理解奇函数的定义 慎用f(0)=0解题
数学专题复习_函数的奇偶性
高一数学专题复习：函数的奇偶性一、奇偶性的定义：定义：对于函数y＝f(x)的定义域内任意一个值x，若f(－x)＝f(x)恒成立，则函数y＝f(x)就叫做偶函数；若f(－x)＝－f(x)恒成立，则函数y＝f(x)就叫做奇函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。
说明：(1)奇偶性是对整个定义域而言，是函数的整体性质。
定义中的等式f(－x)＝f(x)（或f(－x)＝－f(x)）对定义域里的任意x都要成立，若只对个别x值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）(2)其定义域关于原点对称。
等式f(－x)＝f(x)（或f(－x)＝－f(x)）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意x来说，-x也应在定义域之中，否则f(－x)无意义。
由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.(3)奇函数若在0x=时有定义，则f(0)＝0．(4)偶函数f(x)有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)(5)函数f(x)＝0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f(－x)＝f(x)也满足f(－x)＝－f(x)。
(6)四类函数：是奇函数不是偶函数，是偶函数不是奇函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数也不是偶函数。
(7)在公共定义域内，奇函数与奇函数的和为奇函数，偶函数与偶函数的和为偶函数，奇函数与奇函数的积为偶函数，偶函数与奇函数的和为奇函数。
二、奇偶函数图象的性质定理定理：①奇函数的图象关于原点对称，反过来，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②偶函数的图象关于y轴对称，反过来，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.即f(x)是奇函数⇔函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)是偶函数⇔函数f(x)的图象关于y轴对称；三、函数奇偶性的判断方法判定函数的奇偶性的方法有：(1)定义法，先看定义域是否关于原点对称，如y=x2，x∈［－1，1)，既非奇又非偶函数.(2)特值法，起探路及判定否命题等作用，一方面，若f(－1)=f(1)〔f(－1)=－f(1)〕，则f(x)可能是偶(奇)函数.另一方面，若f(－1)≠f(1)〔f(－1)≠－f(1)〕，则f(x)一定不是偶(奇)函数.(3)和、差法，若f(x)+f(－x)=0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)=0，则f(x)为偶函数.该方法应用的前提是用“特值法”先探路.(4)比值法，若f(x)／f(－x)=1(或－1)，则f(x)为偶(或奇)函数.(5)图象法，可直接根据图象的对称性来判定奇偶性.例：已知函数f(x)满足f(x+y)+ f(x－y)=2f(x)·f(y)(x、y∈R)，且f(0)≠0，试证f(x)是偶函数.证明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f2(0).∵f(0)≠0，∴f(0)=1.令x=0，f(y)+f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y).∴f(－y)=f(y).∴f(x)是偶函数.1.若y =f (x )在x ∈［0，+∞)上的表达式为y =x (1－x )，且f (x )为奇函数，则x ∈(－∞，0］时f (x )等于 （ ）A.－x (1－x )B.x (1+x )C.－x (1+x )D.x (x －1)2．已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在区间[-7, -3]上是 ( )A.增函数且最小值是-5；B. 增函数且最大值是-5；C.减函数且最小值是-5；D. 减函数且最大值是-5.3．若)(),(x g x q 均为奇函数，),0(1)()()(+∞++=在x bg x aq x f 上有最大值5，则在)0,(-∞上)(x f 有 （ ）A 、最小值-5B 、最小值-2C 、最小值-3D 、最大值-54．已知函数)(x f y =是偶函数，)2(-=x f y ，在[0，2]上是单调递减函数，则 （ ）A 、)2()1()0(f f f <-<B 、)2()0()1(f f f <<-C 、)0()2()1(f f f <<-D 、)0()1()2(f f f <-<5．若函数)(x f y =是偶函数，R x ∈，在0<x 时，y 是增函数，对于||||,0,02121x x x x <><且，则 （ ）A 、)()(21x f x f ->-B 、)()(21x f x f -<-C 、)()(21x f x f -=-D 、)()(21x f x f -≥-6．若f (x )= 121-x +a (x ∈R 且x ≠0)为奇函数，则a =_______________.7.已知f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，且定义域为［a －1，2a ］，则a =_____________，b =____________.8．若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，则f (x －1)＜0的解集是_______________.9． 定义在[2,2]-上的偶函数()g x ，当0x ≥时，()g x 为减函数，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围。
专题11 函数的基本性质(奇偶性)(解析版)
专题11函数的基本性质（奇偶性）函数的奇偶性[知识点拨]由于f (x )和f (－x )须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点．①奇函数有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)；②偶函数有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点．①若奇函数在原点处有定义，则必有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． (4)奇、偶函数图象对称性的应用．①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．重要考点一：函数奇偶性的判断【典型例题】根据定义，判断下列函数的奇偶性： （1）()52f x x =-；（2）g (x )=x 4+2；（3）21()h x x =；（4）1()2m x x =+. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）既不是奇函数，也不是偶函数. 【解析】（1）依题意知函数()52f x x =-的定义域为R ，且对任意的x ∈R ，有()()()5522f x x x f x -=--==-,所以函数()52f x x =-是奇函数；（2）依题意知函数()42g x x=+的定义域为R ，且对任意的x ∈R ，有()()()4422g x x x g x -=-+=+=，所以函数()42g x x=+是偶函数；（3）依题意知函数21()h x x=的定义域为{|0}x x ≠， 且对任意的{|0}x x x ∈≠，有()2211()()h x h x x x -===-， 所以函数21()h x x =是偶函数； （4）函数1()2m x x =+的定义域为{|2}x x ≠-，定义域不关于原点对称，所以函数1()2m x x =+既不是奇函数，也不是偶函数.【题型强化】1.判断下列函数的奇偶性． （1）f (x )＝2x ＋1x； （2）f (x )＝2－|x |； （3）f (x )（4）f (x )＝1x x -. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数． 【解析】（1）因为函数f (x )的定义域是{x |x ≠0}，关于原点对称， 又f (－x )＝－2x ＋1x -＝－12⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x ＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(2)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)∵函数f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)显然函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数． 2.判断函数f (x )＝x ＋ax(a 为常数)的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】()f x 为奇函数，证明见解析.【解析】()f x 为奇函数，证明如下：()f x 的定义域为{x|x≠0}．对于任意x≠0，()()a a f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 为奇函数． 【名师点睛】 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．重要考点二：奇、偶函数图象的应用【典型例题】已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ．现已画出函数f （x ）在y 轴左侧的图象如图所示，（1）画出函数f （x ），x ∈R 剩余部分的图象，并根据图象写出函数f （x ），x ∈R 的单调区间；（只写答案） （2）求函数f （x ），x ∈R 的解析式．【答案】（1）图象见解析；递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；增区间为（﹣1，1）；（2）f （x ）222020x x x x x x ⎧+≤=⎨-+⎩，，＞．【解析】（1）根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则其图象如图： 其递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）； 增区间为（﹣1，1）；（2）根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，满足f （x ）＝x 2+2x ； 当x ＞0时，则﹣x ＜0，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2+2（﹣x ）＝x 2﹣2x ， 又由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣x 2+2x ，综上：f （x ）222020x x x x x x ⎧+≤=⎨-+⎩，，＞．【题型强化】1.已知奇函数f (x )定义域为[－5，5]且在[0，5]上的图象如图所示，求使f (x )<0的x 的取值范围．【答案】()(]3,03,5-【解析】由题可知：函数是[－5，5]上的奇函数，则函数在[－5，5]上图象如下：所以f (x )<0的解集为()(]3,03,5-2.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-. （1）求()f x 的解析式；（2）作出函数()f x 的图象并求出单调增区间.【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩；（2）图象见解析，单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞.【解析】（1）当0x ≥时，()22f x x x =-.当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--⨯-=+.因为函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()22f x f x x x=--=--.因此，()222,02,0x x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩；（2）函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞.【名师点睛】1．研究函数图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂性． 2．利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称．重要考点三：利用函数的奇偶性求解析式【典型例题】若函数()21x ax b f x x +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为______． 【答案】()21xf x x =+ 【解析】()f x 在[]1,1-上是奇函数，()00f ∴=，0a ∴=，()21xf x x bx ∴=++．又()()11f f -=-，1122b b -∴=--+，即0b =，()21x f x x ∴=+． 【题型强化】1.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时，2()2f x x x =-，则0x <时，()f x =________【答案】22x x --【解析】设0x <，则0x ->，所以()22()22f x x x x x -=-+=+，又因为()()f x f x -=-，所以2()2f x x x -=+，所以()f x =22x x --. 故答案为：22x x --2.已知函数()223px f x q x +=-是奇函数，且()523f =-，则函数()f x 的解析式()f x =________.【答案】2223x x+-【解析】奇函数()y f x =的定义域为,,33q q ⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于原点对称，所以03q=，得0q =，故()223px f x x +=-，又()523f =-，即42563p ⨯+=--，得2p =， 因此()22222233x x x x f x ++=--=.故答案为2223x x+-. 【名师点睛】利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x (另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．重要考点四：忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致判断错误【典型例题】已知定义在[3,3]-上的函数()y f x =是增函数. （1）若(1)(21)f m f m +>-，求m 的取值范围；（2）若函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，解不等式(1)10f x ++>.【答案】（1）[1,2)-；（2）{32}xx -<∣. 【解析】（1）由题意可得，3133213121m m m m -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+>-⎩，求得12m -<，即m 的范围是[1,2)-.（2）∵函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，∴(2)(2)1f f -=-=-，∵(1)10f x ++>，∴(1)1f x +>-，∴(1)(2)f x f +>-，∴12313x x +>-⎧⎨-≤+≤⎩，∴32x -<≤.∴不等式的解集为{32}xx -<∣. 【题型强化】1.已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()f x 的单调性；（3）若()()210f m f m +->，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()21x f x x =+（2）证明见解析（3）113m << 【解析】（1）由题意可得：()001242255fb a bf ⎧==⎪+⎨⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1a b =⎧⎨=⎩.即()21xf x x =+（2）证明：设1211x x -<<<()()()()()()121212122222*********x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++因为1211x x -<<<，所以120x x -<，1210x x -> 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < 故()f x 在()1,1-上是增函数（3）()()210f m f m +->，即()()()2112f m f m f m >--=-所以11121112m m m m-<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得：113m <<2.定义在[]22-,上的偶函数()f x ，当[]2,0x ∈-时()f x 单调递增，设()()1f m f m -<，求m 的取值范围.【答案】112m -≤< 【解析】解：()f x 是定义在[]2,2-上的偶函数， 又()()1f m f m -<，∴ ()()1f m f m -<又当[]2,0x ∈-时()f x 单调递增∴当[]0,2x ∈时单调递减.而10,0,1,m m m m -≥≥∴->()22212221m m m m⎧-≤-≤⎪⎪∴-≤≤⎨⎪->⎪⎩ 解得112m -≤<即所求m 的取值范围为11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【名师点睛】1．函数y ＝f (x )是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称． 2．确定函数的定义域时，要针对函数的原解析式．重要考点五：逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题【典型例题】已知函数2()(1)|2|()f x x a x a a R =++++∈.（1）写出一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x ，使()f x =()g x +()h x ； （2） 若()()h x g x ≥对于任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()|2|h x x a =++，()(1)g x a x =+；（2）{}13⎡-+⋃-⎣.【解析】（1）由奇偶函数的特征由2()(1)|2|()f x x a x a a R =++++∈的函数特征可知2yx 是偶函数，()1y a x =+是奇函数，2y a =+是偶函数，∴奇函数()g x 是()()1g x a x =+，偶函数2()|2|h x x a =++；（2）由（1）可知()221xa a x ++≥+恒成立，即()2120x a x a -+++≥恒成立，()21420a a ∆=+-+≤ ，即()2124a a ++≥ ()2124a a +⇒+≥或()2124a a ++≤-整理为2270a a --≤或2690a a ++≤，解得：11a -≤+3a=-，∴a的取值范围是{}13⎡-+⋃-⎣【题型强化】1.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1]αβ∈-，0αβ+≠时，都有()()0f f αβαβ+>+.（1）解关于x 的不等式()21(33)0f x f x -+-<；（2）若对任意[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-，不等式2()21f x t at ≤-+恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）41,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）2t ≥或2t ≤-或0t =【解析】(1)因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数,故任取1211x x ,则()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=--,1211x x -≤<≤,()120x x ∴+-≠,故有()()12120f x f x x x +->-,120x x -<,()()120f x f x ∴-<,即()f x 在[1,1]-上是增函数,因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数,且在[1,1]-上是增函数,不等式可()21(33)0f x f x -+-<化为()21(33)f x f x -<-,所以221331111331x x x x ⎧-<-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩,解得41,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦;(2)由(1)知()f x 在[1,1]-上是增函数,所以()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)1f =, 要使2()21f x t at ≤-+对任意[1,1]x ∈-,[1,1]a ∈-恒成立,只要2221120t at t at -+≥⇒-≥,设2()2g a t at =-,因为对任意[1,1]a ∈-,()0g a ≥恒成立,所以22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-≥⎩解得2t ≥或2t ≤-或0t =. 2.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数且单调递增，(1)1f =. （1）解不等式：1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （2）若2()21f x t at ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（2）(]{}[),202,-∞-+∞【解析】（1）()f x 为定义在[]1,1-上的增函数，∴由1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得：111211111121x x x x ⎧-≤+≤⎪⎪⎪-≤≤⎨-⎪⎪+<⎪-⎩，解得：312x -≤<-， ∴不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+<⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的解集为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. （2）()f x 为定义在[]1,1-上的增函数且()11f =，()1f x ∴≤，∴要使()221f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，只需2211t at -+≥对[]1,1a ∈-恒成立，即220t at -≥恒成立.设()22g a t at =-，则只需()0g a ≥恒成立，即()min 0g a ≥.当0t =时，()0g a =，满足题意；当0t >时，()g a 在[]1,1-上单调递减，则()()2min 120g a g t t ==-≥，解得：2t ≥；当0t <时，()g a 在[]1,1-上单调递增，则()()2min 120g a g t t =-=+≥，解得：2t ≤-.综上所述：t 的取值范围为(]{}[),202,-∞-+∞.【名师点睛】1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：(1)f (x )在区间D 上单调递增，则对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)恒成立；(2)若f (x )是奇函数，定义域为M ，则f (－x )＝－f (x )对任意x ∈M 恒成立；若f (x )是偶函数，定义域为M ，则对任意x ∈M ，f (－x )＝f (x )恒成立；(3)若f (x )的最大值为M ，最小值为m ，定义域为A ，则对任意x ∈A ，有m ≤f (x )≤M . 解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法．2．遇到f (－x )与f (x )的关系问题时，应首先从函数f (x )的奇偶性入手考虑，如果f (x )不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g (x )，使f (x )用g (x )表示，再利用g (x )的奇偶性来解答．课后练习1．若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】()f x 为奇函数 ()()f x f x ∴-=-当0x <时，0x -> ()()()2222f x f x x x x x ∴=--=-+=--又0x <时，()2f x x ax =-+ 2a ∴=-，本题正确选项：B2．已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xfx <的解集为（ ）A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)--⋃D ．(1,1)-【答案】C【解析】由图像可知在0x ≥时，在()()012+∞，，，()0f x >；在(1,2)，()0f x <； 由()f x 为奇函数，图象关于原点对称，在0x <时，在()(),21,0∞-⋃--，()0f x <；在(2,1)--，()0f x >；又()y xfx =，在0x ≥时与()y f x =同号，在0x <时与()y f x =异号 故不等式()0xfx <的解集为：(2,1)(1,2)--⋃，故选：C3．已知定义在R 上的奇函数()f x ，对任意实数x ，恒有()()3f x f x +=-，且当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()268f x x x =-+，则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．6B ．3C ．0D ．3-【答案】B【解析】由题得()()6[(3)3]3[()]()f x f x f x f x f x +=++=-+=--=，所以函数的周期为6. 由题得(0)0,(1)1683,f f ==-+=(2)(2)(23)(1)3f f f f =--=-+==，(3)(3)(33)(0)f f f f =--=-+=，(4)(4)(43)(1)(1)3f f f f f =--=-+=-=-=-， (5)(5)(53)(2)(2)3f f f f f =--=-+=-=-=-所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f f +++++=， 所以()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=336[(0)(1)(2)(3)(4)(5)](0)(1)(2)(3)(4)3f f f f f f f f f f f ++++++++++=.故选：B.4．下列函数中，是偶函数,且在(],0-∞上是增函数的是（ ） A ．12y x = B ．2y xC ．3y x =D ．,0,0x x y x x -≥⎧=⎨<⎩【答案】D【解析】A ．定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，故不符合；B ．定义域为R 关于原点对称，()()()22f x x x f x -=-==，所以是偶函数，在(],0-∞上是减函数，不符合；C ．定义域为R 关于原点对称，()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，不符合； D ．定义域为R 关于原点对称，当0x ≥时，()()f x x f x =-=-，当0x <时，()()f x x f x ==-，所以()f x 是偶函数，(],0x ∈-∞时，()f x x =是增函数，符合.故选：D.5．如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5，那么它在区间[]7,3--上是（ ） A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5- D ．减函数且最大值为5-【答案】B【解析】任取1x 、[]27,3x ∈--，且12x x <，即1273x x -≤<≤-，则2137x x ≤-<-≤，由已知，奇函数()y f x =在区间[]3,7上是增函数，则()()12f x f x ->-，即()()12fx f x ->-，()()12f x f x ∴<，所以，函数()y f x =在区间[]7,3--上是增函数，对任意的[]7,3x ∈--，[]3,7x -∈，由题意，()5f x -≥，可得()5f x -≥，则有()5f x ≤-，所以，函数()y f x =在区间[]7,3--上有最大值5-.故选：B.6．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上的解析式为()1f x x =+，下列大小关系正确的是（ ）A ．()()12f f >B ．()()12f f >-C ．()()12f f ->-D ．()()12f f -<【答案】D【解析】因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上的解析式为()1f x x =+所以得到()f x 在[)0,+∞上单调递增，在(],0-∞上单调递减，所以()()12f f <，所以A 选项错误；因为()f x 为偶函数，所以()()22f f -=， 所以()()()122f f f <=-，所以B 选项错误；因为()()()()1122f f f f -=<=-，所以C 选项错误； 因为()()()112f f f -=<，所以D 选项正确.故选：D.7．设函数3()1f x ax bx =+-，且(1)3f -=，则(1)f 等于（ ） A ．3- B ．3 C ．5- D ．5【答案】C【解析】令3()g x ax bx =+，则3()()g x ax bx g x -=--=-，所以3()g x ax bx =+是奇函数， 又()()1113f g -=--=，所以()14g -=，所以()()()111115f g g =-=---=-. 故选：C.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()2()f x f x =--，且函数(1)f x +是偶函数，当[]1,0x ∈-时，2()1f x x =-，则20203f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【答案】139【解析】因为函数()f x 满足：()2()f x f x =--，且函数(1)f x +是偶函数，所以(1)(1)2f x f x ++--=，且(1)(1)f x f x +=-+，可得(1)(1)2f x f x -++--=，即(1)(1)2f x f x ++-=所以(2)()2f x f x ++=…①，(4)(2)2f x f x +++=…② ②-①，可得 (4)()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数；4420201684333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1151311223333394922f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-==--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以 20203319f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故答案为：139. 9．函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()11f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是_________. 【答案】[]0,2【解析】函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()111f f -=-=，由()111f x -≤-≤可得()()()111f f x f ≤-≤-，由于函数()y f x =在R 上单调递减，则111x -≤-≤，解得02x ≤≤. 因此，满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是[]0,2.故答案为：[]0,2.10．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，()12x f x -=，有下列命题：①2是函数()f x 的周期；②函数()f x 在()2,3上是增函数；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④直线2x =是函数()f x 图象的一条对称轴.其中所有正确命题的序号是__________.【答案】①②④【解析】用1x +换()()11f x f x =+-中的x ，得()()2f x f x +=，所以()f x 是以2为周期的周期函数，故①正确；又函数()f x 是定义在R 上的偶函数且[]0,1x ∈时，()12x f x -=，作出函数()f x 的部分图象如图所示由图知，函数()f x 在()2,3上是增函数，故②正确；函数()f x 的最大值是1，最小值是12， 故③错误；直线2x =是函数()f x 图象的一条对称轴，故④正确. 故答案为：①②④11．已知函数()f x 为奇函数且(1)2f =，求(-1)f =_______. 【答案】﹣2【解析】函数()y f x =是奇函数,且(1)2f =,则()(-1)=12f f -=-.故答案为:﹣2． 12．已知()f x x x =，若()()()220f x m m f x m -≤>对任意1x ≥恒成立，则实数m 的取值范围为____________. 【答案】[)1,+∞【解析】()f x x x =的定义为R ，关于原点对称，()()()f x x f x x x x =---=--=.()f x ∴为定义在R 上的奇函数.当0x >时，()2f x x x x ==，在()0,∞+上单调递增.()f x ∴为定义在R 上的增函数.0m >()()22m f x m x x mx mx f mx ∴===()()()()220f x m m f x f mx m -≤=>2x m mx ∴-≤，即()120m x m --≤，设()()()12,1g x m x m x =--≥若()()()220f x m m f x m -≤>对任意1x ≥恒成立.则需()()0,1g x x ≤≥恒成立.当1m =时，在[)1,+∞上()10g x =-≤恒成立当1m <时，()g x 在[)1,+∞上单调递增，则不满足题意，舍去当1m 时，()g x 在[)1,+∞上单调递减，则需()1130g m =-≤解得13m ≥，即1m综上所述：m 1≥。
奇函数
定义
奇函数(3张)在奇函数中，和的符号相反且绝对值相等，即， 反之，满足的函数一定是奇函数。例如:
性质
1.两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数 。 2.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。 3.两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。 4.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。 5.当且仅当（定义域关于原点对称）时，既是奇函数又是偶函数。奇函数在对称区间上的积分为零。
欧拉的困惑 后世发展演变
若用-x代替x,函数保持不变，则称这样的函数为偶函数(拉丁文functionespares)。欧拉列举了三类偶函数 和三类奇函数，并讨论了奇偶函数的性质。法国数学家达朗贝尔(J.ert，1717-1783)在狄德罗 (D.Diderot,1713-1784)主编的《大百科全书》第7卷（1757年出版）关于函数的词条中说：“古代几何学家， 更确切地说是古代分析学家，将某个量x的不同次幂称为x的函数．”类似地，法国数学家拉格朗日《解析函数论》 （1797）开篇中也说，早期分析学家们使用“函数”这个词，只是表示“同一个量的不同次幂”，后来，其涵义 被推广，表示“以任一方式得自其他量的所有量”，莱布尼茨和约翰·伯努利最早采用了后一涵义。在1727年的 论文中，欧拉在讨论奇、偶函数时确实没有涉及任何超越函数。因此，最早的奇、偶函数概念都是针对幂函数以 及相关复合函数而言，欧拉提出的“奇函数”、“偶函数”之名显然源于幂函数的指数或指数分子的奇偶性：指 数为偶数的幂函数为偶函数，指数为奇数的幂函数为奇函数。
பைடு நூலகம்
欧拉认为，函数与函数是等价的，所以尽管奇函数与偶函数的乘积为奇函数，但有时这样的乘积也可能会是 偶函数。鉴于此，欧拉提出，要使一个偶函数的幂仍为偶函数，就必须对幂指数进行限制，特别的，如果指数为 分数，那么它的分母就不能为偶数。在将偶函数定义为和的复合函数时，欧拉特别增加了一个限制条件：中不能 含有之类的根式。显然，欧拉未能区别函数和函数。
高考数学奇函数知识点
高考数学奇函数知识点高考数学是让许多学生头疼的科目之一。
其中，奇函数的概念是一个重要的知识点。
奇函数在高考中占据了一定的比重，因此掌握奇函数的性质和应用是很有必要的。
奇函数是指满足一个性质的函数，即对于任意一个实数x，有f(-x) = -f(x)。
也就是说，奇函数在函数图像关于原点对称的情况下，函数值的正负性质关于y轴对称。
下面，我们来探讨奇函数的一些性质和应用。
首先，奇函数的图像关于原点对称。
这一性质可以用来求解奇函数的图像。
例如，对于函数y = x^3，我们可以通过奇偶性来判断它的图像。
因为对于任意一个实数x，有(-x)^3 = -x^3，所以函数y = x^3是一个奇函数。
根据奇函数图像关于原点对称的性质，我们可以确定它的图像关于原点对称。
其次，奇函数具有特殊的性质，即在奇函数的定义域内，函数值的正负性质关于y轴对称。
利用这个性质，我们可以简化问题的求解。
例如，在求解函数y = -x^2的非负解时，我们可以转化为求解函数y = x^2的负解。
因为对于任意一个非负数x，有(-x)^2 = x^2，所以函数y = -x^2的非负解等价于函数y = x^2的负解。
奇函数还可以用于简化数学问题的推导和证明。
例如，在证明某些问题的对称性时，我们可以利用奇函数的性质。
假设我们需要证明正方形的对角线互相垂直，我们可以通过绘制正方形各顶点坐标的奇函数图像来论述。
由于对角线互相垂直，所以连接各顶点的线段的斜率是奇函数，而奇函数的斜率在定义域内的正负性质关于y轴对称，所以可得两线段的斜率互为相反数，进而推出对角线互相垂直。
在应用题中，奇函数也起着重要的作用。
例如，在某个机械运动学问题中，我们需要求解一个平均速度为零的运动过程。
通过分析问题的奇偶性质，我们可以判断出所求解的运动过程是一个奇函数。
根据奇函数的性质，我们可以得出平均速度为零的运动过程必定存在一个时间点t，使得速度在该时间点t处为零。
综上所述，奇函数在高考数学中具有重要的地位。
专题五 函数的奇偶性(解析版)-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破(全国通用)
专题五 函数的奇偶性1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定义(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称． 结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )． 结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数； (4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1 a 2x －1(a >0且a ≠1)是奇函数； 结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋x m －x(a >0且a ≠1)是奇函数； (2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋m x －m(a >0且a ≠1)是奇函数； (3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋b mx －b (a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝log a (1＋m 2x 2±mx )(a >0且a ≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y ＝f (x )满足f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． 推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＝f (－x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0（y 轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称．推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 轴对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a －x )＝f (x )⇔f (2a ＋x )＝f (－x )若函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (2a －x )＝－f (x )⇔f (2a ＋x )＝－f (－x )考点一 判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是( )A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos x D ．y ＝ln|x |－sin x 答案 B 解析 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B ．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x 答案 D 解析 对于A ，定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数． (3)设函数f (x )＝e x －e －x 2，则下列结论错误的是( ) A ．|f (x )|是偶函数 B ．－f (x )是奇函数 C ．f (x )|f (x )|是奇函数 D ．f (|x |)f (x )是偶函数答案 D 解析 ∵f (x )＝e x －e －x 2，则f (－x )＝e －x －e x 2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．(4)已知f (x )＝4－x 2，g (x )＝|x －2|，则下列结论正确的是( )A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数B ．h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数C ．h (x )＝g (x )·f (x )2－x 是偶函数D ．h (x )＝f (x )2－g (x )是奇函数 答案 D 解析 h (x )＝f (x )＋g (x )＝4－x 2＋|x －2|＝4－x 2＋2－x ，x ∈[－2,2]．h (－x )＝4－x 2＋2＋x ≠h (x )，且h (－x )≠－h (x )，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B ．h (x )＝f (x )·g (x )＝4－x 2|x －2|＝4－x 2(2－x )，x ∈[－2,2]．h (－x )＝4－x 2(2＋x )≠h (x )，且h (－x )≠－h (x )，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C ．h (x )＝g (x )·f (x )2－x ＝4－x 2，x ∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D ．h (x )＝f (x )2－g (x )＝4－x 2x ，x ∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数． (5)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是( )A ．f (x －1)＋1是偶函数B ．f (x －1)－1是奇函数C ．f (x ＋1)＋1是偶函数D ．f (x ＋1)－1是奇函数答案 －12解析 法一：因为f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，所以f (x )＋f (2－x )＝2，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y ＝f (x ＋1)－1的图象可看作是由y ＝f (x )的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y ＝f (x ＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y ＝f (x ＋1)－1是奇函数，故选D ．法二：由f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，得f (x ＋1)－1＋f (－x ＋1)－1＝0，令F (x )＝f (x ＋1)－1，则F (x )＋F (－x )＝0，所以F (x )为奇函数，即f (x ＋1)－1为奇函数，故选D ．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是( )A ．f (x )＝x 3＋1B ．f (x )＝ln 1－x 1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x 1．答案 B 解析 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝－ln 1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B ．2．函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于坐标原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称2．答案 B 解析 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称． 3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg 1x ＋13．答案 D 解析 对于D 项，1x ＋1>0，即x >－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数． 4．已知f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x 2，则下列结论正确的是( )A ．f (x )＋g (x )是偶函数B ．f (x )＋g (x )是奇函数C ．f (x )g (x )是奇函数D ．f (x )g (x )是偶函数4．答案 A 解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )，因为f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x 2，所以h (x )＝x 2x －1＋x 2＝x ·2x ＋x 2(2x －1)， 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h (－x )＝－x ·2－x －x 2(2－x －1)＝x (1＋2x )2(2x －1)＝h (x )，所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数，令F (x )＝f (x )g (x )＝x 22(2x －1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F (－x )＝(－x )22(2－x －1)＝x 2·2x2(1－2x )，因为F (－x )≠F (x )且F (－x )≠－F (x )，所以F (x )＝g (x )f (x )既不是奇函数也不是偶函数．5．设f (x )＝e x ＋e －x ，g (x )＝e x －e －x ，f (x )，g (x )的定义域均为R ，下列结论错误的是( )A ．|g (x )|是偶函数B ．f (x )g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是偶函数D ．f (x )＋g (x )是奇函数5．答案 D 解析 f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，f (x )为偶函数．g (－x )＝e －x －e x ＝－g (x )，g (x )为奇函数．|g (－x )| ＝|－g (x )|＝|g (x )|，|g (x )|为偶函数，A 正确；f (－x )g (－x )＝f (x )[－g (x )]＝－f (x )g (x )，所以f (x )g (x )为奇函数，B 正确；f (－x )|g (－x )|＝f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是偶函数，C 正确；f (x )＋g (x )＝2e x ，f (－x )＋g (－x )＝2e －x ≠－(f (x )＋g (x ))，且f (－x )＋g (－x )＝2e －x ≠f (x )＋g (x )，所以f (x )＋g (x )既不是奇函数也不是偶函数，D 错误，故选D ．6．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数6．答案 C 解析 对于A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是 奇函数，A 错．对于B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．对于C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )·|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．对于D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．考点二 已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2] (1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．答案 1 解析 f (x )为偶函数，则y ＝ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1．(2)已知函数f (x )＝2×4x －a 2x 的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－12 D ．14答案 B 解析 由题意得f (0)＝0，∴a ＝2.∵g (1)＝g (－1)，∴ln(e ＋1)－b ＝ln(1e ＋1)＋b ，∴b ＝12，∴log 212＝－1．故选B ． (3)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，0<x ≤2，－1，－2≤x ≤0，g (x )＝f (x )＋ax ，x ∈[－2，2]为偶函数，则实数a ＝ 答案 －12 解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，0<x ≤2，－1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax ＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －1，－2≤x ≤0，(1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －1，－2≤x ≤0，(1＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12． (4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为( ) A ．(－1，1) B ．(－2，2) C ．(－3，3) D ．(－4，4)答案 A 解析 法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x ＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)． (5)(2019·全国Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________． 答案 －3 解析 当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax ．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e －ax ，所以f (ln 2)＝e －a ln 2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3． 【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案 －32解析 函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1) ＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x－1＋a )为偶函数，则a 的值为________． 8．答案 12 解析 解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋ a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12. 解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数． 9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________． 9．答案 －1 解析 由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＞0，4－2－x ，x ＜0，则实数a ＝________． 10．答案 －4 解析 因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( )A ．17B ．－1C ．1D ．7 11．答案 A 解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶 函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ． 12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋a x，x ∈[－4，－1]的值域 为________．12．答案 ⎣⎡⎦⎤－2，－12 解析 由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x ) ＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x，易知g (x )在[－4，－1]上单 调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即⎣⎡⎦⎤－2，－12． 考点三 已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1) (2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案 12 解析 ∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案 52解析 由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52． (3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，，则g (－8)＝( ) A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3答案 A 解析 法一 当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二 由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案 C 解析 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________． 14．答案 ln 2 解析 由已知可得21()f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21(())f f e ＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e＝f (－2)＝f (2)＝ln 2． 15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( )A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案 D 解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1，x ≥0，g x ，x ＜0，则g (f (－8))＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．216．答案 A 解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四 已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)(2019·全国Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案 D 解析 通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则f (x )＝________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0e x －1＋x ，x ＞0 解析 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0e x －1＋x ，x ＞0． (3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x ) 答案 D 解析 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )． 【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案 x 2＋2x 解析 由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－x D ．2x18．答案 C 解析 当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0 解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，－x 2－4x ，x ≤0. 20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案 14解析 法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x ) ＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14． 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14． 考点五 与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5] (1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 D 解析 设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln 11＋9x 2－3x ＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg )2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg )2f ＝2． (2)(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2 019，则g (－10)的值为( )A ．－2 219B ．－2 019C ．－1 919D ．－1 819答案 D 解析 由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2 019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2 019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2 019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2 019＝－1 819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x 1＋x ＋t ，若1()2f ＋1()2f -＝6，则实数t ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．3 答案 D 解析 令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x 1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1()2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1()2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．8答案 C 解析 易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________． 21．答案 －4 解析 法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x为奇函数， 故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a－1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4． 22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案 B 解析 设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是( )A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案 B 解析 设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案 C 解析 设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案 C 解析 用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________． 26．答案 2 解析 显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1， 则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2．27．设函数f (x )＝(e x ＋e －x )sin x ＋t ，x ∈[－a ，a ]的最大值和最小值分别为M ，N ．若M ＋N ＝8，则t ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．827．答案 4 解析 设g (x )＝(e x ＋e －x )sin x ，x ∈[－a ，a ]，因为g (x )是奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0，所以M ＋N ＝g (x )max ＋g (x )min ＋2t ＝2t ＝8，所以t ＝4．28．若定义在[－2 020，2 020]上的函数f (x )满足：对任意x 1∈[－2 020，2 020]，x 2∈[－2 020，2 020]都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－2 019，且x ＞0时有f (x )＞2 019，f (x )的最大值、最小值分别为M ，N ，则M ＋N ＝( )A ．2 019B ．2 020C ．4 040D ．4 03828．答案 D 解析 令x 1＝x 2＝0得f (0)＝2f (0)－2 019，所以f (0)＝2 019，令x 1＝－x 2得f (0)＝f (－x 2)＋f (x 2)－2 019＝2 019，所以f (－x 2)＋f (x 2)＝4 038，令g (x )＝f (x )－2 019，则g (x )max ＝M －2 019，g (x )min ＝N －2 019，因为g (－x )＋g (x )＝f (－x )＋f (x )－4 038＝0，所以g (x )是奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0，即M －2 019＋N －2 019＝0，所以M ＋N ＝4 038．29．已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．029．答案 A 解析 f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ，则y ＝f (x )＝g (t )＋2，t ∈[－2，2]．显然M ＝g (t )max ＋2，m ＝g (t )min ＋2．又g (t )为奇函数，则g (t )max ＋g (t )min ＝0，所以M ＋m ＝4，故选A ．30．若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋x 2x 2＋cos x(t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则t ＝____． 30．答案 1 解析 f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋x 2x 2＋cos x ＝t ＋t sin x ＋x 2x 2＋cos x ，设g (x )＝t sin x ＋x 2x 2＋cos x，则g (x )为奇函数， g (x )max ＝a －t ，g (x )min ＝b －t ．∵g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴a ＋b －2t ＝0，即2－2t ＝0，解得t ＝1．。
函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题解答分析与思考函数零点问题是数学中一个常见且重要的问题，它涉及到了函数图像的特征、方程的解、数值计算等多个方面。
在数学学习中，零点问题往往是一个绕不过去的坎，因此对于零点问题的解答分析与思考具有重要的意义。
本文将围绕函数零点问题展开讨论，分析其解答方法和思考路径，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、函数零点的定义我们来看一下函数零点的定义。
在数学中，函数的零点指的是函数取零值的自变量的值。
也就是说，对于函数f(x)，如果存在一个值x0，使得f(x0)=0，那么我们就说x0是函数f(x)的一个零点。
函数的零点在函数图像上对应的便是函数与x轴的交点，它是函数的一个重要特征。
二、零点问题的解答方法1. 代数法：对于一些简单的函数，我们可以通过代数方法求解其零点。
比如一元一次函数f(x)=ax+b，其零点就可以通过求解方程ax+b=0来得到，结果为x=-b/a。
对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c，我们可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到其零点，当然这需要使用一些二次方程的求解方法。
2. 图像法：对于一些复杂的函数，我们可以通过画出函数的图像来寻找其零点。
通过观察函数的图像，我们可以大致找到函数的零点所在的区间，并进一步使用数值计算方法来精确求解。
3. 数值计算法：对于一些难以用代数法或图像法求解的函数，我们可以借助数值计算方法来获取函数的零点。
比如二分法、牛顿迭代法等都可以用来求解函数的零点，这些方法在计算机程序中也得到了广泛的应用。
以上提到的几种方法是我们在解答零点问题时常用到的方法，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的函数和问题来选择合适的方法。
三、零点问题的思考路径除了使用合适的方法来解答零点问题，我们在面对零点问题时还需要进行一些思考和分析。
下面就是一些解答零点问题时的思考路径：1. 函数的特征：首先我们需要了解函数的特征，比如函数的单调性、凹凸性、导数的符号等。
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法在数学中，我们经常会遇到需要判断一个函数的奇偶性的情况。
函数的奇偶性对于我们研究函数的性质和图像至关重要。
因此，掌握函数奇偶性的判断方法对于数学学习非常重要。
接下来，我将介绍一些常见的函数奇偶性的判断方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看一下奇函数和偶函数的定义。
一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)成立。
简单来说，奇函数具有对称中心在原点的对称性，而偶函数则具有关于y轴的对称性。
接下来，我们来介绍一些常见函数奇偶性的判断方法。
首先是多项式函数。
对于多项式函数来说，我们可以通过观察其幂次来判断函数的奇偶性。
如果一个多项式函数中只包含偶次幂的项，那么这个函数就是偶函数；如果一个多项式函数中只包含奇次幂的项，那么这个函数就是奇函数。
如果一个多项式函数中同时包含奇次幂和偶次幂的项，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数。
其次是三角函数。
对于三角函数来说，我们可以通过观察其周期性来判断函数的奇偶性。
正弦函数和余弦函数是最常见的两种三角函数，它们分别是奇函数和偶函数。
正弦函数具有奇函数的性质，而余弦函数具有偶函数的性质。
另外，我们还可以通过函数图像的对称性来判断函数的奇偶性。
对于一个函数的图像来说，如果函数图像关于y轴对称，那么这个函数就是偶函数；如果函数图像关于原点对称，那么这个函数就是奇函数。
最后，我们还可以通过函数的导数来判断函数的奇偶性。
一个函数f(x)是奇函数，当且仅当它的导数f'(x)是偶函数；一个函数f(x)是偶函数，当且仅当它的导数f'(x)是奇函数。
总结一下，判断函数的奇偶性是数学中一个重要的知识点，我们可以通过观察函数的幂次、周期性、图像的对称性以及导数来判断函数的奇偶性。
掌握这些方法可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质，为我们的数学学习打下坚实的基础。
“f(0)=0 ”用之要慎
“0)0(=f ”用之要慎江苏省睢宁县古邳中学 苗勇我们很容易证明这个性质：奇函数)(x f 在0处有定义，必有0)0(=f ，这个性质在解决与奇函数相关的含参问题中经常被应用.问题1：若函数()()x x f x e ae x R -=+∈是奇函数，则实数a =______解：因为)(x f 是奇函数，所以0)0(=f ，得1a =-问题2：若函数32()(1)(1)f x ax a x a a =+-+-是奇函数，则实数a 的值为 解：因为)(x f 是奇函数，所以0)0(=f ，得0a =或1a =，当0a =时，2()f x x =-，)(x f 不是奇函数，所以0a ≠当1a =时，3()f x x =，)(x f 是奇函数，所以1a =.评析：问题1和问题2同样用0)0(=f 求出a 的值，为什么问题2比问题1多了一步检验的过程?容易知道，当)(x f 在0处有定义时，)(x f 为奇函数⇒0)0(=f ，但0)0(=f ⇒)(x f 为奇函数，即在)(x f 在0处有定义时，0)0(=f 只是)(x f 为奇函数的必要非充分条件，所以用0)0(=f 求出a 的值后必须进行检验，这种检验是解题过程不可缺少的步骤（河北唐山齐建民老师称之为必要性检验，而那些那些只是为了提高结果的准确率而进行的验算称之为非必要性检验，并不是解题不可缺少的步骤）.之所以问题1没有检验，是因为我们的填空题命题还从没有无解的现象发生，实际上无解的问题是存在的，比如方程或不等式的解集可以空集.如果作为解答题（问题3），则必须写出验证充分性的过程（必要性检验）.问题3：是否存在实数a 使函数()()x x f x e ae x R -=+∈是奇函数？解：若使)(x f 是奇函数，则0)0(=f ，得1a =-；当1a =-时，()()x x f x e e x R -=-∈，显然)(x f 是奇函数.问题4：是否存在实数a 使函数2()lg()1x f x a x=++是奇函数？ 解：由()f x 为奇函数，得(0)0f =，即lg 0a =，所以1a =；当1a =时，13()lg 1x f x x+=+，此时)(x f 不是奇函数；所以不存在在实数a 使函数()f x 是奇函数.评析：问题4的解答错误的，它和问题1和问题2不同，我们无法确定函数在0处有定义，所以更加不能应用0)0(=f 解题.正解1：要使()f x 是奇函数，则222(2)()()lg 01a a x f x f x x -++-==-对于定义域内的任意x 恒成立，即有2121a a ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =-，所以当1a =-时函数()f x 是奇函数.正解2：(2)()lg1a x a f x x ++=+，要使()f x 是奇函数，必有定义域关于原点对称，所以12a a -=+得1a =-， 当1a =-时，1()lg 1x f x x -=+，是奇函数.（必要性检验） 所以当1a =-时函数()f x 是奇函数.问题5：若函数2()()12xx a f x a a -=+⋅为常数在定义域上为奇函数，则a 的值为( )(A) 1 (B) 1- (C) 1± (D) 0错解：因为)(x f 是奇函数，所以0)0(=f ，即011=+-aa ，所以1=a ，此时12()12xf x -=+，经验证，)(x f 是奇函数，选（A ）.正解1：因为)(x f 是奇函数，所以222(1)(22)()()01212(12)(12)x x x x x x x x a a a f x f x a a a a -------++-=+==+⋅+⋅+⋅+⋅对函数定义域中的任意x 都成立，得1±=a ，选（C ）.正解2：当0≥a 时，函数定义域为R ，由0)0(=f 得1=a ，当1=a 时，12()12xx f x -=+，经验证，)(x f 是奇函数；（必要性检验） 当0<a 时，由120x a +⋅≠即21log ()x a≠-，结合函数定义域关于原点对称得21log ()0a-=，于是1-=a ， 当1-=a 时，21()21x x f x +=-，经验证，)(x f 是奇函数；（必要性检验）综上，1±=a ，选（C ）.评析：当能确定函数在0处有定义时，0)0(=f 只是)(x f 为奇函数的必要非充分条件，用其求出参数的值后，还要验证这个值是否是函数为奇函数的充分条件，如问题1和2,3；当不能确定函数在0处是否有定义时，0)0(=f 是)(x f 为奇函数的既不充分也不必要条件，我们可以用奇函数的定义等其它方法去求参数的值，如问题4和5.综上所述：(0)0f =是函数()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件，用之解题时要慎之又慎！。
奇偶性第课时函数奇偶性的概念教案
【解析】 (1)函数定义域为{x|x≠0} f(－x)＝(－x)－(－1x) ＝－(x－1x)＝－f(x) ∴f(－x)＝－f(x) ∴函数 f(x)＝x－1x是奇函数． (2)函数 f(x)的定义域为[－3,3]关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x) ∴函数 f(x)＝x2－1，x∈[－3,3]是偶函数．
方法二：y＝x，y＝1x都是{x|x∈R 且 x≠0} 上的奇函数，
∴f(x)＝x＋1x是奇函数． (2)函数的定义域是{x|x∈R，且 x≠0}， 其定义域关于原点对称． 又对任意的 x∈R 且 x≠0 都有 f(－x)＝(－1x)2＋2＝x12＋2＝f(x)， ∴f(x)＝x12＋2 是偶函数．
(2)若函数的定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也 不是偶函数．
判断下列函数是否具有奇偶性． (1)f(x)＝x－1x (2)f(x)＝x2－1，x∈[－3,3] (3)f(x)＝2xx2＋＋36x 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①函数 f(x)的解析式均已知； ②判断奇偶性问题． 解答此类题目应先判断函数定义域是否关于 原点对称，然后再验证 f(x)与 f(－x)之间的关系来 确定奇偶性．
抽象函数奇偶性的判定通常用定义法，主要是充分运用所 给条件，想法寻找f(x)与f(－x)之间的关系，此类题目常用到 f(0)，可通过给式子中变量赋值，构造出0，把f(0)求出来．
3.本例中，若将条件“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”改为f(x＋y)＋f(x－ y)＝2f(x)·f(y)，其余不变，求证f(x)是偶函数．
1.判断下列函数是奇函数还是偶函数． (1)f(x)＝x＋1x； (2)f(x)＝x12＋2； (3)f(x)＝|x＋2|－|x－2|
什么是奇函数奇函数的性质
什么是奇函数奇函数的性质奇函数是指满足奇函数性质的数学函数。
在数学中，函数可以根据其性质进行分类，其中奇函数是一种常见的特殊类型。
什么是奇函数？奇函数是指满足以下性质的函数：对于任何实数x，当将x替换为-x时，函数值有如下关系：f(-x)=-f(x)。
换句话说，奇函数在原点对称。
这意味着奇函数的图像关于原点对称，即图像在原点旋转180度后重合。
奇函数的性质：1. 奇函数的定义域可以是实数集R，即奇函数可以在整个实数轴上有定义。
2. 奇函数的值域可以是实数集R，即奇函数可以取任意实数值。
3. 奇函数的二次函数系数（即最高次数项的系数）必须为0，否则函数将不满足奇函数的性质。
简单来说，奇函数的表达式通常不包含二次项。
4. 奇函数的导函数仍然是奇函数。
也就是说，奇函数取导后仍然满足函数值对称的性质。
5. 奇函数的任意两个奇函数的和仍然是奇函数。
也就是说，奇函数的线性组合仍然是奇函数。
举例来说明奇函数的性质：一个常见的奇函数是正弦函数sin(x)。
根据正弦函数的性质我们可以验证它是奇函数。
当x替换为-x时，sin(-x)等于-sin(x)，满足奇函数的定义。
同时，正弦函数在图像上关于原点对称。
另一个例子是一阶多项式函数f(x)=ax，其中a为常数。
当a为0时，函数取常值，不满足奇函数的性质。
但是当a不等于0时，函数为线性函数，满足奇函数的性质。
当x替换为-x时，f(-x)=-a(-x)=ax=-f(x)，满足奇函数的定义。
同时，线性函数的图像关于原点对称。
奇函数在数学和物理中具有广泛的应用。
在对称性的研究中，奇函数常常用于描述物理系统的特性和行为。
此外，在信号处理和傅里叶级数的展开中，奇函数也起着重要的作用。
总结：奇函数是满足函数值在原点对称的特殊函数。
奇函数的性质包括对称性、定义域和值域的范围、导函数的性质以及线性组合的封闭性。
正弦函数是一个常见的奇函数的例子。
奇函数在数学和物理学中有广泛的应用，并且对于理解对称性和信号处理具有重要意义。