概率论与数理统计在数学建模中的应用
素养导向 数学建模、数据分析——概率统计问题
(需要理解并会利用数学期望解决决策性问题)
所以为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答B类问题.
真题实战
练习 一台设备由3个部件构成,假设在一天的运转中,部件甲、乙、丙需要
调整的概率分别为0.1,0.3,0.4,各部件的状态相互独立.
ഥ)P(B
ഥCത )=P(A
ഥ)P(Cത )=0.9×0.7×0.6=0.378,
P(X=0)=P(A
ഥCത )+P(CA
ഥB
ഥCത )+P(BA
ഥ)=0.1×0.7×0.6+0.3×0.9×0.6+0.4×0.9×0.7=
P(X=1)=P(AB
0.456,
ഥBC)=0.1×0.3×0.6+0.1×0.7×0.4+0.9×0.3×0.4=
若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个
问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正
确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,
且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
ഥC)+P(A
P(X=2)=P(ABCത )+P(AB
0.154,
真题实战
P(X=3)=P(ABC)=0.1×0.3×0.4=0.012,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.378
0.456
0.154
在概率统计教学中融入数学建模思想
入 的学 科 ． 时它对 各 种应 用 数学 如统 计学 、 筹 学 、 物学 、 济 学和 心理 学 的数 学 化起 着 中心 作用 ” 同 运 生 经 ．当
前， 概率 论 和数理 统计 的思想 方 法 已经渗 透到 了 自然科 学 和社 会科 学 的各个 领域 ， 并且 还 在继 续拓 广， 用 应 性 非常广 泛 ， 几乎 在 工程 和科 学 的每 一个 分支 都能 看 到它 的应 用 ．此外 ， 和现 实生 活也 有着 紧密 地联 系， 它
Ｖｏ ． Ｎｏ １ ３１ ．１
Ｍ ａ ． ０１ ｒ２ ０
在 概 率统 计 教 学 中融 入 数 学 建模 思 想
魏岳 嵩
（ 北 煤 炭 师 范学 院数 学 科 学 学 院 ， 淮 安徽 淮 北 ２ ５ ０） ３ ００
摘 要 ： 率 统 计 课 程 是 高 师 院 校 理 工 科 学 生 必修 课 程 之 一 ， 有 很 强 的理 论 性 和 应 用 性 ． 概 具 主要 研 究 数 学 建 模 思 想 在 概率 统 计 教 学 中 的融 入 问题 ， 出 以数 学 建 模思 想改 革 概 率 统 计 课 程 教 学 的 观 点 ， 分 别 从 教 学 观 念 、 学 内容 和 教 提 并 教
９ ２
淮 北煤炭 师 范学院 学报 （ 自然科 学版 ）
２１ ０ ０ 练， 计 而对学 生应用能 力 的培养 则较 为忽视 ， 也忽 视 了基本 理论 在解 决实 际问题 中
并 且对许 多学生 的后 继 发展 有着 不 可忽视 的作 用 ． 多学 生在 后继 的学 习阶段仍 然会 接触 到众 多 的和概 率 许
统 计课程 相关 的课程 ， 随机 过程 、 间序列分 析 、 如 时 回归 分析 等等 ．
数学建模 数理统计方法
数理统计方法数理统计的任务是以概率论为基础，根据试验的数据，对研究对象的客观规律性作出合理的估计与推断。
§1 数理统计的基本概念在数理统计中，我们把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的每个基本单元称为个体。
要了解总体的规律性，必须对其中的个体进行统计、观测，一是对全部个体逐一进行观测，这样做当然对总体有充分的了解，但实际上这种方法往往是行不通的，而且也很不经济；二是随机抽样观测，即从总体X 中随机抽取n 个个体12(,,,)n X X X 进行观测，然后根据样本12(,,,)n X X X 来推断总体的性质或规律性，这在实际中是常用的方法。
由于样本是随机抽样的，可以认为来自总体X 中一个样本12(,,,)n X X X 是一组相互独立且与总体X 同分布的随机变量。
n 称为样本容量，样本12(,,,)n X X X 的观测值记为12(,,,)n x x x ，样本12(,,,)n X X X 的不含任何未知参数的函数12(,,,)n f X X X 称为统计量。
下述统计量11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，S =分别称为样本均值、样本方差、样本标准差。
根据样本的观测值12(,,,)n x x x ，可以绘出样本的频率直方图和累积频率直方图，方法如下：① 适当选取12min{,,,}n a x x x ≤，12max{,,,}n b x x x ≥，将[,]a b 等分为m 个小区间，称()/d b a m =-为组距；② 计算12,,,n x x x 在各个小区间出现的频率/,1,2,,i i p m n i m ==； ③ 计算样本的频率函数()p x 和累积频率函数()F x ：120,,,,,2,(),(1),0,,m x a p a x a d p a d x a d p x p a m d x a md x b a md ≤⎧⎪<≤+⎪⎪+<≤+⎪=⎨⎪⎪+-<≤+⎪>=+⎪⎩112120,,,,,2,(),(1),1,.m x a p a x a d p p a d x a d F x p p p a m d x a md x b a md ≤⎧⎪<≤+⎪⎪++<≤+⎪=⎨⎪⎪++++-<≤+⎪>=+⎪⎩④ 画出样本的频率函数()p x 和累积频率函数()F x 的图形可以得到样本的频率直方图和累积频率直方图。
数学建模思想融入概率论课程的初步研究与探索
刘 晓 歌
巩 （ 南财 经 学 院成 功 学 院共 同学科部 河 南 ・ 义 河
中图 分 类 号 ： ４ Ｇ６ ２ 文献 标 识 码 ： Ａ
４１０ ） ５ ２ ０
文 章 编 号 ： ２ ７ ９ （ ０ ）１ Ｏ 一 ２ １７ — ８ ４２ １ ３ 一 １５ Ｏ ６ １ ０
ｔｃ ｌｓａ ｉｔｃ ｉａ ｔｔｓｉ ｓ
具来描述带有随机因素的客观现象 ， 这是非常必要 的。然而 高度抽象后 的数学概念有 时 已远离实 际 ，在教 学过程 中既 需要 建立从 实际到抽象 的桥梁 ，又需要把抽象 概念返 回到 实际， 这个过程就需用到数学建模思想 。因此 ， 数学建模 将 思想融入 到概 率论 教学 中去 ，可 以将数学 与实际有机地联 系起 来 ， 让概率论变得既生动 又贴 近实际 ， 同时也提高 了学 生学 习概率论 的积极性。 我校学生学习概率论与数理统计 的现状 ： 缺少学 习的兴趣 和动力 ， 数学 基础薄弱 ， 在畏难心理 存
不足 Байду номын сангаас
Ａｕ ｈ ｒ ａ ｄ ｅ ｓ Ｃ ｍｍｏ ｓ ｉ ｌ ｅ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ， ｈ ｎ ｇ ｎ ｔ ｏ ’ ｄ ｒ ｓ ｏ Ｓ ｎ Ｄｉｃｐ ｉ ｐ ｒｍｅ ｔ ｅ ｇ ｏ ｇ ｎ Ｃ Ｃｏｌ ｇ ｏ ’ ａ Ｆ ｎ ｎ ｅ ｎ Ｅ ｏ ｏ ｃ Ｃｏｌ ｇ ，５ ０ ， ｌｅ ｅ ｆ Ｈｅ ｎ ｉ ａ ｃ ａ ｄ ｃ ｎ ｍｉｓ ｎ ｌ ｅ４ ０ ｅ １ ２
摘 要 本 文 通 过 分 析 独 立 院 校 学 生 学 习 概 率 论 的特 点及 现 状 ．探 讨 在 独立 院校 概 率 论 教 学 中 融入 数 学 建 模 思 想 的
概率统计在数学建模中的应用探究
概率统计在数学建模中的应用探究作者：杨映霞来源：《课程教育研究》2017年第34期【摘要】概率统计课程作为一门实践性与理论性较强的数学学科，已经在各大高校作为一门公共课程而开设。
数学的知识表面看起来太复杂又太片面化，似乎在日常生活中并没有太大的存在感，除了些简单的加减问题。
其实不然，数学建模思想的出现，使得数学中的概率统计渐渐的接近日常生活问题，带来了很多的便利。
本文就概率论在数学建模中的应用问题进行了探究。
【关键词】概率统计数学建模应用探究【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）34-0138-01前言随着信息时代的不断发展，相关理论知识也越来越被重视，并且渴望被广泛应用，其中数学方面的变化最大，例如数学中的分支概率统计课程的学习越来越被各高校重视，并且在教学的过程中，还融入了数学建模的基本思想，而概率统计这门学科主要包括利用期望把随机问题转化为确定性问题，考虑平均意义下的最优问题；生灭过程的应用；多元统计分析：（1）回归分析；（2）判别分析；（3）聚类分析；随机模拟，而建模是针对某一事件或问题进行的探究，两者的结合让学生充分的体会到了概率统计的实用性，让学生运用学过的概率统计知识去解决，从而激发学生学习的主动性和积极性，提高他们的运用能力。
目前在概率论与数理统计课程中融入数学建模的思想已经引起了越来越多的相关教学工作者的重视。
一、概率统计与数学建模相结合的教学现状随着数学建模思想的发展，越来越多的高校对于概率统计与数学建模思想的结合教学模式的重视度加大。
但是，尽管只是学校加大了力度还是不够的。
毕竟最后的应用需要有才能的进行探究与总结，最终才能让模型得以扩张与应用。
概率统计的课程在我们学校是第二学期开展的，当时，学生们已经学过了高等数学、线性代数等课程。
但是不同的学生来自于不同的学校，对数学的学习能力以及基础不同，这对两者结合的教学模式带来了难度。
一是很多同学根本没有把数学知识的学习放在心上，他们认为在现实的生活中数学的应用涉及的范围很小，几乎接触不到概率统计、线性等知识的应用；二是即使有些同学可以将概率统计的知识学的很好，订单式一旦与实际问题相结合，往往就觉得失去了头绪，不知从哪里开始做起。
数学建模
0.002e−0.002 x， x ≥ 0 的密度函数为： 解 X的密度函数为：f ( x) = 的密度函数为 ， x<0 0 100 （1） {在100 h以内需要维修} = P ( X ≤ 100} = ∫ f ( x)dx ） P
−∞
=∫
100 0
0.002e −0.002 x dx = 1 − e −0.2 = 0.1813
因此，对于连续型随机变量， 因此，对于连续型随机变量，有
P{a < X < b} = P{a ≤ X < b} = P{a < X ≤ b}
= P{a ≤ X ≤ b} = ∫ f ( x)dx
a b
例2 设随机变量的概率密度函数为 ƒ(x)=Ae-|x|（ -∞<x<+∞ ） ∞ ∞ 试求: 常数A 试求 (1) 常数 ；(2) P{0<X<2}；(3) 分布函数 ； 分布函数F(x). 解 (1) 由
k = 1/ 4
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程靶子是半径2米的圆盘 米的圆盘， 例1 靶子是半径 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆 盘上的点与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶， 盘上的点与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶， 表示弹着点与圆心的距离， 的分布函数。 以X表示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数。 表示弹着点与圆心的距离 的分布函数 易证， 易证，F(x)是一个连续 是一个连续 函数， 函数，可表示为 该例中随机变量X具有下 该例中随机变量 具有下 列特点：一是X可在某个区 列特点：一是 可在某个区 间内连续取值，二是X的分 间内连续取值，二是 的分 布函数可用非负函数的积分 来表示， 来表示，具有这些特点的随 机变量， 机变量，即为本节要介绍的 连续型随机变量。 连续型随机变量。
数学的统计建模
数学的统计建模统计建模是数学中的一个重要分支，它主要通过数理统计的方法来分析和解释现实生活中的各种现象和问题。
数学的统计建模可以应用于各个领域，如经济学、社会学、医学等，并且在科学研究和决策制定中起着至关重要的作用。
本文将从统计建模的定义、应用领域以及建模过程等方面进行论述，旨在探究数学的统计建模的重要性和意义。
一、统计建模的定义统计建模是一种利用统计学中的概率理论和数据分析方法对现实问题进行建模和分析的过程。
它通过搜集、整理和分析相关数据，运用数学统计方法来描述和解释问题，并根据模型的结果进行预测和推断。
统计建模的目的是通过对数据的研究和分析，揭示事物间的内在联系和规律性，从而更好地理解和解决实际问题。
二、统计建模的应用领域统计建模广泛应用于各个领域，具有极高的实用性和普适性。
以下是一些常见的应用领域：1. 经济学领域：统计建模可以帮助分析和预测经济现象，如通货膨胀率、利率、股市指数等。
通过对历史数据的分析，可以建立各种经济模型来解释和预测宏观或微观经济变量的走势，为经济决策提供科学依据。
2. 社会学领域：社会学研究常常需要对大量的调查数据进行分析，以了解社会现象和社会群体之间的关系。
通过统计建模，可以对社会问题进行量化和实证研究，探索社会规律，并为政府政策制定提供参考。
3. 医学领域：医学统计建模可以帮助分析疾病的发病率、传播方式等因素，预测疾病的流行趋势，为疾病防治提供科学依据。
此外，在临床试验中，统计建模也是评估药物疗效和安全性的重要工具。
4. 环境科学领域：统计建模可以分析和预测环境变量，如气候变化、大气污染、土壤质量等。
通过对环境数据的建模和分析，可以为环境保护和资源管理提供科学决策依据。
三、统计建模的过程统计建模的过程通常包括以下几个步骤：1. 问题定义：明确研究的问题和目标，并确定所需数据的类型和来源。
2. 数据收集：采集相关的数据，可以是实地调查、实验观测或历史数据的整理等方式。
数理统计与数学建模教学的关系分析
数理统计与数学建模教学的关系分析数学建模的实际作用即是教会学生如何运用数学知识解决实际问题。
将数学建模教学融入到数理统计教学中，不仅可以激发学生学习数学的兴趣，还可以培养学生应用数学的能力。
从学校方面来看，把数学建模教学融入数理统计中，不仅可以提高学校的教学水平，还有利于学校的教学发展。
一、数理统计课程特点数理统计学是数学的一部分，它的理论建立在公理化的结构之上，且方法抽象、独特、严密完整。
数理统计理论的实践性很强，与数学建模的特点一致，两者皆是一门“来源于实践又运用于实践”的学科，为此，将数学建模教学融入到数理统计中，是一种明智的选择。
二、在数理统计中融入数学建模教学的重要性建立一个相应的具有代表性的数学模型，可以解决一个相应的实际问题。
李大潜院士曾表示“在过去的数学教学中，由于数学根本被忽略，导致数学教学虽有完善的数学体系，但仍存有缺陷，成了一个不具备开放性的体系”。
为了让学生能在学习知识的同时，发现和创造数学，高校必须开展数学建模大赛，开设与数学建模相关的课程和数学实践课程，将数学建模融入到与数学相关的主干课程中。
当前很多高校都已成功的开设了数学模型和数学1/ 5实验课程，教师们也已开始着手将数学建模教学融入到与数学相关的主干课程中。
传统数学统计教学一味的“逼迫”学生接受数理统计中那看似无意义的概念、定理和公式，使得学生在学习过程中感到迷茫，迷茫数学统计中那些无法撼动的数学概念、定理和公式是怎么得来的。
将数学建模教学法融入到数学统计中，可以使学生感觉到数学的实用性，明白数学统计中的概念、定理和公式是有根有据的。
数学统计的学习难度比高等数学和线性代数要大。
这让部分学生在学习过程中感到困难。
将数学建模教学导入数学统计教学中，使得数学的知识内容可以通过直观的方法传授给学生，让学生把概率论和数学统计掌握好，以便提高他们学习数学的兴趣。
数学教学一直是以讲授为主，不过，学校可以在教学中，加入一些数学建模的方法，让学生围绕某个数学问题展开讨论，使课堂活跃起来，把学生的思维带动起来，提高授课效率。
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概率论与数理统计在数学建模中的应用概率论与数理统计在数学建模中的应用——国 冰。
第一节 概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低. 因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大? 这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用1()ni i p p x ==∏ （9.1）来表示.又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ，总重量不超过W ，则问题的数学模型便写成为1max ()ni i p p x ==∏合理的决策必须具备三个条件：（1）目标合理；（2）决策结果满足预定目标的要求；（3）决策本身符合效率、满意、有限合理、经济性的原则。
所谓风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策存在一定的风险.①风险决策模型的基本要素决策者——进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现.方案或策略——参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略. 如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略.准则——衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.对收益讲，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失来讲，期望效益值越小的方案越好.事件或状态——不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素.结果——某事件(状态)发生带来的收益或损失值.②风险决策方法•利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，将其称为决策树的方法.•充分利用灵敏度分析(即优化后分析)方法对决策结果作进一步的推广和分析.决策树一般都是自上而下的来生成的。
选择分割的方法有好几种，但是目的都是一致的：对目标类尝试进行最佳的分割。
从根到叶子节点都有一条路径，这条路径就是一条“规则”。
决策树可以是二叉的，也可以是多叉的。
对每个节点的衡量：1) 通过该节点的记录数2) 如果是叶子节点的话，分类的路径3) 对叶子节点正确分类的比例。
有些规则的效果可以比其他的一些规则要好。
决策树对于常规统计方法的优点。
构造好的决策树的关键在于如何选择好的逻辑判断或属性。
对于同样一组例子，可以有很多决策树能符合这组例子。
人们研究出，一般情况下或具有较大概率地说，树越小则树的预测能力越强。
要构造尽可能小的决策树，关键在于选择恰当的逻辑判断或属性。
由于构造最小的树是NP-难问题，因此只能采取用启发式策略选择好的逻辑判断或属性。
下面我们利用一个例题来说明如何来建立风险决策模型。
例1、天龙服装厂设计了一款新式女装准备推向全国。
如果直接大批量生产与销售，主观估计成功与失败的概率各为0.5，其分别的获利为1200万元与-500万元，如取消生产销售计划，则损失设计与准备费用40万元。
为稳妥起见，可先小批量生产试销，试销的投入需45万元。
据历史资料与专家估计，试销成功与失败的概率分别为0.6与0.4，又据过去情况，大批生产销售为成功的例子中，试销成功的占84%，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占36%。
试根据以上数据，通过建立决策树模型按期望值准则确定最优决策。
解答：本题显然是要考核风险性决策模型的建立能力。
按照这类模型的建立思路，我们有：问题分析与模型假设1. 问题涉及直接大批量生产与销售、取消生产销售计划和小批量试销售这样三个决策方案的取舍，在每种方案下又分为成功或失败两种结果；2. 决策目标在表面上看是获利大小，实际上是要决定试销与否；3. 尚需注意后面几句话：“大批生产销售为成功的例子中，试销成功的占84%，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占36%”，这意味着要计算两个概率，其一是当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率；其二是试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率，这意味着要利用贝叶斯概率公式；4. 设定以下变量A --试销成功，则A --试销失败；B --大量销售成功，则B --大量销售失败。
模型建立求解1.先来计算两个概率，注意到,36.0)/(,6.0)(,84.0)/(===B A P B P B A P 代入贝叶斯概率公式 )()/()()/()()/()/(B P B A P B P B A P B P B A P A B P +=,78.04.036.06.084.06.084.0≈⨯+⨯⨯= 从而.22.0)/(=A B P 即当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率分别为0.78和0.22.同理可以算出在试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率分别为0.22和0.78.2. 以试销与否作为决策思路，先画一方块“囗”称为决策结点，由决策结点向右引出若干条直线表示不同的策略(方案)称为策略分枝，策略分枝的右端画一个圆圈“○”称为状态结点，由它引出表示不同状态及其发生的概率的分枝称为概率分枝，最后在概率分枝的终点画“△”符号表示这一分枝的最终结果的效益值(期望值)，正值表收益，负值表示损失．本例对应的决策树如图（见图-2）：这棵树即为所求的数学模型。
我们继续将模型求解出来。
根据期望利润值最大准则对决策树进行计算，值得指出的是，画决策树是从左向右画出，画的过程中将各种已知数据标于相应的位置上. 但在决策树上进行决策计算却是从右向左进行的：先计算最右端每个状态结点的期望值。
一级决策问题，只需利用结果点效益值计算各状态结点的期望效益值即可. 当有两级以上决策时则需从右向左逐级计算.结果如图-3万 万 万万万万 万万万图决策树的优缺点：优点：1)可以生成可以理解的规则。
2)计算量相对来说不是很大。
3)可以处理连续和种类字段。
4)决策树可以清晰的显示哪些字段比较重要缺点：1)对连续性的字段比较难预测。
2)对有时间顺序的数据，需要很多预处理的工作。
3)当类别太多时，错误可能就会增加的比较快。
4)一般的算法分类的时候，只是根据一个字段来分类三、随机性存储模型问题分析与模型假设 工厂为了稳定的生产，需要贮存一定的原料或零部件；商店为了满足顾客的需要，要有足够的库存商品；银行为了进行正常的营业，需要一定的货币进行周转；医院为了手术的急需，血库必备充足血液. 总之库存问题是普遍存在的. 早在1915年, 哈里斯(Harris)对商业中的库存问题建立了一个简单模型，并求万 万 万万万 万万万 万图得了最优解, 但未被人们注意. 1918年威尔逊(Wilson)重新得出了哈里斯的公式, 并将其发展. 他们的模型都是确定性的, 二次大战后, 带有随机性因素的库存模型得到研究。
目前, 库存问题的兴趣已转到了多物品、多个库存点的理论。
在随机性需求的情况下，要制订最优的存储策略必须知道一个时间段（如一天、一周、一个月等）内需求量的概率分布，以及订货费、存储费、缺货费（在随机需求的情况下，缺货几乎是不可避免的）。
这里有两个可以考虑的问题，第一个问题是：决策者在每个时间段初，应该根据已有的存储量确定应订购多少货物使存储量达到最大，记这个最大的存储量为S 。
第二个问题是：已有的存储量不低于什么数值时，本时间段就可以不再订购，记这个决定不再订购的那个存储量的最低值为s 。
整个这种随机存储策略称为(,)s S 存储策略。
给出以下假设：(1) 只考虑一种物品, 其需求是随机的, 需求量X 是非负连续的随机变量，密度函数为()x ϕ, 分布函数为()x Φ;(2) 只考虑一个库存周期，即在库存周期开始时, 做一次决策, 决定进货量;(3) 瞬时供货;(4) 决策前原有库存量为I , 进货量为Q , 决策后的库存量为y I Q =+;(5) 费用包括订货费、存贮费和缺货费. 每次的订购手续费为K , 货物单价为p ; 存贮费在周期末结算, 它与期末的库存量成正比, 比例系数为h （单位存贮费）, 缺货费与缺货量成正比, 比例系数为g （单位缺货损失）;(6) 决策的准则是期望总费用最小.模型的建立与求解库存问题有补充—库存—需求三个环节. 在这一系统中, 若一次进货量多, 进货的次数就少, 进货的费用就少, 但库存量大, 库存费用就大, 造成需求缺货就可能少, 缺货损失就会少; 若一次进货量少, 进货的次数就多, 进货费用就大, 但库存量小, 库存费用就小, 造成需求缺货就可能多, 缺货损失就会大. 如何协调这些矛盾, 使该系统在某种准则下运行最佳. 即如何确定进货量, 使其总费用最小.进货费用为1()()0K p y I y Ic y I y I +->⎧-=⎨=⎩ 存贮费用为2()()0h y X X yc y X X y -<⎧-=⎨≥⎩ 期望存贮费用为220()()()()()yEc y X c y x x dx h y x x dx ϕϕ∞-=-=-⎰⎰缺货损失为3()()0g X y X yc X y X y ->⎧-=⎨≤⎩ 期望缺货损失为330()()()()()yEc X y c x y x dx g x y x dx ϕϕ∞∞-=-=-⎰⎰记 23()()()L y Ec y X Ec X y =-+- 则总费用为()()()()K p y I L y y IC y L y y I +-+>⎧=⎨=⎩（2） 目的是求min ()yC y当需要进货时有()()()()()()y yC y K p y I h y x x dx g x y x dx ϕϕ∞=+-+-+-⎰⎰令 0()()()0y y dC y p h x dx g x dx dxϕϕ∞=+-=⎰⎰ （3） 若S 是使函数达到极小值的点, 则0()()Sg pS x dx h gϕ-Φ==+⎰ (4) 设s 为库存量进货点, 即当初始库存I s <时, 进货至S ; 当I s ≥不进货。