第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
第二节向量基本定理及坐标表示
2. 平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 不共线 向量,那么对于这一 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2 .其中, 不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底. (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x、 y,使a=xi+yj.把有序数 (x,y) 对叫做向量a的坐标,记作a= , (x,y) 叫a在x轴上的坐标, y x 其中 叫a在y轴上的坐标. ②设OA=xi+yj,则 向量OA的坐标(x,y) 就是终点A的坐标,即若 (x,y) ,反之亦成立(O是坐标原点). OA=(x,y),则A点坐标为
1 ）b, 3
）=
1 9
,
∴
1 (m+n)=mn,即 3
1 1 m n
=3.
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试 问: (1)当t为何值时,P在x轴上?P在第二象限? (2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
基础梳理
1. 两个向量的夹角 (1)定义 非零 向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ叫做 已知两个 向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角θ的范围是 0°≤θ≤180° ,a与b同向时, 夹角θ= 0° ;a与b反向时,夹角θ= 180° . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 90°,则a与b垂直,记作 a⊥b .
第四章 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
个正交基底{e1，e2}，e1，e2分别是与x轴和y轴同方向
的 单位向量，这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底．
返回
在坐标平面xOy内，任作一向量 AB ＝a，由平面向量基 本定理知，存在唯一的有序实数对(a ，a )使得 a＝a1e1＋
1 2
a2e2，(a1，a2) 就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a ＝ (a1，a2)，显然，0＝ (0,0) ，e1＝(1,0)，e2＝ (0,1) ． (2)在直角坐标系中，一点A的位置被点A的位置向量 OA 所唯一确定．设A(x，y)，则 OA ＝xe1＋ ye2＝(x，y) ．
第 四 章 平 面 向 量、 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入
第二 节 平 面 向 量 的 基 本 定 理 及 坐 标 表示
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
提 能 力
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[备考方向要明了]
考 什 么 1.了解平面向量基本定理及其意义． 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
1 n ∴m＝ ，n＝－1.∴m＝－4. 4
答案：－4
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1．平面向量基本定理的理解 (1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的 基底．单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基 底．
(2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，
并且表示方法是唯一的．但不同的基底表示形式是 不同的． (3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算．
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
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怎 么 考 1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的 应用是重点． 2.向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点
第二章§2.3.1平面向量基本定理
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规律方法总结
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第 ．零向量不能作为基底， 二 1．零向量不能作为基底，两个非零向量共线时不能作 章 为平面向量的一组基底．只有平面内两个不共线的向量 为平面向量的一组基底． 平 ．平面内不共线的两个向量可以作为基底， 面 2．平面内不共线的两个向量可以作为基底，对于同一 个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同． 向 个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同． 量 3．证明三点共线，应结合题目条件，把e1与e2看作一组 ．证明三点共线，应结合题目条件， 基底，选择适当的任两点确定向量， 基底，选择适当的任两点确定向量，依据向量共线的条 件判定向量共线，由这两个向量又有公共点， 件判定向量共线，由这两个向量又有公共点，可证三点 共线． 共线．
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第 二 章 平 面 向 量
上 页
例1 如图所示，已知 ，e ，作向量 ＝e ＋2e ， 如图所示，已知e1 2 作向量a＝ 1 2 b＝e2＋2e1，并作出向量 －b. 并作出向量a－ ＝ 分析】 【分析】 本题主要考察平面向量基本定理的 作图问题． 作图问题．
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第 二 章 平 面 向 量
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
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第 二 章 平 面 向 量
情境设疑
为了在直立的墙面上固定一幅画， 为了在直立的墙面上固定一幅画， 有时用一个钉，有时用多个钉， 有时用一个钉，有时用多个钉，你能否用 向量的有关知识来解释其中的道理？ 向量的有关知识来解释其中的道理？
平面向量的基本定理及其坐标表示
19
所以有xy11－＋21＝＝21，和－2－1－y2＝x22＝1. 解得xy11＝＝40，和xy22＝＝0－2. 所以点C、D的坐标分别是(0，4)、(－2，0)， 从而C→D＝(－2，－4)．
CHENLI
20
[规律总结] 向量的起、终点坐标、向量坐标可“知 二求一”，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通 过列方程组求解．向量坐标的概念其实质是平面向量基本 定理的具体运用．随着学习的深入对此应有一个深刻的认 识．
第四章 平面向量
CHENLI
1
第2课时 平面向量的基本定理及其坐标表示
CHENLI
2
考纲传真： 1. 了解平面向量的基本定理及其意义． 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
CHENLI
3
请注意！ 平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加 法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学习向量 数量积的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，也 是高考中命题的热点内容．在这里，充分体现了转化和 数形结合的思想方法．
CHENLI
15
思考：4. [2012·黄冈]在平行四边形ABCD
中，E、F分别是BC、CD的中点，DE
交AF于H，记 A→B 、 B→C 分别为a、b，
则A→H＝( )
A. 25a－45b
B. 25a＋45b
C. －25a＋45b
D. －25a－45b
答案：B
CHENLI
16
解析：A→F＝b＋12a，D→E＝a－12b，设D→H＝λD→E，则 D→H＝λa－12λb，∴A→H＝A→D＋D→H＝λa＋(1－12λ)b，
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
高考数学全程一轮复习第五章平面向量与复数第二节平面向量基本定理及坐标表示课件
1)．故选D.
(2)如图，半径为2的扇形AOB的圆心角为120°，点C在 AB上，且
∠COB＝30°，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝________．
答案： 3
题后师说
(1)利用向量的坐标运算解题，首先利用加、减、数乘运算法则进行
运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一
答案：D
3．[2024·河南平顶山模拟]已知向量a＝(1，－1)，b＝(m2，m)，则m
＝－1是a∥b的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若a∥b，则m＋m2＝0，解得m＝－1或m＝0，则m＝－1是a∥b的充分不
必要条件．故选A.
4．[2024·江苏镇江模拟 ]在△ABC中，AB＝3AD，点E是CD的中
x2 y2
x2 y2
因为x2，y2中可能为0.
关键能力·题型剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
例 1 (1)[2024·河北石家庄模拟]如图，四边形ABCD是平行四边形，
点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量AE，BF为基底表示向量AC，
则下列结论正确的是(
)
1
3
A．AC＝ AE + BF
5
3
B．AC＝ AE
(kb＋a)∥(b－a)，得(3k＋2)－(2k＋1)＝0，所以k＝－1.
角度二 利用向量共线求向量或点的坐标
例 4 [2024·江西抚州模拟]已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的
4
延长线上，且|AP|＝ |PB|，则点P的坐标为________．
第二节 平面向量基本定理及坐标-高考状元之路
平面向量基本定理及坐标表示预习设计 基础备考知识梳理1．两个向量的夹角(1)定义：已知两个 向量a 和b ，作=,,b a =则∠AOB=8叫做向量a 与b 的夹角．(2)范围：向量夹角θ的范围是 ，a 与b 同向时，夹角=θ ；a 与b 反向时，夹角θ(3)向量垂直：若向量a 与b 的夹角是 ，则a 与b 垂直，记作2．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：定理：如果21,e e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 一对实数,,21λλ使=a 其中，不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组(2)平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使,yj xi a +=把有序数对 叫做向量a 的坐标，记作 =a ，其中叫a 在x 轴上的坐标， 叫a 在y 轴上的坐标．,2yj xOA += ②、设则向量OA 的坐标(x ，y)就是 ，即若),,(y x OA =则A 点坐标为 反之亦成立．(O 是坐标原点)3．平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算．(2)向量坐标的求法：已知),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去 的坐标．(3)平面向量共线的坐标表示设),,(),,(2211y x b y x a ==其中,0=/b 则a 与b 共线⇔⇔=b a λ典题热身1．若),1,0(),2,3(-==b a 则a b -2的坐标是 ( ))4,3.(-A )4,3.(-B )4,3.(C )4,3.(--D答案：D2．已知),,8(),5,4(y b a ==且,//b a 则y 等于 ( )5.A 10.B 532.c 15.D 答案：B3．正三角形ABC 中，的夹角为 ( )60.A 45.B 120.C90.D答案：C4．已知平面任一点0满足),,(R y x y x ∈+=则”“1=+y x 是“点P 在直线AB 上”的 ( )答案：C5．下列各组向量： );7,5(),2,1(21=-=e e ①);10,6(),5,3(21==e e ②⋅-=-=)43,21(),3,2(21e e ③ 其中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （填序号）答案：①课堂设计 方法备考题型一 平面向量基本定理及其应用【例1】如图所示，在OAB ∆由41,=AD ,21,=与BC 交于点M ，设b a ==,以a ，b 为基底表示.题型二 平面向量的坐标运算【例2】已知).4,3(),1,3(),4,2(----C B A 设.2,3,,,b c c b a -=====且(1)求;33c b a -+(2)求满足nc mb a +=的实数m ，n ；(3)求M 、N 的坐标及向量的坐标．题型三 平面向量共线的坐标表示【例3】平面内给定三个向量,4(),2,1(),2,3(=-==c b a )1回答下列问题：(1)求满足nc mb a +=的实数m ，n ；(2)若!)2//()(a b kc a -+求实数k ；(3)若向量d 满足),//()(b a c d +-且,5||=-c d 求d ．◎技法巧点1．基底的选取在解决与向量有关的具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便，在解决有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可．2．向量的坐标表示向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样可以将许多几何问题转化为同学们熟知的数量运算，这也给我们解决几何问题提供了一种新的方法——向量坐标法，即建立平面直角坐标系，将几何问题用坐标表示，通过向量的坐标运算解决问题．失误防范1．要区分点的坐标与向量的坐标的区别，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量的坐标中同样有方向与大小的信息．2．在处理分点问题比如碰到条件“若P 是线段AB 的分点，且|PA ∣=2∣PB ∣”时，P 可能是AB 的 内分点，也可能是AB 的外分点，即可能的结论有.2,2-==或3．数学上的向量是自由向量，向量),(b a x =经过平移后得到的向量的坐标仍是).,(b a随堂反馈．1．(2010．陕西省质检)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD 和BC 的中点，若,μλ+= 其中R ∈μλ,则μλ+的值为（ ）34.A 1.B 32.C 31.D2．(2011．广东高考)已知向量若A 为实数，,3),0,1(),2,1(（===c b a ).4则,//)(c b a λ+=λ（ ） 41.A 21.B 1.C2.D 3．(2010．陕西高考)已知向量=-=-=c m b a ),,1(),1,2(!//)(),2,1(c b a +-则=m4．给定两个长度为1的平面向量和它们的夹角为,120如图所示点C 在以O 为圆心的圆弧B A 上变动．若y x +=·其中∈y x ,R 则y x +的最大值是5．（2011．佛山模拟）已知在平面直角坐标系中，A （-2，O ），B OA OM B O ),3,1(βα+=（其中0为原点，实数a ，b 满足若）1=+βα)0,1(N , ||MN 的最小值是高效作业 技能备考一、选择题1．(2011．嘉兴模拟)已知向量，则),(),,1(2m m b m a =-=，则向量b a +所在的直线可能为（ ）A ．x 轴B ．第一、三象限的角平分线C ．y 轴D ．第二、四象限的角平分线2．(2011．衙州联考)且),1,(sin ),1,cos 2(αα==b a 且,//b a 则tana 等于 （ ）2.A 21.B 2.C - 21.-D 3．(2011．广东五校联考)若),cos 21,31(),43,(sin x b x a ==且,//b a 则锐角x 为 （ ） 6.πA 4π⋅B 3C π⋅ π125.D 4．(2010．绍兴模拟)已知向量)1,2(),3,1(-=-=，)2,1(-+=m m 若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是2.-=/m A 21.=/m B 1.=/m c 1.-=/m D 5．(2010．合肥质检)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为!)cos ,3(,,,C c b m c b a -=,//),cos ,(n m A a n =则A cos 的值等于（ ）63.A 43.B 33.c 23.D 6．(2011．青岛模拟)如图，在四边形ABCD 中==BC AB ,,1=CD 且 135,90=∠=∠BCD B 记向量b AC a AB ==,则=（ ）b a A )221(2.+- b a B )221(2.++- b ac )221(2.-+- b a D )221(2.-+二、填空题7．（2011．湖南高考）设向量b a ,满足)1,2(,52||==b a 且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为8．(2011．天津十二校联考)已知直角坐标平面内的两个向量),32,(),3,1(-==m m b a 使平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成,b a C μλ+=则m 的取值范围是9．(2011．湛江质检)已知向量集合,3()2,1|{λ+==（a a M ⋅∈}),4R λ}),5,4()2,2(|{R b b N ∈+--==λλ则 M =N （ ）三、解答题10．(2010．枣庄模拟)已知)2,3(),1,2(),2,1(C B A -和),3,2(-D 以⋅AC AB ,为一组基底来表示.B ++11．已知向量t k b a ,),1,2(),2,1(-==为正实数+=a x ，b ta k yb t 11,)1(2+-=+问是否存在k 、t ，使,//y x 若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．12．在平行四边形ABCD 中，),0,6(),1,1(=A 点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P.(1)若)5,3(= 求点C 的坐标；(2)当||||AD AB =时，求点P 的轨迹．。
2.3.1平面向量基本定理及坐标表示
ABCD的 M,且 例2:如图， ABCD的两条对角线相交于点M,且 2:如 uu r uu r r r rr uur uu uu uu r r r a， b， MA、 MC MB、 AB = a， = b，用a、表示MA、 、 和MD. AD b MB MC和 D C ABCD中 解：在 ABCD中， r M b uu uu uu r r r r r ∵ AC = AB + AD = a + b r B a uu uu uu r A r r r r DB = AB - AD = a - b r r r r r r r r uur r r r 1 uu a+b a b uu 1 uu a - b a b ∴MA = - AC = = - - , MB = DB = = 2 2 2 2 2 2 2 2 r r r r uu 1 uu r r uur a b uu r r uu r 1 uu a b MC = AC = -MA = + , MD = - DB = -MB = - + 2 2 2 2 2 2
⇔
r r a共 向量b与非零向量a共线,
r r =λ 有且只有一个实数λ，使得b = λ a.
⑵向量的加法：
r b
共起点
r b
O
B
r r a+b
C
r a
r a
r r a + b
A
平行四边形法则 首尾相接
O
r a
r b
A
B
三角形法则
Hale Waihona Puke uu uu r r 思考：一个平面内的两个不共线的向量 e1、 2 与该平面 e r 内的任一向量 a 之间的关系.
M C
ur e1
一轮创新思维文数(北师大版)课件：第五章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示
2．已知 a1＋a2＋…＋an＝0，且 an＝(3,4)，则 a1＋a2＋…＋ an－1 的坐标为( C ) A．(4,3) C．(－3，－4) B．(－4，－3) D．(－3,4)
3．已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共 1 m － 线，则 n ＝________. 2 4．已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，
(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． → ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝
2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 ＝ .
→ (x2－x1，y2－y1) ，|AB |
3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
这一平面内的任一向量 a，存在 唯一 一对实数 λ1、λ2，使 a
2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝
2 x2 ＋ y 1 1 .
答案
考点一
考点二
考点三
[思维升华] 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计 算． 若已知有向线段两端点的坐标， 则应先求出向量的坐标， 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
考点一
考点二
考点三
[跟踪训练] 1． 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)， B(－1， －2)， C(3,1)， → → 且BC＝2AD，则顶点 D 的坐标为( A ) 7 A．(2， ) 2 C．(3,2) 1 B．(2，－ ) 2 D．(1,3)
《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2
，则称 a 与 b 垂直，
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名师点睛 1．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的． (2)平面向量基本定理中， 实数 λ1， λ2 的唯一性是相对于基底 e1， e2 而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦 选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．
)．
1 C.4
1 D.8
1→ 1→ 1→ 1 → → 1 → → 1 AN＝2AD＋AE＝24AB＋4AC＝8AB＋8AC，∴x＝y＝
1 1 1 1 ，即 x＋y＝ ＋ ＝ . 8 8 8 4 答案 C
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题型四 共线向量与平面向量基本定理的 综合应用 → ＝a，OB → ＝b，M、N 分 【例 4】 如图所示，在△OAB 中，OA 1 1 → → → 与BM →交 别是边 OA、OB 上的点，且OM＝ a，ON＝ b，设AN 3 2 → 于点 P，试以 a、b 为基底表示OP.
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3→ → → → → → 又∵ OB ＝ 3， ＝1，故OD＝ 3OA，OE＝ OA 3 OB，
3→ → → ∴OC＝ 3OA＋ 3 OB， 3 m 3 此时 m＝ 3，n＝ ，∴ ＝ ＝3. 3 n 3 3
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【变式 2】 已知|a|＝|b|＝2，且 a＋b 和 a 的夹角和 a－b 和 a 的夹角相等，求 a 与 b 的夹角． → ＝a，OB → ＝b， 解 如图，作OA 以 OA，OB 为邻边作▱OACB， → ＝a＋b，BA → ＝OA → －OB → ＝a－b， 则OC → → BC＝OA＝a， ∴a＋b 与 a 夹角为∠AOC， a－b 与 a 夹角为∠ABC，a 与 b 夹角为∠AOB.
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第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题
1.(必修4P118A组2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝12，－34
解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.
答案 B
2.(2016·沈阳质监)已知在▱ABCD中，AD→＝(2，8)，AB→＝(－3，4)，则AC→＝( )
A.(－1，－12) B.(－1，12)
C.(1，－12) D.(1，12)
解析 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AC→＝AB→＋AD→＝(－1，12)，故选B.
答案 B
3.已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的
( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所
以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
答案 A
4.如右图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的
格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为( )
A.e1＋e2 B.－2e1＋e2
C.2e1－e2 D.2e1＋e2
解析 以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题
意可得e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，
因为a＝xe1＋ye2＝x(1，0)＋y(－1，1)，＝(x－y，y)，则x－y＝－3，y＝1，解得
x＝－2，
y＝1，
故a＝－2e1＋e2.
答案 B
5.已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，
则k的值是( )
A.－23 B.43 C.12 D.13
解析 AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2)，因为A，B，
C三点共线，所以AB→，AC→共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.
答案 A
6.(2017·衡水冀州中学月考)在△ABC中，点D在BC边上，且CD→＝2DB→，CD→＝
rAB→＋sAC→，则r＋s等于( )
A.23 B.43 C.－3 D.0
解析 因为CD→＝2DB→，所以CD→＝23CB→＝23(AB→－AC→)＝23AB→－23AC→，则r＋s＝23＋
－
2
3
＝0，故选D.
答案 D
7.在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4，
3)，PQ→＝(1，5)，则BC→等于( )
A.(－2，7) B.(－6，21)
C.(2，－7) D.(6，－21)
解析 AQ→＝PQ→－PA→＝(－3，2)，∵Q是AC的中点，
∴AC→＝2AQ→＝(－6，4)，PC→＝PA→＋AC→＝(－2，7)，