天津市南开翔宇学校九年级上册期末精选试卷检测题

天津市南开翔宇学校九年级上册期末精选试卷检测题

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ?的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A

在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和

ABC ?在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．

（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；

（2）设正方形EFGH 与ABC ?重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得91

36

S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点

E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =

，理由见解析；（3）可能，3455

t ≤≤或45

33t ≤≤或35t ≤≤理由见解析 【解析】 【分析】

（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；

（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为91

36

S =

，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136

，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；

（3）由已知求得点D （2，1），

AC=

结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长． 【详解】

（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)， 设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ， 将点A 、C 坐标代入，得：

402k b b +=??

=?，解得：122

k b ?

=-

???=?， ∴直线AC 的函数解析式为1

22

y x =-

+， 当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1）， 将点H 代入1

22

y x =-

+，得： 1

1(3)22

t =--+，解得：t=1；

（2）存在，143t =

，使得9136

S =． 根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为91

36

S =

，故t ﹥4， 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ， 将点A 、B 坐标代入，得：

402m n n -+=??

=?，解得：122

m n ?

=

???=?， ∴直线AC 的函数解析式为1

22

y x =

+， 当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)， 当点H 落在AB 边上时，将点H 代入1

22

y x =

+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133

t =；

此时重叠的面积为2

21316

(3)(3)39

t -=-=， ∵

16

9﹤9136，∴133

﹤t ﹤5， 如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,

将y=t-3代入122y x =+得：1

322

t x -=+， 解得：x=2t-10， ∴点S(2t-10，t-3)，

将x=3-t 代入122y x =

+得：11

(3)2(7)22

y t t =-+=-， ∴点T 1(3,(7))2

t t --， ∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=

1

(7)2

t -， 211

(7)24BET S BE ET t ?==-, 21

(5)2

ASG

S AG SG t ?==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ???--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424

t t -+-， 由2

5

271334

24t t -+-=9136得：1143t =，29215

t =﹥5(舍去)， ∴143

t =

；

（3）可能，

3

5

≤t≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4， ∴点D （2，1），AC=255 易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动； 当0﹤t ﹤1

2

时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇； 当

12﹤t ﹤1时， 12+1

2÷（1+4）=35

秒， ∴t =

35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=1

5

秒后，M 点不在正方行内部，则

3455

t ≤≤； 当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处； 当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=

43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=1

3秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），

45

33

t ≤≤ 当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，

当 t=3时，点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时，点F 运动返回到点O 处, 当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界）， 综上，当3455t ≤≤或45

33

t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．

【点睛】

本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．

2．阅读与应用： 阅读1：

a ，

b 为实数，且a ＞0，b ＞0，因为()2≥0，所以a ﹣2

+b ≥0，从而

a +

b ≥2(当a ＝b 时取等号)．

阅读2：

若函数y ＝x +(m ＞0，x ＞0，m 为常数)，由阅读1结论可知：x +≥2，所以当x ＝

，即x ＝

时，函数y ＝x +的最小值为2

．

阅读理解上述内容，解答下列问题： 问题1：

已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝

时，周长的最小值为；

问题2：

汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，

1h的耗油量为yL．

(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；

(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．

【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.

【解析】

【分析】

（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；

（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．

【详解】

(1)∵x+≥2＝4，

∴当x＝时，2(x+)有最小值8．

即x＝2时，周长的最小值为8；

故答案是：2；8；

问题2：，

当且仅当，

即x＝90时，“＝”成立，

所以，当x＝90时，函数取得最小值9，

此时，百公里耗油量为，

所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L．

【点睛】

本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．

3．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．

【答案】（1）k＞3

4

；（215

【解析】

【分析】

（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；

（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，

利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.

【详解】

解：（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，

∴k＞3

4；

(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，

设方程的两个根为m，n，

∴m＋n＝5，mn＝5，

==.

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

4．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：

（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？

（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；

（3）已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m２，室内墙高3 m．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？

【答案】（1）每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器

33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台.

【解析】

解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据

题意得：

5102000,200, {{ 1052500.100. x y x

x y y

+==

+==

解得

答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台，

∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，

∴100-m≥2m，

解得：m≤100

. 3

设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.

根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000.

∵要使W最大，m需最大，

∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）.

此时100﹣m=67.

答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.

（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：1

2

[300a+200(5-a)]≥200×3.

解得：a≥2.

∴至少要购买A型空气净化器2台.

5．如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2

（1）求k的值；

（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝7（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．

【答案】（1）k ＝3．（2）当0＜t ＜

12时，S ＝12?OQ ?P y ＝12（1﹣2t ）?

3

2

t ＝﹣3t 2+3

t ． 当t ＞

12时，S ＝12OQ ?P y ＝12（2t ﹣1）?

3t ＝3t 2﹣3

t ．（3）直线PQ 的解析式为y ＝﹣

3x +533

． 【解析】 【分析】

（1）求出点B 的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t ＜12时，②当t ＞1

2

时，根据S ＝

1

2

OQ ?P y ，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t ，推出点P ，Q 的坐标即可解决问题． 【详解】

解：（1）对于直线y ＝kx +k ，令y ＝0，可得x ＝﹣1， ∴A （﹣1，0）， ∴OA ＝1，∵AB ＝2， ∴OB ＝

223AB OA -=

∴k ＝3． （2）如图，

∵tan ∠BAO ＝

3OB

OA

= ∴∠BAO ＝60°， ∵PQ ⊥AB ，

∴∠APQ ＝90°， ∴∠AQP ＝30°， ∴AQ ＝2AP ＝2t ，

当0＜t ＜

12时，S ＝12?OQ ?P y ＝12（1﹣2t

）?

2t

＝﹣2t 2

+4

t ． 当t ＞

12时，S ＝12OQ ?P y ＝12（2t ﹣1

＝2

． （3）∵OQ +AB

（BQ ﹣OP ），

∴2t ﹣1+2

∴2t +1

21t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7， ∴3t 2﹣11t +6＝0， 解得t ＝3或2

3

（舍弃）， ∴P （

12，2

），Q （5，0）， 设直线PQ 的解析式为y ＝kx

+b ，则有12250k b k b ?+=

???+=?

，

解得33k b ?=-????=??

，

∴直线PQ

的解析式为33

y x =-+

． 【点睛】

本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

6．如图1，抛物线y ＝mx 2﹣3mx +n （m ≠0）与x 轴交于点C （﹣1，0）与y 轴交于点B （0，3），在线段OA 上有一动点E （不与O 、A 重合），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ． （1）分别求出抛物线和直线AB 的函数表达式； （2）设△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，当

1236

25

S S = 时，求点P 的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转的到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ，求E 'A +

2

3

E 'B 的最小值．

【答案】（1）抛物线y ＝﹣

34 x 2+94 x +3，直线AB 解析式为y ＝﹣3

4

x +3；（2）P （2，32）；（3）410

3 【解析】 【分析】

（1）由题意令y ＝0，求出抛物线与x 轴交点，列出方程即可求出a ，根据待定系数法可以确定直线AB 解析式；

（2）根据题意由△PNM ∽△ANE ，推出

6

5

PN AN =，以此列出方程求解即可解决问题； （3）根据题意在y 轴上 取一点M 使得OM′＝

4

3

，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+

2

3E′B 的最小值． 【详解】

解：（1）∵抛物线y ＝mx 2﹣3mx+n （m≠0）与x 轴交于点C （﹣1，0）与y 轴交于点B （0，3），

则有330n m m n ???++＝＝，解得43

3m n ?

??

?-

?＝＝， ∴抛物线239

344y x x =-

++， 令y ＝0，得到239

344

x x -

++＝0， 解得：x ＝4或﹣1， ∴A （4，0），B （0，3）， 设直线AB 解析式为y ＝kx+b ，则3

40b k b +??

?

＝＝，

解得33

4k b ?

-

????＝＝，

∴直线

AB 解析式为y ＝3

4

-

x+3． （2）如图1中，设P （m ，239

344

m m -

++），则E （m ，0），

∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ， ∴∠PMN ＝∠AEN ， ∵∠PNM ＝∠ANE ， ∴△PNM ∽△ANE ，

∵△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，

1236

25

S S ＝， ∴6

5PN AN =， ∵NE ∥OB ，

∴

AN AE

AB OA

=， ∴AN ＝

5454545

4

（4﹣m ），

∵抛物线解析式为y ＝239

344

x x -++， ∴PN ＝239344m m -

++﹣（34-m+3）＝3

4

-m 2+3m ， ∴23

364

55(4)4

m m

m -+=-， 解得m ＝2或4（舍弃）， ∴m ＝2， ∴P （2，

3

2

）． （3）如图2中，在y 轴上 取一点M′使得OM′＝4

3

，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE ．

∵OE′＝2，OM′?OB ＝4

3

×3＝4， ∴OE′2＝OM′?OB ， ∴

OE OB

OM OE '=''

， ∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB ，

∴

M E OE BE OB '''='＝2

3

， ∴M′E′＝2

3BE′，

∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+2

3BE′最小（两点间线段最短，A 、M′、E′共线

时），

最小值＝AM′＝2244()3

+＝410

． 【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM ′就是AE′+2

3

BE′的最小值，属于中考压轴题．

7．如图，抛物线y=﹣x 2+mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）． （1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．

【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2

(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）

(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．

【解析】

试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；

（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；

（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；

（2）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，

∴抛物线的对称轴是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．

作CH⊥x轴于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2

∴x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

，

解得：，

∴直线BC 的解析式为：y=﹣

x+2．

如图2，过点C 作CM ⊥EF 于M ，设E （a ，﹣a+2），F （a ，﹣

a 2+

a+2），

∴EF=﹣

a 2+

a+2﹣（﹣

a+2）=﹣a 2+2a （0≤x≤4）． ∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =BD?OC+

EF?CM+

EF?BN ， =+

a （﹣

a 2+2a ）+

（4﹣a ）（﹣

a 2+2a ），

=﹣a 2+4a+

（0≤x≤4）．

=﹣（a ﹣2）2+

∴a=2时，S 四边形CDBF 的面积最大=，

∴E （2，1）．

考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值

8．二次函数22(0)63

m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．

（1）当m =1时，求顶点P 的坐标； （2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63

m m

y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；

（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；

②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m

的值．

【答案】（1）P （2，

1

3

）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4． 【解析】 【分析】

（1）把m =1代入二次函数22(0)63

m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；

（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63

m m

y x x m m =

-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；

（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；

②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可． 【详解】

解：（1）当m =1时，二次函数为212

163

y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，

1

3

）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63

m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263

m m

b a a m =

-+，

即：2

263

m m b m a a -=

- ∵0b m ->，

∴

2263m m a a -＞0， ∵m ＞0，

∴2263

a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，

∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；

（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，

∵二次函数的解析式为2263

m m

y x x m =-+， ∴顶点P （2，

3

m

）， 当x=0时，y=m ， ∴点A （0，m ）， ∴OA=m ；

设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把点A （0，m ），点P （2，

3

m

）代入，得： 23

m b m

k b =??

?=+??， 解得：3m k b m

?

=-???=?，

∴直线AP 的解析式为y=3

m

-x+m ， 当y=0时，x=3，

∴点B （3，0）； ∴OB=3；

∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°， 且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB ， 在△ADF 和△ABO 中，

DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△ADF ≌△ABO （AAS ），

∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D 的坐标为：（m ，m+3）； ②由①同理可得：C （m+3，3），

∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，

∴当x =m 时，3y m ≤+，可得3

2

2363

m m

m m -+≤+，化简得：32418m m -≤．

∵0m >，∴2

184m m m -≤

，∴2

18(2)4m m

--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，

当5m ≥时，2

(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m

-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；

当x = m +3时，y ≥3，可得2

(3)2(3)

363

m m m m m ++-+≥，

∵0m >，∴2

1823m m m ++≥

，即2

18(1)2m m

++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，

当2m ≥时，2

(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m

++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；

综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4． 【点睛】

本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．

9．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数

()0k

y x x

=

>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”

（1）当1n =时．

①求线段AB 所在直线的函数表达式．

②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．

（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围． 【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当9

2

x =时，k 有最大值

8116

；当1x =时，k 有最小值2；（2）10

9n ≥；

【解析】 【分析】

（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-+，则219

44

k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；

（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k

x

），则得到2210

44

n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b

a -

≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】

解：（1）当1n =时，点B 为（5，1）， ①设直线AB 为y ax b =+，则

251a b a b +=??

+=?，解得：14

94a b ?=-????=??

， ∴19

44

y x =-

+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得19

44

y x =-

+， 设点P 为（x ，

k

x

），由点P 在线段AB 上则 1944

k x x =-+， ∴22191981

()444216

k x x x =-+=--+； ∵1

04

-

<， ∴当9

2x =

时，k 有最大值8116

； 当1x =时，k 有最小值2；

∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在9

2

x =

的位置时k 值最大． （2）∵()1,2A 、()5,B n ， 设直线AB 为y ax b =+，则

25a b a b n +=??

+=?，解得：24

104n a n b -?=???-?=??

， ∴21044

n n

y x --=

+， 设点P 为（x ，

k

x

），由点P 在线段AB 上则 2210

44

n n k x x --=

-， 当

2

04

n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意；