2023年新高考数学大一轮复习专题三数列第4讲数列中的奇偶项问题(含答案)
高考数学一轮总复习解答题专项3数列新人教A版
解答题专项三数列1.(2022浙江,20)已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>1.记{a n}的前n项和为S n(n∈N*).(1)若S42a2a3+6=0,求S n;(2)若对于每个n∈N*,存在实数c n,使a n+c n,a n+1+4c n,a n+2+15c n成等比数列,求d的取值范围.2.已知数列{a n}的前n项和为S n,数列是首项为,公差为的等差数列,若[x]表示不超过x的最大整数,如[0.5]=0,[lg 499]=2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=[lg a n],求数列{b n}的前2 021项的和.3.(2022河南郑州一模)已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),前n项和为S n,现给出下列三个条件:①S1,S2,S4成等比数列;②S4=16;③S8=4(a8+1).请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.(1)求{a n}的通项公式;(2)若b n b n1=4a n(n≥2),且b1=3,求数列的前n项和T n.4.已知等比数列{a n}的公比为λ(λ>1),a1=1,数列{b n}满足b n+1b n=a n+1λ,b1=.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)规定:[x]表示不超过x的最大整数,如[1.2]=2,[2.1]=2.若λ=2,c n=,记T n=c1+c2+c3+…+c n(n≥2),求的值,并指出相应n的取值范围.答案：1.解(1)数列{a n}是首项a1=1的等差数列且d>1.∵S42a2a3+6=0,∴4a1+d2(a1+d)(a1+2d)+6=0.把a=1代入得4d2+12d=0,解得d=3或d=0(舍去),∴S n=na1+d=(2)∵对每个n∈N*,存在实数c n使得a n+c n,a n+1+4c n,a n+2+15c n成等比数列,∴(a n+1+4c n)2=(a n+c n)(a n+2+15c n),+8a n+1c n+16=a n a n+2+a n+2c n+15a n c n+15,+(8a n+1a n+215a n)c n+a n a n+2=0,而8a n+1a n+215a n=8(a1+nd)[a1+(n+1)d]15[a1+(n1)d] =8a1+8nda1(n+1)d15a115(n1)d=8a1+(8nn115n+15)d=8+(148n)d,a n·a n+2=(a n+d)2a n(a n+2d)=d2,+[8+(148n)d]c n+d2=0,对此式,Δ=[8+(148n)d]24d2≥0,[8+(148n)d+2d][8+(148n)d2d]=[(168n)d+8][(128n)d+8]≥0,[(2n)d+1][(32n)d+2]≥0,n=1时,显然成立;n=2时,d+2≥0,d≤2;n≥3时,原式=[(n2)d1][(2n3)d2]>0恒成立.∴1<d≤2,∴d的取值范围是(1,2].2.解(1)数列是首项为,公差为的等差数列, 所以+(n1),得S n=,当n=1时,a1=S1=,当n≥2时,a n=S n S n1=,又a1=也适合上式,所以a n=(2)由(1)得b n=[lg a n]=lg,当n=1时,1<lg a1<0;当n=2,3,4,…,19时,0≤lg a n<1;当n=20,21,22,…,199时,1≤lg a n<2;当n=200,201,202,…,1999时,2≤lg a n<3;当n=2000,2001,…,2021时,3≤lg a n<4.故数列{b n}的前2021项和为[lg a1]+[lg a2]+[lg a3]+…+[lg a2021]=1+0×18+1×180+2×1800+3×22=3845.3.解(1)由①S1,S2,S4成等比数列可得=S1·S4,即(2a1+d)2=a1·(4a1+6d),解得d=2a1, 由②S4=16可得S4=4a1+6d=16,即2a1+3d=8,由③S8=4(a8+1)可得8a1+d=4(a1+7d+1),可得a1=1,若选①②,由可得所以a n=1+2(n1)=2n1,若选①③,由可得所以a n=1+2(n1)=2n1,若选②③,由可得所以a n=1+2(n1)=2n1.综上所述,{a n}的通项公式为a n=2n1.(2)由(1)知a n=2n1,所以b n b n1=4(2n1)=8n4,所以b2b1=12,b3b2=20,b4b3=28,b5b4=36,…,b n b n1=8n4,以上各式累加可得b n b1=12+20+28+…+8n4==4n24.因为b1=3,所以b n=4n21(n≥2),且b1=3也满足上式,所以b n=4n21.所以,所以T n=1+…+=1=4.解(1)由题意得a n=λn1(λ>1),则b n+1b n=λnλ(λ>1),当n≥2时,b n=(b n b n1)+(b n1b n2)+…+(b2b1)+b1=(λn1λ)+(λn2λ)+…+(λ1λ)+=(λn1+λn2+…+λ1)(n1)λ+nλ+λ1,又b1=符合上式,因此b n=nλ+λ1.(2)由(1)知,当λ=2时,b n=2n2n+1,则c n=>0.当n=2时,T2=c1+c2=,此时==3;当n=3时,T3=c1+c2+c3=,此时=+2=2.当n≥3时,T n≥T3,因为c n=(n≥2),所以T n<1+33+4+…+n+1=1+3=1+1n1<,因此T3≤T n<, 即T n∈,令x=T n1,则x∈,=T n1+=x+,利用对勾函数的单调性,得x+,A其中A=+2,从而=2.综上,当n=2时,=3;当n≥3时,=2.。
2023年新高考数学大一轮复习专题04 基本不等式及其应用 (解析版)
专题04基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈（2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y Sxy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当mnx =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立； 模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a c x =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式证明不等式 题型九：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（ ）A ．12x x+≥ B ．a b +≥ C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误； 对于C 选项，当0a b =-≠时，不等式显然不成立，故错误； 对于D 选项，由于()22220a b ab a b +-=-≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+> B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy+> 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y =+x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立； 12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立． 故选：D ．例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a b r OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解. 【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +a b =时取等号． 故选：D.例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确.故选：D.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x =+C ．233xxy -=+D ．2y【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ==，27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ） A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥，22a b a b +≥，所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对. 故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例7．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a ，b 满足1a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解积的最大值. 【详解】∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，1a b +=，∴212ab ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，∴()max 14ab =． 故选：D ．例8．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（ ） A ．18 B ．27C ．54D ．90【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案．由题意可得2393322754x y x y +=+≥=⨯=， 当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立. 故选：C ．例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a=即12,2a c ==时等号成立.故选：B例10．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642xx x f x -=++的最小值为（ ）A ．4B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xxx +≥=⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4.（多选题）例11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444baa b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC例12．（2022·四川·广安二中二模（文））若,R a b +∈，且11b a +=，则2b a的最大值是_______________. 【答案】12##0.5. 【解析】 【分析】利用基本不等式可直接求得结果. 【详解】,R a b +∈，10a ∴>，0b >，11b a ∴+=≥ 即14b a ≤（当且仅当1b a =，即2a =，12b =时取等号）， 212b a ∴≤，即2b a 的最大值为12.故答案为：12.例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正数x 、y 满足124x y +=，则yx的最小值是___________. 【答案】14【解析】 【分析】利用基本不等式可求得yx的最小值. 【详解】因为x 、y为正数，由基本不等式可得124x y =+≥14y x ≥，当且仅当41124xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩时，即当41x y ==时，等号成立，故y x 的最小值为14.故答案为：14.【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例14．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x -=-，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例15．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例16．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】 【分析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x yx y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥++------当且仅当2111x y =--，即11x y ==“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+故选：D例17．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例18．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x y x y -+最大值为______．【解析】 【分析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =，y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 例19．（2022·全国·高三专题练习）（1）求函数()411y x x x =+>-的最小值及此时x 的值； （2）已知函数25102x x y x ++=+，()2,x ∈-+∞，求此函数的最小值及此时x 的值.【答案】（1）函数y 的最小值为5，此时3x =；（2）函数y 的最小值为5，此时0x =. 【解析】 （1）整理441111y x x x x =+=-++--，利用基本不等式求解即可；（2）令()20t x t =+>，将2x t =-代入整理得41y t t=++，利用基本不等式求解即可；【详解】 （1）∵1x >，∴4411141511y x x x x =+=-++≥=+=--， 当且仅当411x x -=-即3x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时3x =； （2）令()20t x t =+>， 将2x t =-代入得：()()22521041t t y t t t-+-+==++，∵0t >，∴411415y t t =++≥=+=， 当且仅当4t t=， 即422x x +=+， 即0x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时0x =. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题.【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例20．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-为___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例21．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 例22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B ．2 C ．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+， 所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例23．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -， 则2+a bab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例24．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x -=，再通过平方关系将其与11x y+联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==等号成立，所以211x y+≥.故答案为:2例25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】232⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>再将条件变形2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a =时取等号，故02a b <+≤2a b +≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t < 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例26．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2【答案】D【解析】 【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例27．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c +++变形为421m n+-，结合基本不等式，即可求得答案。
2023年新高考数学大一轮复习专题八思想方法第4讲转化与化归思想(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．方法一 特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．例1 (1)(2020·青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5D ．x 2＋y 2＝4 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12， 所以1a ＋1＝12，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2，所以两条切线的交点坐标为(2，3)，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋32＝7，所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C等于( )A.45B.15C.35D.25 思路分析 求cos A ＋cos C 1＋cos A cos C→考虑正三角形ABC 的情况 答案 A 解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝12＋121＋12×12＝45. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.方法二 命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．例2 (1)由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2 思路分析 命题：存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0是假命题→任意x ∈R ，e |x －1|－m >0是真命题→m <e |x －1|恒成立→求m 的范围→求a答案 C解析 由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．思路分析 g x 在t ，3上总不为单调函数→先看g x 在t ，3上单调的条件→补集法求m 的取值范围答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. 所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.方法三 函数、方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y ＝f (x )的图象性质可以确定方程f (x )＝0，不等式f (x )>0和f (x )<0的解集．例3 (2020·全国Ⅱ)若2x －2y <3－x －3－y ，则( )A ．ln(y －x ＋1)>0B ．ln(y －x ＋1)<0C ．ln|x －y |>0D ．ln|x －y |<0 答案 A解析 ∵2x －2y <3－x －3－y ，∴2x －3－x <2y －3－y. ∵y ＝2x －3－x ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上单调递增， ∴x <y ，∴y －x ＋1>1，∴ln(y －x ＋1)>ln1＝0.例4 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……) (1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 思路分析 g x 的极值→ln x <x －1→赋值叠加证明结论(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1x－1(x >0)． 令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)．取t ＝1n(n ∈N *)时， 则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×43×…×n ＋1n ＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值值域问题，从而求出参变量的范围.。
2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析 第3节 等比数列
第三节等比数列课标解读考向预测1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.预计2025年高考会从以下两个角度来考查：(1)等比数列及其前n 项和的基本运算与性质，可能与等差数列综合出题，难度较小；(2)等比数列的综合应用，可能与函数、方程、不等式结合考查，难度中档.必备知识——强基础1．等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于01同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(显然q ≠0)．数学语言表达式：a na n －1＝02q (n ≥2，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．此时G 2＝03ab ．提醒：(1)“G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件．(2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数．(3)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同．2．等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝04a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝05a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3．等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k a l ＝06a m a n ．(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为07q m ．(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为08q n ．1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }{a n b n }也是等比数列．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．三个数成等比数列，通常设为x q ，x ，xq ；四个符号相同的数成等比数列，通常设为x q 3，x q ，xq ，xq 3.5．若已知等比数列{a n }，公比为q ，前n 项和为S n ，则S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ＝kq n－k (k ≠0，q ≠1)，即S n 为关于n 的指数型函数，且q n 的系数与常数项互为相反数．6．{a n }为等比数列，若a 1a 2…a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T3n T 2n ，…成等比数列．7．若{a n }为正项等比数列，则{log c a n }(c >0，c ≠1)为等差数列．8．若{a n }为等差数列，则{can }(c >0，c ≠1)为等比数列．9．若{a n }既是等差数列又是等比数列⇔{a n }是非零常数列．10．(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{a n }中，公比为q .①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ；②若共有2n ＋1项，则S 奇－a 1S 偶＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m ⇔q n ＝S n ＋m －S nS m (q 为公比)．11．等比数列的单调性当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，{a n }是递增数列；当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，{a n }是递减数列；当q ＝1时，{a n }是常数列．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .()(2)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．()(3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．()(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝()A ．16B ．8C ．4D ．2答案C解析设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，解得1＝1，＝2，所以a 3＝a 1q 2＝4.故选C.(2)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，则b ＝()A ．3B ．1C ．－1D ．0答案C解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1，当b ＝－1时，a 1＝2适合a n ＝2·3n －1，{a n }是等比数列．当b ≠－1时，a 1不适合a n ＝2·3n －1，{a n }不是等比数列．故选C.(3)(人教A 选择性必修第二册4.3.1练习T2改编)在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5＝()A ．5B ．±5C ．4D ．±4答案C解析∵a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，∴a 5＝±4.又a 5＝a 3q 2＞0，∴a 5＝4.故选C.(4)(人教A 选择性必修第二册4.3.2练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．答案1，3，9或9，3，1解析设这三个数为aq，a，aq，＋aq＋aq＝13，·aq·aq＝27，＝3，＝13＝3，＝3，∴这三个数为1，3，9或9，3，1.考点探究——提素养考点一等比数列基本量的运算例1(1)(2023·全国甲卷)设等比数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝()A．158B．658C．15D．40答案C解析由题意知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q(q－2)(q＋1)(q ＋2)＝0.由题意知q＞0，所以q＝2，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.(2)在等比数列{a n}中，a3＝32，S3＝92，则a2的值为()A．32B．－3C．－32D．－3或32答案D解析由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)，得q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12，所以a2＝a3q＝32或－3.故选D.【通性通法】等比数列基本量运算的解题策略方程思想等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等比数列中包含a1，q，n，a n，S n五个量，可“知三求二”整体思想当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，q表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解分类讨论思想若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论【巩固迁移】1．(2024·福建泉州中学阶段考试)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则Sn a n ＝()A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1答案B解析解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12，6－a 4＝a 1q 5－a 1q 3＝24，1＝1，＝2，所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .故选B.解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 6－a 4a 5－a 3＝a 4（q 2－1）a 3（q 2－1）＝a 4a 3＝2412＝2，所以q ＝2，所以S n a n ＝a 1（1－q n ）1－q a 1q n －1＝2n －12n －1＝2－21－n .故选B.2．(2023·全国甲卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若8S 6＝7S 3，则{a n }的公比为________．答案－12解析若q ＝1，则由8S 6＝7S 3得8·6a 1＝7·3a 1，则a 1＝0，不符合题意，所以q ≠1.当q ≠1时，因为8S 6＝7S 3，所以8·a 1（1－q 6）1－q ＝7·a 1（1－q 3）1－q ，即8(1－q 6)＝7(1－q 3)，即8(1＋q 3)(1－q 3)＝7(1－q 3)，即8(1＋q 3)＝7，解得q ＝－12.考点二等比数列的性质及其应用(多考向探究)考向1等比数列项的性质例2(1)在各项都为正数的等比数列{a n }中，已知0<a 1<1，其前n 项之积为T n ，且T 12＝T 6，则T n 取得最小值时，n 的值是________．答案9解析由T 12＝T 6，得T12T 6＝1，即a 7a 8a 9a 10a 11a 12＝(a 9a 10)3＝1，故a 9a 10＝1，因为a 1a 18＝a 9a 10，则a 1a 18＝1，由于0<a 1<1，得a 18>1，所以等比数列{a n }是递增数列，故0<a 9<1<a 10，则T n 取得最小值时，n ＝9.(2)(2023·湖南师大附中模拟)在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝125，a 4a 5＝－25，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＋1a 6＋1a 7＋1a 8＝________．答案－6解析1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＋1a 6＋1a 7＋1a 8＝a 1＋a 8a 1a 8＋a 2＋a 7a 2a 7＋a 3＋a 6a 3a 6＋a 4＋a 5a 4a 5，∵在等比数列{a n }中，a 4a 5＝－25，则a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝－25，∴原式＝－52(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＝－52×125＝－6.【通性通法】利用项的性质的解题策略策略一在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ”，可以减少运算量，提高解题速度策略二在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用【巩固迁移】3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，若a 2a m ＝4，则m 的值为()A ．8B ．9C ．10D ．11答案B解析∵公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，∴a 5a 6＝a 4a 7＝4，又a 2a m ＝4，∴2＋m ＝5＋6＝11，解得m ＝9.故选B.4．(2023·北京东城区模拟)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝48，a 4＋a 5＝6，则公比q ＝________，log 2(a 1a 2a 3…a n )的最大值为________．答案1215解析因为a 1＋a 2＝48，所以由a 4＋a 5＝6，可得q 3(a 1＋a 2)＝6，q 3＝18，q ＝12.由a 1＋a 2＝48，可得a 1＋12a 1＝48⇒a 1＝32，所以a n ＝－1＝26－n ，log 2(a 1a 2a 3…a n )＝log 2(25·24·…·26－n )＝log 225＋6－n2＝n （11－n ）2，因为n （11－n ）2＝－＋1218，n ∈N *，所以n ＝5或6时，n （11－n ）2有最大值，为15.考向2等比数列前n 项和的性质例3(1)(2023·新课标Ⅱ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 4＝－5，S 6＝21S 2，则S 8＝()A ．120B ．85C ．－85D ．－120答案C解析解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 6＝6a 1＝3×2a 1＝3S 2，与题意不符，所以q ≠1；由S 4＝－5，S 6＝21S 2可得，a 1（1－q 4）1－q ＝－5，a 1（1－q 6）1－q ＝21×a 1（1－q 2）1－q①，由①可得，1＋q 2＋q 4＝21，解得q 2＝4，所以S 8＝a 1（1－q 8）1－q ＝a 1（1－q 4）1－q ×(1＋q 4)＝－5×(1＋16)＝－85.故选C.解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝－5，S 6＝21S 2，所以q ≠－1，否则S 4＝0，从而S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，所以(－5－S 2)2＝S 2(21S 2＋5)，解得S 2＝－1或S 2＝54.当S 2＝－1时，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6，即为－1，－4，－16，S 8＋21，易知S 8＋21＝－64，即S 8＝－85；当S 2＝54时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝(1＋q 2)S 2>0，与S 4＝－5矛盾，舍去．故选C.(2)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________．答案2解析由题意，奇＋S 偶＝－240，奇－S 偶＝80，奇＝－80，偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.【通性通法】等比数列的性质分类类型一通项公式的变形类型二等比中项的变形类型三前n 项和公式的变形提醒：应用时根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．【巩固迁移】5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝t ·2n －1－1，则t ＝()A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案A解析设等比数列的公比为q ，当q ＝1时，S n ＝na 1，不符合题意；当q ≠1时，等比数列的前n 项和公式为S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，依题意S n ＝t ·2n －1－1＝12t ·2n －1，即12t ＋(－1)＝0，解得t ＝2.故选A.6．(2024·湖南岳阳一中月考)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为________．答案20解析在正项等比数列{a n }中，S n >0，因为S 8－2S 4＝5，则S 8－S 4＝5＋S 4，易知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8是等比数列，所以(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，所以S 12－S 8＝（S 4＋5）2S 4＝25S 4＋S 4＋10≥225S 4·S 4＋10＝20(当且仅当S 4＝5时取等号)．因为a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.考向3等比数列前n 项和最值问题例4(多选)(2024·河北涿州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并满足条件a 1＞1，a 2023a 2024＞1，a 2023－1a 2024－1＜0，下列结论正确的是()A ．S 2023＜S 2024B ．a 2023a 2025－1＜0C ．T 2024是数列{T n }中的最大项D ．数列{T n }无最大项答案AB解析当q ＜0时，a 2023a 2024＝a 22023q ＜0，与已知矛盾；当q ≥1时，a 2023＞1，a 2024＞1，a 2023－1a 2024－1＞0，与已知矛盾，故0＜q ＜1，且a 2023＞1，0＜a 2024＜1，故S 2024＞S 2023，A 正确；a 2023a 2025－1＝a 22024－1＜0，B 正确；T 2023是数列{T n }中的最大项，C ，D 错误．故选AB.【通性通法】涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响．【巩固迁移】7．(2023·安徽安庆模拟)已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若q >0，则S 1＋S 3S 2的最小值是________．答案22－1解析由题意知，S 1＋S 3S 2＝a 1＋a 1＋a 2＋a 3a 1＋a 2＝2＋q ＋q 21＋q ＝（q ＋1）2－（q ＋1）＋21＋q＝q ＋1＋2q ＋1－1，又q >0，则q ＋1＋2q ＋1－1≥22－1，当且仅当q ＝2－1时，等号成立．即S 1＋S 3S 2的最小值是22－1.考点三等比数列的判定与证明例5S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)易知q ≠1，13，1＝1，＝3，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3，故存在常数λ＝12，n 是以32为首项，3为公比的等比数列．【通性通法】等比数列的判定与证明的方法提醒：(1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法与等比中项法，判断一个数列是等比数列，有通项公式法及前n项和公式法，只用于选择题、填空题中的判定．(2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可．(3)判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(4)在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证．【巩固迁移】8．(2024·江西抚州一中质检)已知数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝12，2a n＋1＝a n ＋12b n，2b n＋1＝12a n＋b n.(1)证明：数列{a n＋b n}，{a n－b n}为等比数列；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，证明：S n＜103.证明(1)2a n＋1＝a n＋12b n，①2b n＋1＝12a n＋b n，②①＋②，得a n＋1＋b n＋1＝34(a n＋b n)．又a1＋b1＝32≠0，∴{a n＋b n}是首项为32，公比为34的等比数列，①－②，得a n＋1－b n＋1＝14(a n－b n)．又a1－b1＝12≠0，∴{a n－b n}是首项为12，公比为14的等比数列．(2)由(1)得，a n ＋b n ＝32×－1，③a n －b n ＝12×－1，④③＋④得，a n，故S n ＝41－14＋41－34＝103－13×4n －3n ＋14n ＜103.课时作业一、单项选择题1．已知等比数列{a n }中，a 5＝9，a 3a 8＝81a 2，则a 2a 6＝()A ．27B ．9C ．±9D ．±27答案A解析因为数列{a n }为等比数列，所以a 3a 8＝a 2a 9＝81a 2，可得a 9＝81，因为a 5＝9，所以a 9a 5＝q 4＝9，q 2＝3，a 3＝a 5q 2＝93＝3，所以a 2a 6＝a 3a 5＝27.故选A.2．(2023·天津高考)已知{a n }为等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＋1＝2S n ＋2，则a 4的值为()A ．3B ．18C ．54D ．152答案C解析解法一：因为a n ＋1＝2S n ＋2，所以当n ≥2时，a n ＝2S n －1＋2，两式相减，得a n ＋1－a n＝2a n ，即a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比q ＝a n ＋1a n＝3的等比数列．当n ＝1时，a 2＝2S 1＋2＝2a 1＋2，又a 2＝3a 1，所以3a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝2，所以a 4＝a 1q 3＝2×33＝54.故选C.解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a n ＋1＝2S n ＋2，所以公比q ≠1，且a 1q n ＝2a 1（1－q n ）1－q＋2＝－2a 11－q q n ＋2a 11－q ＋2，1＝－2a 11－q，＝2a 11－q ＋2，1＝2，＝3，所以a 4＝a 1q 3＝2×33＝54.故选C.3．(2024·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为()A ．13B ．－13C ．19D ．－19答案B解析因为S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，由等比数列前n 项和公式中q n 的系数与常数项互为相反数，可知r ＝－13.4．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝()A ．40B ．60C ．32D ．50答案B解析数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60.故选B.5．(2023·广东汕头模拟)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C解析a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，∴a n ＝2×2n －1＝2n .又a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，∴2k ＋1（1－210）1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.故选C.6．(2024·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝21＋x 2，且等比数列{a n }满足a 2a 2023＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2024)＝()A ．2024B ．1012C ．2D ．12答案A解析易知f (x )＋＝21＋x 2＋2x 2x 2＋1＝2，又a 2a 2023＝1，所以a 2023＝1a 2，则f (a 2)＋f (a 2023)＝f (a 2)＋ 2.因为{a n }为等比数列，所以a 1a 2024＝a 2a 2023＝…＝a 1012a 1013＝1，所以f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2024)＝1012×[f (a 2)＋f (a 2023)]＝2×1012＝2024.故选A.7．(2024·重庆八中阶段考试)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝8，a 4＝－1，则数列{S n }()A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项答案A解析根据题意，等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝－1，则q 3＝a 4a 1＝－18，则q ＝－12，则S n ＝a 1（1－q n ）1－q321631若n 为奇数，则S n ，此时有S 1>S 3>…>S n >163；若n 为偶数，则S n 此时有S 2<S 4<…<S n <163，所以数列{S n }有最大项S 1，最小项S 2.故选A.8．(2023·河南郑州高三第二次质量预测)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＋1·(S n＋1－3n )＝S n (S n ＋3n )，则S 2023＝()A ．32023－1B ．32023＋1C ．32022＋12D ．32023＋12答案D解析因为S n ＋1(S n ＋1－3n )＝S n (S n ＋3n )，所以S 2n ＋1－3n S n ＋1＝S 2n ＋3n S n ，即S 2n ＋1－S 2n ＝3n S n ＋1＋3n S n ，所以(S n ＋1＋S n )(S n ＋1－S n )＝3n (S n ＋1＋S n )，因为数列{a n }的各项都是正项，即S n ＋1＋S n >0，所以S n ＋1－S n ＝3n ，即a n ＋1＝3n ，所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝3n3n －1＝3，所以数列{a n }从第2项起，构成以a 2＝3为首项，q ＝3为公比的等比数列，所以S 2023＝a 1＋a 2（1－q 2022）1－q ＝2＋3×（1－32022）1－3＝32023＋12.故选D.二、多项选择题9．(2023·茂名一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，则下列说法中正确的是()A ．若q >1，则a n ＋1>a nB ．若a 1＝1，q ＝34，则S n ＝4－3a nC ．若a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝－7D ．若a 1＝1，a 5＝4a 3，则a n ＝2n －1答案BC解析对于A ，若a 1<0且q >1，则a n ＝a 1q n －1<0，∴a n ＋1－a n ＝a n (q －1)<0，即a n ＋1<a n ，A 错误；对于B ，∵a 1＝1，q ＝34，∴a n－1，S n 1－34＝1－34a n 1－34＝4－3a n ，B 正确；对于C ，由a 5a 6＝a 4a 7得a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，∴a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4，∴q 3＝－12或q 3＝－2.当q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 4q 6＝4－12＋＝－7；当q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 4q 6＝－2－2＋(－2)×(－2)2＝－7，C 正确；对于D ，∵a 1＝1，a 5＝4a 3，∴q 4＝4q 2，得q ＝－2或q ＝2，∴a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1，D 错误．故选BC.10．(2024·江苏苏州期中)已知等比数列{a n }的公比为q ，前n (n ∈N *)项和为S n ，前n (n ∈N *)项积为T n ，若a 1＝132，T 5＝T 6，则()A ．q ＝2B ．当n ＝6时，S n 取得最大值C ．当且仅当n ＝6时，T n 取得最小值D ．S n >T n 的正整数n 的最大值为12答案AD解析对于A ，因为T 5＝T 6，所以a 6＝T 6T 5＝1，因为q 5＝a6a 1＝32，解得q ＝2，故A 正确；对于B ，因为a 1>0，q >1，所以数列{a n }是各项为正的递增数列，所以S n 无最大值，故B 错误；对于C ，因为a 1＝132，a 6＝1，q ＝2，所以1≤n ≤5时，0<a n <1，n ≥7时，a n >1，所以当n ＝5或n ＝6时，T n 取得最小值，故C 错误；对于D ，S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n －125，T n ＝a 1a 2·a 3…a n＝a n 1q1＋2＋…＋n －1＝(2－5)n ·2n （n －1）2＝2n 2－11n2，因为S n >T n ，所以2n －125>2n 2－11n 2，即2n －1>2n 2－11n+102，所以2n－2n 2－11n+102>1，即n >n 2－11n ＋102，所以13－1292<n <13＋1292，正整数n 的最大值为12，故D 正确．故选AD.三、填空题11．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________．答案1213解析由a 24＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3.所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝13×（1－35）1－3＝1213.12．(2023·全国乙卷)已知{a n }为等比数列，a 2a 4a 5＝a 3a 6，a 9a 10＝－8，则a 7＝________．答案－2解析设{a n }的公比为q (q ≠0)，则a 2a 4a 5＝a 3a 6＝a 2q ·a 5q ，显然a n ≠0，则a 4＝q 2，即a 1q 3＝q 2，则a 1q ＝1，因为a 9a 10＝－8，则a 1q 8·a 1q 9＝－8，则q 15＝(q 5)3＝－8＝(－2)3，则q 5＝－2，则a 7＝a 1q ·q 5＝q 5＝－2.13．(2024·江西南昌二中阶段考试)设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1，2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则6q ＝________．答案－9解析{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，b n ＝a n ＋1，则a n ＝b n －1，{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18，36，81}中．又{a n }是等比数列，等比数列中有负数项，则q <0，且负数项为相隔两项，等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值为18，－24，36，－54，81，相邻两项相除，得－2418＝－43，36－24＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，显然－24，36，－54，81是{a n }中连续的四项，q ＝－32或q ＝－23(|q |>1，∴此种情况应舍去)，∴q ＝－32，∴6q ＝－9.14．(2023·湖南益阳一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，若b n ＝1a n －2，则数列{b n }的前n 项和S n ＝________．答案－4n ＋6n －19解析由a n ＋1＝52－1a n ，有a n ＋1－12＝2－1a n ＝2·a n －12a n，a n ＋1－2＝12－1a n ＝12·a n －2a n.将上述两式相除得到a n ＋1－2a n ＋1－12＝14·a n －2a n －12，是以14为公比，a 1－2a 1－12＝－2为首项的等比数列，所以a n －2an －12＝－－1，a n ＝2－32＋4n －1，从而b n ＝－23－4n －13.所以S n ＝－2n 3－13×4n －13＝－2n 3－4n －19＝－4n ＋6n －19.四、解答题15．(2024·广西柳州模拟)已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．解(1)证明：因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )，因为{a n }中各项均为正数，所以a n ＋1＋a n ＞0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3，所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列．(2)由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，因为a 2＝3a 1，所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，故a n ＋1＝3a n ，所以4a n ＝2×3n －1，即a n ＝12×3n －1.16．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{a n }为等差数列，{b n }是公比为2的等比数列，且a 2－b 2＝a 3－b 3＝b 4－a 4.(1)证明：a 1＝b 1；(2)求集合{k |b k ＝a m ＋a 1，1≤m ≤500}中的元素个数．解(1)证明：设数列{a n }的公差为d ，1＋d －2b 1＝a 1＋2d －4b 1，1＋d －2b 1＝8b 1－（a 1＋3d ），解得b 1＝a 1＝d2，所以命题得证．(2)由(1)知，b 1＝a 1＝d2，所以b k ＝a m ＋a 1⇔b 1×2k －1＝a 1＋(m －1)d ＋a 1，即2k －1＝2m ，亦即m＝2k －2∈[1，500]，解得2≤k ≤10，所以k ＝2，3，4， (10)故集合{k |b k ＝a m ＋a 1，1≤m ≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9.17．(多选)(2023·山东济南二模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n a n ＋1＝2n ，n ∈N *，则下列说法正确的是()A ．a 4＝4B ．{a 2n }是等比数列C ．a 2n －a 2n －1＝2n －1D ．a 2n －1＋a 2n ＝2n ＋1答案ABC解析∵a 1＝1，a n a n ＋1＝2n ，∴a 2＝2，a 3＝2，a 4＝4，由a n a n ＋1＝2n 可得a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2a n＝2，∴{a 2n }，{a 2n －1}分别是以2，1为首项，2为公比的等比数列，∴a 2n ＝2·2n －1＝2n ，a 2n －1＝1·2n －1＝2n －1，∴a 2n －a 2n －1＝2n －1，a 2n －1＋a 2n ＝3·2n －1≠2n ＋1.综上可知，A ，B ，C 正确，D 错误．故选ABC.18．(2024·广东揭阳阶段练习)已知正项数列{a n }中，a 1＝5，且a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＋a n ＋1－2a n＝0，S n 为其前n 项和，若存在正整数n ，使得2－m 2a n <1S n成立，则m 的取值范围是________．答案(0，＋∞)解析由已知a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＋a n ＋1－2a n ＝0，得(a n ＋1－2a n )(a n ＋1＋a n ＋1)＝0，由于a n >0，所以a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1＝2a n ，即数列{a n }是首项为5，公比为2的等比数列，所以a n ＝5×2n －1，Sn ＝5×（1－2n ）1－2＝5(2n －1)，由2－m 2a n <1S n 变形为2－m <2an S n ，因为存在正整数n ，使得2－m 2a n <1S n成立，所以2－mmax，由于2a nS n＝2n2n－1＝1＋12n－1，所以1<2a nS n≤2，所以2－m<2，则m>0，即m的取值范围为(0，＋∞)．。
2023届高三数学一轮复习专题 利用常见函数的奇偶性解题 讲义 (解析版)
专题：利用常见函数的奇偶性解题知识梳理：1、掌握高中常见函数的奇偶性，单调性可提高解题速度2、加强知识的归纳整理工作，由知识点构建知识块3、常见的奇，偶函数类型（10≠>a a 且）：①指数型奇函数：f(x)＝11+-±x x a a ，f(x)＝）（x x a a --±， ②对数型奇函数：f(x)＝±lgx b xb +-，f(x)＝±lg(x x ++12)，③幂函数奇函数：f(x)＝m x （为奇数m ），f(x)＝xb x ±④常见偶函数：f(x)＝m x （为偶数m ） f(x)＝|x| 典型例题：例1：已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>1) (1)判断f(x)奇偶性 (2)求函数f(x)的值域变式：已知函数31()231x x f x x -=++，则满足不等式()(32)0f a f a ++>的实数a 的取值范围是 .变式1：【答案】12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例2：(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )变式：已知函数f (x )＝e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．例3：判断并证明函数f(x)=lg x x +1-1的奇偶性 （思考f(x)=lg xx-+11的奇偶性？）例4：判断并证明函数f(x)=lg(x x ++12)的奇偶性 （思考f(x)=lg(x x -+12的奇偶性？)变式1：已知函数xxa x f +-=1log )(3为奇函数，则实数a 的值为________.变式2：设函数f(x)=1)1ln(1222+++++x x x x ）（的最大值为M ，最小值为N ，试确定M+N 的值变式3：函数())lnf x kx =的图象不可能是（ ）A． B ．C ．D ．例5：已知，，则（ ） A ． B ． C ． D ．例6：已知函数2111)(x x x f +-+=，则满足f （x －1）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的x 取值范围是（ ） A ．11(,)33- B ．]31,31[- C ．24(,)33D ．]34,32[课后作业：1、已知函数f(x)=xxa a 22+-是奇函数,则f(a)的值等于( )A.-31B.3C.-31或3D.31或32、（2022年华美月考，多选）已知函数()1212xxf x -=+，())lg g x x =，则（ ）A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()g x 为奇函数C ．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上的最大值与最小值之和为01()1f x x x=+-()2f a =()f a -=4-2-1-3-D ．设()()()F x f x g x =+，则()()210F a F a +--<的解集为()1,+∞ 3、(2019·金版创新)已知函数f (x )是奇函数，g (x )＝f (x )＋21＋2x ，x ∈(－1,1)，则g ⎪⎭⎫⎝⎛21＋g ⎪⎭⎫⎝⎛21-的值为________． 4、(2019·海淀联考)已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(3)若f (k ·3x)＋f (3x－9x＋2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围．专题：利用常见函数的奇偶性解题典型例题： 例1：【答案】（1）奇函数（2）（-1，1） 【解析】(1)()f x 的定义域为R ．又()()11111111xxx x xxa a a f x f x a aa ------====-+++，所以()f x 为奇函数． （2）11211,2120<+-<-∴<+<x x a a ，即值域为（-1，1） 变式：【答案】（∞+-，21） 【解析】0313113132131321313)()(=+-++-=-+-+++-=-+--xxx x x x x x x x x f x f 所以x x f x x 21313)(++-=为奇函数，因为1313)(+-=x x x f 在定义域上单调递增，又f(x)=2x 在定义域上单调递增，所以x x f xx 21313)(++-=在定义域上是增函数 2123)23()(->⇒-->⇒-->∴a a a a f a f例2：【答案】B 【解析】依题意，注意到函数的定义域是}0|{≠∈x R x ，且)()()(22x f xe e x e e xf x x x x -=--=--=---，因此)(x f 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，选项A 不正确，且当x>0时，)(x f >0,选项D 不正确，又+∞→+∞→)(,x f x ，结合选项知B 正确，故选B变式：【答案】]21,1[-【解析】函数f (x )＝e x－1e x 是常见的奇函数，且在定义域内是单调递增的，因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0a a a f a f a f -≤⇒-=--≤∴12)1()1()2(22解得：211≤≤-a例3：【答案】奇函数【解析】由条件知：函数的定义域为11<<-x 关于原点对称 所以f(x)+f(-x)=lgx x +1-1+lg x x -+11=0，即函数f(x)是奇函数，同理f(x)=lg xx-+11也是奇函数 例4：【答案】奇函数【解析】由条件知：函数的定义域为R 关于原点对称 所以f(x)+f(-x)=lg(x x ++12)+lg(x x -+12)=lg1=0即函数f(x)是奇函数，同理f(x)=lg(）x x -+12也是奇函数变式1：【答案】1【解析】由条件知：奇函数的定义域要关于原点对称，所以分母1-≠x ，为了对称，分子a=1变式2：【答案】2【解析】由已知得1)1ln(21)(22+++++=x x x x x f 因为)1ln())(1)(ln(22x x x x ++-=-++-，所以)1ln(2x x y ++=是奇函数，进而可判定，函数1)1ln(2)(22++++=x x x x x g 为奇函数，则)(x g 的最大值1M 和最小值1N ，满足1M+1N =0，因为1,111+=+=N N M M ，所以M+N=2变式3：【答案】C 【解析】因为A,B 选项中，图像关于原点对称，所以f(x)为奇函数，f(x)+f(-x)=0 1010)1ln()1ln(2222±=⇒=-⇒=+++-+k x k kx x kx x ）（即当K=1时，f(x)的图像为选项A,当K=-1时，f(x)的图像为选项B 而C,D 选项中，图像关于Y 轴对称，所以f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)00)1ln()1ln(22=⇒=⇒++=-+k kx kx x kx x 即当K=0时，0)(≥x f 故f(x)的图像为选项D ，故f(x)的图像不可能为C例5：【答案】A 【解析】设xx x f x g 11)()(+=+=则)(1)()(x g x f x g -=+-=-，所以)(x g 是奇函数，31)()(=+=a f a g 因为)(x g 是奇函数，所以31)()(-=+-=-a f a g 所以4)(-=-a f ，故选A例6：【答案】C 【解析】函数2111)(xx x f +-+=在[)∞+，0上为增函数，所以不等式f （x －1）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 等价为 f （|x －1|）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 所以|x －1|）<31⇒3432<<x课后作业：1、【答案】C 【解析】因为函数f(x)=x xa a 22+-是奇函数，所以f(-x)=-f(x)整理得：02,02)22(2122>=-=+-x x x x a a a 因为））（（，所以1±=a 代入选C2、【答案】BCD 【解析】函数xx x f 2121)(+-=是奇函数，所以A 错，函数g(x)=lg ）x x -+12是奇函数，所以B 正确，．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上是奇函数，在对称区间上，最大值最小值之和为0，C 正确;是减函数xx f 2121)(++-=,010ln 11)()1lg()(2'2<+-=⇒-+=x x g x x x g 故F （x ）=f(x)+g(x)是减函数，a a a F a F a F a F +>⇒+<⇒<--+12)1()2(0)1()2(所以1>a ，D 正确3、【答案】2【解析】函数)(x f 是奇函数，所以0)21()21(=+-f f ，令xx h 212)(+=，则22112212)21()21(=+++=-+h h ，所以g ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＋g ⎪⎭⎫ ⎝⎛21-=2 4、【答案】（1）奇函数（2）在R 上单调递增函数（3）），（34∞-【解析】略。
2023届高三数学一轮复习专题 数列与不等式 讲义 (解析版)
若和为 满足
求数列 ﹑ 的通项公式；
记 证明
例8﹑数列 是首项为 公差不为 的等差数列，且 成等比数列 数列
满足
求数列 的通项公式；
证明
例9﹑已知数列 满足 的前 项和 满足
求数列 的通项公式.
记数列 的前 项和为 ，证明：
例10﹑正项数列 的前 项和为 满足对每个 成等差数列，
求 的通项公式；
设 证明
例18﹑已知正项数列 满足
求证;数列 为等差数列；
若数列 的前 项和为 求证：
例19﹑数列
是否存在常数 使得数列 是等比数列，若存在，求出 的值.
设 证明当 时，
例20﹑数列 是公差大于零的等差数列， 成等比数列；数列 满足
求数列 的通项公式；
记 比较 与 的大小.
例21﹑设数列 的前 项和为 ，前 项积为 且
求 的值；
求 的通项公式；
求证： 提示：
例11﹑已知公差不为 的等差数列 满足： 成等比数列，数列 满足：
求 的通项公式；
记数列 数列 的前 项和为 证明：
例12﹑已知数列 是公比 的等比数列，且满足： 数列 满足：
求数列 和 的通项公式；
令 求证：
例13﹑已知数列 的前 项积为 ， 为等差数列，且
数列与不等式
常见列项：
常见放缩：
未完待续......
例1﹑已知数列 的前 项和为 ，满足
求数列 的通项公式;
记 数列 的前 项和为 求证:
数列 满足 试比较 与 的大小，并说明理由。
例2﹑数列 的前 项和为 ，对任意 都有
求数列 的通项公式；
记 证明：
例3﹑已知正项数列 的前 项和为 ，且
第六章 §6.7 子数列问题-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
思维升华
两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的 最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等 比数列公比的最小公倍数.
跟踪训练2 (2023·邵阳模拟)数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小
到大构成一个新数列{an}，数列{bn}满足bn＝
an 2n
，则数列{bn}的最大项
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3.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn－nan＝n，n∈N*，且a2＝3. (1)求证：数列ann－－11(n≥2)是常数列；
1234
由2Sn－nan＝n，得2Sn＋1－(n＋1)an＋1＝n＋1， 将上述两式相减，得2an＋1－(n＋1)an＋1＋nan＝1， 即nan－(n－1)an＋1＝1. ∴ an＋1＝nna－n－11(n≥2)， ∵an＋n1－1－ann－－11＝nna－n－n11－1－ann－－11 ＝ann－－11－ann－－11＝0(n≥2)， ∴数列ann－－11(n≥2)是常数列.
第六章
§6.7 子数列问题
பைடு நூலகம்
重点解读
子数列是数列问题中的一种常见题型.将原数列转化为子数列问题一 般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时， 要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置， 即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数 与方程的思想，能很好地考查学生的思维.
思维升华
对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先 判断数列之间共插入(减少)了多少项 (运用等差等比求和或者项数 公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.
跟踪训练3 已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数. (1)求r的值；
数列解答题的考法研究题型归纳练习-2023届高三数学一轮复习(含解析)
数列大题的考法研究题型一：等差数列、等比数列的判定与证明1．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且满足2133(1)022n n nS n S n n +-+--=.证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；2．已知数列{}n a 满足：12a =，()11n n n a a n n++=+. 设nn a b n=，证明：数列{}n b 是等差数列；3．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足3223n n a S =-. 证明：对任意的正整数n ，集合{}21221,,n n n a a a -+中的三个元素可以排成一个递增的等差数列题型二：分组转化法求和1．已知数列{}n a 满足11a =，11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数．（1）求2a ，3a ；（2）设22n n b a =-，求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式； （3）已知12log n n c b =，求证：122311111n nc c c c c c -+++<．2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,?,?n n n S n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前20项和20T ．3．已知数列{}n a 满足11a =，11,,.n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数，为偶数（1）求2a ，3a ，4a ，并求n a ； （2）求{}n a 的前100项和100S ．4．山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸子面和饸饹面两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有20%改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有30%改选牛肉丸子面．用,n n a b 分别表示在第n 个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且1600a =． （1）证明：数列{}n a 是常数列；（2）若2,2,n n n n c n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n n b c +的前2n 项和2n S ．题型三：裂项相消法求和1．已知数列{}n a 满足111,2(*,2)n n a a a n N n -==+∈≥ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11()n n n b n N a a +=∈，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求n S .2．已知数列{}n a 满足()1123123(1)22n n a a a na n n N +*++++=-⋅+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=++，求数列{}n b的前n 项和n S .3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*22n n S a n =-∈N ；（1）求{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =+-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n T ； （3）设()()1111n n n n a c a a ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n ∈N 均有n R λ<恒成立，求λ的最小值；题型四：错位相减法求和1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n a S -=+（2n ≥，n *∈N ） （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）记2log nn na b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-；数列{}n b 满足11(2,)n n n n b b b b n n N ---=≥∈，11b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)2n n n a a S +=，0n a >． （1）证明数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）已知2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明2n T <．【课后精练】1．已知函数()21122f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,n n S n ∈N 均在函数()f x 的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若函数()442x x g x =+，令()*2021n n a b g n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n b 的前2020项和2020T ．2．已知数列{}n a 的前n 项和224()n n S n N ++=-∈，函数()f x 对一切实数x 总有()(1)1f x f x +-=，数列{}n b 满足121(0)()()()(1).n n b f f f f f n n n-=+++++分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式.3．在公差不为0的等差数列{}n a 中，257a a +=，2a ，4a ，8a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若22n an n b a =+，求{}n b 的前n 项和n S ．4．已知{}n a 是等比数列，0n a >，且223a =，6542a a a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．5．已知数列{}n b 的前n 项和()22n S n n n N +=+∈．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,1(*)n n a a S n N +==+∈，数列{}n b 满足11b =，12n n n b a b +=+．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足1nn n n a c b b +=，求证：1212n c c c +++<．7．已知数列{}n a 满足111,2(1)n n a na n a +==+. （1）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n a ；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .8．已知数列{}n a 满足11()n n a a n N *+=+∈，且22a =.（1）若数列{}n b 满足111,21n n n b b b a +==+-，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}3n an a ⋅的前n 项和n S .9．已知数列{}n a ，{}n b 满足1118a =，11216n n n n a a a a ++-=，116n n b a =-.（1）证明{}n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式； （2）求11223377a b a b a b a b ++++.10．已知数列{}n a 的前n 项和为214n S n n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2） 求数列{}n a 的前n 项和n T .数列大题的考法研究【答案解析】题型一：等差数列、等比数列的判定与证明1．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且满足2133(1)022n n nS n S n n +-+--=.证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式； 【答案】证明见解析，32n a n =- 证明：因为2133(1)022n n nS n S n n +-+--=， 所以()13(1)12n n nS n S n n +-+=+， 所以1312n n S S n n +-=+，1111S a ==， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，32为公差的等差数列，3122n S n n =-，所以23122n S n n =-， 当2n ≥时， ()()2213131112222n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-----⎢⎥⎣⎦32n =-， 当1n =时，等式也成立， 所以32n a n =-；2．已知数列{}n a 满足：12a =，()11n n n a a n n++=+. 设nn a b n=，证明：数列{}n b 是等差数列； 【答案】证明：由()11n n n a a n n++=+，可得111n n a a n n +=++，所以111n n a a n n +-++，由于nn a b n=，可得11n n b b +-=，又112b a ==， 所以{}n b 为首项为2，公差为1的等差数列. 3．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足3223n n a S =-. 证明：对任意的正整数n ，集合{}21221,,n n n a a a -+中的三个元素可以排成一个递增的等差数列；【答案】由题意，数列{}n a 的前n 项和n S 满足3223n n a S =-，当2n ≥时，113223n n a S --=-， 两式相减，可得132n n n a a a --=，即12n n a a -=-，即()12,2n n a n a -=-≥， 令1n =，可得113223a a =-，解得143a =， 所以数列{}n a 是首项为43，公比为2-的等比数列，所以()()1124233n n n a +--=⋅-=，所以()222112233n nn a -=-=，21223n n a +=-，222123n n a ++=，又由21221214nn n n n a a a a -+--=-=，所以2n a ，21n a -，21n a +构成一个递增的等差数列.证明（判断）数列是等差（比）数列的4种基本方法题型二：分组转化法求和1．已知数列{}n a 满足11a =，11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数．（1）求2a ，3a ；（2）设22n n b a =-，求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式； （3）已知12log n n c b =，求证：122311111n nc c c c c c -+++<．【答案】（1）232a =，352a =-（2）证明见解析，12nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）证明见解析（1）因为数列{}n a 满足11a =，11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，所以2113122a a =+=，323522422a a =-⨯=-=-．即232a =，352a =- （2）()()12221211122122122n n n n b a a n a n ++++=-=++-=+-()()()2221111421122222n n n n a n n a a b -+-==-==-． ∵12122b a =-=-，∴数列{}n b 的各项均不为0，∴112n n b b +=，即数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列， ∴1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． （3）由（2）知11221log log 2nn n c b n ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∴()1223111111112231n n c c c c c c n n -+++=+++⨯⨯-1111111112231n n n=-+-++-=-<-． 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,?,?n n n S n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前20项和20T ．【答案】（1）1,?2,?n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数；（2）60．【详解】解：（1）当1n =时，112a S ==当n 为奇数，且3n ≥时，12(1)1n n n a S S n n n -=-=--=+，显然1n =满足； 当n 为偶数时，12(1)2n n n a S S n n n -=-=--=-所以1,,2,.n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（2）()()()20122012232021T b b b a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++()1220211212a a a a a a =++⋅⋅⋅++--211212S a a =--222122260=⨯⨯--=．3．已知数列{}n a 满足11a =，11,,.n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数，为偶数（1）求2a ，3a ，4a ，并求n a ； （2）求{}n a 的前100项和100S ．【答案】（1）22a =，32a =，43a =，1,22,.2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数；（2）2600.【详解】解：（1）2112a a =+=，322a a ==，4313a a =+=． 当*N k ∈时，由题意，得2211k k a a -=+，212k k a a +=． 于是21211k k a a +-=+，即21211k k a a +--=．所以，{}21k a -是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以()21111k a a k k -=+-⋅=，即n 为奇数时，12n n a +=． 当n 为偶数时，()11121122n n n n a a --++=+=+=．所以，1,22,.2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数；（2）法1：()()100139924100S a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()1235023451=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1505025150260022+⨯+⨯=+=法2：由（1），当*N k ∈时，21k a k -=，21k a k =+． 令212k k k b a a -=+，则21k b k =+．()()()1001234991001250S a a a a a a b b b =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+15031015050260022b b ++=⨯=⨯=． 4．山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸子面和饸饹面两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有20%改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有30%改选牛肉丸子面．用,n n a b 分别表示在第n 个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且1600a =． （1）证明：数列{}n a 是常数列；（2）若2,2,n n n n c n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n n b c +的前2n 项和2n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）2248002(41)3n n S n n ++-=. 【详解】解：（1）证明：1600a =，11000600400b ∴=-=，26000.84000.3600a =⨯+⨯=，由题意，可得10.80.31000n n n n n a a b a b +=+⎧⎨+=⎩，解得113002n n a a +=+，1600a =，600n a ∴=，即数列{}n a 是常数列.（2）由（1）可得，1000400n n b a =-=，2,2,n n n n c n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，213212422400()()n n n S n c c c c c c -∴=⨯+++⋯++++⋯+24224002(13521)(222)n n n =⨯++++⋯+-+++⋯+ 248002(41)3n n n =++-．分组转化法求和的常见类型(1)若n n n a b c =±,且{}n b ,{}n c 为等差或等比数列,可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和 (2)通项公式为n n n b n a c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的数列,其中数列{}n b {}n c 是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和。
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新高考数学大一轮复习专题：
第4讲 数列中的奇、偶项问题
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列．
例 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *. (1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式；
(2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .
解 (1)因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，
所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0，
即a 2n ＋1－a 2n －1＝2，
又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2，
所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，
所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *.
(2)对于[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，
当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0，
即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12
为公比的等比数列； 当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以
T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×1＋12n n －1×2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝n 2＋1－12
n ，n ∈N *. (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n ·a n ＋1＝f (n ))；
②含有(－1)n
的类型；
③含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型；
④已知条件明确的奇偶项问题．
(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看作一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .
1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)
n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200B ．－200C ．400D ．－400
答案 B
解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n ·n ，若对任意的正整数n ，使得(a n ＋1－p )·(a n －p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n n －(－1)n －1(n －1)＝(－1)n
(2n －1)． 因为对任意的正整数n ，(a n ＋1－p )(a n －p )<0恒成立，
所以[(－1)n ＋1(2n ＋1)－p ][(－1)n
(2n －1)－p ]<0. ①当n 是正奇数时，化为[p －(2n ＋1)][p ＋(2n －1)]<0，
解得1－2n <p <2n ＋1，
因为对任意的正奇数n 都成立，取n ＝1时，
可得－1<p <3.
②当n 是正偶数时，化为[p －(2n －1)][p ＋(1＋2n )]<0，
解得－1－2n <p <2n －1，
因为对任意的正偶数n 都成立，取n ＝2时，
可得－5<p <3.
联立⎩⎪⎨⎪⎧ －1<p <3，－5<p <3，解得－1<p <3.
所以实数p 的取值范围是(－1,3)．
3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)求S n .
解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ，
所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋1， 所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12
a n . 因为
b n ＝a 2n ＋a 2n －1，
所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12
， 所以数列{b n }是公比为12
的等比数列． 因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n ，n ∈N *. (2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12
为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12
为公比的等比数列， 所以a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，a 2n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ， 所以a n ＝11221,212n n n n +-⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭
⎩为奇数，偶，为数. (3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝3－32n ， 又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，。