高中数学立体几何专题：空间距离的各种计算(含答案)

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距离计算公式立体几何

距离计算公式立体几何在立体几何中，距离是一个非常重要的概念。

它可以用来描述物体之间的空间关系，也可以用来计算物体之间的位置关系。

在本文中，我们将介绍一些常见的距离计算公式，以及它们在立体几何中的应用。

欧氏距离。

欧氏距离是最常见的距离计算方法之一。

它可以用来计算两点之间的直线距离，也可以用来计算两个物体之间的空间距离。

欧氏距离的计算公式如下：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。

其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别是两个点的坐标，d表示它们之间的欧氏距离。

欧氏距离在立体几何中有着广泛的应用。

例如，当我们需要计算两个物体之间的最短距离时，可以使用欧氏距离来进行计算。

此外，欧氏距离还可以用来描述物体之间的相对位置关系，比如两个物体之间的相对位置是靠近还是远离。

曼哈顿距离。

曼哈顿距离是另一种常见的距离计算方法。

它可以用来计算两点之间的城市街道距离，也可以用来计算两个物体之间的空间距离。

曼哈顿距离的计算公式如下：d = |x2-x1| + |y2-y1| + |z2-z1|。

其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别是两个点的坐标，d表示它们之间的曼哈顿距离。

曼哈顿距离在立体几何中同样有着重要的应用。

与欧氏距离相比，曼哈顿距离更适用于描述物体之间的实际移动距离。

例如，在城市规划中，我们常常需要计算两个地点之间的最短行走距离，这时就可以使用曼哈顿距离来进行计算。

切比雪夫距离。

切比雪夫距离是一种特殊的距离计算方法，它可以用来计算两点之间的最大距离，也可以用来计算两个物体之间的空间距离。

切比雪夫距离的计算公式如下：d = max(|x2-x1|, |y2-y1|, |z2-z1|)。

其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别是两个点的坐标，d表示它们之间的切比雪夫距离。

切比雪夫距离在立体几何中同样有着重要的应用。

高中数学第二章空间向量与立体几何 2.6 距离的计算

空间距离的常见题型与解法在立体几何中涉及到的距离有六种，即点与点，点到线，点到面，线与线，线与面，面与面；但归结起来都是求点与点，点到线，点到面这三种距离。

一、传统方法求空间距离求距离的传统方法和步骤是：一作，二证，三计算；即先作出表示距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再计算。

其中第二步的证明容易被忽视，应引起重视。

求空间距离常见的题型和方法有1．运用三垂线定理及逆定理求点到直线的距离【例如】平面α内有Rt △P ACB ABC ,90,=∠是平面α外一点，且P PC PB PA ,==到平面α的距离是40cm AC cm 18,=，求点P 到BC 的距离。

解：如图所示，∵PC PB PA ==，作⊥PO 平面ABC 于O ，则CO BO AO ==，∴O 是△ABC 的外心，又∵90=∠ACB ，∴O 点落在AB 边的中点上，作BC OD ⊥于D ，由三垂线定理知BC PD ⊥，∴PD 就是点P 到BC 的距离。

又OD ∥AC 且AC OD 21=，∴cm OD 9=，在Rt △POD 中，cm OD PO PD 4122=+=，所以点P 到BC 的距离为cm 41。

2．运用两平面垂直的性质定理，求作点到面的距离【例如】如右图所示，二面角βα--MN 等于60，平面α内一点A 到平面β的距离AB 的长为4，求B 点到平面α的距离。

解：作MN AC ⊥于C ，连结BC ，则MN BC ⊥，∴∠ACB 为二面角βα--MN 的平面角，则∠ACB =60，∵⊥MN 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面α，作AC BD ⊥于D ，则BD BD ,α⊥的长为所求，在Rt△ADB 中，斜边306090,4=-=∠=BAD AB ，所以2=BD ，即B 点到平面α的距离为2。

3．体积法求点到平面的距离【例如】如图所示，P 为△ABC 外一点，PC PB PA ,,两两互相垂直，a PC PB PA ===，求P 到平面ABC 的距离。

立体几何--空间的距离.

、选择题1.正方形ABCD边长为2, E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿面角（如图），M为矩形AEFD内一点，如果/ MBE= / MBC , MB和平面BCF1值为1，那么点M至®线EF的距离为（2D.-22 .三棱柱ABC—A1B1C1 中，AA i=1 , AB =4, BC=3 , / ABC=90 °，设平面ABC的交线为I，则A1C1与I的距离为（）二、填空题4.如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为30°，那么EF与平面ABCD的距离为三、解答题（1）求证：平面A1BC1 //平面ACD1；立体几何--空间的距离EF折成直二所成角的正切B.1A i BC i与平面A J10 B. TH C.2.6 D.2.43.如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为5.在长方体如图:(2)求(1)中两个平行平面间的距离;⑶求点B i到平面A i BC i的距离.6.已知正四棱柱ABCD —A i B i C i D i，点E在棱D i D上，截面EAC// D i B且面EAC与底面ABCD所成的角为45° ,AB=a,求:(i)截面EAC的面积;⑵异面直线A i B i与AC之间的距离;⑶三棱锥B i —EAC的体积.7•如图，已知三棱柱A i B i C i —ABC的底面是边长为2的正三角形,AC均成45°角，且A i E丄B i B于E, A i F丄CC i于F.(i)求点A到平面B i BCC i的距离;⑵当AA i多长时，点A i到平面ABC与平面B i BCC i的距离相等.&如图，在梯形ABCD 中，AD // BC,/ ABC = —,AB=22/ ADC=arccos—75 ,PA丄面ABCD 且PA=a.5(i)求异面直线AD与PC间的距离;(2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为亨【空间的距离参考答案】一、i.解析：过点M作MM '丄EF,则MM '丄平面BCF•// MBE= / MBC••• BM '为/ EBC为角平分线,£■侧棱A i A与AB、i-AD=a,3•••/ EBM ‘ =45° ,BM ‘ =迈，从而MN = ^2答案：A2.解析：交线I过B与AC平行，作CD丄I于D，连C i D，则C i D为A i C i与I的距离,12 13而CD等于AC上的高，即CD =—，Rt △ C i CD中易求得C i D= — =2.65 5答案：C二、3.解析：以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=』2a,.・. PQ丄AB,同理可得2答案：一a2•••底面ABCD是正方形••• DO 丄AC，又ED 丄面ABCD••• E0丄AC,即/ EOD=45°PQ丄CD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在RtAAPQ中，PQ=J A Q2 AP2浮"碍）2——a24.解析：显然/ FAD是二面角E—AB —C的平面角，/ FAD=30°，过F作FG丄平面ABCD 于G ,贝U G必在AD上，由EF //平面ABCD .a••• FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=22答案：-2三、5.(1)证明：由于BC i// AD i,贝U BC i / 平面ACD i同理，A i B //平面ACD i，则平面A i BC i /平面ACD i（2）解：设两平行平面A i BC i与ACD1间的距离为d则d等于D i到平面A i BC i的距离.易求A i C i=5, A i B=2 75 , BC i= , 则cosA i BC i=^f^，则sinA i BC i nX61，则S gs =佑,J65 J651由于V D I A i BC i V B AiC i D i，则3 S3f----行平面间的距离为I2型.61 A i BC i1 1 12/61-d=—(― AD i C i D i) • BB i,代入求得d= -------------- ，即两平⑶解：由于线段B i D i被平面A i BC i所平分，则B i、D i到平面A i BC i的距离相等，则由12^6161 .⑵知点B i到平面A i BC i的距离等于6.解：（1）连结DB交AC于0,连结E0,又 DO = Z , AC=屁,EO=^=a ,.・.&EAC 卫 a2 cos45 2⑵•/ A i A 丄底面 ABCD ，二 A i A 丄 AC ,又 A i A 丄 A i B i 二A I A 是异面直线 A i B i 与AC 间的公垂线又 EO // BD i , O 为 BD 中点，••• D i B=2EO=2a •- D i D=72a ,.・. A i B i 与 AC 距离为 42 a⑶连结B i D 交D i B 于P ,交EO 于Q ,推证出B i D 丄面EAC•••△ EA i F 为等腰直角三角形，/ EA i F=90• A i N=i 旦2 2a A 到平面BCC i B i 的距离为一 2•- a=2，•所求距离为⑵设BC 、B i C i 的中点分别为 D 、D i ，连结AD 、DD i 和A i D i ，则DD i 必过点N ，易证 ADD i A i 为平行四边形.••• B i C i 丄 D i D,B i C i 丄 A i N •- B i C i 丄平面 ADD i A i ••• BC 丄平面 ADD i A i得平面ABC 丄平面ADD i A i ,过A i 作A i M 丄平面ABC ,交AD 于M ,过A i 作A i N 丄EF ，则 N 为EF 中点，且 A i N 丄平面BCC i B i 即A i N 为点A i 到平面BCC i B i 的距离•- B I Q 是三棱锥B i — EAC 的高，得B i Q=3a2v B i EAC3 琴/ l a V a '7.解：（1） •/ BB 1 丄 A i E , CC i 丄 A i F , BB i // CC i ••• BB i 丄平面 A i EF 即面 A i EF 丄面BB i C i C 在 Rt △ A i EB i 中, •••/A iB i E=45 ° ,运•- A i E^ — a,同理A iB i =a72J 2A i F=——a,又 EF=a ,.・. A i E=——a2 2同理A I F = ——a,又EF=a2又••• AA i //面 BCC i B ,若A I M=A I N，又/ A i AM = / A i D i N , / AMA i = / A i ND i=90 °•••△AMA i^A A i ND i,.・.AA i=A i D i= J3,即当AA i=73 时满足条件.8.解：(1) •/ BC // AD,BC 面PAD //面PBC从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.过A作AE丄PB, 又AE丄BC ••• AE丄平面PBC, AE为所求.在等腰直角三角形PAB中，FA=AB=a ••• A E=¥a2⑵作CM // AB，由已知cosADC=—J551 1• tanADC=2,即CM=2DM••• ABCM 为正方形，AC= 72 a,PC= J3 a过A作AH丄PC,在Rt△ FAC中，得AH= —3F面在AD上找一点F，使PC丄CF取MD中点F,A ACM、△ FCM均为等腰直角三角形•••/ ACM+ / FCM =45° +45 ° =90°••• FC丄AC即FCL PC••在AD上存在满足条件的点F.责任编辑：贾亦正。

空间距离的全部求法

时，动点P的轨迹是椭圆的一部分，故选D. [答案] D
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第九章直线、平面、简单几何体(A)
知识梳理
(2007· 西安八校联考 ) 如图，正方体 ABCD— A1B1C1D1 的侧面 ABB1A1 内有一动点 P 到直线 AA1 和 BC 的距离相等，则动点P的轨迹是 ( )
( C．3个
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)
D．4个
第九章直线、平面、简单几何体(A)
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解析：①正确，如图1，点线距离可转化为点与点之间的距离；②不正确，如图2；
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③、④正确，如图3、图4，异面直线的距离常常可转化为线面或面面之间的距离．故选C.
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第九章直线、平面、简单几何体(A)
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(2) 在图 (2) 中，过 D 作 DF⊥CE ，交 CE 的延长线于点 F ，连接 AF ，由 (1) 知， AD⊥ 底面 DBCE. 由三垂线定理知 AF⊥FC，故∠AFD为二面角A－EC－B的平面角．在底面DBCF中，∠DEF＝∠BCE，
离； ③直线a、b是异面直线，a⊂α，b∥α，则a、b之间的距离等于b与α的距离； ④直线a、b是异面直线，a⊂α，b⊂β，且α∥β，则a、 b之间的距离等于α与β之间的距离其中正确命题的个数有 A．1个 B．2个
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直线AD与BC的公垂线．

专题8.8 立体几何中的向量方法(二)—求空间角与距离(重难点突破)(解析版)

专题8.7 立体几何中的向量方法（二）求空间角与距离一、考纲要求1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.二、考点梳理考点一异面直线所成的角设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则a 与b 的夹角β l 1与l 2所成的角θ范围 (0，π) ⎝⎛⎦⎤0，π2 求法cos β＝a ·b|a ||b |cos θ＝|cos β|＝|a ·b ||a ||b |考点二求直线与平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.考点三求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB →，CD →〉.(2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 【特别提醒】1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补.三、题型分析例1. （黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为( )A.3－225B.2－26C.12D.32【答案】A【解析】因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24. 所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.【变式训练1-1】、（天津新华中学2019届高三质检）如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值.【解析】(1) 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC →1|＝6，即AC 1的长为 6. (2)证明 ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ，∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0.∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD .(3)解 BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.例2、（2018年天津卷）如图，且AD =2BC ，,且EG =AD ，且CD =2FG ，，DA =DC =DG =2.（I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：；（II ）求二面角的正弦值；（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】依题意，可以建立以D 为原点，分别以，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，，1），N （1，0，2）．（Ⅰ）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（Ⅱ）依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则即不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则即不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=．所以，二面角E–BC–F的正弦值为．（Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．所以线段的长为.【变式训练2-1】、（吉林长春市实验中学2019届高三模拟）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2. 因为底面ABCD 是正方形，所以G 为AC 的中点故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，所以PA ―→＝(a,0，－a )，EG ―→＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2，则PA ―→＝2EG ―→，故PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB . (2)依题意得B (a ，a,0)，所以PB ―→＝(a ，a ，－a )．又DE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，故PB ―→·DE ―→＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB ⊥DE ，所以PB ⊥DE .由题可知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .例3、如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，PA ＝2，求异面直线BC 与AE 所成的角的大小．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，22，0)，E(1，2，1)，AE →＝(1，2，1)，BC →＝(0，22，0)．设AE →与BC →的夹角为θ，则cosθ＝AE →·BC →|AE →|·|BC →|＝42×22＝22，所以θ＝π4，所以异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.【变式训练3-1】、如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．【答案】55【解析】不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得C(0，0，0)，B(0，0，1)，C 1(0，2，0)，A(2，0，0)，B 1(0，2，1)，所以BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→＝(－2，2，1)，所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→|·|AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0，所以BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，所以直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.【变式训练3-2】、如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点． (1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．【解析】 (1)证明：连接A 1E ，因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，所以A 1E ⊥平面ABC .如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E -xyz . 不妨设AC ＝4，则A 1(0,0,23)，B (3，1,0)，B 1(3，3,23)，F ⎝⎛⎭⎫32，32，23，C (0,2,0)．因此，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫32，32，23，BC ―→＝(－3，1,0)．由EF ―→·BC ―→＝0得EF ⊥BC .(2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可得BC ―→＝(－3，1,0)，A 1C ―→＝(0,2，－23)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧BC ―→·n ＝0，A 1C ―→·n ＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0.取n ＝(1, 3，1)，故sin θ＝|cos 〈EF ―→，n 〉|＝|EF ―→·n ||EF ―→|·|n |＝45，∴cos θ＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35.。

高中数学第二章空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 2.6.2 直线到平面的距离、平面到平面的

2.6.Biblioteka 直线到平面的距离、平面到平面的距离
1.理解直线到平面的距离、平面到平面的距离的概念. 2.通过转化,会利用空间向量解决距离问题.
1.直线到平面的距离
当直线与平面平行时,直线上任一点到该平面的距离,叫直线到
平面的距离.
求直线到平面的距离时,一般转化为点到平面的距离.
说明:如果直线l平行于平面α,即l∥α,求直线l到α的距离可以转化
2.平面到平面的距离当两平面平行时,一个平面内任一点到另一平面的距离,叫平面到平面的距离. 求平面到平面的距离时,一般也是转化成点到平面的距离. 说明:如果两个平面α,β互相平行,即α∥β,求α与β之间的距离可以转化为求平面α上任意一点P到平面β的距离,即点到平面的距离.
3.两条异面直线间的距离 (1)与两异面直线垂直且相交的直线叫作异面直线的公垂线,夹在两交点之间的线段叫作公垂线段.两异面直线的距离是指公垂线段的长度. (2)用向量法求异面直线距离的步骤:先求两条异面直线的公垂线的方向向量,再求两条异面直线上两点的连线段在公垂线的方向向量上的投影的大小.如图,a,b是两条异面直线,n是a和b的公垂线的方向向量,点E∈a,F∈b,则异面直线a与b间的距离 d=|��|��·|��|.
设 F(0,m,0),则��=(-a,m-a,0),��=(-a,-a,a).
∵PC⊥CF,∴�� ⊥ ��,∴�� ·��=(-a)·(-a)+(-a)·(m-a)+0·a
=a2-a(m-a)=0,
∴��1=(1,1,1)为 AD1和 A1B 的公垂线的方向向量,d=|��|��1��·��1��|��1| =

专题38 立体几何中的距离、截面、折叠问题(解析版)

因为平面 ,所以 ,所以为二面角的平面角．
结合图1可知, 为中点,故 ,从而
所以 ,所以二面角的平面角的余弦值为．
向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则 , , ，所以 ,
设为平面的法向量,则 ,即 ,
解得 ,令 ,得，由(Ⅰ)知, 为平面的一个法向量,
所以，即二面角的平面角的余弦值为．
2、平面外一点P到平面α的距离：如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离PQ＝＝＝
基本题型：
1．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法正确的是()
【解析二】由题意可知，该平面与在正方体的截面为对边平行的六边形，如图所示，则截面面积为
所以当时，
7．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形的中心为．、、为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱锥。当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位： )的最大值为_______。
所以，，，．
得，．
设平面的法向量，平面的法向量，
平面与平面夹角为，则，得，取，
，得，取，从而，
即平面与平面夹角的余弦值为．
9．（2015浙江）如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则
10．（2012浙江）已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，

立体几何中的空间距离问题PPT课件

设点a到平面sbc的距离为d006a93414点评点评线面距离面面距离通常情况下化归为点面距离求解求空间点面距离若利用传统构造法关键是找射影一般是应用垂面法求射影或等积法间接求
一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的① 线段的长度. 2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，② 点到垂足间线段的长度. 3.点到平面的距离：自点向平面引垂线， ③ 点到垂足间线段的长度. 4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线,④___点到垂足间线段的长度.
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分析（1）通过论证平面 PAC⊥平面
PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的长. （2）由于AD∥平面PBC，可考虑依据问题情境在AD上选择具备特殊位置的点A，然后推理过A点的平面PAD⊥平面PBC，找到过点A的垂线.
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(1)连接AC.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CF. 又CF⊥PC，PA∩PC=P，所以CF⊥平面PAC，所以平面PFC⊥平面PAC. 过点A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF，即AH为点A到平面PCF的距离. 由已知AB=BC=1，所以AC= 2 ,PC= 3 . 在Rt△PAC中，得AH= 6.
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小结
• 1.异面直线的距离 • 2.点面、线面、面面距离的求法 • 作业：完成《南方新课堂习题集》
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【高考真题再现 2015课标2 19题】
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10， AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

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学习必备欢迎下载高中数学立体几何空间距离 1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面

直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离【例1】如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点. (1)求证：EF是AB和CD的公垂线； (2)求AB和CD间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF. 又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E. 同理EF⊥DC交DC于点F. 所以EF是AB和CD的公垂线.

(2)在Rt△BEF中，BF=a23,BE=a21,

所以EF2=BF2-BE2=a212，即EF=a22. 由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为a22. 【例2】如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离. 设AB中点为E，连CE、ED. ∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理DE⊥AB. ∴AB⊥平面CED.设CD的中点为F,连EF，则AB⊥EF. 同理可证CD⊥EF.∴EF是异面直线AB、CD的距离.

∵CE=23,∴CF=FD=21,∠EFC=90°,EF=22212322.

∴AB、CD的距离是22. 【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.

例1题图例2题图学习必备欢迎下载（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离【例3】如图(1),正四面体ABCD的棱长为1，求：A到平面BCD的距离；过A作AO⊥平面BCD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE. ∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.又BD＝BC＝CD，

∴O是△BCD的中心，∴BO=32BE=332332.

又AB＝1，且∠AOB=90°,∴AO=36331222BOAB.∴A到平面BCD的距离是36. 【例4】在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=55,又PA⊥平面ABCD,PA=a, 求：(1)二面角P—CD—A的大小; (2)点A到平面PBC的距离. 【规范解答】 (1)作AF⊥DC于F,连结PF, ∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC, ∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角.

在△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin55,AD=3a,∴AF=53a,

在Rt△PAF中tan∠PFA=3535aaAFPA,∴∠PFA=arc tan35. (2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB, ∴BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,则BC⊥AH,∴AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,

∴PB=2a,∴AH=a22.

【例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离. 解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD. ∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.

∴DF=C1H=2. .6222DFBDBF （Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG. 过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC. 在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC1F的距离.

.113341712317123,17121743cos3cos3,.17,1,2211221MCCCCMCQGABMCGCMMCGGABBGABAGBGCGBGCCEB知由从而可得由

解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0）， A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）. ∵AEC1F为平行四边形，

例3题图学习必备欢迎下载 B A C

1A 1B1C

D1C

B1A

EDCBA

.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BFBFEFFzzECAFFAEC （II）设1n为面AEC1F的法向量，)1,,(,11yxnADFn故可设不垂直于平面显然 02020140,0,011yxyxAFnAEn

得由





.41,1,022,014yxxy

即

111),3,0,0(nCCCC与设又的夹角为a，则1111433cos.33||||CCnCCn

∴C到平面AEC1F的距离为.11334333343cos||1CCd 【例6】正三棱柱111CBAABC的底面边长为8，对角线101CB，D是AC的中点。（1）求点1B到直线AC的距离.（2）求直线1AB到平面BDC1的距离．解：（1）连结BD，DB1，由三垂线定理可得：ACDB1，所以DB1就是1B点到直线AC的距离。

在BDBRt1中,6810222211BCCBBB34BD． 2122121BBBDDB．

（2）因为AC与平面BD1C交于ＡＣ的中点Ｄ，设EBCCB11，则1AB//DE，所以1AB//平面BDC1，所以1AB到平面BD1C的距离等于Ａ点到平面BD1C 的距离，等于Ｃ点到平面BD1C的距离，也就等于三棱锥1BDCC的高， BDCCBDCCVV



11

，

131311CCShSBDCBDC，131312h，即直线1AB到平面BD1C的距离是131312．

【解后归纳】求空间距离注意三点： 1．常规遵循一作二证三计算的步骤；

2．多用转化的思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．【范例4】如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；

（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为4. 解析：法1 （1）∵AE⊥面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E

（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=5，AD1=2，

故.2121,232152211BCAESSACECAD而

11111131,1,.33223DAECAECADCVSDDShhh 学习必备欢迎下载 HD1C

B1A

EDC

D1C

B1A1

EDC

（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE， ∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角. 设AE=x，则BE=2－x

112

,,1.4,1,,,RtDDHDHDDHRtADEDExRtDHEEHx在中

在中在中

.4,32.32543.54,3122的大小为二面角时中在中在DECDAExxxxxxCECBERtCHDHCRt

法2：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).

（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111EDDAxEDDA所以因为（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而)0,2,1(),1,1,1(1ACED，)1,0,1(1AD，设平面ACD1的法向量为),,(cban，

则,0,01ADnACn也即002caba，得caba2，

从而)2,1,2(n，所以点E到平面AD1C的距离为.313212||||1nnEDh （3）设平面D1EC的法向量),,(cban， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11DDCDxCE

由.0)2(02,0,01xbacbCEnCDn 令b=1, ∴c=2, a=2－x，

∴).2,1,2(xn依题意.225)2(222||||||4cos211xDDnDDn ∴321x（不合，舍去），322x . ∴AE=32时，二面角D1—EC—D的大小为4. ●对应训练分阶提升一、基础夯实 1.把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是 ( )

A.a B.a26 C.a33 D.a415 2.△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面α的距离为 ( ) A.7 B.9 C.11 D.13 3.从平面α外一点P向α引两条斜线PA,PB.A,B为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm和12cm ,则P到α的距离是 ( ) A.4cm B.3cm或4cm C.6cm D.4cm或6cm 4.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为 ( )