高一数学两点间的距离
空间两点间的距离公式高一数学总结练习含答案解析
1 3.3 空间两点间的距离公式
1.长方体的长、宽、高分别为a、b、c,那么体对角线长l=① .
特别地,棱长为a的正方体的体对角线长为√3a.
2.空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离|AB|=② .
特别地,空间一点P(x,y,z)与原点的距离为|PO|=√𝑥2+𝑦2+𝑧2.
空间直角坐标系的综合应用
1.(2013安徽第二次联考,★★☆)在平面直角坐标系中,已知点M(4,2)、N(-1,-3),沿y轴把坐标平面折成直二面角后,M、N两点间的距离为( )
A.2√5 B.√34 C.√38 D.√42
思路点拨 翻折后,重新建立坐标系,找出点的坐标,进行求解.
2.(2013浙江宁波联考,★☆☆)已知点P(1,2,3),Q(-3,5,√2),它们在平面xOy内的射影分别是P',Q',则|P'Q'|= .
思路点拨 先求P',Q'坐标,再求|P'Q'|.
3.(2013陕西西安期末,★★☆)已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为 .
思路点拨 利用两点间的距离公式,转化为二次函数求最值.
2
一、选择题
1.点P(√22,√33,√66)到原点的距离是( )
A.√306 B.1 C.√336 D.√356
2.点A(3,-4,5)到z轴的距离d等于( )
A.5 B.√34 C.√41 D.5√2
3.如下图所示,正方体的棱长为1,M是所在棱的中点,N是所在棱的四分之一分点,则M,N之间的距离为( )
A.√214 B.√294 C.√212 D.√292
4.在坐标平面xOy上,到点A(3,2,5),B(3,5,1)的距离相等的点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
5.一束光线自点P(1,1,1)发出被xOy平面反射,到达点Q(3,3,6)被吸收,那么光线所经过的距离是( )
高中数学空间两点间的距离公式
4.3.2
空间两点间的距离公式
【知识提炼】
空间中两点间的距离公式
(1)一般情况:已知点P1(x1,y1,z1)与点P2(x2,y2,z2),则|P1P2|=
__________________________.
(2)特殊情况:点P(x,y,z)到原点的距离公式是:|OP|=____________.
【即时小测】
1.思考下列问题:
(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例吗?
提示:是.当z1=z2=0时,点P1(x1,y1,z1),点P2(x2,y2,z2)都在坐标平面
xOy上,空间两点间的距离成为平面上两点间的距离.
(2)将距离公式中的两点的坐标互换,结果怎样?
提示:不变.互为相反数的平方相等,故结果不变.
2.在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)与点B(2,1,-1)间的距离为( )
A. B. C.2 D.6
【解析】选B.
3.点M(1,2,3)到原点的距离为 ( )
A.6 B. C.14 D.
【解析】选D.
4.点A(2,1,-4)到y轴的距离为 .
【解析】点A(2,1,-4)到y轴的距离为
答案: 5.点P(1,2,3)与Q(1,-1,m)两点间的距离为 ,则m= .
【解析】由于 解得m=1或m=5.
答案:1或5
【知识探究】
知识点 空间两点间的距离
观察图形,回答下列问题: 问题1:空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有何联系?
问题2:求空间两点间的距离问题的关键是什么?
【总结提升】
1.对空间两点间距离公式的两点说明
(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求
空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平
面的转化思想.
(2)若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间距离
求参数或点的坐标时,应利用公式建立相应方程求解.
2.空间两点间距离的求解
高一下学期数学公式
高一下学期数学公式
在高一下学期数学中，需要掌握如下的数学公式：
1. 一次函数方程
y = kx + b
其中，k为斜率，b为截距。
2. 二次函数方程
y = ax² + bx + c
其中，a、b、c为常数，a≠0，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
3. 平面直角坐标系中两点间距离公式
d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
其中，d为两点间的距离，(x₁, y₁)、(x₂, y₂)为两点的坐标。
4. 两点间中点坐标公式
[(x₁ + x₂)÷2，(y₁ + y₂)÷2]
5. 数列通项公式
an = a₁ + (n - 1)d
其中，an为第n项，a₁为首项，d为公差。
6. 连续系数的等比数列求和公式
S = a(1-qⁿ)/(1-q)
其中，a为首项，q为公比，n为项数。
7. 相邻两项的比值定义为公比，求和有限等比数列的公式
S = a(1-qⁿ)/(1-q)
其中，a为首项，q为公比，n为项数。
8. 向量的模长公式
|a| = √[a₁² + a₂² + a₃²]
其中，a₁、a₂、a₃为向量的分量。
9. 子集数量公式
一个集合的子集数量为2的n次方，其中n为该集合中元素的个数。
10. 最大公因数的求法
辗转相除法或质因数分解法。
11. 最小公倍数的求法
相乘后，除以它们的最大公因数。
12. 加法原理
若 A，B 两个事件，且分别有 k1，k2 种方法，则 A，B 两个事件中，选择方法的数量为 k1+k2。
13. 乘法原理
若 A，B 两个事件，且分别有 k1，k2 种方法，则 A，B 两个事件中，选择方法的数量为 k1 × k2。
14. 同余定理 若 a-b 能被n整除，则a和b对于模n同余。
15. 欧拉公式
对于任意正整数n，欧拉函数ɸ(n)是小于或等于n的自然数中与n互质的数的数目。当n为素数p时，ɸ(n)=p-1；当n为两个不同素数p、q的积时，ɸ(n)=(p-1)(q-1)。
高一数学 空间两点间的距离公式教案
诚西郊市崇武区沿街学校高一数学空间两点间的间隔公式
1． 教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的间隔公式
2． 教学重点和难点
重点：空间两点间的间隔公式
难点：一般情况下，空间两点间的间隔公式的推导。
3． 教学根本流程
4、 情景设计 问题 问题设计意图 师生活动
在平面上任意两点A),(11yx，B),(22yx之间间隔的公式为|AB|=221221)()(yyxx，那么对于空间中任意两点A),,(111zyx，B),,(222zyx之间通过类比，充分发挥学生的联想才能。 师：、只需引导学生大胆猜想，是否正确无关紧要。
生：踊跃答复 由平面上两点间的间隔公式，引入空间两点间隔公式的猜想
先推导特殊情况下的空间两点间的间隔公式
推导一般情况下的空间两点间的间隔公式 间隔的公式会是怎样呢？你猜猜？
〔2〕空间中任意一点P),,(zyx到原点之间的间隔公式会是怎样呢？
OyzxP(x,y,z)B(x,y,0)A[1] 从特殊的情况入手，化解难度 师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成
学生：在教师的指导下答题
得出222zyxOP
问题 问题设计意图 师生活动
〔3〕假设OP是定长r,那么2222rzyx表示什么图形？ 任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经历的根底上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程222ryx表示原点或者者圆，得到知识上的升华，进步学习的兴趣。 师：注意引导类比平面直角坐标中，方程222ryx表示的图形让学生有种回归感。
生：猜想说出理由
〔4〕假设是空间中任意一点),,(1111zyxP到点),,(2222zyxP之间的间隔公式会是怎样呢？
OyzxMP1P2NM1N2N1M2H[2] 人的认知是从特殊情况到一般情况的
师生：一起推导，但是在推导的过中要重视学生思路的引导。
得出结论2122122121)()()(zzyyxxPP
高一数学空间两点间的距离公式
空间两点间的距离公式
【情景导入】
（多媒体投影）
三楼屋顶有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达宅基线距离楼房角A处8米远的坡坎边，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4.2米，蜂巢能被击落吗？
【引导】
师：这是一个很有趣的实际应用题，同学们你能根据题意画出符合条件的示意图吗？
生：阅读题目，并作出相应的空间图形。
师：好！显然据题意知蜂巢能否被击落，实质上就是比较图形中消防车所对应的点距离三楼屋顶对应的长方体的一顶点间的距离与水枪有效射程的大小，这个问题可以通过立体几何的知识可以解决，但我们想换一种思维即采用代数的方法，借助于空间直角坐标系利用这两点的空间坐标来表示出两点的距离，我们就可以解决上面的这个实际应用题。这就是我们这一节将要学习的：（书写课题）空间直角坐标系。
【新知探究】
【引导】
师：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离，通过上一节的学习，我们知道建立空间直角坐标系后，空间中的任一点P与一组有序实数对（x,y,z）建立了一一对应的关系，类比平面两点间的距离公式的推导，你能猜想一下空间两点),,(1111zyxP、),,(2222zyxP间的距离公式吗？
生：空间两点),,(1111zyxP、),,(2222zyxP间的距离公式为：
22122122121)()()(||zzyyxxPP（由于有前面学习的基础学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式22122122121)()()(||zzyyxxPP。）
师：很好！猜想是我们探索未知世界的一种重要的思维方法，但终归是猜想只有和严格的数学逻辑思维的证明，这样才算是一个完整的思维过程。下面我们考虑如何根据两点的坐标来证明两点间的距离公式为：22122122121)()()(||zzyyxxPP
高一数学复习考点知识专题讲解7---两点间的距离公式
1 / 10 高一数学复习考点知识专题讲解
两点间的距离公式 学习目标 1.掌握两点间距离公式并会应用.2. 用坐标法证明简单的平面几何问题．
知识点 两点间的距离
公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.
特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.
1．点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.( × )
2．当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．( × )
3．点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当直线平行于坐标轴时|P1P2|＝|x1－x2|.( × )
一、两点间的距离
例1 如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．
解 方法一∵|AB|＝3＋32＋－3－12＝52＝213，
|AC|＝1＋32＋7－12＝52＝213， 2 / 10 又|BC|＝1－32＋7＋32＝104＝226，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二 ∵kAC＝7－11－－3＝32，kAB＝－3－13－－3＝－23，
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝1＋32＋7－12＝52＝213，
|AB|＝3＋32＋－3－12＝52＝213，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
延伸探究 题中条件不变，求BC边上的中线AM的长．
解 设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝3＋12＝2，y＝－3＋72＝2，即点M的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝－3－22＋1－22＝26，所以BC边上的中线AM的长为26.
8.1两点间距离及中点公式
综合基础部讲学稿系列——第二册 第八章 直线与圆的方程 2014-2015学年第2学期
1 年级：高一 科目：数学 课型：新授 执笔：高一数学备课组
学习内容：§8.1两点间距离公式及中点公式（两课时） 时间：15年4月
教学目标：1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程．
2. 掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式，并能熟练应用这两个公式解决有
关问题．
3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神以及合作交流等良好品质．
教学重点：平面直角坐标系中的距离公式、中点公式．
教学难点：距离公式与中点公式的应用．
教学方法：问题解决法、分组教学法、练习法。
教学过程：
一、探究引入：
【探究1】已知点A（-1，3），B（3，-2），C（6，-1），D（2，4）.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
（1）如图8-1所示：求点A(3，4)到原点的距离.
(2)已知点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，求两点间的距离.
①当y1=y2时
②当x1=x2时
③其他情况时
归纳：
【探究2】设线段AB的两个端点分别是A(x1,y1)，B(x2,y2)，点C为线段AB的中点，求点C的坐标(x,y). 综合基础部讲学稿系列——第二册 第八章 直线与圆的方程 2014-2015学年第2学期
2
归纳：
2、试用向量推导这两个公式。
二、例题讲解：
例1： 求平面上两点A(-1,2)，B(3,-3)之间的距离及线段AB的中点坐标.
例2 ：如图8-2所示，已知△ABC的顶点分别为 A（0，0），B（7，2）,C(-1,4),求此三角形的中线AD的长度.
高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.3直线的交点坐标与距离公式1)》教师版
1
3.3直线的交点坐标与距离公式
3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离
第一课时 两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)
2 两条直线的交点坐标
[导入新知]
1．两直线的交点坐标
几何元素及关系 代数表示
点A A(a，b)
直线l l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A 方程组 A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解是 x＝ay＝b
2．两直线的位置关系
方程组 A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
[化解疑难]
两直线相交的条件
(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．
(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2，B2≠0)．
(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.
3 两点间的距离
[导入新知]
两点间的距离公式
(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.
(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
[化解疑难]
两点间距离公式的理解
(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝x2＋y2.
人教版数学高一-人教A版高一数学必修二3.3《点到直线的距离》教案 王红敢
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高中数学 教 案
课题：点到直线的距离
教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）第七章第3节
教学目标：
（1）至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法，能用公式来求点到直线距离。
（2）培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。
（3）认识事物（知识）之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。
（4）培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的科学精神。
教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用
教学难点：点到直线的距离公式的推导
教学方法：启发引导法、讨论法
学习方法：任务驱动下的研究性学习
教学时间：45分钟
教学过程：
1 .教师提出问题，引发认知冲突（约5分钟）
问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0 ,y0）和一条定直线l： Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线l的距离d？请学生思考并回答。
学生1：先过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q的坐标；最后利用两点间距离公式求出|PQ|。
接着，教师用投影出示下列5道题(尝试性题组)，请5位学生上黑板练习（第（4）题请一位运算能力强的同学，其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）：
(1)求P（1 ,2）到直线l：x=3的距离d;（答案：d=2） 打印版
高中数学 (2)求P（x0 ,y0）到直线l：By+C=0（B≠0）的距离d；（答案：0CdyB）
(3) 求P（x0 ,y0）到直线l：Ax+C=0（A≠0）的距离d；（答案：0CdxA）
(4) 求P（6 ,7）到直线l：3x-4y+5=0的距离d；（答案：d=1）
(5) 求P（x0 ,y0）到直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距离d。
第（1）容易、（2）和（3）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生1回答的方法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（5）题虽然思路清晰，但由于字母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。
高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系
高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系
高一数学怎么学?减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;今天小编在这给大家整理了高一数学知识点总结，接下来随着小编一起来看看吧!
高一数学知识点总结(一)
空间点、直线、平面之间的位置关系
以下知识点需要我们去理解，记忆。1、数学所说的直线是无限延伸的，没有起点，也没有终点。
2、数学所说的平面是无限延伸的，没有起始线，也没有终点线。
3、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
4、过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
5、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一个过该点的公共直线。
6、平行于同一条直线的两条直线平行。
7、直线在平面内，因为直线上有无数多个点，平面上也有无数多个点，因此用子集的符号表示直线在平面内。
8、直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系是本节课的重点和难点。
9、做位置关系的题目，可以借助实物，直观理解。
一、直线与方程考试内容及考试要求
考试内容：
1.直线的倾斜角和斜率;直线方程的点斜式和两点式;直线方程的一般式;
2.两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离;
考试要求：
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直
线的方程判断两条直线的位置关系。
高一数学知识点总结(二)
直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.