第一讲 分式的化简与求值
分式的化简求值
3．先化简，再求值： ，其中 ．
4．先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中a=4．
复
习
小
结
1、分式的化简求值题型是近年来学业水平考试的考点与热点，几乎每年都考查；
2、解分式的化简求值题型要注意：（1）加减法其实是通分，乘除法其实是先进行因式分解，再约分；
即： ；
② 异分母的分式相加减：先通分，变成同分母的分式，再加减.
即： ；
⑵ 乘法法则：分子乘分子，分母乘分母，能约分的先约分.
乘方法则：把分子、分母分别乘方；
⑶ 除法法则：除以一个分式，等于乘上它的倒数；
（4）分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
复
习
练
习
设
计
1．（2012•云南）化简求值： ，其中 ．
复习重点
会进行分式的化简求值；
复习难点
分式的化简求值中的分式的通分，分解约分；
复习方法
系统归纳法，讲练结合法；
知
识
体
系
归
纳
1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为 .
2. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式；
2．（2014•云南）化简求值： •（ ），其中x= ．
3．（2015•云南）化简求值：[ ﹣ ]• ，其中x= +1．
4.（2013•曲靖）化简求值： ，其中 .
5.（2014•曲靖）化简求值: ：，其中 .
6.（2014•昆明）化简求值: ,其中
专题 分式的化简与求值 课后练习一及详解
已知a,b,c为△ABC的三边，且分式 无意义，则△ABC为三角形.
题2
化简分式：
题3
已知 ， ， ，求代数式 的值．
题4
已知n＞1，M＝，N＝，P＝，则M、N、P的大小关系为（）
A.M＞N＞PB.M＞P＞NC.P＞M＞ND.P＞N＞M
题5
已知x2－5x－2009＝0，则代数式 的值为.
题6
不等于0的三个数a、b、c满足 ，求证a、b、c中至少有两个互为相反数．
题5
答案：－2.
详解：首先对 进行化简，然后根据化简结果采取适当的方法代入求值.===－2.
题6
答案：a、b、c中至少有两个互为相反数．
详解：对式子 进行整理得：(a+b)(b+c)(c+a)＝0，故a、b、c中至少有两个互为相反数
课后练习详解
题1
答案：等边
详解：因为分式无意义，所以分母为0，即 ，整理可得： ，所以a=b=c.故△ABC为等边三角形.
题2
答案详解：由 和 得， ，由x+y+z=2，得
z=2－x－y，x=2－y－z，y＝2－x－z，所以
原式= .
题4
答案：B
详解：首先比较M与P的大小。因为n－1 <n+1,所以M>P；其次比较M与N的大小.因为n>n－1,n－1<n，所以M>N；最后比较N与P的大小.采用做差法.N－P=－=－<0，所以P>N.所以B正确.
分式的化简与求值
分式运算巧解学习目标：1.熟练运用分式的法则进行混合运算；2.巧妙灵活运用所学过的知识准确、快速地进行分式运算。
学习重点：分式运算的解题技巧学习难点：提炼分式运算技巧学习过程：一、学习准备1.分式混合运算时，要注意运算顺序（1）在没有括号的情况下，按的方向，先，再，然后 .（2）有括号要按先，再，最后的顺序。
混合运算后的结果分子、分母要进行约分.注意：最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.2.分式的混合运算注意以下几点：（1）一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便. （2）要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以便约分或通分时备用，可避免运算烦琐.（3）注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”.（4）结果要化为最简分式.二、典例示范1.计算类【例1】计算下列各式：（1）444242222++-+++x x x x x x x ； （2）242++-a a ；（3）11)112(2-÷---x x x x x ；（4）()()()()()()()100991...32121111--++--+--+-x x x x x x x x ；（5）4214121111xx x x ++++++-； （6）()()()()11221122---------÷-++÷-b a b a b a b a.巧解策略：【即时练习1】 计算下列各式： （1）2222a 93a 6a 3a 2a 3a 1--+----； (2)4a 2a 2-+-；(3)xx x x x x 22)44121(222-÷+---； (4))2016)(2015(1)2015)(2014(1...)3)(2(1)2)(1(1)1(1++++++++++++++x x x x x x x x x x (5)1684211618141211xx x x x --+++++++；(6)12122121212----+---------m m m m m m m .2.化简求值类【例2】完成下列各题：（1）先化简，再求值：222()1121x x x xx x x x --÷---+，其中x 满足-1≤x ≤2且为整数；（2）先化简，再求值：2221(1)11a a a a a --÷---+，其中a 是方程x 2-x=6的根；（3）下课了，老师给大家布置了一道作业题：当31+=x 时，求代数式()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷-+-x 21x 1x x 1x 1x222的值，雯雯一看，感慨道：“今天的作业要算得久啊！”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗？请写出你的求解过程.巧解策略：【即时练习2】完成下列各题：（1）先化简，再求值：231(1)22x x x --÷++，其中x 是不等式组20218x x ->⎧⎨+<⎩的整数解；（2）先化简，再求值：235(2)362m m m m m -÷+---，其中m 是方程x 2+3x-1=0的根；（3）有这样一道试题：“先化简，在求值：,4x 14x x 42x 2x 22-÷⎪⎭⎫⎝⎛-++-其中3-=x .”马虎做该题时把“3-=x ”错抄成“3=x ”，但他的计算结果却是正确的，你能解释一下其中的原因吗？ 【例3】完成下列各题：（1）已知43y x =，求22222323yxy x y xy x -++-的值；（2）已知a b 、都是正实数，且b a b a +=-211，求222327bab a ab -+的值；（3）已知51=+x x ，求①221xx +；②44-+x x ；③1242++x x x 的值；（4）设1=abc ,求111++++++++c ac c b bc b a ab a 的值.巧解策略：【即时练习3】完成下列各题： （1）如果的值求zy x z y x -+++≠==zy x ,0432；（2）若133=-y x ，求xyy x x yx 3235222-+的值；（3）若71=-m m ，求①22m m --；②441mm -；③1242++m m m 的值；（4）已知三个数x ，y ，z ，满足442,,,33xy yz zx x yy zz x=-==-+++求yzxz xy xyz++的值．3.创新综合类 【例11】已知k bca a cbc b a =+=+=+，判断一次函数y kx k =-一定经过那些象限？巧解策略：【即时练习4】知a b c 、、均是不等于0的有理数，试求：b ab ac a c bc abca b c ab bc ac abc++++++的值？【例12】对于正数x ，规定1()1f x x =+，例如：11(4)145f ==+，114()14514f ==+，则111(2012)(2011)(2)(1)()()()220112012f f f f f f f ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= .已巧解策略：【即时练习5】读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算201211(1)n n n ==+∑．三、反思小结星级达标1.先化简,再求值:⎪⎪⎭⎫⎝⎛--÷-x y xy x x y x 22，其中1,2-==y x .2.先化简,再求值:若,1xx =求 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-÷+-323434x x x x x x x 的值？3.阅读下面题目的解答过程，然后回答问题，计算：÷+-4412x x )4(222x x x ---+ 解：原式=)2)(2(22)2(12x x x x x +-⋅-+÷- …… 第一步 =)2)(2(22)2(12x x x x x +-⋅+-⨯- …… 第二步 =1 …… 第三步回答：⑴.上述过程中，第一步使用的公式的字母表达式为 ；⑵.第二步使用的法则的字母的表达式 ； ⑶.由第二步到第三步所用的运算方法是 ； ⑷.在以上三步中，第 步有错误，请写出正确答案.4.当a b 0->时，有a b >; a b 0-=时，有a b =; 当a b 0-<时，有a b <. 请运用上面的结论解答下面的问题：,x 0y 0>>时，计算222444y xy x x +--22)2(x y y -的值，并比222444yxy x x +-与22)2(x y y -的大小？。
分式化简求值复习ppt课件
x 1
xx 1
x
1x 1 x 12
xx 1
x 1
当x=2013时，原式=2013
x
直击中考
11.（2013本溪市）先化简，在求值：
(
m
m2 1 2 2m
1
m
m 2
m
)
(1
2 m
)，其中m=-3
解：( m
m2 1 2 2m
1
m m2
m
)
(1
2 m
)
m 1m 1 m 12
m
mm 1
m m
2
4 2
] a
4
3
2
当a
3 2时，原式
1 32-2
1 3
3 3
6.（2013铁岭市）先化简，在求值：(1
7.（2013鞍山市）先化简，在求值：
a
1
) 1
a
2
4a a2 1
4
其中a=-2
(x 3 7 ) 4 x x3 x3
，其中 x
2 4
8.（2013抚顺市）先化简，在求值：(a 1
用符号语言表达： a c ac b d bd
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置
后再与被除式相乘。
a 用符号语言表达： c a d ad b d b c bc
分式的加减
同分母相加
B C BC AA A
异分母相加
B C BD CA BD AC
A D AD AD
AD
通分
在分式有关的运算中，一般总是先把分子、 分母分解因式；
足__x___3__
x3
1.分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘以(或除以) 一个不为0的整式 分式的值 不变
分式的化简求值
3、
解：原式=………… =…………
在-1,0,1,2中，要使分式有意义，a只能取_2__. 当a=2时，原式=…………
4、化简分式
，
并在-1≤x≤1中选一个你认为合适的整数x代 入求值.
解：原式=………… =…………
∵ -1≤x≤1且x为整数，
∴若使分式有意义，x只能取___. 当x=____时，原式=…………
混合运算的特点：是整式运算、因式分解、 分式运算的综合运用，综合性强，是本章学习的 重点和难点。
注意：
1.关键是要正确使用相应的运算法则和运算顺序； 2.正确的使用运算律，尽量简化运算过程； 3.结果必须化为最简。
结语
谢谢大家！
2、基础展示
⑴ (1 b )1 ( a )
ab ab
·
⑵
( 2x x ) ÷ x3 x3
1 x2
9
⑶
2a2
1
ab
b ab b 4
（3）(xx2224x)x2x2
（4）
( a b )(11) ab ba a bຫໍສະໝຸດ 做第10页习题3、4、5题
归纳：
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算 加减；同级运算依次计算；若有括号要先算括 号。
点评：在x 化 简y 中要有整体思想意识，运用技巧。
要注意分式中的隐含条件，分母不为0是分式学 习的要点。
6、综合拓展
（2010
贵州贵阳）先化简：
a2 a2
ba2ba2abab2
当b=-1时，再从-2＜a＜2的范围内选取一个合适的 整数a代入求值。
解：原式= (ab)a (b)a22abb2
a(ab)
当 x1时 ，原1式 1 12 3
第三章分式的化简求值问题
第三章：分式一、中考要求：1 •经历用字母表示现实情境中数量关系（分式、分式方程）的过程，了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号感.2•经历通过观察、归纳、类比、猜想、获得分式的基本性质、分式乘除运算法则、分式加减运算法则的过程，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力.3•熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）会检验分式方程的根.4.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识.5 •通过学习，能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值.二、中考卷研究（一）中考对知识点的考查：本章多考查分式的意义、性质，运算也是中考热点之一，另外分式方程及其应用也是热点考题.本章还多考查方程思想和转化思想以及学生收集和处理信息的能力，获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力.三、中考命题趋势及复习对策本章内容是中考命题的重要内容之一，在中考中占有一定的比例，命题的形式有填空、选择、计算、解答题，占4〜12分，主要考查学生对概念的理解和运用基础知识、计算、分析判断的能力.针对中考命题趋势，在复习时应夯实基础知识，锻炼计算能力，还应在方程的应用上多下功夫、加大力度，多观察日常生活中的实际问题.★★★ （I ）考点突破★★★考点1：分式的运算、考点讲解：A1.分式：整式A除以整式B，可以表示成g的形式，如果除式B中含有字母，那么称令错误!为分式. 注：（1 ）若B z 0，则错误！有意义；（2）若B=0，则错误！无意义；（2）若A=0且B z0,则错误!=02 .分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.3 .约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分.4 .通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.5 •分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.6 •分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.7 .通分注意事项：（1 ）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉.8 .分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.9 .对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值.二、经典考题剖析：【考题1 - 1】（2004、南宁，2分）当x 时，分式错误！有意义.解：z 1点拨：考查分式有意义的条件 1 - x z 0,即X z 1.解：一1【考题1 —2】（2004、青岛）化简: a 2.a24a 4(a 2)【考题1 - 3】（2004、贵阳，8分）先化简，再求 2值：（3x x x 1，其中 x 2 2。
专题04分式的运算与化简求值篇(原卷版+解析)
专题04 分式的运算与化简求值1.因式分解的方法：①提公因式法：()cbamcmbmam++=++；②公式法：平方差公式：()()bababa-+=-22；完全平方公式：()2222bababa±=+±。
③十字相乘法：在cbxx++2中，若()均为整数，且nmbnmmnc=+=，则：()()nxmxcbxx++=++2。
2.分式的性质：分式的分子与分母同时乘上或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变。
()0≠÷÷==CCBCABCACBA3.约分与通分：①约分：将分式中能进行分解因式的分子分母分解因式，约掉公因式。
公因式等于系数的最大公约数乘上相同字母或式子的最低次幂。
②通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式的过程。
公分母等于系数的最小公倍数乘上所有式子的最高次幂。
4.分式的乘除运算：①乘法运算步骤：I：对分子分母因式分解；II：约掉公因式；III：分子乘以分子得到积的分子，分母乘以分母得到积的分母。
②除法运算法则：除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。
5.分式的加减运算：具体步骤：I：对能分解的分母进行因式分解，并求出公分母；II：将分式通分成同分母；III：分母不变，分子相加减。
6.分式的化简求值：将分式按照加减乘除的运算法则化简至最简分式，然后带入已知数据求值即可。
1．（2022•西藏）计算：224222---⋅+a a a a a a ．2．（2022•兰州）计算：()x x x x +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+211．3．（2022•大连）计算：x x x x x x x 1422444222--+÷+--．4．（2022•十堰）计算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷-a ab b a a b a 2222．5．（2022•常德）化简：212312+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-a a a a a ．6．（2022•内蒙古）先化简，再求值：1441132-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x ，其中x ＝3．7．（2022•阜新）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-+-21129622a a a a a ，其中a ＝4．8．（2022•资阳）先化简，再求值．111122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a ，其中a ＝﹣3．9．（2022•黄石）先化简，再求值：1961212+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a a a ，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a 的值代入求值．10．（2022•朝阳）先化简，再求值：323444222++-+÷+--x x x x x x x x ，其中x ＝（21）﹣2．11．（2022•锦州）先化简，再求值：212112--÷⎪⎭⎫⎝⎛-++x x x x ，其中13-=x ．12．（2022•盘锦）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-÷--1111231322x x x x x x ，其中12+-=x ．13．（2022•郴州）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛-++÷-2221b a b b a b a ab ，其中a ＝5+1，b ＝5﹣1．14．（2022•营口）先化简，再求值：14412512+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+a a a a a a ，其中a ＝9+|﹣2|﹣（21）﹣1．15．（2022•绵阳）（1）计算：2tan60°+|3﹣2|+（20221）﹣1﹣212；（2）先化简，再求值：y x y x y x y x x y x -+÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3，其中x ＝1，y ＝100．专题04 分式的运算与化简求值7. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22；完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。
初中数学(初二)考点：分式的化简求值
1、考点名称:分式的化简求值5年考试次数:327考点内容:(1) 先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.(2) 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.(3) 化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.规律方法：分式化简求值时需注意的问题：1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.2、考点名称:解分式方程5年考试次数:247考点内容:(1)解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.(2)解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验:①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时,一定要检验.3、考点名称:分式方程的应用5年考试次数:151考点内容:1、列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力. 4、考点名称:待定系数法求一次函数解析式5年考试次数:76考点内容:待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.5、考点名称:三角形内角和定理5年考试次数:106考点内容:(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角6、考点名称:全等三角形的判定5年考试次数:136考点内容:(1)判定定理1:SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2:SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3:ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4:AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5:HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.7、考点名称:等腰三角形的判定5年考试次数:44考点内容:判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.简称:等边对等角说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.8、考点名称:勾股定理5年考试次数:760考点内容:(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:、及(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.9、考点名称:三角形中位线定理5年考试次数:229考点内容:(1)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.(2)几何语言: 如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC,DE=BC.10、考点名称:平行四边形的判定5年考试次数:102考点内容:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形.。
初一 分式化简求值常用技巧
分式化简求值常用技巧知识要点：一：“运算符号”点拨：对于两个分母互为相反数的分式相加减，只须把其中一个分式的分母的运算符号提出来，即可化成同分母分式进行相加减。
例1：求ab a b a b 24222-+-二：“常用数学运算公式”点拨：在求分式的值时，有些数学运算公式直接应用难以奏效，这时，需要对这些数学公式进行 变形应用。
例2：若0132=+-a a ，则331a a +的值为______评注：在求分式的值时，要高度重视以下这些经过变形后的公式的应用：①))((22b a b a b a -+=- ②ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+③)(3)(]3))[(())((322233b a ab b a ab b a b a b ab a b a b a +-+=-++=+-+=+④)(3)(]3))[(())((322233b a ab b a ab b a b a b ab a b a b a -+-=+--=++-=- ⑤])()[(4122b a b a ab --+=三：“分式的分子或分母”点拨：对于分子或分母含有比较繁杂多项式的分式求值，往往需要对这些多项式进行分解因式变形处理，然后再代题设条件式进行求值。
例3：已知5,3-==+xy y x ，求2222223xy y x y xy x +++的值。
四：“原分式中的分子和分母的位置”点拨：对于那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式，倘若直接求值，则难以求解。
但是，我们可以先从其倒数形式入手，然后再对所求得的值取其倒数，则可以把问题简单化。
例4：已知3112=++x x x ，则1242++x x x 的值为______巩固练习：1. 如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少?评注：取倒数思想是处理那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式求值问题的重要法宝。
像本题利用取倒数思想巧变原分式中的分子和分母的位置，从而化难为易。
八年级数学人教版(上册)小专题(十六)分式的化简与求值
小专题(十六) 分式的化简与求值
类型 1 分式的运算
1．计算：
(1)a2＋a1－2aa2－－14÷a2－a－2a2＋1. 解：原式＝a2＋a1－（a－2（1）a－（2a）＋1）·（aa－－12）2 ＝a2＋a1－2（aa＋－11）
＝a＋2 1.
(2)(a－ abb)2·(b－－aa)3÷a2－1 b2. 解：原式＝（aa－2bb2）2·（a－a3b）3·(a＋b)(a－b)
8．(2021·达州)化简求值：(1－3aa－ －120)÷(a2－a－4a4＋4)，其中 a 与
2，3 构成三角形的三边，且 a 为整数． 解：原式＝a－2－ a－3a2＋10·（aa－－24）2 ＝－2（a－a－2 4）·（aa－－24）2 ＝－2a＋4.
∵a 与 2，3 构成三角形的三边， ∴3－2＜a＜3＋2.∴1＜a＜5. ∵a 为整数，∴a＝2，3 或 4. 又∵a－2≠0，a－4≠0，∴a≠2 且 a≠4.∴a＝3. 当 a＝3 时，原式＝－2×3＋4＝－2.
＝a＋6 3.
类型 2 分式的化简求值
2．(2021·新疆)先化简，再求值：(x2＋x2－4x4＋4＋x＋x 2)·x－1 1，其中
x＝3. 解：原式＝[（x－（2x）＋（2）x＋2 2）＋x＋x 2]·x－1 1 ＝(xx－ ＋22＋x＋x 2)·x－1 1 ＝x－x＋2＋2 x·x－1 1
＝2（xx＋－21）·x－1 1 ＝x＋2 2. 当 x＝3 时，原式＝3＋2 2＝25.
＝a（ab＋2 b） ＝a2＋b2ab.
(3)(2021·陕西)(2aa2－－a1－a－a 1)÷a2－a 1. 解：原式＝[a（2aa－ －11）－a（aa－2 1）]÷（a＋1）a（a－1） ＝a2（a－a－1－1）a2 ·（a＋1）a（a－1） ＝－a（（aa－－11））2·（a＋1）a（a－1）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲 分式的化简与求值
分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值
不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的
值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运
算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除
此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准
确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．
例1 化简分式：
分析 直接通分计算较繁，先把每个假分式化
成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．
＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］
说明 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的
形式．
例2 求分式
当a=2时的值．
分析与解 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公
式：
a2-b2=(a+b)(a-b)，
可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．
例3 若abc=1，求
分析 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下
面介绍几种简单的解法．
解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．
解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．
例4 化简分式：
分析与解 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分
母分解因式，然后再化简．
说明
互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它
是分式化简中常用的技巧．
例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：
似
的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子
又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．
解
说明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用
例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求
分析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成
(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化
计算，可用换元法求解．
解 令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．
由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w
2
≠0，从而有
说明 从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算
过程简化．
例7 化简分式：
适当变形，化简分式后再计算求值．
(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．
原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10
=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10
=10，
原式分母=(x2-8x+13)+2=2，
说明 本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法
的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．
解法1 利用比例的性质解决分式问题．
(1)若a+b+c≠0，由等比定理有
所以
a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，
于是有
(2)若a+b+c=0，则
a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b， 于是有
说明 比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧
妙地使用，便于问题的求解．
解法2 设参数法．令
则
a+b=(k+1)c，①
a+c=(k+1)b，②
b+c=(k+1)a．③
①+②+③有
2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，
所以 (a+b+c)(k-1)=0，
故有k=1或 a+b+c=0．
当k=1时，
当a+b+c=0时，
说明 引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使
已知条件便于使用．
练习四
1．化简分式：
2．计算：
3．已知：
(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，
的值．