CG No4-图形变换 1
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计算机图形学 第4章 图形变换
=
s x1 s x 2 0 0
0 s y1 s y 2 0
0 0 1
(3) 复合旋转。
cos 1 sin 1 0 cos 2 sin 2 Tr Tr1 ·r 2 sin 1 cos 1 0 sin 2 cos 2 T 0 0 1 0 0 cos(1 2 ) sin(1 2 ) 0 sin(1 2 ) cos(1 2 ) 0 0 0 1
4．对称变换 设图形上的点P(x, y)在x轴和y轴方向分别作变换，结 果生成新的点坐标P‘(x’, y‘)，则
x ax by y dx ey
用齐次坐标和矩阵形式可表示为
a d 0 x y 1 x y 1 b e 0 [ax by dx ey 1] 0 0 1 a d 0
y dx y
用齐次坐标和矩阵表示为
1 d 0 [x' y' 1] = [x y 1]· =[x +by dx +y 1] b 1 0 0 0 1
错切变换矩阵为 K2 =
1 d 0 b 1 0 0 0 1
错切变换如图4-7所示。
图4-2 窗口与视图变换
4.2 图形的几何变换
图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变 换后产生新的图形。图形变换既可以看做是坐标系不 动而图形变动，变动后的图形在坐标系中的坐标值发 生变化；也可以看做图形不动而坐标系变动，变动后 该图形在新的坐标系下具有新的坐标值，本节所讨论 的几何变换属于前一种。 对于图形采用齐次坐标表示，可以方便地用变换 矩阵实现对图形的变换。假设二维图形变换前的一点 坐标为[x y 1]，变换后为[x' y' 1]；三维图形变换前的 一点坐标为[x y z 1]，变换后为[x' y' z' 1]。
图形几何变换
例. 相对直线y=1/2*x的反射变换
Y
Y
Y
原图
X
Y
平移
X
旋转
X
Y Y
反射
X
逆向旋转 X
逆向平移 X
1 0 x cos sin 0 1 0 0 T 0 1 y sin cos 0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 0 0 1
cos sin 0 1 0 x
•sin
0
cos 0 0 1 y
0
1
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
(4)关于y=x轴对称
x=y p(x, y)
p ' (y, x)
X
p'x 0 1 0 px (d)关于x=y对称
p'
y
1
0
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
x=-y (5)关于y=-x轴对称
P(x, y)
X P' (-y, -x)
( e) 关于x=- y对称
px sin( ) py cos( )
写成矩阵表达式为：
p'x cos sin 0 px
p'
y
sin
cos
0
p
y
1 0
0 1 1
当
p'x cos
p'
y
sin
1 0
sin cos
0
0 px
0
p
y
1 1
其逆变换
px cos sin 0 p'x
•sin
0
cos 0
0 1
取 45o，s1 1，s2 2
图形变换ppt课件
1 0
0 0
Rx
(
)
0 0
cos sin
sin cos
0 0
0 0
0 1
绕x轴
cos 0 sin 0
Ry
()
0
sin
1
0
cos
0 0
0
0 0 1
三维几何变换（4/5）
绕z轴
cos sin 0 0
Rz
()
sin
0
cos
0
0 0 1 0
0
0 0 1
错切变换
1 0 shx 0
SHz
(shx
参数
作用
投影类型
定义投影是平行投影还是透视投影
观察参考点VRP
在世界坐标系中指定，为观察坐标系原点
观察坐标系中的投影变换（2/15）
什么是观察坐标系
View Reference Coordinate或VRC 照相机所在的坐标系
如何建立观察坐标系
坐标原点----聚焦参考点在底片（投影平面）上 的投影，称为观察参考点VRP（View Reference Point)
n轴----照相机镜头方向（投影平面的法向） v轴----照相机向上的方向（观察正向）
何谓真实感图形 逼真的 示意的
人们观察现实世界产生的真实感来源于 空间位置关系----近大远小的透视关系和遮挡关 系 光线传播引起的物体表面颜色的自然分布
解决方法----建立光照明模型、开发真实感图形绘制 方法
三维图形的基本问题（4/4）
三维图形的基本研究内容
1. 投影 2. 三维形体的表示 3. 消除隐藏面与隐藏线 4. 建立光照明模型、开发真实感图形绘制方法
三维形体的输入、运算、有效性保证----困难 解决方法----各种用于形体表示的理论、模型、方法
CG4图形变换(4.3-4.4)
图形输出设备（如显示器、绘图仪） 图形输出设备（如显示器、绘图仪）自身都有 一个坐标系称之为设备坐标系(Device 一个坐标系称之为设备坐标系 Coordinate System), 简称DC或物理坐标系 简称 或物理坐标系 是一个二维平面坐标系 度量单位是步长（绘图仪）或象素（显示器）， 度量单位是步长（绘图仪）或象素（显示器）， 因此它的定义域是整数域且是有界的
x w − W xl x v − V xl V xr − V = W − W xl xr xl y −V y w − W yb v yb = W yt − W yb V yt − V yb
（5-1）
由（5-1）式得窗口中一点 （xw，yw）变换到视 ）式得窗口中一点W（ 区中对应的点V（ 二者之间的关系为： 区中对应的点 （xv，yv）二者之间的关系为：
视区
视区是在设备坐标系（通常是屏幕） 视区是在设备坐标系（通常是屏幕）中 在设备坐标系 定义的一个矩形区域， 定义的一个矩形区域，用于输出窗口中 的图形 视区决定了窗口中的图形要显示于屏幕 上的位置和大小
视区是一个有限的整数域， 视区是一个有限的整数域，它应小于等 整数域 于屏幕区域 可以在同一屏幕上定义多个视区， 可以在同一屏幕上定义多个视区，用来 同时显示不同的图形信息
Hale Waihona Puke 解：1）交点为（-15，-20）和（25，60） 2）窗视变换矩阵：
0 0 2 T = 0 1.25 0 50 55 1
交点在视区中的坐标：
x1 x2 y1 1 − 15 − 20 1 20 30 1 = 25 • T = 100 130 1 y 2 1 50 1
YV Vyt Yw Vyb O Wyt (xW,yW) Wyb XW O Wxl Wxr Vxl
x w − W xl x v − V xl V xr − V = W − W xl xr xl y −V y w − W yb v yb = W yt − W yb V yt − V yb
（5-1）
由（5-1）式得窗口中一点 （xw，yw）变换到视 ）式得窗口中一点W（ 区中对应的点V（ 二者之间的关系为： 区中对应的点 （xv，yv）二者之间的关系为：
视区
视区是在设备坐标系（通常是屏幕） 视区是在设备坐标系（通常是屏幕）中 在设备坐标系 定义的一个矩形区域， 定义的一个矩形区域，用于输出窗口中 的图形 视区决定了窗口中的图形要显示于屏幕 上的位置和大小
视区是一个有限的整数域， 视区是一个有限的整数域，它应小于等 整数域 于屏幕区域 可以在同一屏幕上定义多个视区， 可以在同一屏幕上定义多个视区，用来 同时显示不同的图形信息
Hale Waihona Puke 解：1）交点为（-15，-20）和（25，60） 2）窗视变换矩阵：
0 0 2 T = 0 1.25 0 50 55 1
交点在视区中的坐标：
x1 x2 y1 1 − 15 − 20 1 20 30 1 = 25 • T = 100 130 1 y 2 1 50 1
YV Vyt Yw Vyb O Wyt (xW,yW) Wyb XW O Wxl Wxr Vxl
计算机图形学 7图形变换ppt课件
然后实行对称变换：
最后，把坐标恢复至原坐标原点（0，0，0）处，即做逆 变换为：
所以，最后所得齐次坐标的表达式为：
第四节 投影变换
将三维坐标的几何体变换成二维表示的图形就是投影 变换。 投影：将n维的点变换成小于n维的点。 注：以下所讲的概念均是指在三维空间中。 在三维空间中，选择一个点，可称该点为投影中心，不经 过该点再定义一个平面，称该平面为投影面，从投影中心 向投影面引出任意条射线，称这些射线为投影线，穿过物 体的投影线将于投影面相交，在投影面上形成物体的像， 称这个像为三维物体在二维投影面上的投影。 根据投影中心与投影平面之间的距离不同，投影可分 为平行投影和透视投影。平行投影的投影中心与投影平面 之间的距离为无穷大，而对透视投影，该距离是有限的。 投影可分为以下几类：
1.平行投影 平行投影根据投影方向与投影面的夹角分为两类， 即正投影与斜投影，当投影方向垂直与投影平面 时称为正投影，否则为斜投影。如下图：
（1）正投影与三视图 通常所说的三视图（正视图、俯视图、侧视图）均是正投 影
三视图的生成就是把x，y，z坐标系下的形体投影到z＝0 的 平面，变换到u，v，w坐标系。一般情况下还需要将三 个 视图在一个平面上画出。 1）将一个点（X，Y，Z）变成XOZ平面上的投影点（X， 0，Z），得到主视图。
中心思想是先用折线生成圆弧或椭圆弧，然后再对折线进 行变换。此时要考虑： （i）原来逼近的误差在变换后的变化； 简单说明一下变换前后的误差关系。 （ii）折线的段数越多，变换折线的计算量就越大
2）利用“先变换，再生成”的方法变换圆弧、椭圆弧
由解析几何知识可知，椭圆在线形变换下仍为椭圆，而 且中心仍为中心。
此外，我们还可以相对于某一点或某一直线进行对称， 其方法是：先进行适当的平移、旋转再进行平移变换。 例：写出相对于X＝Xa，Z＝Za进行对称的变换。 解：进行对称变换的对称轴是一条平行于y轴的直线，利 用复合变换则有： 首先：把坐标原点移到点（ Xa ，0， Za ）则变换矩阵为：
图形学CG第4章扫描转换分析
进行区域填充时，有时需要用一种图案来填充平面区域。
基本思想是：
首先用模板定义各种图案；然后，修改填充的扫描转换算
法，即在确定了区域内一个象素之后，不是马上往该象素填
色，而是先查询模板位图的对应位置，若对应位置有图案的
象素，即图案的对应位置为1时，填充颜色，否则，不改变
2021/6/4 该象素的值。
36
算法要求： 区域是连通的。一个封闭区域确定以后,填充要解决的 问题是如何确定填充的象素以及如何高效地填充。
2021/6/4
25
1. 区域的表示
区域表示方法：内点表示和边界表示。
内点表示:枚举出区域内部的所有象素，内部的所 有象素着同一个颜色，边界象素着与内部象素不 同的颜色。
边界表示:枚举出边界上所有的象素，边界上的所
2021/6/4
14
数据结构： 边表（Edge Table, ET）： (1)按下端点的纵坐标(y)对所有边作桶分类. (2)再按与扫描线交点x坐标递增的顺序存放在一个链
表中，此链表称为有效边表。 有效边表的每个结点： x,ymax,1/k,next x:边的下端点的x坐标，ymax:边的上端点的y坐标 k:边的斜率, next:指向下一条边的指针.
2021/6/4
18
解决顶点交点计为1时的情形：
扫描线y+1 扫描线y 扫描线y-1
（a)原图
（b)缩短ymax的边 （c)缩短ymin的边
图5-28 将多边形的某些边缩短以分离那些应 计为1个交点的顶点
2021/6/4
19
2021/6/4
y
12
p1
11
10
9
p0
p6
8
7
p2
基本思想是：
首先用模板定义各种图案；然后，修改填充的扫描转换算
法，即在确定了区域内一个象素之后，不是马上往该象素填
色，而是先查询模板位图的对应位置，若对应位置有图案的
象素，即图案的对应位置为1时，填充颜色，否则，不改变
2021/6/4 该象素的值。
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算法要求： 区域是连通的。一个封闭区域确定以后,填充要解决的 问题是如何确定填充的象素以及如何高效地填充。
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1. 区域的表示
区域表示方法：内点表示和边界表示。
内点表示:枚举出区域内部的所有象素，内部的所 有象素着同一个颜色，边界象素着与内部象素不 同的颜色。
边界表示:枚举出边界上所有的象素，边界上的所
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数据结构： 边表（Edge Table, ET）： (1)按下端点的纵坐标(y)对所有边作桶分类. (2)再按与扫描线交点x坐标递增的顺序存放在一个链
表中，此链表称为有效边表。 有效边表的每个结点： x,ymax,1/k,next x:边的下端点的x坐标，ymax:边的上端点的y坐标 k:边的斜率, next:指向下一条边的指针.
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解决顶点交点计为1时的情形：
扫描线y+1 扫描线y 扫描线y-1
（a)原图
（b)缩短ymax的边 （c)缩短ymin的边
图5-28 将多边形的某些边缩短以分离那些应 计为1个交点的顶点
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y
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p1
11
10
9
p0
p6
8
7
p2
计算机图形学04：图形变换
Y 1
(1,1) NDC
O
X 1
窗口 Window : 世界坐标系中可见的矩形部分 视区 Viewport ：设备坐标系中可见的矩形部分
窗口未变而视区变
视区相同而窗口不同
4.3.3 窗口-视区变换
Yw Yv
O Xw
O Xv
变换：缩放加平移
xv y
v
= axw+b = cyw+d
a TW − V = 0 b
0 c d
0 0 1
§4.4 视向变换
世界坐标系 World Coordinate System 和观察坐标系 Viewing Reference Frame
§4.4 视向变换
三维物体的显示过程
世界坐标系 中的三维物 体模型 三 维 几 何 变 换 投 影 变 换 三 维 裁 剪 视 向 变 换 屏幕坐标系 中的图形显 示
§4.1.4 三维图形变换
[x, y, z] × T
= [x’, y’,z’]
// T 为变换矩阵
T
=ห้องสมุดไป่ตู้
a b c d e f h i j
§4.1.4 三维图形变换
a b c d e f 产生比例、对称、错切、旋转等基本变换 g h i 3× 3
0 −1
−1 0
0 1
−1 0
0 −1
对x 轴对称
对y 轴对称
对原点对称
§4.1.2 二维基本变换：对称变换
原图 对y 轴对称
对x 轴对称
对原点对称
§4.1.2 二维基本变换：对称变换
CG No5-图形变换 2
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几种典型变换矩阵的逆阵
1 T 0 0 0 1 0 0 0 1
T 1
1 0 0 1 0 0
0 0 1
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旋转变换
物体作旋转变换时，必须指定一个旋转轴(物体将绕该轴 旋转)和旋转角度。 二维旋转仅发生在xy平面上， 三维旋转则可能指定为绕空间任意直线进行(平行于坐 标轴的旋转是其中最简单的)。 可用绕坐标轴旋转的复合来表示任意的一种旋转。 通常，若沿着坐标轴的正半轴向原点作观察，绕坐标轴的 逆时针旋转为正向旋转。
x轴：y→z；
y轴：z→x； z轴：x→y。
Z Y Z X Y y
x (b) 右手坐标系
z
X
(a) 左手坐标系
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三维齐次坐标
点(x,y,z)的齐次坐标形式为：(xh, yh, zh,h)：
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B、对称于y轴
x x y y z z
C、对称于z轴
1 0 T 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0
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a11b11 a12b21 a13b31 C = A · =a b a b a b B 22 21 23 31 21 11 a11b12 a12b22 a13b32 a 21b12 a 22b22 a 23b32
C=Cm×p = Am ×n · n×p cij = ∑aik*bkj B 单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称 为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In Am ×n = Am ×n ·n I 零矩阵 矩阵中所有元素均为0的矩阵为零矩阵。记0m×n。对任意 矩阵Am ×n 有， Am ×n + 0m×n = Am ×n
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2.屏幕域与视图区
1)屏幕域(DC)：设备输出图形的最大区域，是有限的整数 域。如图形显示器分辨率为 1024768→DC[0..1023][0..767] 2) 视图区：任何小于或等于屏幕域的区域
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二维平面上的点可用（x,y)定义，一条直线用ax+by+c=0
的一组解来确定。通常a,b,c为常数，x,y为变量。
如果我们希望此方程表示通过点(x,y)的所有直线，对 au+bv+c=0，得到一系列三元组(a,b,c),若把(a,b,c)考虑成 变量，把x,y考虑成常数，则ax+by+c=0就是二维直线方 程的齐次表示。
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逆矩阵 -1 -1 -1 若矩阵A存在A· =A · A A=I，则称A 为A的逆矩阵 矩阵的转置 把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的n×m矩阵称为A 的转置矩阵,记作AT 。 (AT) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (A· T = BT · T B) A 当A为n阶矩阵，且A=AT ，则 A是对称矩阵。
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图形变换的数学基础
1.矢量 矢量：是由n个实数组成的集合。 如：二维矢量(x,y)，三维矢量(x,y,z) Y Z
(x,y)
Y
(x,y,z) X X
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把方程写成au+bv+cw=0的形式，令w =0,则u/w, v/w即为 原方程的解(x,y)。所以，(x,y,1)=(u,v,w)/w，故(x,y)表示 一个二维点，则(u,v,w)也是一个二维点，我们称(u,v,w) 为(x,y)的齐次坐标。
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二、齐次坐标
所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如 n维向量(P1,P2, … ,Pn)表示为（hP1,hP2,hPn,h），其中h 称为哑坐标。 1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。 如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是 (1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。 2、 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标h→齐次坐标 由齐次坐标÷h→普通坐标 3、 当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前 n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。
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VXR VXL Xs X w WXL VXL WXR WXL Y VYT VYB Y WYB VYB s WYT WYB w
简化为：
X s a X w b (1)式 Ys c Yw d
只有两个矩阵具有相同的行数和列数，且所有对应位 置的元素都相等时才是相等的。 数乘 kA = [ k*aij]|i=1..m, j=1,n
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乘法 设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵
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5. 矩阵运算的基本性质 交换律与结合律 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C 数乘的分配律及结合律 a(A+B) = aA+aB; a(A · = (aA) · B) B=A · (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A 矩阵乘法的结合律及分配律 A(B · = (A · C) B)C
2. 矢量运算 假定：V1(x1,y1,z1), V2(x2,y2,z2)为两个矢量，则有： 矢量和 V1+V2= (x1+x2, y1+y2,z1+z2) 矢量点积 V1· = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 V2 矢量叉积 i j k V1×V2 = x1 y1 z1 = (y1z2-y2z1, z1x2-z2x1,x1y2-x2y1) 矢量长度 x2 y2 z2
1) 当ac时，即x 方向的变化与y方向的变化不同时， 视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。 2) 当a=c=1，b=d=0则Xs=Xw,Ys=Yw,图形完全相同。
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三、窗口视图变换
1 用户域和窗口区 1）用户域：指定义物体的整个自然空间(WD)。 a 人们所要描述的图形均在用户域中定义。 b 用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。 2）窗口区：指用户在用户域中指定的一个区域(W)。 a 窗口区W小于或等于用户域WD b 小于用户域的窗口区W叫做用户域的子域。 c 窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗 口等等 d 窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗 口，在第i层窗口中可再定义第i+1层窗口等等。
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本章内容
1、图形变换的数学基础 2、二维图形变换 3、三维图形变换 4、投影变换 5、裁剪
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4. 矩阵运算 加法 设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵
a11 b11 A+B = ... am1 bm1 a12 b12 ... a1n b1n ... ... am 2 bm2 ... amn bmn
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齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算 把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换 到另一坐标系的有效方法。 2. 便于表示无穷远点。 例如：（xh,yh,h)，令h等于0 3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成 平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。 4. 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成 便于硬件实现
(x,y)点对应的齐次坐标为 ( xh , yh , h)
xh hx, yh hy, h 0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线
xh hx yh hy z h h
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视图的四条边界VXL,VXR,VYB,VYT
则用户坐标系下的点（即窗口内的一点）(Xw,Yw)对应屏幕 视图区中的点（Xs,Ys），其变换公式为
窗口区 WYT
VYT
视图区
VYB
WYB WXL
WXR
VXL
VXR
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图形变换一般是指将图形的几何信息经过几何变换后
产生新的图形。图形变换既可以看作是图形不动而坐标系
变动，变动后该图形在新的坐标系下具有新的坐标值，也 可以看作是坐标系不动而图形变动，变动后的图形在坐标 系中的坐标值发生变化。
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第三章 图形变换
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C=Cm×p = Am ×n · n×p cij = ∑aik*bkj B 单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称 为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In Am ×n = Am ×n ·n I 零矩阵 矩阵中所有元素均为0的矩阵为零矩阵。记0m×n。对任意 矩阵Am ×n 有， Am ×n + 0m×n = Am ×n
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2.屏幕域与视图区
1)屏幕域(DC)：设备输出图形的最大区域，是有限的整数 域。如图形显示器分辨率为 1024768→DC[0..1023][0..767] 2) 视图区：任何小于或等于屏幕域的区域
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二维平面上的点可用（x,y)定义，一条直线用ax+by+c=0
的一组解来确定。通常a,b,c为常数，x,y为变量。
如果我们希望此方程表示通过点(x,y)的所有直线，对 au+bv+c=0，得到一系列三元组(a,b,c),若把(a,b,c)考虑成 变量，把x,y考虑成常数，则ax+by+c=0就是二维直线方 程的齐次表示。
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逆矩阵 -1 -1 -1 若矩阵A存在A· =A · A A=I，则称A 为A的逆矩阵 矩阵的转置 把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的n×m矩阵称为A 的转置矩阵,记作AT 。 (AT) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (A· T = BT · T B) A 当A为n阶矩阵，且A=AT ，则 A是对称矩阵。
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图形变换的数学基础
1.矢量 矢量：是由n个实数组成的集合。 如：二维矢量(x,y)，三维矢量(x,y,z) Y Z
(x,y)
Y
(x,y,z) X X
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把方程写成au+bv+cw=0的形式，令w =0,则u/w, v/w即为 原方程的解(x,y)。所以，(x,y,1)=(u,v,w)/w，故(x,y)表示 一个二维点，则(u,v,w)也是一个二维点，我们称(u,v,w) 为(x,y)的齐次坐标。
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二、齐次坐标
所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如 n维向量(P1,P2, … ,Pn)表示为（hP1,hP2,hPn,h），其中h 称为哑坐标。 1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。 如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是 (1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。 2、 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标h→齐次坐标 由齐次坐标÷h→普通坐标 3、 当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前 n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。
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VXR VXL Xs X w WXL VXL WXR WXL Y VYT VYB Y WYB VYB s WYT WYB w
简化为：
X s a X w b (1)式 Ys c Yw d
只有两个矩阵具有相同的行数和列数，且所有对应位 置的元素都相等时才是相等的。 数乘 kA = [ k*aij]|i=1..m, j=1,n
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乘法 设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵
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5. 矩阵运算的基本性质 交换律与结合律 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C 数乘的分配律及结合律 a(A+B) = aA+aB; a(A · = (aA) · B) B=A · (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A 矩阵乘法的结合律及分配律 A(B · = (A · C) B)C
2. 矢量运算 假定：V1(x1,y1,z1), V2(x2,y2,z2)为两个矢量，则有： 矢量和 V1+V2= (x1+x2, y1+y2,z1+z2) 矢量点积 V1· = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 V2 矢量叉积 i j k V1×V2 = x1 y1 z1 = (y1z2-y2z1, z1x2-z2x1,x1y2-x2y1) 矢量长度 x2 y2 z2
1) 当ac时，即x 方向的变化与y方向的变化不同时， 视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。 2) 当a=c=1，b=d=0则Xs=Xw,Ys=Yw,图形完全相同。
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三、窗口视图变换
1 用户域和窗口区 1）用户域：指定义物体的整个自然空间(WD)。 a 人们所要描述的图形均在用户域中定义。 b 用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。 2）窗口区：指用户在用户域中指定的一个区域(W)。 a 窗口区W小于或等于用户域WD b 小于用户域的窗口区W叫做用户域的子域。 c 窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗 口等等 d 窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗 口，在第i层窗口中可再定义第i+1层窗口等等。
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本章内容
1、图形变换的数学基础 2、二维图形变换 3、三维图形变换 4、投影变换 5、裁剪
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4. 矩阵运算 加法 设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵
a11 b11 A+B = ... am1 bm1 a12 b12 ... a1n b1n ... ... am 2 bm2 ... amn bmn
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齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算 把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换 到另一坐标系的有效方法。 2. 便于表示无穷远点。 例如：（xh,yh,h)，令h等于0 3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成 平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。 4. 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成 便于硬件实现
(x,y)点对应的齐次坐标为 ( xh , yh , h)
xh hx, yh hy, h 0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线
xh hx yh hy z h h
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视图的四条边界VXL,VXR,VYB,VYT
则用户坐标系下的点（即窗口内的一点）(Xw,Yw)对应屏幕 视图区中的点（Xs,Ys），其变换公式为
窗口区 WYT
VYT
视图区
VYB
WYB WXL
WXR
VXL
VXR
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图形变换一般是指将图形的几何信息经过几何变换后
产生新的图形。图形变换既可以看作是图形不动而坐标系
变动，变动后该图形在新的坐标系下具有新的坐标值，也 可以看作是坐标系不动而图形变动，变动后的图形在坐标 系中的坐标值发生变化。
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第三章 图形变换
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