(完整版)圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

2017届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

模型一：“手电筒”模型

例题、（07山东）已知椭圆C ：13

2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m x y =+??+=?得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k -+=-?=++

222

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+

Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-，

1212122

y y

x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k --+++=+++，

整理得：2

71640m mk k ++=，解得：1222,7

k m k m =-=-

，且满足22

340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27k m =-

时，2

:()7

l y k x =-，直线过定点2(,0)7

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直

线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))

(,)((2

222022220b

a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）

◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节）

此模型解题步骤：

Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围；

Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练

练习1：过抛物线M:px y 22

=上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

练习2：过抛物线M:x y 42

=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。（经典例题，多种解法）

练习3：过122

=-y x 上的点作动弦AB 、AC 且3=?AC AB k k ，证明BC 恒过定点。（本题参考答案：

1,51(-）练习:4：设A 、B 是轨迹C ：2

2(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4

αβ+=

时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。（参考答案

()2,2p p -）

【答案】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,0x x ≠，又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4

αβ+=，

故0,4

αβ<<

，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为πAB 方程为

y kx b =+，显然22

12,22y y x x p p ==

，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2

220ky py pb -+=

由韦达定理知121222,p pb

y y y y k k

+=?=

① 由4παβ+=，得1＝tan tan()4

αβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122

122()4p y y y y p +- 将①式代入上式整理化简可得：

212p

b pk

=-，所以22b p pk =+，此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--=

所以直线AB 恒过定点()2,2p p -.

练习5：（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.

【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C

2222,2

),,(EC ME CM CA MN

ME E MN y x +===

，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=?+=+-?（

(Ⅱ) 点B (-1,0),

2121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.

080)()(88

811211221212222112211=+?=+++?+-=+?+-=+?y y y y y y y y y y y y x y x y 直线PQ

方程为:)8(1)(2

21112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-?---=

1,088)(8)()(122

112112==?=++?-=+-+?x y x y y y y x y y y y y y

所以,直线PQ 过定点(1,0)

练习6：已知点()()1,0,1,0,B C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r

（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；

（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直

线DE 是否过定点？试证明你的结论.

【解】（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得代入（5分）

).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将A m x y m A ∴== ,044,422=--=+=t mt y x y t my x DE 得代入的方程为设直线

）（（，则设*016)44,4),(),,(221212211>+-=?-=?=+t m t y y m y y y x E y x D

4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121++-?+++-=--+--=?∴y y y y x x x x y y x x AE AD

5)(2)4

4(4421212

2212221++-?++-?=y y y y y y y y 5)(242)(16)(212121221221++-?+?-+-?=y y y y y y y y y y

m m t t m t t m t 845605)4(2)4(4

)4(2)4(16)4(2222+=+-=+--+----=化简得

)1(23)1(434849622

22+±=-∴+=-++=+-m t m t m m t t ）即（即 0*,1252>?+-=+=∴）式检验均满足代入（或m t m t 1)2(5)2(+-=++=∴y m x y m x DE 或的方程为直线）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE ）

练习7：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2

=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l

交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.

（I ）证明: OM OP ?u u u u r u u u r

为定值;

（II ）若△POM 的面积为2

，求向量OM 与OP 的夹角；

（Ⅲ）证明直线PQ 恒过一个定点.

解：（I ）设点P y y P y y M Θ),,4(),,4(22

121、M 、A 三点共线， ,4

414,2

212

1211y y y y y y k k DM AM --=+=∴即 4,14212

1211=∴+=+y y y y y y 即 .54

42122

21=+?=

?∴y y y y OP OM (II)设∠POM =α，则.5cos ||||=??αOP OM

.5sin ||||,2

=??∴=

?αOP OM S ROM Θ由此可得tan α=1. 又.45,45),,0(??=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα

(Ⅲ)设点M y y Q Θ),,4(323

、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴ 31332222

331313

3133131311,,41444

(1)()4,40.11y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+==-++-∴++=-+++=L L L L 即即即分

,044

4,4,432322121=+++?∴==y y y y y y y y 即Θ

第22题

即.(*)04)(43232=+++y y y y

2232

232y y y y y y k PQ +=--=

Θ )4(

2322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线

即.4)(,4))((32322

2322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即

由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.

模型二：切点弦恒过定点

例题：有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为2

00r y y y x =+”，类比也有

结论：“椭圆),()0(10022

22y x P b a b

y a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+b y y a x x ”，过椭圆C ：

=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B. （1）求证：直线AB 恒过一定点；

（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积。

【解】（1）设M 14),,(),(),)(,33

11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ∵点M 在MA 上∴13311=+ty x ① 同理可得13

322=+ty x ② 由①②知AB 的方程为)1(3,13

ty x ty x -==+即易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）

（2）把AB 的方程0167,14

)1(322

=--=+-=y y y x y x 化简得代入 ∴7167283631||=+?+=AB 又M 到AB 的距离33

231|

334|=+=d ∴△ABM 的面积21

16||21=??=d AB S

◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用

本题的书写步骤替换之，大家注意过程。

◆方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？

参考：PPT 圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料

练习1：（2013年广东省数学（理）卷）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线

l :20x y --=的距离为

.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.

(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;

(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ?的最小值.

【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为2

4x cy =,由

结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为2

4x y =.

(Ⅱ) 抛物线C 的方程为2

4x y =,即214y x =

,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中22

1212,44x x y y ==), 则切线,PA PB 的斜率分别为11

x ,212x ,

所以切线PA ：()1

112

x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=

因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ?=++=+++

联立方程002220

4x x y y x y

--=??=?,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=

由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2

120y y y =

所以()2

1212000121AF BF y y y y y x y ?=+++=+-+

又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,

所以2

0000001921225222y x y y y y ?

?+-+=++=++ ??

所以当01

y =-时, AF BF ?取得最小值,且最小值为92.

练习2：（2013年辽宁数学（理））如图,抛物线()22

12:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在

抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )012x =-,切线.MA 的斜率为1

. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方.(),,.A B O O 重合于时中点为

【答案】

模型三：相交弦过定点

相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。

例题：如图，已知直线L：)0

x过椭圆的右焦点F，且交椭圆C于

A、B两点，点A、B在直线2

G x a

=上的射影依次为点D、E。连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

法一：解：)0,

(

0,1(2a

Θ先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，

AE与BD相交于FK中点N ,且)0,

(

。

猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点)0,

(

N 证明：设)

(

A，当m变化时首先AE过定点N

2222222

222222

22222

1212

()2(1)0 (8)

4(1)0(1)

()

(()

(

AN EN

x my

a b m y mb y b a

b x a y a b

a b a m b a

y y

K K

a a

y y my y

K K

a a

y y my y

a mb

+++-=

+-=

?=+->>

-==

=?-

即分

又

而

这是

22222

222

(1)

)

(1)()

b a

m b a m b

a m

b mb

a m b

-?-

∴K AN=K EN∴A、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线

∴AE与BD相交于定点)0,

(

法2：本题也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得与x轴交点M、N,然后两个坐标相减=0.计算量也不大。

◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。

例题、已知椭圆C：

+=，若直线:(2)

l x t t

=>与x轴交于点T,点P为直线l上异于点

T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

方法1：点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N 的坐标。动点P在直线:(2)

l x t t

=>上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。

解：设

(,)

M x y，

(,)

N x y，直线

A M的斜率为

k,则直线

A M的方程为

(2)

y k x

=+，由

(2)

y k x

x y

消y整理得222

121

(14)161640

k x k x k

+++-=

Q和是方程的两个根，

164

∴-=

则

，1

，即点M的坐标为

284

(,)

1414

k k

，

同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为

824

(,)

1414

k k

(2),(2)

p p

y k t y k t

=+=-

k k

k k t

∴=-

，Q直线MN的方程为：121

121

y y y y

x x x x

，

∴令y=0，得2112

x y x y

y y

，将点M、N的坐标代入，化简后得：

又2

Q，∴

∴=，即

故当

t=时，MN过椭圆的焦点。

方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标－2是方程222

121

(14)161640

k x k x k

+++-=的一个根，结合韦达定理，得到点M的横纵坐标：

，1

；其实由2

(2)

y k x

x y

消y整理得

222

(14)161640

k x k x k

+-+-=，得到

164

，即

，2

很快。不过如果看到：将

164

中的

k k

用换下来，

x前的系数2用－2换下来，就得点N的坐标

824

(,)

1414

k k

，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。

本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即在直线1A M 上也在直线A 2N 上，进而得到12122

k k k k t

-=-+，由直

线MN 的方程121121y y y y

x x x x --=--得直线与x 轴的交点，即横截距2112

x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简易得4x t =

，由4

=解出433t =，到此不要忘了考察433t =是否满足2t >。

◆方法2：先猜想过定点，设弦MN 的方程，得出N A M A 21、方程，进而得出与T 交点Q 、S ，两坐标相减=0.

如下：

时，猜想成立。显然，当韦达定理代入整理）（：易得、相较于若分别于得直线方程：）（）（设求出范围；）（联立椭圆方程，整理：设3

4)]

)(43()43(44-[)2)(2(1)

2)(2()

)(43())(3(24)2(2

)2(2))2(2

,(,)2(2,

);2(2

:),2(2:,,,,;01324,3:212

21212121212211221122

1122112221=

--+-++-=+---++-+-=

-----=-------=--=

?=-+++=t y y t t m m

x x x x y y t y y t y my t x y

t x y y y t x y t S t x y t Q S Q l x x y y l x x y y l y x N y x M my y m my x l S Q T N A M A MN

◆方法总结：法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已。因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了。相较法1，未知数更少，思路更明确。

练习1：（10江苏）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆x 29+y 2

=1的左右顶点为A,B ，右焦点为F ，

设过点T(t,m)的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，其中m>0,y 1>0,y 2<0.

⑴设动点P 满足PF 2－PB 2=4,求点P 的轨迹

⑵设x 1=2,x 2=1

，求点T 的坐标

⑶设t=9,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)

解析：问3与上题同。

练习2：已知椭圆E 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A -、(2,0)B 、31,2C ?? ???

三点．过椭圆的右焦点F 任做一与坐标轴不平行的直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，AM 与BN 所在的直线交于点Q.

（1）求椭圆E的方程：

（2）是否存在这样直线m，使得点Q恒在直线m上移动？若存在,求出直线m方程,若不存在,请说明理由.

解析：（1）设椭圆方程为221(0,0),

mx my m n

+=>>

将(2,0)

A-、(2,0)

B、

(1,)

C代入椭圆E的方程，得

41,

m n

解得

m n

==. ∴椭圆E的方程

x y

（也可设标准方程，知2

a类似计分）

（2）可知：将直线:(1)

l y k x

代入椭圆E的方程

x y

+=并整理．得2222

(34)84(3)0

k x k x k

+-+-=

设直线l与椭圆E的交点1122

(,),(,)

M x y N x y，

由根系数的关系，得

1212

14(3)

3434

x x x x

k k

+==

直线AM的方程为：11

(1)

(2),(2)

y k x

y x y x

x x

=+=+

即

由直线AM的方程为：2

(2)

y x

，即2

(1)

(2)

k x

y x

由直线AM与直线BN的方程消去y，得

121212122

12122

2(3)2[23()4]

34()24

x x x x x x x x x

x x x x x

-+-++

+-++-

222

8(3)2446

244

343434

846

3434

k k k

x x

k k k

k k

x x

k k

????

-+-+

+++

????

===

-+-+

∴直线AM与直线BN的交点在直线4

x=上．故这样的直线存在

模型四：动圆过定点问题

动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。

例题 1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>

2 y x b =+并且直线是抛物线x y 42=的一条切线。（I ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点)3

1,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（I ）由0)42(:4222

=+-+???=+=b x b x y x y b

x y 得消去因直线x y b x y 42=+=与抛物线相切04)42(2

=--=?∴b b 1=∴b

22222

1,,22c a b e a b c a a a -===+∴=∴=Q .12

22=+y x （II ）当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：222

4()31(=++y x

当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：12

=+y x ,由???==??

?=+=++101

)34()31(22222

y x y x y x 解得即两圆相切于点（0，1）

因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T （0，1）就是所求的点，证明如下。当直线L 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T （0，1）

若直线L 不垂直于x 轴，可设直线L ：3

=kx y 由01612)918(:12

312222

=--+???????

=+-=kx x k y y x kx y 得消去记点),(11y x A 、???

???

+-=+=+9181691812),,(221221

2k x x k k x x y x B 则 1122(,1),(,1),TA x y TB x y =-=-u u r u u r 又因为 1212121244

(1)(1)()()33

TA TB x x y y x x kx kx ?=+--=+--u u r u u r 所以

916)(34)1(21212++-+=x x k x x k 09

918123491816)1(2

22=++?-+-?+=k k k k k ∴TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T （0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件.

◆方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角。

例题2：如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

，12,A A 分别是椭圆C 的左、右两个

顶点，点F 是椭圆C 的右焦点。点D 是x 轴上位于2A 右侧的一点，且满足

121122A D A D FD

+==。（1）求椭圆C 的方程以及点D 的坐标；

（2）过点D 作x 轴的垂线n ，再作直线:l y kx m =+ 与椭圆C 有且仅有一个公共点P ，直线l 交直线n 于点 Q 。求证：以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标。解：（1）12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，设(,0)D x ，

由

1211

2A D A D

+=有112x a x a +=+-，又1FD =，1,1x c x c ∴-=∴=+，于是

211c a c a +=+++-

1(1)(1)c c a c a ?+=+++-

，又c a a =?=Q ，

1(1)(1)c c c ∴+=+++

0c c ?-=，又0c >

，1,1c a b ∴=∴==，椭圆2

2:12

x C y +=，且(2,0)D 。

（2）方法1：(2,2)Q k m +Q ，设00(,)P x y ，由22

()121

y kx m

x kx m x y =+???++=?+=?? 222()2x kx m ?++=222(21)4220k x kmx m ?+++-=，

由于2

164(21)(22)021021k m k m k m m k ?=-+-=?-+=?=+（*），

而由韦达定理：*00

222422222121km km km k x x k k m m ---=?===-++由（）， 20021k y kx m m m m ∴=+=-+=，21

(,)k P m m

∴-，

设以线段PQ 为直径的圆上任意一点(,)M x y ，由0MP MQ ?=u u u r u u u u r

有

2221212()(2)()((2))0(2)(2)(1)0k k k

x x y y k m x y x k m y m m m m m +-+--+=?++-++++-=由对

称性知定点在x 轴上，令0y =，取1x =时满足上式，故过定点(1,0)K 。

法2：本题又解：取极值，PQ 与AD 平行，易得与X 轴相交于F （1,0）。接下来用相似证明PF ⊥FQ 。

;22,,0000=+y y x x PQ y x P 切线方程为易得）（设)1,

0(0

y x D -易得 FD PH ⊥设

0090,;1;1;1;=∠??==-=

-==PFQ FDQ PHF FD DQ

PH HF DF y x DQ x HF y PH ，易得相似于固

问题得证。

练习：（10广州二模文）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点2F 与抛物线2

2:4C y x =的焦点重

合，椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ，25

||3

PF =.圆3C 的圆心T 是抛物线2C 上的动点,圆3

C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =. （1）求椭圆1C 的方程；

（2）证明:无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点.

（1）解法1：∵抛物线2

2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，∴点2F 的坐标为(1,0).

∴椭圆1C 的左焦点1F 的坐标为1(1,0)F -，抛物线2C 的准线方程为1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由抛物线的定义可知211PF x =+,∵253

PF =

,∴1513x +=，解得123x =.由2

11843y x ==，且10y >,

得1y =∴点P

的坐标为23,

? ?. 在椭圆1C :22221(0)x y a b a b +=>>中， 1c =

.122||||4a PF PF =+==

∴2,a b ===∴椭圆1C 的方程为22143

x y +=. 解法2：∵抛物线2

2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，∴点2F 的坐标为(1,0).∴ 抛物线2C 的准线方程为

1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由抛物线的定义可知211PF x =+,

∵253

PF =

,∴1513x +=，解得123x =.由2

11843y x ==，且10y >

得1y =∴点P

的坐标为2(3.在椭圆1C :22221(0)x y a b a b +=>>中，1c =.

由222

221424

199c ,a b c ,.

b ?

?=?=+???+=?

解得2,a b ==∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. （2）证法1: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ，

∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴

||4MN ==.

∴r =

∴圆3C 的方程为222

000()()4x x y y x -+-=+.()*

∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2

004y x =(00x ≥).∴2

0014

x y =

. 把20014

x y =

代入()* 消去0x 整理得:22200(1)2()024x y yy x y +---+=.()**

方程()**对任意实数0y 恒成立，∴2210,220,40.

x y x y ?-=??-=??+-=??

解得2,

0.x y =??=?

∵点(2,0)在椭圆1C :22

143

x y +=上,∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0. 证法2: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ，

∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2

004y x =(00x ≥).

∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴

||4MN ==.∴

r =

∴ 圆3C 的方程为222

000()()4x x y y x -+-=+.()***

令00x =,则2004y x =0=,得00y =.此时圆3C 的方程为22

4x y +=.

由22224,

1,4

3x y x y

?+=??+=??解得2,0.x y =±??=?∴圆3C :22

4x y +=与椭圆1C 的两个交点为()2,0、()2,0-. 分别把点()2,0、()2,0-代入方程()***进行检验，可知点()2,0恒符合方程()***，点()2,0-不

恒符合方程()***.∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0.