡图； (3)多重图； (4)子图.3、 在任何图G=<υ,E>中，结点总度数与边数的关系为( )(1)V v v ∈)deg(=2|E|; (2)Vv v ∈)deg(=|E|; (3)∑∈=Vv E v |;|2)deg( (4)∑∈=Vv E v .||)deg(4、 在任何图G 中必有偶数个( ) (1)度数为偶数度的结点；(2)度数为奇数度的结点； (3)入度为奇数的结点； (4)出度为奇数的结点.5、 设G 为有n 个结点的无向完全图，则G 的边数为( ) (1)n(n-1); (2)n(n+1); (3)n(n-1)/2; (4)(n-1)/26、 设G=<υ，E>为无向图，|υ|=7，|E|=23，则G 一定是( ) (1)完全图； (2)零图； (3)简单图； (4)多重图.7、 下面哪一个图是简单图( )(1)G 1=<｛υ1,υ2,υ3,υ4｝,｛<υ1,υ2>,<υ2,υ1>,<υ3,υ4>,<υ2,υ3>｝>; (2)G 2=<｛υ1,υ2,υ3,υ4｝,｛<υ1,υ2>,<υ2,υ2>,<υ3,υ2>,<υ3,υ1>｝>; (3)G 3=<｛υ1,υ2,υ3,υ4｝,｛(υ1,υ2),(υ3,υ1),(υ3,υ4),(υ2,υ1)｝>; (4)G 4=<｛υ1,υ2,υ3,υ4｝,｛(υ1,υ2),(υ1,υ3),(υ3,υ3)｝>.8、 图G 和G ’的结点和边分别存在一一对应关系是G ≅G’(同构)的( ) (1)充分条件； (2)必要条件； (3)充分必要条件；(4)既不充分也不必要条件.9、 含5个结点，3条边的简单图有( ) （1）2个； (2)3个； (3)4个； (4)5个.10、 设G=<υ,E>为简单图，|υ|=n,∆(G)为G 的最大度，则有( ) (1) ∆(G)<n; (2)∆(G)≤n; (3)∆(G)>n; (4)∆(G)≥n.11、 设图G=<υ,E>为任意图，则有( ) (1)E ⊆υ×υ; (2)E ⊄υ×υ; (3)υ×υ⊂E; (4)υ×υ=E.12、 给定下列序列，哪一个可构成无向简单图的结点度数序列( ) (1)(1,1,2,2,3); (2)(1,1,2,2,2); (3)(0,1,3,3,3); (4)(1,3,4,4,5).13、 设图C 为(n,m)图，且G 的每个结点的度数不是k 就是k+1，若G 中有N k 个k 度结点，则N k 为( )(1)n/2; (2)n(n+1);(3)n·k; (4)n(k+1)-2m.14、完全图K4的所有非同构的生成子图中，有几个是3条边的( )(1)1; (2)3;(3)4; (4)2.15、设G=<υ,E>为无向图，u,υ∈υ，若u,υ连通，则( )(1)d(u,υ)>0; (2)d(u,υ)=0;(3)d(u,υ)<0; (4)d(u,υ)≥0.16、任何无向图G中结点的连通关系是( )(1)偏序关系；(2)等价关系；(3)既是偏序关系又是等价关系；(4)既不是偏序关系又不是等价关系.17、有向图G=<υ,E>，其中υ=｛a,b,c,d,e,f｝,E=｛<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>｝是( )(1)强连通图； (2)单侧连通图；(3)弱连通图； (4)不连通图.18、设υ=｛a,b,c,d｝，则υ与下面哪个边集能构成强连通图( )(1)E1=｛<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,d>,<d,c>｝;(2)E2=｛<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c>｝;(3)E3=｛<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c>｝;(4)E4=｛<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>｝.19、设|υ|=n(n-1),G=<υ,E>是强连通图，当且仅当( )(1)G中至少有一条路；(2)G中至少有一条回路；(3)G中有通过每个结点至少一次的路；(4)G中有通过每个结点至少一次的回路.20、在有n个结点的连通图G中，其边数( )(1)最多有n-1条；(2)至少有n-1条；(3)最多有n条；(4)至少有n条.21、设A(G)是有向图E=<υ,E>的邻接矩阵，其中第i行中值为1的元素数目为( )(1)给点υi的入度； (2)给点υi的出度；(3)给点υi的度数； (4)给点υj的度数.22、 M(G)=(m ij)nxm是无向图G=<υ,E>的关联矩阵，υi∈υ是G中的孤立点，则( )(1)υi对应的一行元素全为0； (2)υi对应的一行元素全为1；(3)υi对应的一列元素全为0； (4)υi对应的一列元素全为1.23、 M(G)=(m ij)nxm是有向图G=<υ,E>的关联矩阵，若m ij=1，则在图G中( )(1)υi是e j的起点； (2)υi是e i的起点；(3)υi是e i的终点； (4)υi是e i的终点.24、若G是有n个结点的连通图，则其完全关联矩阵的秩为( )(1)n; (2)n-1;(3)n+1; (4)n2.25、 G=<υ,E>是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列哪种关系( )(1)点与点； (2)点与边；(3)边与点； (4)边与边.26、邻接矩阵具有对称性的图一定是( )(1)有向图; (2)无向图;(3)混合图; (4)简单图.27、下面哪一种图不一定是树( )(1)无回路的连通图；(2)有n个结点n-1条边的连通图；(3)每对结点间都有通路的图；(4)连通但删去一条边则不连通的图.28、设G=<υ,E>为<n,m>连通图，则要确定G的一棵生成树必删去G中的边数为( )(1)n-m-1; (2)n-m+1;(3)m-n+1; (4)m-n-1.29、具有4个结点的非同构的无向树的数目为( )(1)2; (2)3;(3)4; (4)5.30、具有6个结点的非构的无向树的数目为( )(1)4; (2)5;(3)7; (4)8.31、一棵树有2个2度结点，1个3度结点，3个4度结点，则其1度结点数为( )(1)5; (2)7;(3)8; (4)9.32、一个树有2个4度结点，3个3度结点，其余的结点都是叶子，则叶子数为( )(1)9; (2)8;(3)7; (4)10.33、设有33盏灯，拟用一个电源，则至少需要有五插头的接线板数为( )(1)7; (2)8;(3)9; (4)14.34、下面给出的符号串集合中，哪一个是前辍码( )(1)｛1,01,001,000｝;(2)｛1,11,101,001,0011｝;(3)｛b,c,aa,bc,aba｝;(4)｛b,c,a,aa,ac,abb｝.35、下面给出的符号串集合中，哪一个不是前辍码( )(1)｛0,10,110,1111｝;(2)｛01,001,000,1｝;(3)｛b,c,aa,ac,aba,abc｝;(4)｛0011,001,101,11,1｝.2、填空题（34题）1、设G为(n,m)图,当时，称G为零图,当时，称G为平凡图.答案：2、在一个图中，若两个结点，则称这两点为邻接点，若一个结点，则该点称为孤立点.答案：3、图G为简单无向图，若，则G为完全图.无向完全图Kn有条边.答案：4、如图G=<υ,E>和G’=<υ’,E’>，若，则G’为G的真子图，若，则G’为G的生成子图.答案：5、在任何图G=<υ,E>中，结点υ的度数为，图G的最大度∆(G)= ，图G的最小度δ(G)= .答案：6、在任何图G=<υ,E>中，结点度数的总和∑∈Vvv)deg(= ；奇度结点必有个.答案：7、设图G有6个结点，若各结点的度数分别为：1,4,4,3,5,5，则G有条边，根据 .答案：8、设无向图G=<υ,E>中，|E|=12，若G中有6个3度结点，其余结点度数均小于3，则G中至少有个结点，根据 .答案：9、设G是(n,m)简单图，υ是G中度数为k的结点，e是G中一条边，由G-υ中有个结点，条边，G-e中有条边.答案：10、在有10个结点的图中(存在不存在) 结点总度数为45的图，因为 .答案：11、给定图G，则G的补图为 .答案：12、设图G=<υ,E>与G’=<υ’,E’>,G≅G’当且仅当且 .答案：[υ和υ’，E和E’存在一一对应关系；保持关联关系.]13、三个结点可构成，个不同构的简单无向图，个简单有向图.答案：14、在无向图G中，结点间点的连通关系满足性，性和性，是关系.答案：15、 设G=<υ,E>为无向连通图，若|υ|=100，|E|=100，则从G 中能找到 条回路.答案：16、 在有向图G 中，结点间的可达关系满足性质 .答案： 17、 在G 为简单有向图，若 ，则G 为强连通图，若 ；则G 为弱连通图. 答案： 18、 G 是有向图，当且仅当G 中有一条要至少通过每个结点一次的回路，G为 图；当且仅当G 中有一条通过每个结点的路时，G 为 图.答案：19、 有向图G 的邻接矩阵A(G)中，第i 行中值为1的元素数目为结点υi的 ，第j 行中值为1的元素数目为结点υj 的 .答案：20、 A(G)为图G=<υ,E>的邻接矩阵，结点υi ∈υ的出度为 ，入度为 ，(A(G))k 中的第i 行第j 列的元素a ij (k)为 . 答案： 21、 G 为无向图，M(G)为其关联矩阵，则M(G)中每一列有 个1，每一 行中元素的和数是 ，全0元素行对应的结点为 .答案： 22、 G 为有向图，M(G)为其关联矩阵，则M(G)中每一列中的非零元素为 ，孤立点对应行的元素 .答案：23、设图G=<υ,E>,υ=｛υ1,υ2,υ3,υ4｝的邻接矩阵A(G)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001111011010 ,则υ 1的入度 ，υ4的出度 ,从υ2到υ4长度为2的路有 条. 答案：24、 一个 图称为树，树叶为 ，树的分枝点为 . 答案： 25、 若对T 是 ，则称T 为图G 的生成树，树T 中的边称为 ， 称为弦. 答案：26、 无向图G 具有生成树，当且仅当 ，若G 为(n,m)连通图，要确定 G 的一棵生成树必删去G 的 条边. 答案：27、 设G 为n 个结点的连通图，G 的生成树T 的权为 ，若T ，则称T 为最小生成树.答案：28、 一棵树有2个2度分枝点，1个3度分枝点，3个4度分枝点，则有 片叶子.答案：29、 设G=<υ,E>是无向连通图，e ∈E ，若e 在G 的任何生成树中，则e 为 G 的 ，若e 不在G 的任何生成树中，则e 为G 的 .答案：30、一个有向树T称为根树，若，其中称为树根，称为树叶.答案：31、 5个结点可以构成棵非同构的无向树，又可构成棵非同构的根树.答案：32、设T为根树，若，则称T为m叉树；若，则称T为m叉完全树；若，则称T为m叉正则树.答案：33、设T为二叉树，树叶带权分别为w1,…,w t，其通路长为L(w i)，则T的树权w(t)= ，若，则称T为最优树.答案：34、设A为一个序列集合，若，则称A为前辍码.答案：3、判断题（正确填T,错误填N）（共24题）1、仅由一个孤立点构成的图称为平凡图.（）2、仅由一个孤立点构成的图称为零图. （）3、仅由n(n≥2)个孤立点构成的图称为平凡图. （）4、任一图G=<υ,E>的最大度∆(G)必小于G的结点数. （）5、简单图G的最大度∆(G)必小于其结点数. （）6、设图G和图G’，G≅G’当且仅当G和G’的结点和边分别存在一一对应关系. （）7、在n(n≥2)个结点的简单图G中，若n个奇数，则G与其补图_G的奇度结点数一定相同. （）8、在n(n≥2)个结点的简单图G中，若n个奇数，则G与其补图_G的奇度结点数不一定相同. （）9、任何具有相同结点数和边数的图都同构. （）10、在无向图中，结点间的连通关系是等价关系. （）11、若图G是连通的，则G的补图_G必是连通图. （）12、若图G不是连通的，则G的补图_G也是不连通的. （）13、在有向图中，结点间的可达关系满足自反性和传递性. （）14、在有向图中，结点间的可达关系是等价关系. （）15、图G的邻接矩阵A(G)中第i行里值为1的元素个数是结点υ1的入度.（）16、设图G为有向图，A(G)是其邻接矩阵，则A(G)是对称的. （）17、图G的关联矩阵M(G)中每一列至少有两个非零元素. （）18、图G的可达矩阵P(G)是刻划G中结点到结点的可达关系. （）19、G的可达矩阵P(G)是刻划G中的结点到边的可达关系. （）20、设图G是有n个结点，n-1条边的无向图，则G为一棵树. （）21、任何树T都至少有两片叶子. （）22、设图G是无向连通图，G的生成子图T称为G的生成树. （）23、｛0000,0010,010,011,111,01,10｝是一个前辍码. （）24、｛000,001,01,10,11｝是一个前辍码. （）4、简答题（共15题）1｛6,6,5,4,3,2,1｝是否可以是一图的结点度数的序列？为什么？解：2设G为有6个结点的图，若各结点的度数分别为：1,2,2,3,5,5，那么图G有n条边？根据什么？解：3试画出所有5个结点，3条边的简单无何图及其对应的补图(不同构).解：4设无向图G中有12条边，已知G中有3度结点个，其余结点的度数均小于问G中至少有多少个结点？为什么？解：.5设有七人a,b,c,d,e,f,g.已知a会讲英语，b会计是汉语和英语，c会讲英语、意大利语和俄语，d会讲日语和汉语，e会讲德语和意大利语，f会讲法语、日语和俄语，g会讲法语和意大利语.试问这七人是否可任意交谈(必要时相相互翻译).解：6已知图G的邻接矩阵A如下，试画出图G.A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001010000000010100000010解：7 给出G 的邻接矩阵；(1) 求各结点的出、入度；(2) 求从结点G 出发长度为3的所有回路.解：(1)G 的邻接矩阵A(G)=(2)结点的入度和出度：a b c d d 入度 出度(3)从C 出发长度为3的回路有 条：和8 给定G 的邻接矩阵；(1) G 中长度为4的路有多少条？其中有几条为回路？ 解：(1)G 邻接矩阵 A=(2) 由A 通过矩阵运算得：A 4=9 求图G=<V,E>的关联矩阵，其中V=｛υ1，υ2，υ3，υ4，υ5｝，E=｛<υ2,υ1>,<υ2,υ3>,<υ2,υ4>,<υ2,υ5>,<υ3,υ2>,<υ3,υ1>,<υ5,υ1>,<4,υ5>｝. 解： M=10 已知图G 和G ’的关联矩阵分别为M 和M’，试给出其图形表示.M=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001101011010110101，M ’=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------100010001101011010110101解：11 若图G 有n 个结点，n-1条边，G 一定是一棵树吗？为什么？解：12 画出结点数n ≤5的所有树(不同构).解：13 某城市拟在六个区之间架设有线电话网，其网点间的距离如下面有权图 矩阵给出.试给出架设线路的最优方案.请画出图并计算出线路长.A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00610500070896703021003040580401092010 解：依题意设六个区a,b,c,d,e,f 用结点表示，由矩阵A 可得带权图G 如图所示.G 的最小生成树即为所求的最优方案设计图. 最优线路的长度即最小生成树之权.14 一个有向图G ，有且仅有一个结点的入度为0，其余结点的入度为1， 则G 一定是根树吗？解：15 由给定权按Huffman 算法构成如下的最优树.1 2 4 6 9 12 15 18 24 46[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。
第五章 图论
例16. 在任何聚会中，与奇数个人握过手的人必定有偶数 个。 证明： 我们用点来表示聚会中的人，若两个人有握手， 则我们用一条边把表示这两个人的点连接起来。与奇数个 人握过手的那个人，在图上表示为他的度为奇数。由握手 定理，则可知这样的点应该有偶数个，所以与奇数个人握 过手的人必定有偶数个。
（2）有向图
证明： 用6个点v1，v2，v3，v4，v5，v6来表示六个 人，互相认识的两个人用实现相连，否则用虚线相连。这 就产生了一个任何两个顶点间必有连线的图，称为完全图。 因此，问题就归结为：在一个具有六个顶点的完全图中， 至少存在一个实线三角形或虚线三角形。 任取一个顶点vi，则vi与其他五点的连线中，至少有三条 是实线或三条是虚线。不妨设为实线，其相应的顶点为vj， vk，vl，这三个顶点形成的三角形，若是实线或虚线三角 形，则问题得解；否则，至少有一条边是实线的，不妨设 为vj vk，那么三角形vjvivk便是实线三角形了。 定理1 握手定理：
5.2.3 图的运算 旧图→新图 定义6 子图：（G1G2）原图的一部分 定义7 并图：（G1∪G2）两个图的综合 定义8 补图： 对于完全图的边集的补 例14 图7-23所示的图G是K5的子图。
例15 求图a)所示的图G1和G2的并图。
习题 1.对哪些n值来说下列图是偶图？ a) Kn b) Cn c) Wn d) Qn 2.至少带有一个顶点的W3 的子图有多少个？ 3.证明：若G是有v个顶点和e条边的简单偶图，则ev2/4 。
一个重要类型的互联网络是超立方体。对这样的网络来 说，处理器数是2的幂， n=2m。n个处理器标记成P0, P1,…, Pn-1。每个处理器都有到m个其他处理器的双向连 接。处理器Pi与下标的二进制表示与i的二进制表示恰恰相 差1位的处理器相连接。超立方体网络在每个顶点的直接连 接数与保证处理器通信的中间连接数之间取得了平衡。已 经用超立方体网络建造了许多计算机，而且用超立方体网 络设计了许多算法。n立方体图Qn表示带n个处理器的超立 方体网络。图7-22显示8个处理器的超立方体网络。
图论中的树与森林
图论中的树与森林在图论中，树和森林是两个基础概念，它们在解决实际问题以及计算机科学中都有重要的应用。
本文将介绍树和森林的概念、性质以及它们的应用。
一、树的定义及性质在图论中，树是一种无环连通图。
具体而言，树是一个连通且没有回路的无向图。
树由节点（或顶点）和边组成，节点代表实体或概念，边表示节点之间的联系。
树具有以下一些性质：1. 任意两个节点之间仅存在唯一的路径。
这意味着在树中，从一个节点到另一个节点的路径是唯一的，没有分叉或回路。
2. 树中的任意两个节点都是连通的。
对于任意两个节点，都存在一条路径将它们相连。
3. 树中有且仅有一个特殊的节点，称为根节点。
根节点是树的起始点，从根节点出发可到达树中的任意节点。
4. 除了根节点外，每个节点都只有一个父节点。
父节点到子节点的边称为父子边。
二、树的应用树在计算机科学和实际问题求解中有广泛的应用，下面介绍其中几个典型的应用场景。
1. 文件系统：文件系统通常采用树的结构，目录作为节点，文件作为叶子节点。
这种结构使得文件的组织和访问变得简洁高效。
2. 网络路由：在计算机网络中，树结构常常被用于路由算法。
通过建立路由树，可以确定数据包传输的最佳路径，提高网络传输效率。
3. 组织结构：树可以用于表示组织结构，如公司的部门与员工的关系。
根节点代表公司的总经理，子节点代表下属部门，叶子节点代表员工。
4. 解决问题：树可以用于解决一些问题，如迷宫问题、搜索问题等。
通过遍历树的节点，可以找到问题的解。
三、森林的定义及性质森林是多个不相交的树的集合。
简单地说，森林由多个树组成，每个树的节点之间没有交集。
森林的性质与树类似，但需要注意以下几点：1. 森林中可以有零个或多个树。
2. 森林中的树可以是空树，即不包含任何节点。
3. 森林中的每个树都是独立的，没有公共节点。
四、森林的应用森林相比于单个树，在一些问题求解中具有更加广泛的应用场景。
下面介绍几个森林的应用。
1. 分组编码：在数据传输过程中，可以将原始数据分成多个树，并对每个树进行单独编码。