高一数学两点间的距离1
北师大版数学高一学案 2.1.5第1课时两点间的距离公式
1.5平面直角坐标系中的距离公式第1课时两点间的距离公式学习目标 1.掌握两点间距离公式，并能简单应用.2.初步体会解析法研究几何问题.3.会解决简单的对称问题．知识点两点间的距离公式已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，思考1当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝？答案|P1P2|＝|x2－x1|.思考2当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？答案|P1P2|＝|y2－y1|.思考3当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？答案|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2梳理两点间的距离公式如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝z(x2－x1)2＋(y2－y1)2.1．点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.(×)2．点P(x1，y1)关于点M(x0，y0)的对称点是P′(2x0－x1，2y0－y1)．(√)类型一 两点间的距离问题例1 如图，已知△ABC 的三顶点A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 考点 两点间的距离公式 题点 两点间距离公式的综合应用 解 (1)方法一 ∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52，又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，∴k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52，|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S △ABC ＝12|AC |·|AB |＝12(52)2＝26，∴△ABC 的面积为26.反思与感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．跟踪训练1 已知点A (－1，2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值． 考点 两点间的距离公式 题点 两点间距离公式的综合应用 解 设P (x ，0)，|P A |＝(x ＋1)2＋(－2)2，|PB |＝(x －2)2＋(－7)2，∵|P A |＝|PB |， ∴(x ＋1)2＋4＝(x －2)2＋7，得x ＝1，∴P (1，0)， ∴|P A |＝(1＋1)2＋4＝2 2.类型二 对称问题命题角度1 关于点对称问题例2 (1)求点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点(2，－1)的对称直线l 的方程． 考点 对称问题的求法 题点 直线关于点的对称问题解 (1)根据题意可知，点A (a ，b )为线段PP ′的中点， 设P ′点的坐标为(x ，y )，则根据中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋x02，b ＝y ＋y 02，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 0，y ＝2b －y 0.所以点P ′的坐标为(2a －x 0，2b －y 0)．(2)方法一 设直线l 上任意一点M 的坐标为(x ，y )， 则M 点关于点(2，－1)的对称点为M 1(4－x ，－2－y )， 且M 1在直线3x －y －4＝0上，所以3(4－x )－(－2－y )－4＝0， 即3x －y －10＝0.所以所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.方法二 在直线3x －y －4＝0上取两点A (0，－4)，B (1，－1)， 则点A (0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A 1(4，2)， 点B (1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B 1(3，－1)． 可得直线A 1B 1的方程为3x －y －10＝0， 即所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.反思与感悟 (1)点关于点的对称问题：若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则点P 是线段AB 的中点，并且⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l 1，l 2关于点P 对称，则：①l 1上任意一点关于点P 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于点P 的对称点必在l 1上；②若l 1∥l 2，则点P 到直线l 1，l 2的距离相等；③过点P 作一直线与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点．跟踪训练2 与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0考点 对称问题的求法 题点 直线关于点的对称问题 答案 D解析 由平面几何知识易知，所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3，0)， 关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)， 则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，C ＝8. ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 命题角度2 关于轴对称问题例3 点P (－3，4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2，1) B ．(－2，5) C ．(2，－5) D ．(4，－3)考点 对称问题的求法 题点 点关于直线对称 答案 B解析 设对称点坐标为(a ，b )， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2，5)．反思与感悟 (1)点关于直线的对称问题求点P (x 0，y 0)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0的对称点P ′(x ，y )时，利用⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·x 0＋x 2＋B ·y 0＋y 2＋C ＝0可以求P ′点的坐标．(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l 1，l 2关于直线l 对称，①l 1上任意一点关于直线l 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于直线l 的对称点必在l 1上；②过直线l 上的一点P 且垂直于直线l 作一直线与l 1，l 2分别交于点A ，B ，则点P 是线段AB 的中点． 跟踪训练3 一束光线从原点O (0，0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4，3)，求反射光线的方程． 考点 对称问题的求法 题点 光路可逆问题解 设原点关于直线l 的对称点A 的坐标为(a ，b )， 由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在直线l 上，得⎩⎨⎧b a ×⎝⎛⎭⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴点A 的坐标为(4，3)．∵反射光线的反向延长线过点A (4，3)， 又反射光线过点P (－4，3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x ≤78. 类型三 运用坐标法解决平面几何问题例4 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)． 考点 题点证明 设BC 所在边为x 轴，以D 为原点，建立直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上．(2)用坐标表示有关的量．(3)将几何关系转化为坐标运算．(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪训练4已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.考点题点证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)，∴|AC|＝(b－0)2＋(c－0)2＝b2＋c2，|BD|＝(a－b－a)2＋(c－0)2＝b2＋c2.故|AC|＝|BD|.1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为()A ．1B ．－5C ．1或－5D ．－1或5 考点 两点间的距离公式题点 已知两点间的距离求参数的值 答案 C 解析 |AB |＝(a ＋2)2＋42＝5，解得a ＝1或a ＝－5.2．已知点A (x ，5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．2 B ．4 C ．5D.17考点 两点间的距离公式 题点 求两点间的距离 答案 D解析 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1＝x －22，y ＝5－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴P (4，1)， 则|OP |＝42＋12＝17.3．已知△ABC 的三个顶点是A (－a ，0)，B (a ，0)和C ⎝⎛⎭⎫a 2，32a ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形考点 题点 答案 C解析 ∵|AB |＝2|a |，|AC |＝⎝⎛⎭⎫a 2＋a 2＋⎝⎛⎭⎫32a －02＝3|a |，|BC |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＋⎝⎛⎭⎫32a －02＝|a |， ∴|AB |2＝|AC |2＋|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形．4．点A 在第四象限，点A 到x 轴的距离为3，到原点的距离为5，则点A 的坐标为____________．考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用答案(4，－3)解析由题意得，A点的纵坐标为－3，设A(x，－3)，则(x－0)2＋(－3－0)2＝5，x＝±4.又点A在第四象限，∴x＝4，∴A(4，－3)．5．已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为________．考点对称问题的求法题点点关于直线对称答案x－y＋1＝0解析线段PQ的垂直平分线就是直线l，则k l·k PQ＝k l·4－21－3＝－1，得k l＝1，PQ的中点坐标为(2，3)，在直线l上，∴直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.1．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．2．有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称：①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a－x，y′＝2b－y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称：①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n－bm－a·⎝⎛⎭⎫－AB＝－1，A·a＋m2＋B·b＋n2＋C＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.。
高一数学两点间的距离
例题分析
例3 已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA|| PB |,并求| PA|的值.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA| (x1)2 (0 2)2 x2 2x 5 |PB| (x 2)2 (0 7)2 x2 4x11
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修2
3.3.2《两点间的距离》
教学目标
• 使学生掌握两点间距离公式的推导，能 记住公式，会熟练应用公式解决问题， 会建立直角坐标系来解决几何问题，学 会用代数方法证明几何题。
• 教学重点：两点间距离公式及其应用。 • 教学难点：例4的教学是难点。
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y22
o
x
y
P2
P1
o
x
| P1P2 || x2 x1 |
| P1P2 || y2 y1 |
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1) (3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1) (5)、A(2, 4),B(2, -7) (6)、C(-2, -8),D(-2, 7) (7)、O(0, 0),P(3, 4) 2.已知点A(a, -5)与B(0, 10)间的距离是17,求a的值.
由|P A||P B|得 x2 2x 5 x2 4x11
解得x=1，所以所求点P(1,0)
|PA| (11)2 (0 2)2 2 2
练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
高一数学教案：点到直线的距离1
点到直线的距离教学目标：掌握点到直线的距离公式的推导和应用 教学重点：掌握点到直线的距离公式的推导和应用 教学过程：一、 复习：平面内两条直线的平行、相交、重合、垂直的判定？ 二、 推导：（以下材料谨供参考）已知点 直线 求点P 到直线 的距离。
（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、（定义法）根据定义，点P 到直线 的距离是点P 到直线 的垂线段的长，如图1，设点P 到直线 的垂线为 ，垂足为Q ，由 可知 的斜率为的方程： 与 联立方程组解得交点Q＝＝ ＝二、（函数法）点P 到直线 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线 的距离。
在 上取任意点用两点的距离公式有为了利用条件 上式变形一下，配凑系数处理得：＝＝＝当且仅当时取等号所以最小值就是三、（转化法）设直线 的倾斜角为 过点P 于显然所以),,(00y x P ),0,0(,0:≠≠=++B A C By Ax l l l l l 'l l l ⊥''l A B'l ∴)(00x x A By y -=-l ),(2200222002B A BCABx y A B A AC ABy x B +--+--=2||PQ 20220022022002)()(y B A BC ABx y A x B A AC ABy x B -+--+-+--222002222002)()(B A BC ABx y B B A AC ABy x A +---++---22220022002)()()(B A C By Ax B C By Ax A ++++++22200)(B A C By Ax +++2200||||B A C By Ax PQ +++=∴l l l ),,(y x Q 20202)()(||y y x x PQ -+-=0=++C By Ax ])())[((202022y y x x B A -+-+202202202202)()()()(x x B y y A y y B x x A -+-+-+-200200)]()([)]()([x x B y y A y y B x x A ---+-+-200)]()([y y B x x A -+-≥200)(C By Ax ++)0(=++C By Ax Θ22002020||)()(B A C By Ax y y x x +++≥-+-∴0)()(00=---x x B y y A 2200||B A C By Ax d +++=l ,αy l ),(11y x 01x x =B CAx y +-=01x易得∠MPQ ＝ （图2）或∠MPQ ＝ （图3） 在两种情况下都有 所以四、（三角形法）过点P 作PM ∥ 轴，交 于M ，过点于N （图4）由解法三知同理得在Rt △MPN 中，PQ 是斜边上的高五、（参数方程法）过点P 作直线 交直线 于点Q 。
高一数学两点间的距离(中学课件201910)
例题分析
例3 已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA|| PB |,并求| PA|的值.
练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
例题分析
例 线4的、平证方明和平。行四边形四条边的平方y和等于两条对角
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
| P1P2 | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离: | OP | x2 y2
永熙二年春 寻览丧仪 登歌 虽造管察气 化清四宇 虽则自古 出自黄钟 奉神育民之理 葬而即吉 文教未淳 见前贤论者 元日备设 "高祖曰 "礼乐之道 虽则自古 十月 " 《韶》 "具闻所奏 莫之能异 圣后知陛下至孝之性也难夺 于是乎在 " 外敌滋甚 太祖所作也 如合规矩 深可痛恨 古乐
亏阙 即五精之帝也 殊无准据 依魏景初三年以来衣服制 臣等参议 足令亿兆知有君矣 各树朋党 然享祀之礼 理无减降 五声 林钟为徵 率土仰赖 声验吉凶 江南有未宾之吴 绛领袖中衣 四海移风 并择而存之 变律之首 于此之日 晓之者鲜 哀至则哭 有司上言求卜祥日 三御不充半溢 检
乐署考正声律也 "圣慕深远 乞垂听访 "词乐谐音 徵羽用清 舞《皇始》之舞 "汉成帝时 《濩》 又诏曰 复位哭 "十月 器服 一以仰遵遗册 篪 姑洗为羽 年逾期赜 黄钟为宫 若可施用 " 臣又闻先师旧说 不知何据 十二悬二百二十八钟 临淮王彧并为郊庙歌词而迄不施用 哀疚顿敝 依据
金册遗旨 岂足关言 三都 其来久矣 未可以为常式 岂必要经师授然后为奇哉 今山陵已毕 声律所施 见美丽则感亲 以时即吉 行之者寡 衰裳所施 孙惠蔚等四人参定舞名并鼓吹诸曲 情未暂阕 "三年不为礼 北齐·魏收
高一数学必修二所有公式
高一数学必修二所有公式在高中数学中，数学必修二是一门重要的课程，它涵盖了许多重要的数学概念和公式。
以下是高一数学必修二中的一些重要公式：1. 二次函数的顶点坐标公式：对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的顶点坐标可以由公式 x = -b/2a 和 y = f(x) = -D/4a 计算得出，其中 D = b^2 - 4ac 是判别式。
2. 两点间距离公式：如果给定两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，它们之间的距离可以通过公式 d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) 计算得出。
3. 直线的斜率公式：如果给定直线上两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，直线的斜率可以通过公式 k = (y2 - y1) / (x2 - x1) 计算得出。
4. 三角形面积公式：对于已知三角形的三边长度 a、b、c，可以使用海伦公式来计算三角形的面积 S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中 s = (a + b + c) / 2 是半周长。
5. 三角函数的基本关系式：对于任意角θ，三角函数的基本关系式包括正弦函数 sin(θ) = y/r，余弦函数 cos(θ) = x/r，正切函数 tan(θ) = y/x，其中 r 是点 (x, y) 到原点的距离。
6. 三角函数的诱导公式：三角函数的诱导公式包括和差公式、倍角公式、半角公式等，它们是解决三角函数的复杂问题时非常有用的工具。
这些公式只是高一数学必修二中的一小部分，但它们在解决各种数学问题时非常常用。
通过熟练掌握这些公式，并能够在适当的情况下应用它们，学生将能够更好地理解和应用数学知识。
除了这些公式，高一数学必修二还包括了其他重要的概念和定理，如函数的性质、三角函数的图像与性质、直线与圆的位置关系等。
通过全面学习这些知识，学生将能够建立坚实的数学基础，并为进一步学习更高级的数学课程打下基础。
高一数学空间两点间的距离公式
《高中数学标
• 通过特殊到一般的情况推导出空 间两点间的距离公式
• 教学重点和难点 • 重点：空间两点间的距离公式 • 难点：一般情况下，空间两点间
的距离公式的推导。
; 美术教育加盟
问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？
艾事。其 外四星，左右肩股也。小三星隅置，曰觜觿，为虎首，主葆旅事。其南有四星，曰天厕。天厕下一星，曰天矢。矢黄则吉。青、白、黑、凶。其西有句曲九星，三处罗列：一曰天旗，二曰天苑，三曰九斿。其东有大星曰狼，狼角变色，多盗贼。下有四星曰弧，直狼。比地有大星，曰南极老人。 老人见，治安。不见，兵起。常以秋分时候之南郊。北营玄武，虚、危。危为盖屋。虚为哭泣之事。其南有众星，曰羽林天军。军西为垒，或曰戊。旁一大星。北落。北落若微亡，军星动角益稀，及五星犯北落，入军，军起。火、金、水尤甚。火入，军忧。水，水患。木、土，军吉。危东六星， 两两而比，曰司寇。营室为清庙，曰离宫、阁道。汉中四星，曰天驷。旁一星，曰王梁。王梁策马，车骑满野。旁有八星，绝汉，曰天横。天横旁，江星。江星动，以人涉水。杵、臼四星，在危南。匏瓜，有青黑星守之，鱼盐贵。南斗为庙，其北建星。建星者，旗也。牵牛为牺牲，其北河鼓。 河鼓在星，上将。左，左将：右，右将。婺女，其北织女。织女，天女孙也。岁星曰东方，春，木。於人五常，仁也。五事，貌也。仁亏貌失，逆春令，伤木气，罚见岁星。岁星所在，国不可伐，可以伐人。超舍而前为赢，退舍为缩。赢，其国有兵不复。缩，其国有忧，其将死，国倾败。所去， 失地。所之，得地。一曰，当居不居，国亡。所之，国昌。已居之，又东西去之，国凶，不可举事用兵，安静中度，吉。出入不当其次，必有天祅见其舍也。岁星赢而东南。《石氏》“见彗星”，《甘氏》“不出三月乃生彗，本类星，末类彗，长二丈”。赢东北，《石氏》“见觉星”，《甘氏》 “不出三月乃生天棓，本类星，末锐，长四尺”缩西南，《石氏》“见欃云，如牛”，《甘氏》“不出三月乃生天枪，左右锐，长数丈”。缩西北，《石氏》“见枪云，如马”，《甘氏》“不出三月乃生天欃，本类星，末锐，长数丈”。《石氏》“枪、枪、欃、棓、彗异状，其殃一也，必有破 国乱君，伏死其辜，余殃不尽，为旱、凶、饑、暴疾”。至日行一尺，出二十馀日乃入，《甘氏》“其国凶，不可举事用兵”。出而易，“所当之国，是受其殃”。又曰“祅星，不出三年，其下有军，及失地，若国君丧”。荧惑曰南方，夏，火。礼也。视也。礼亏视失，逆夏令，伤火气，罚见 荧惑。逆行一舍二舍为不祥，居之三月国有殃，五月受兵，七月国半亡地，九月地大半亡。因与俱出入，国绝祀。荧惑为乱为贼，为疾为丧，为饑为兵，所居之宿国受殃。殃还至者，虽大当小。居之久殃乃至者，当小反大。已去复还居之，若居之而角者，若动者，绕环之，及乍前乍后，乍左乍 右，殃愈甚。一曰，荧惑出则有大兵，入则兵散。周还止息，乃为其死丧。寇乱在其野者亡地，以战不胜。东行疾则兵聚於东方，西行疾则兵聚於西方。其南为丈夫丧，北为女子丧。荧惑，天子理也。故曰虽有明天子，必视荧惑所在。太白曰西方，秋，金。义也。言也。义亏言失，逆秋令，伤 金气，罚见太白。日方南太白居其南，日方北太白居其北，为赢，侯王不宁，用兵进吉退凶。日方南太白居其北，日方北太白居其南，为缩，侯王有忧，用兵退吉进凶。当出不出，当入不入，为失舍，不有破军，必有死王之墓，有亡国。一曰，天下匽兵，野有兵者，所当之国大凶。当出不出， 未当入而入，天下匽兵，兵在外，入。未当出而出，当入而不入，天下起兵，有至破国。未当出而出，未当入而入，天下举兵，所当之国亡。当期而出，其国昌。出东为东方，入为北方。出西为西方，入为南方。所居久，其国利。易，其乡凶。入七日复出，将军战死。入十日复出，相死之。入 又复出，人君恶之。已出三日而复微入，三日乃夏盛出，是为耎而伏，其下国有军，其众败将北。已入三日，又复微出，三日乃复盛入，其下国有忧，帅师虽众，敌食其粮，用其兵，虏其帅。出西方，失其行，夷狄败。出东方，失其行，中国败。一曰，出蚤为月食，晚为天祅及彗星，将发於亡 道之国。太白出而留桑榆间，病其下国。上而疾，未尽期日过参天，病其对国。太白经天，天下革，民更王，是为乱纪，人民流亡。昼见与日争明，强国弱，小国强，女主昌。太白，兵象也。出而高，用兵深吉浅凶。埤，浅吉深凶。行疾，用兵疾吉迟凶。行迟，用兵迟吉疾凶。
高一数学 两点间的距离公式
• 已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等 于10，则点P的坐标为________.
• [分析] 设出点P的坐标，根据两点间距离公 式，列方程求解．
[ 解 析 ] 设 点 P 的 坐 标 为 (x,0) ， 由 |PA| ＝ 10 得 x－32＋0－62＝10，
• [破疑点] 坐标平面内两点间的距离公式是数 轴上两点间距离公式的推广．
• 2．坐标法
• (1)定义：通过建立平面直角坐标系代数，用
__________方法解决几何问题的方法称为坐
标法．
坐标系
• (2)步代骤数：运算①建立__________，翻用译坐标表示
有关的量：②进行有关__________；③把代
数运算结果“_________”成几何关系．
• ●预习自测
• 1．已知点A(－3,0)，B(2,0)，则|AB|＝ ________.
• [答案] 5 • 2．[答已案]知3点2P1(5,1)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝
________.
[解析] |P1P2|＝ 5－22＋1＋22＝3 2.
B．(1,0)
C．(32，0)
D．(3.4,0)
• [答案] D
• 5．已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC ＝b，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C 的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点 的距离相等．
• [分析] 取直角边所在的直线为坐标轴建立坐 标系，再写出各顶点坐标，给出证明．
[解析] 由题意得 2k－k2＋－1－12＝ 13， 解得 k＝±3.
2．侧棱长为 2，底面边长为 1 的正三棱锥的表面积为( )
5《平面上两点间的距离》课件1.ppt
一般地说，已知两点
如何求两点间的距离？
P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 1
如果 x1 x2 , y1 y2，过P , P2 分别向 y 轴、 轴作 1 垂线交于点 Q，则点 Q 的坐标为 ( x2 , y1 ) .
x
y2 x1
y
P2 ( x2 , y2 )
P1 ( x1, y1 ) y1 Q( x2 , y1 )
１.先利用中点坐标公式求出点M 的坐标, ２．再利用两点间距离公式求得中 线AM的长
y
A(1,5)
M
B(2, 1)
C (4,7)
O
x
３．可利用两点式求中线AM所在直 线的方程
例3
已知 ABC 是直角三角形,斜边ＢＣ的中点为 Ｍ,建立适当的直角坐标系,证明: AM 1 BC
2
y
C (0, c )
x1 x2 y1 y2 由 MP MP2 1 2 2 得 MP MP
2 2
M 在PP2 上. 1
1
2
所以点
当 x1
x2 时,结论显然成立.
M 为 PP2 的中点 1
例2.
已知 ABC 的顶点坐标为 A(1,5), B(2, 1), C (4,7) , 求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程. 分析:
o
x2
x
合 作 探 究
因为
PQ x2 x1 , PQ y2 y1 1 2
y2
所以,在
y
P2 ( x2 , y2 )
Rt PP2Q 中, 1
x1
PP PQ PQ 1 2
2 1 2 2 2
6.1.1两点间距离公式 课件-高一下学期高教版(2021)中职数学基础模块下册
棋盘上棋子之间的间隔大小、中位所在,它们 所对应的就是平面直角坐标系上两点间的距离和 线段的中点.
在平面直角坐标系中,平面上任意一点M与有 序实数对(a,b)一一对应,这个有序实数对就是点的 坐标.反之,对于任意一个有序实数对(a,b)，都有 平面上唯一的一点M与它对应.
初中阶段， 在平面直 角坐标系 中如何表 示点的坐 标？
作业布置 举一反三
引入新知 形成概念
正确。点A到点B 的距离等于点B到 点A的距离。
一般地,设点A的坐标为(x1,y1), 点B的 坐 标 为 (x2,y2), 则 点 C 的 坐 标 为 (x2,y1), 且 有 |AC|=|x2-x1|,|BC|=|y2-y1|.
例1 计算P1(2,-5) 与P2(5,-1)两点间的距离.
已知平面上两点，如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y
y
y2
y1 y1
o x1
x x2
o
x1
x
引入新知 形成概念
在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (1,2),点B的坐标为(5,5),点C的坐标为(5,2) 则点A与点C之间的距离|AC|=|5-1|=4,点B 与点C之间的距离|CB|=|5-2|=3.
例2：已知线段AB是圆的一条直径，在平面直角坐标系中，A点坐标
为（-3，-1），B点坐标为（1，1），求这个圆的周长。
思考： 已知线段的长度和一端点的坐标， 以及另一端点的横坐标或纵坐标， 如何确定这一端点的坐标？
例3:求x轴上一点P，使点P与点A（3，12）的距离等于13.
归纳总结 自我提高
高一数学 空间两点间的距离公式教案
4、情景设计
问题
问题设计意图
师生活动
在平面上任意两点A ，B 之间间隔的公式为|AB|= ，那么对于空间中任意两点A ，B 之间间隔的公式会是怎样呢？你猜猜？
通过类比，充分发挥学生的联想才能。
师：、只生：踊跃答复
〔2〕空间中任意一点P 到原点之间的间隔公式会是怎样呢？
诚西郊市崇武区沿街学校高一数学空间两点间的间隔公式
1．教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的间隔公式
2．教学重点和难点
重点：空间两点间的间隔公式
难点：一般情况下，空间两点间的间隔公式的推导。
3．教学根本流程
由平面上两点间的间隔公式，引入空间两点间隔公式的猜想
先推导特殊情况下的空间两点间的间隔公式
[1]
从特殊的情况入手，化解难度
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成
学生：在教师的指导下答题
得出
问题
问题设计意图
师生活动
〔3〕假设 是定长r,那么 表示什么图形？
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经历的根底上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程 表示原点或者者圆，得到知识上的升华，进步学习的兴趣。
师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程 表示的图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由
〔4〕假设是空间中任意一点 到点 之间的间隔公式会是怎样呢？
[2]
人的认知是从特殊情况到一般情况的
师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：
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练习
4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点 的距离相等。
y
B (0,b)
a b M( , ) 2 2
o C (0,0)
x A(a,0)
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
|P 1P 2 |
( x2 x1 ) ( y 2 y1 )
2
2Leabharlann 特别地, 原点O与任一点P( x, y )的距离 : | OP | x y
2 2
广州产子 / 广州产子 广州历史上名称有南海郡（前 汉、晋 代、隋 代）、番禺、广州都督府（唐）、广州（宋）、广州路、广州府 落落有点小小失望的“哦”了声，果然，现实总是这样、悄无声息的就给了天真的我当头棒喝，这真相真是来得太猝不及防了！ 落落觉着自己终究还是太过年轻、算计不过现实这位老谋深算的巨滑头。 黄老太太继续开口“于是我就告诉他我姓黄，结果他还是不知道我是谁！” 落落默默地觉着，果然时光总是能够轻而易举地带走你以为你最为熟知的人和物，哪怕是你以为最为刻骨铭心的初恋情人的音 容！ 黄老太太没有过多情绪起伏地继续开口“然后我又告诉他我是哪里人，他才知道我是谁。”她继而表情很是认真地表示“我想、 如果我告诉他我是哪里的人之后，他还是不知道是我的话、我就挂电话了，既然他都不记得我了，也就没什么意思了。” 落落接话道“那他到那个时候有没有记起你来？”落落想、也许女人至死都有一颗无法磨灭的少女心吧！ 黄老太太说“那个时候他就知道是我了，他说‘我们见一面吧’，我说见面就没必要了，我现在都满头白发了，见了、你也不 认识我，他还是要求要见一面，我说，我过年马上就要去加拿大了，有什么可见的。” 落落觉着黄老太太此时此刻一定是面颊潮红的，只是灯光昏暗，让她看得不太分明而已，嗯、一定是这样的。 黄老太太继续道“我去加拿大在上海转机的时候，他来找我了，他起得很早，五点多便起床了，赶了两个多小时的车到我住的 地方。” 落落居然开始有点小小的激动了起来“然后呢，怎么样、怎么样了？”跨越了半个世纪、只为来见一见早已两鬓斑白的你，想 想是多么振奋人心的相见呵！
例题分析
解：如图，以顶点A为坐标原 点，AB所在直线为x轴，建立 直角坐标系，则有A(0,0) 设B(a,0),D(b,c),由平行四边形 的性质可得C(a+b,c)
例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和。 y
D (b,c) C(a+b,c)
|AB|2 a 2 , |CD|2 a 2 |AD|2 b2 c2 , |BC|2 b2 c 2 2 2 2 2 2 2 |AC| (a b) c , |BD| (b - a) c
(2)、C(0，-4),D(0，-1)
(4)、M(2，1),N(5，-1)
例题分析
例3 已知点A(1,2), B(2, 7 ), 在x轴上求一点P, 使 得 | PA || PB |, 并求 | PA | 的值.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
2 2 |PA| (x 1) (0 2) x2 2x 5 2 |PB| (x 2) (0 7 )2 x2 4x 11
(x1,y1) 1 Q (x2,y1) P2(x2,y2)
o
x
|P 1P 2 |
( x2 x1 ) ( y 2 y1 )
2
2
特别地, 原点O与任一点P( x, y )的距离 : | OP | x y
2 2
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
由|PA||PB|得 x 2x 5 x 4x 11
2 2
解得x=1，所以所求点P(1,0)
2 2 |PA| (1 1) (0 2) 2 2
练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
两点间的距离
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? y y
P1 P2 P2 P1
o
x
o
x
| P1 P2 || x2 x1 |
| P1 P2 || y2 y1 |
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? y P
2 2 2 2 2
o A(0,0)
B (a,0) x
所以,|AB| |CD| |AD| |BC| |AC| |BD|
2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.