6.5自由变形(FFD)技术

基于任意拓扑网格的FFD方法

三变量三次均匀B样条体的细分方法： 给定一个定义三变量B样条体的控制网格L，细分方法生成一个新的 控制网格L1，L1包含了L一次细分后的所有顶点。可分为 1.单元点（Cell point） 网格中构成该单元所有点的平均 2.面点（Face point）


3.边点（Edge point）
b0 2 b1 1
0 b3
b1 0
b1 2
P0 P1 0 P2 1 b3 P单纯形中连接的两个顶点 面（Face）：顶点的最小连接环 单元（Cell）：由一系列面包围的空间区域
基于任意拓扑网格的FFD方法

基于任意拓扑网格的性质:

1.网格具有好的连接性质，即没有顶点位于不包含该顶点的边上。 2.所有的单元都是闭的，即构成单元的面不包含任何洞。 3.任何两个单元互不相交，即不考虑自交的网格。
自由变形方法FFD

设FFD块的三个坐标方向为（S，T，U）
一个FFD块由（3l + 1) * (3m + 1) * (3n + 1)个控制顶点定义 等价于：由l*m*n个三三次超曲面构成。
FFD块对物体变形的步骤： 1. 确定物体的顶点（或控制顶点）在网格空间的位置。建立FFD块的局部坐标系： X（s,t,u) = X0 + Ss + tT + Uu


EFFD允许FFD型网格作为它结构的一部分，许多个FFD型网格可合并成 EFFD型网格。
EFFD（扩展的FFD方法）
EFFD（扩展的FFD方法）

变形步聚： 1.给定物体上的一点Q，首先利用超曲面的凸包性质找到Q所在的超 曲面，然后对方程进行牛顿迭代，求得Q在相应超曲面的局部坐标系 （u,v,w）。其中Pi,j,k为该超曲面变形前的控制顶点。 2.移动EFFD块的控制顶点 3.根据曲面方程，求得Q变形后的位置
4.顶点点（Vertex point）

基于任意拓扑网格的FFD方法
价：单元C中包含顶点V的边的数目。 类n单元：给定网格L中一个单元C，考虑C中价为n的顶点V。经过一 次细分后，生成一个从V开始的新单元，它包含2n个四边形，两个价 为n的顶点和2n-2个价为3的顶点。


基于任意拓扑网格的FFD方法
细分体的边界控制

三变量Catmull-Clark细分方法应用于任意拓扑的网格时，得到的可变 形空间与网格的形状不一致，通常从网格的边界向里收缩。
细分体的边界控制

具有边界和边控制的Catmull-Clark体
可变形空间及变形过程

空间点P相对于单元C的相对位置。 对于类3单元，用三线性插值也计算P点的相对位置 对于类n单元，首先把单元分割成四面体，然后用分片三线性插 值来调整点P在变形后单元的位置。 变形过程： 1.构造控制网格，把物体放于网格内。 2.网格相对于物体冻结。 3.计算可变区域内每一点P对于该单元的相对位置。 对于类n单元，算得三线性插值参数（u,v,w)

即求解P(u,v,w) = P0 + u(P1-P0)+ v(P2-P0) + w(P3-P0) 4.移动原始网格的顶点，使它产生变形，并把变形后的细分n次。 对于可变形区域内物体上点P，根据上一步求得的索引号找到 变形后网格对应的单元，再根据该点P的参数(u,v,w)计算P变 形后的点。
X0为局部坐标系的原点（FFD块的一个角点） (S,T,U)为网格三条互相垂直的边 设网格为正方体，则控制顶点为：
自由变形方法FFD
2.变形FFD块。即移动控制顶点Pi,j,k
3.确定顶点变形后的位置。
自由变形方法FFD
EFFD（扩展的FFD方法）

FFD只适用于平行六面体的网格形状 1990年，Coquillart提出一种扩展的FFD方法，适用于非平行六面体 的网格形状。 EFFD构造：
直接操纵的FFD

核心问题：单个点直接操纵的约束问题 （物体上一点Q从源位置Q1到目标位置Q2，求网格控制顶点的某种布 局）



根据FFD方程：Q1 ＝ BP Q2 ＝ B（P + ΔP） ＝》 ΔQ ＝ Q2 － Q1 ＝ BΔP 根据矩阵论知识：可推出 ΔP = （B+）+ ΔQ (B+)为B的广义逆
B

1
B
2
BT
直接操纵的FFD

边界控制顶点的重数为3，且要保 证重数为3的顶点必须重合 则添加一个矩阵S ＝》ΔP = （BS+）+ ΔQ
0 0 S 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
0 b1

对于多个点的约束问题：
Q0 b 0 0 Q1 0
自由变形(FFD)技术
柴学梁
自由变形方法FFD
1986年，Sederderg等提出的适用于柔性物体动画的更为一般方法。 不直接操作物体，而是将物体嵌入一空间，随所嵌空间的变形而变形。 对于二维情况（双三次Bezier曲面）：
自由变形方法FFD
对于三维情况（三三次Bezier超曲面）：



将一正方体映射为弯曲的体物。 Bezier体由64个控制顶点Pi,j,k来指定，当物体嵌入正方体时，物体随Q(u,v,w) 的变形而变形。 多个Bezier超曲面可拼接生成一分段光滑的Bezier体，即FFD体 由三根互相垂直的坐标轴排形的长方体结构的控制顶点网格，称Lattice



基于任意拓扑网格的FFD方法

1996年，MacCracken提出一种允许网格为任意拓扑形状的更一般的 FFD方法。 变形空间曲细分（Subdivision）方法来定义生成体。 用网格定义变形空间：
一个网格（L）定义为由一系列顶点集｛P0，P1,…,Pn｝和一指定它们连 接关系的单纯形组成。 网格的组成：
直接操纵的FFD变形方法

移动控制顶点的FFD变形方法存在的问题：

1.难是得到精确的变形形状。 2.难以使得物体上的某些点到达指定的位置。 3.难以了解控制顶点的移动和物体变形结果之间的关系。 4.当控制顶点数目多或被变形物体遮挡时，移动控制顶点困难。
1992年，Hsu等人提出直接操纵FFD变形方法。 核心思想：用户从物体上选择一个点，并把该点移动到变形后的位置， 系统自动反求导致这种变化的FFD控制顶点的变化。