2022-2023学年江苏省扬州市高邮市高三(上)学情调研数学试卷(10月份)(学生版+解析版)
江苏省扬州中学2022-2023学年高三上学期1月月考(期末)数学试题 附答案
江苏省扬州中学2022-2023学年度1月月考试题 高三数学 2023.01试卷满分：150分， 考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1．已知复数3i z =（i 为虚数单位），则22z z-的共轭复数的模是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．72．已知集合(){}{}ln 12,Z 3sin A x x B y y x =+<=∈=，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,3C ．{}3D ．∅3．设123,,a a a ∈R ，则“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）计算），下列说法正确的是（ ）A ．直方图中x 的值为0.035B ．在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为30人C ．估计全校学生的平均成绩为83分D ．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分5．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．13- B ．16 C ．13 D ．236.在平面直角坐标系xOv 中，M 为双曲线224x y -=右支上的一个动点，若点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 227．如图是一个由三根细棒PA 、PB 、PC 组成的支架，三根细棒PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60︒，一个半径为1的小球放在支架上，则球心O 到点P 的距离是（ ）A ．32 B ．2 C ．3 D ．28．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()52f x +是偶函数，记()()g x f x '=，()1g x +也是偶函数，则()2022f '的值为（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则（ ） A ．11//A D 平面BEC B ．1AB ⊥平面BECC ．平面11AA B B ⊥平面BECD ．直线1DD 与平面BEC 所成角的余弦值为5510．已知函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为π3x =，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()104f =C ．()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．π6x f x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭11．已知数列{}n a 中，12a =，()21212n n a a +=++-，则关于数列{}n a 的说法正确的是（ ）A ．25a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+- D ．数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和小于3412．已知函数()sin f x x =，()()0g x kx k =>，若()f x 与()g x 图象的公共点个数为n ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，则下列说法正确的有（ ）A ．若1n =，则1k >B ．若3n =，则33321sin 2x x x =+ C ．若4n =，则1423x x x x +<+ D ．若22023k π=，则2024n =三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知52212x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含2x 项的系数为_____.14．已知()()2,1,3,a b a b a ==--⊥,则a 与b 的夹角为__________．15．已知()()12,0,,0F c F c -为椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点，P 为椭圆C 上一点（P 不在y轴上），12PF F △的重心为G ，内心为M ，且12//GM F F ，则椭圆C 的离心率为___________．16．对于函数()f x 和()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在α、β，使得||1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数1()e 2-=+-x f x x 与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17．已知数列{}n a 满足，12(1)nn n a a +=+⋅-.(1)若11a =，数列{}2n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 为等比数列，求1a .18．记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A CB A C+=+．(1)求B ；(2)求()2a c ab -的取值范围．19．密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A ，B ，C ，他们通过三关的概率依次为：211,,323．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A ，B ，C 三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率． (2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．20．图1是直角梯形ABCD ，AB CD ，90D ∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =，如图2. (1)求点D 到平面1BC E 的距离；(2)若113DP DC =，求二面角P BE A --的大小.21．已知点()1,2Q 是焦点为F 的抛物线C ：()220y px p =>上一点． (1)求抛物线C 的方程；(2)设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN 的内切圆方程为221x y +=，求PMN 面积的最小值．22．已知函数()ln f x x ax a =-+，其中R a ∈． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 在(]0,1上的最大值为0， ①求a 的取值范围；①若2()31f x kx ax ≤-+恒成立，求正整数k 的最小值．参考答案： 1．C 【详解】因为3i i z ==-，所以22212i 112i i z z -=+=+=+-，所以22z z -的共轭复数为12i -，12i 5-=，所以22z z-52．A 【详解】由()ln 12x +<，可得201e x <+<，则{}21e 1A x x =-<<-∣ 又{}{}Z 3sin 3,2,1,0,1,2,3B y y x =∈==---，所以{}0,1,2,3A B =.3．A 【详解】①若123,,a a a 成等比数列，则2213a a a =⋅，所以()()22221223a a a a ++()()22113133a a a a a a =+⋅⋅+()()113133a a a a a a ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()21313a a a a =+()22132a a a =+()2132a a a ⎡⎤=+⎣⎦()21223a a a a =+；①若1230a a a ===,满足()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+，但是不满足123,,a a a 成等比数列（因为等比数列中不能含有0）“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的充分不必要条件， 4．D 【详解】对于A ：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10⨯(0.005+0.01+0.015+x +0.040)=1，解得x =0.03，故A 错误；对于B ：在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为10⨯0.015⨯400=60人， 故B 错误；对于C ：估计全校学生的平均成绩为55⨯0.05+65⨯0.1+75⨯0.15+85⨯0.3+95⨯0.4=84分； 故C 错误.对于D ：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为0.29010950.4+⨯=分. 故D 正确.5．D 【详解】设π4αβ+=，π3π,44β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π4αβ=-，tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即πtan 3cos 23sin 22βββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin 6sin cos cos ββββ=，sin 0β≠， 故21cos 6β=，22sin 2sin 2cos 212cos 23παβββ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.6.B 【详解】由点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，可得点M 到直线20x y -+=的最近距离大于m .因为双曲线的渐近线为y x =，则y x =与20x y -+=的距离222d ==即为最近距离，则2m ≤，即max 2m =.7．C 【详解】如图所示，连接,,AB AC BC ，作ABC 所在外接圆圆心1O ，连接1,AO AO ，设PA x =，由PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60︒可得AB AC BC x ===，因为1O 为ABC 几何中心，所以132332333AO AB AB x =⋅⋅==，易知对1PAO △和POA ，1,90P P PO A PAO ∠=∠∠=∠=︒，所以1PAO POA △≌△，所以1PA PO AO AO =，即133xPOx =，解得3PO =.故选：C8．C 【详解】因为()52f x +是偶函数，所以(52)(52)f x f x -+=+ ，两边求导得5(52)5(52)f x f x ''--+=+ ，即(52)(52)f x f x ''--+=+，所以(52(52)g x g x +=--+），即()(4)g x g x =--+， 令2x = 可得(2)(2)g g =- ，即(2)0=g ， 因为()1g x +为偶函数，所以(1)(1)g x g x +=-+ ，即()(2)g x g x =-+ ， 所以(4)(2)g x g x --+=-+ ，即()(2)g x g x =-+ ，(4)(2)()g x g x g x ∴+=-+= ，所以4是函数()g x 的一个周期， 所以(2022)(2022)(50542)(2)0f g g g '==⨯+==, 9．ACD10．ABD 【详解】因为函数21cos(22)11()sin ()cos(22)222x f x x x ϕϕϕ-+=+==-++， 因为函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为3x π=，所以π22π,()3k k ϕ⨯+=∈Z ，解得：ππ,()23k k ϕ=-∈Z ， 又因为π02ϕ<<，所以π1,6k ϕ==，则1π1()cos(2)232f x x =-++，对于A ，函数()f x 的最小正周期πT =，故选项A 正确；对于B ，1111(0)2224f =-⨯+=，故选项B 正确；对于C ，因为π2π33x <<，所以π5ππ<2+33x <，因为函数cos y t =-在5π(π,)3上单调递减，故选项C 错误；对于D ，因为π11()cos 2622f x x -=-+，令π11()()cos 2622g x x f x x x =--=+-，当0x ≥时，11()cos 222g x x x =+-，则()1sin 20g x x ='-≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x ≥-，当0x <时，11()cos 222g x x x =-+-，则()1sin 20g x x ='--≤，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x -≥-，综上可知：6x f x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，故选项D 正确，11．BCD 【详解】由)21212n n a a +=+-，得()21221n n a a ++=+1221n n a a +++，又12a =122a +所以{}2n a +是以2为首项，1为公差的等差数列，22(1)11n a n n ++-⨯=+，即221n a n n =+-， 所以27a =，故A 错误，C 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故B 正确；()211111112222n a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为11111111111...232435112n n n n ⎛⎫-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭ 1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 12．BCD 【详解】对于A ：当1k =时，令sin y x x =-，则cos 10y x =-≤，即函数sin y x x =-有且仅有一个零点为0，同理易知函数sin y x x =--有且仅有一个零点为0，即()f x 与()g x 也恰有一个公共点，故A 错误； 对于B ：当3n =时，如下图：易知在3x x =，且()3,2x ππ∈，()f x 与()g x 图象相切，由当(),2x ∈ππ时，()sin f x x =-，则()cos f x x '=-，()g x k '=，故333cos sin k x x kx =-⎧⎨-=⎩，从而33tan x x =，所以()222333332333333cos 1tan 1tan 112tan tan tan cos tan sin 2x x x x x x x x x x x +++=+===，故B 正确； 对于C ：当4n =时，如下图：则10x =，42x ππ<<，所以142x x π+<，又()f x 图象关于x π=对称，结合图象有32x x ππ->-，即有32142x x x x π+>>+，故C 正确；对于D ：当22023k π=时，由20232023()122f g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x 与()g x 的图象在y 轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D 正确.13．80 14. π415.12【详解】设()()000,0P x y x ≠，由于G 是12PF F △的重心，由重心坐标公式可得00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于12//GM F F ，所以M 的纵坐标为03M y y =，由于M 是12PF F △的内心，所以12PF F △内切圆的半径为03y r =，由椭圆定义得12212,2PF PF a F F c +==， ()2121210120122111223PF F MF F MF P MPF y SSSSF F y F F PF F P =++⇒⋅=++， ()001222232y c y a c a c e =+⇒=⇒= 16．23a ≤<【详解】因为(1)0f =，且函数1()e 2-=+-x f x x 为单调递增函数，所以1为函数1()e 2-=+-x f x x 的唯一零点， 设函数2()3g x x ax a =--+的零点为b ，又因为函数1()e 2-=+-x f x x 与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”， 所以|1|1b -<，解得02b <<，所以函数2()3g x x ax a =--+在(0,2)上有零点，所以(0)(2)0g g ⋅<或()2022Δ430a a a ⎧<<⎪⎨⎪=--+=⎩或()()()2022Δ4300020a a a g g ⎧<<⎪⎪⎪=--+>⎨⎪>⎪>⎪⎩， 即733a <<或2a =或23a <<，所以23a ≤<. 17．【详解】（1）由题意得()121nn n a a +-=⋅-，所以()()()22212122211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()212212121211n n --=⋅-+⋅-++⨯-+211=-+=-.（2）设数列{}n a 的公比为q ，因为()121n n n a a +=+⋅-，所以212a a =-，322a a =+，两式相加得2311a a q a =⋅=，所以1q =±，当1q =时，2112a a a ==-不成立，所以1q =-，2112a a a =-=-，解得11a =.18．【详解】（1）因为sin sin tan cos cos A C B A C +=+，即sin sin sin cos cos cos B A CB A C+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin B A B C B A B C +=+，即sin cos cos sin cos sin sin cos B A B A B C B C -=-，所以sin()sin()B A C B -=-，因为0πA <<，0πB <<，所以ππB A -<-<，同理得ππC B -<-<， 所以B A C B -=-或()()πB A C B -+-=±（不成立）， 所以2B A C =+，结合πA B C ++=得π3B =．（2）由余弦定理2221cos 22a c b B ac+-==得，222ac a c b =+-，所以222ac a c b -=-，则2222222()1a c a ac a c b c b b b b ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 由正弦定理得，sin 23sin sin 3cC C bB ==， 因为π3B =，2π3A C +=，π02A <<，π02C <<，所以ππ62C <<，1sin 12C <<，所以32333c b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，，2()2133a c a b -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． 19.【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种： ①在第一关使用；①在第二关使用；①在第三关使用；①没有使用.而通过三关的概率依次为：211,,323，则李华通过该游戏的概率11121121221113233233233232P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元，则收益可能为：1400(150200100)150x =-+-=（未使用通关币过关）， 2400(15020050)100x =-+-=（使用1枚通关币且过关）， 3400(15020050）x =-+=（使用2枚通关币且过关）， 4(150200350）x =-+=-（使用2枚通关币且未过关），则12111(150)3239p x ==⨯⨯=2117(100)2918p x ==-=31111122127(50)32332332318p x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=41121(350)3239p x =-=⨯⨯=则17()150100918E x =⨯+⨯13255035018997+⨯-⨯=. 所以他最终获得的收益期望值是3259元.20【详解】（1）解：如图所示： 连接AC ，交BE 于F ，因为90D ∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =，所以AE =2，又AB CD ，所以四边形ABCE 是菱形， 所以AC BE ⊥，在ACD 中，2223AC AD CD =+=，所以3AF CF ==，又16AC =，则2221AC AF CF =+， 所以1C F AF ⊥，又AF BE F ⋂=， 所以1C F ⊥平面ABED ，设点D 到平面1BC E 的距离为h ，因为1113233,13222C BE DBESS =⨯⨯==⨯⨯=，且11C DBE D C BE V V --=， 所以111133C BE DBE h S C F S ⨯⨯=⨯⨯，解得32h =；（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()133,,0,0,0,3,0,1,0,0,1,0,3,0,022D C B E A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()3,1,0,0,2,0BA BE =-=-，因为113DP DC =，所以133,2,3133BP BD BD DP DC ⎛⎫=++=- ⎪ ⎪=⎝⎭， 设平面BEP 的一个法向量为(),,m x y z =， 则00m BE m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20332033y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1x =，得()1,0,1m =-，易知平面BEA 的一个法向量为()0,0,1n =， 所以2cos ,2m n m n m n⋅==-⋅，则3,4m n π=， 易知二面角P BE A --的平面角是锐角， 所以二面角P BE A --的大小为4π. 21.【详解】（1）因为点()1,2Q 是抛物线C ：()220y px p =>上一点， 所以42p =，解得：2p =， 所以24y x =.（2）设点()00,P x y ，点()1,M m -，点()1,N n -，直线PM 方程为：()0011y my m x x --=++，化简得()()()()0000110y m x x y y m m x --++-++=．PMN 的内切圆方程为221x y +=，∴圆心()0,0到直线PM 的距离为1，即()()()002200111y m m x y m x -++=-++．故()()()()()()222220000001211y m x y m m y m x m x -++=-+-+++．易知01x >，上式化简得，()()20001210x m y m x -+-+=．同理有()()20001210x n y n x -+-+=，∴m ，n 是关于t 的方程()()20001210x t y t x -+-+=的两根．∴0021y m n x -+=-，()0011x mn x -+=-．∴()()()()222200200414411x y MN m n m n mnx x +=-=+-=+--．2004y x =，∴()20000220004116412(1)1(1)x x x x MN x x x ++-=+---点(00,P x y 到直线=1x -的距离为01d x =+，所以PMN 面积为()())()()()22200000022004114111212211xx x x x S MN d xx x +-++-=⋅=⨯+=-- 令()010x t t -=>，则()()22222444640161032tt t tS t t t t t++++==++++ 因为2222161628t t t t +≥⋅，4040101040t t t t+≥⋅=， 当且仅当2t =取等，所以840325S ≥++= 故PMN 面积的最小值为4522.【详解】（1）()'1f x a x =- ，若0a ≤ ，则有()'0f x ＞ ，()f x 单调递增；若0a ＞ ，()'11a x a f x a x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=-= ，当10x a＜＜ 时，()'0f x ＞ ，()f x 单调递增， 当1x a ＞ 时，()'0f x ＜ ，()f x 单调递减；（2）①由（1）的讨论可知，当0a ≤ 时，()f x 单调递增，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f == ，满足题意； 当11a≥ 时，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f ==，满足题意； 当101a ＜＜ 时，即1a ＞，在(]0,1x ∈，()max 11ln 1ln 1f x f a a a a a ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭， 令()ln 1g x x x =-- ，则()'111x g x x x-=-= ，当1x ＞时，()'g x ＞0 ，()g x 单调递增， ()()10g x g ∴=＞ ，即ln 10a a --＞ ，不满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ；①由题意，1k ≥ ，2ln 31x ax a kx ax -+≤-+ ，即()2ln 121kx x a x -+≥+ ，考虑直线()21y a x =+ 的极端情况a =1，则2ln 2kx x x ≥+ ，即2ln 2x x k x +≥ ，令()2ln 2x x h x x += ，()'3122ln x x h x x --= ，显然()122ln k x x x =-- 是减函数， 333222471033e e e k ⎛⎫== ，44302e e k = ，①存在唯一的0432e ex ⎛⎫∈ 使得()'00h x = ，当0x x ＞ 时，()'h x ＜0 ，当0x x ＜ 时，()'h x ＞0 ，00122ln 0x x --= ，()()002max 012x h x h x x +== ，()max 432e e h h x h ⎛⎫∴＜＜ ， 即()max 24h x ＜＜ ，故k 的最小值可能是3或4，验算23ln 20x x x --≥ ， 由于ln 1≤-x x ，223ln 2331x x x x x ∴--≥-+ ，23340∆=-⨯＜ ， 223ln 23310x x x x x ∴--≥-+＞ ，满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ，k 的最小值是3.。
江苏省常州市教育学会学业水平检测2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题(原卷版)
常州市教育学会学业水平监测高三数学 2022年11月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2－x ≤1}，B ＝{x ||x －2|≤1}，则集合(C U A )∩B ＝A ．B ．{x |2＜x ≤3}C ．{x |2≤x ≤3}D ．{x |1≤x ≤2} 2．记△ABC 的内角为A ，B ，C ，则“A ＝B ”是“sin A ＝sin B ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知等比数列{a n }的公比q ＞0，且a 2＋a 3＝6，a 3a 4＝a 6，则a 4＝A ．8B ．12C ．16D ．20 4．如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是A ．y ＝－x 3＋3x x 2＋1B ．y ＝x 3－x x 2＋1C ．y ＝2x cos x x 2＋1D ．y ＝2sin xx 2＋15．若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝A ．－3B ．－2C ．－1D ．16．设随机变量ξ ~ N (μ，4)，函数f (x )＝x 2＋2x －ξ没有零点的概率是0.5，则P (1＜ξ≤3)＝ 附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.34137．如图是一个近似扇形的湖面，其中OA ＝OB ＝r ，弧AB 的长为l (l ＜r )．为了方便观光，欲在A ，B 两点之间修建一条笔直的走廊AB ．若当0＜x ＜12时，sin x ≈x －x 36，则ABl 的值约为A ．2－r 212l 2B ．2－l 212r 2C ．1－r 224l 2D ．1－l 224r 28．设a ＝e 0.2，b ＝54，c ＝ln 6e5，则A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 12＝a 112．{a n }的前n 项和记为S n ，若S k 是S n 的最大值，则k 的可能值为A ．5B ．6C ．10D ．11 10．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，则A ．B 的最小值为π3 B ．cos(A －C )＋cos B ＝1－cos2BC ．1tan A ＋1tan B ＝1sin BD ．ba 的取值范围为(0，5＋12)11．已知函数f (x )及其导函数f ′(x )定义域均为R ，若f (－x )＝－f (x )，f (x ＋2)＝f (2－x )对任意实数x 都成立，则A ．函数f (x )是周期函数B ．函数f ′(x )是偶函数C ．函数f ′(x )的图象关于(2，0)中心对称D ．函数f (2－x )与f (x )的图象关于直线x ＝2对称12．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以8个顶点中的任意3个顶点作为顶点的三角形叫做K －三角形，12条棱中的任意2条叫做棱对，则A ．一个K －三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为13B ．一个K －三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为14C ．一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为2的概率为13D ．一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f (x )＝tan(sin x )的最小正周期为 ．14．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为H ，则直线AH 与平面DCC 1D 1所成角的正弦值为 ．15．在△ABC 中，2sin ∠ACB ＝3sin ∠ABC ，AB ＝23，BC 边上的中线长为13，则△ABC 的面积为 ．16．将数列{3n }与{2n }的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列{a n }，则a 684＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{4a n a n ＋1}的前n 项和T n ．18．(本小题满分12分)已知两个变量y 与x 线性相关，某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次实验，得到10个样本点研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本点，剩余的8个样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，8)满足∑=81i ix ＝32，∑=81i iy ＝132，根据这8个样本点求得的线性回归方程为ŷ＝3x ＋aˆ(其中a ˆ∈R )．后为稳妥起见，研究小组又增加了2次实验，得到2个偏差较小的样本点(2，11)，(6，22)，根据这10个样本点重新求得线性回归方程为ŷ＝n ˆx ＋m ˆ(其中n ˆ，mˆ∈R )． (1)求aˆ的值； (2)证明回归直线ŷ＝nˆx ＋m ˆ经过点(4，16.5)，并指出n ˆ与3的大小关系． 参考公式：线性回归方程ŷ＝bˆx ＋a ˆ，其中b ˆ＝()()()∑∑==---n i ini iix x y yx x 121，aˆ＝―y －b ˆ―x ．19．(本小题满分12分)记函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx cos ωx (ω＞0)的最小正周期为T ．若π3＜T ＜2π3，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称．(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，再将得到的图象．上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[π2，0)上的值域．20．(本小题满分12分)甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表(不存在通过3项程序考核放弃签约的情况)．性别 人数参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数男生4515女生 60 10相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为12，通过乙地的各项程序的概率依次为13，35，m ，其中0＜m ＜1．(1)判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A ，B ，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X ，Y ．当E (X )＞E (Y )时，证明：P (A )＞P (B )．参考公式与临界值表：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d ．P (χ2≥k )0.10 0.05 0.025 0.010 k2.7063.8415.0246.63521．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，已知平面ABD ⊥平面BCD ，AC ⊥BD ，CB ＝CD ＝5，BD ＝2，E 为BC 的中点．(1)若AD ＝2，求直线BD 与AE 所成角的余弦值；(2)已知点F 在线段AC 上，且AF ＝13AC ，求二面角F －DE －C 的大小．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ax ，g (x )＝ax －ln x ，a ∈R ．(1)若f (x )在x ＝0处的切线与g (x )在x ＝1处的切线相同，求实数a 的值；(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )，直线y ＝m 与函数F (x )的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为x 1，x 2，证明：x 1＋x 2＞1．。
2022-2023学年江苏省扬州市高一上学期期末复习数学试题(一)(解析版)
2022-2023学年江苏省扬州市高一上学期期末复习数学试题（一）一、单选题1．设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =>，若A B ⊆，则a 的范围是（ ） A ．2a ≥ B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≤【答案】B【分析】结合数轴分析即可.【详解】由数轴可得，若A B ⊆，则1a ≤. 故选：B.2．命题p ：x ∃∈R ，210x bx ++≤是假命题，则实数b 的值可能是（ ）A ．74-B ．32-C ．2D ．52【答案】B【分析】根据特称命题与全称命题的真假可知：x ∀∈R ，210x bx ++>，利用判别式小于即可求解. 【详解】因为命题p ：x ∃∈R ，210x bx ++≤是假命题，所以命题：x ∀∈R ，210x bx ++>是真命题，也即对x ∀∈R ，210x bx ++>恒成立， 则有240b ∆=-<，解得：22b -<<，根据选项的值，可判断选项B 符合， 故选：B . 3．函数 21x y x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题首先根据判断函数的奇偶性排除A,D ,再根据01x <<,对应0y <,排除C ,进而选出正确答案B .【详解】由函数 21x y x =-， 可得1x ≠±，故函数的定义域为()()()1111∞∞--⋃-⋃+，，，， 又 ()()()2211xxf x f x x x --===---， 所以21x y x =-是偶函数， 其图象关于y 轴对称， 因此 A,D 错误； 当 01x <<时，221001x x y x -<=<-，， 所以C 错误．故选: B4．已知322323233,,log 322a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】D【分析】构造指数函数，结合单调性分析即可.【详解】23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，3222333012a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝<=⎭<∴，， ∴01a <<；32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，23033222013b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝>=⎭<∴，， ∴1b >； 223332log log 123c ==-=- ∴c a b << 故选：D5．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP （国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP 翻两番的目标的年份为（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）（ ） A ．2032 B ．2035 C ．2038 D ．2040【答案】D【分析】由题意，建立方程，根据对数运算性质，可得答案.【详解】设2022年我国GDP （国内生产总值）为a ，在2022年以后，每年的GDP （国内生产总值）比上一年平均增加8%，则经过n 年以后的GDP （国内生产总值）为()18%na +， 由题意，经过n 年以后的GDP （国内生产总值）实现翻两番的目标，则()18%4na a +=， 所以lg 420.301020.301027lg1.083lg32lg5lg 25n ⨯⨯===-20.301020.301020.30100.6020183lg 32(1lg 2)3lg 32lg 2230.477120.301020.0333⨯⨯⨯===≈--+-⨯+⨯-=，所以到2040年GDP 基本实现翻两番的目标. 故选：D.6．将函数sin y x =的图像C 向左平移6π个单位长度得到曲线1C ，然后再使曲线1C 上各点的横坐标变为原来的13得到曲线2C ，最后再把曲线2C 上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线3C ，则曲线3C 对应的函数是（ ）A ．2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用图像变换方式计算即可.【详解】由题得1C ：sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2C ：sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得到3C ：2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：C7．已知0x >，0y >，且满足20x y xy +-=，则92x y+的最大值为（ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．1【答案】D【分析】由题可得211x y+=，利用基本不等式可得29x y +≥ ，进而即得.【详解】因为20x y xy +-=，0x >，0y >，所以211x y+=，所以()212222559y x x y x x y y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝+++≥⎭==， 当且仅当22y xx y=，即3x y ==时等号成立， 所以912x y≤+，即92x y +的最大值为1.故选：D.8．已知22log log 1a b +=且21922m m a b+≥-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(][),13,-∞-⋃∞ B ．(][),31,-∞-⋃∞ C ．[]1,3- D ．[]3,1-【答案】C【分析】利用对数运算可得出2ab =且a 、b 均为正数，利用基本不等式求出192a b+的最小值，可得出关于实数m 的不等式，解之即可.【详解】因为()222log log log 1a b ab +==，则2ab =且a 、b 均为正数，由基本不等式可得1932a b +≥，当且仅当2192ab a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，即当136a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，等号成立， 所以，192a b+的最小值为3，所以，223m m -≤，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤. 故选：C.二、多选题9．函数()y f x =图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 成中心对称的图形的充要条件是()y f x a b =+-为奇函数B ．函数32()3f x x x =-的图像的对称中心为1,2C ．函数()y f x =的图像关于x a =成轴对称的充要条件是函数()y f x a =-是偶函数D ．函数32()|32|g x x x =-+的图像关于直线1x =对称 【答案】ABD【分析】根据函数奇偶性的定义，以及函数对称性的概念对选项进行逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 成中心对称的图形，则有()()2f a x f a x b ++-=函数()y f x a b =+-为奇函数，则有()()0f x a b f x a b -+-++-=， 即有()()2f a x f a x b ++-=所以函数(=)y f x 的图像关于点(,)P a b 成中心对称的图形的充要条件是 为()y f x a b =+-为奇函数，A 正确；对于B,32()3f x x x =-，则323(1)2(1)3(1)23f x x x x x ++=+-++=-因为33y x x =-为奇函数，结合A 选项可知函数32()=-3f x x x 关于点(1,2)-对称，B 正确； 对于C ，函数()y f x =的图像关于x a =成轴对称的充要条件是()()f a x f a x =-+， 即函数()y f x a =+是偶函数，因此C 不正确； 对于D ，32()|-3+2|g x x x =，则323(1)|(1)3(1)2||3|g x x x x x +=+-++=-， 则33(1)|3||3|(1)g x x x x x g x -+=-+=-=+， 所以32()|-3+2|g x x x =关于=1x 对称，D 正确 故选:ABD.10．下列结论中正确的是（ ）A ．若一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +的值是14-B ．若集合*1N lg 2A x x ⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭∣，{}142x B x-=>∣，则集合A B ⋂的子集个数为4 C ．函数()21f x x x =++的最小值为1 D ．函数()21xf x =-与函数()f x 【答案】AB【分析】对于A ：12-和13为方程220ax bx ++=的两根且0a <，即可得到方程组，解得即可判断A ；根据对数函数、指数函数的性质求出集合A 、B ，从而求出集合A B ⋂，即可判断B ；当1x <-时()0f x <，即可判断C ；求出两函数的定义域，化简函数解析式，即可判断D.【详解】解：对于A ：因为一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以12-和13为方程220ax bx ++=的两根且0a <，所以112311223b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，所以14a b +=-，故A 正确；对于B：{{}**1N lg N 1,2,32A x x x x ⎧⎫=∈≤=∈<≤=⎨⎬⎩⎭∣∣0，{}{}12234222|2x x B x x x x --⎧⎫=>=>=>⎨⎬⎩⎭∣∣， 所以{}2,3A B ⋂=，即A B ⋂中含有2个元素，则A B ⋂的子集有224=个，故B 正确； 对于C ：()21f x x x =++，当1x <-时10x +<，()0f x <，故C 错误； 对于D ：()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 令()2210x -≥，解得x ∈R，所以函数()f x =R ，函数()21xf x =-的定义域为R ，虽然两函数的定义域相同，但是解析式不相同，故不是同一函数，即D 错误； 故选：AB11．已知函数()()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.当()()122f x f x =时，12min 2x x π-=，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．6x π=是函数()f x 的一个零点B ．函数()f x 的最小正周期为2π C ．函数()1y f x =+的图象的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭D ．()f x 的图象向右平移2π个单位长度可以得到函数2y x =的图象 【答案】AB【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的解析式())6f x x π=-，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()()f x x ωϕ+，可得()()min max f x f x == 因为()()122f x f x =，可得()()122f x f x =， 又由12min 2x x π-=，所以函数()f x 的最小正周期为2T π=，所以24Tπω==，所以()()4f x x ϕ+，又因为012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()]012πϕ⨯-+=，即cos()13πϕ-+=，由2πϕ<，所以6πϕ=-，即())6f x x π=-，对于A 中，当6x π=时，可得()cos()062f ππ==，所以6x π=是函数()f x 的一个零点，所以A 正确；又由函数的最小正周期为2T π=，所以B 正确；由()1)16y f x x π=+=-+，所以对称中心的纵坐标为1，所以C 不正确；将函数())6f x x π=-的图象向右平移2π个单位长度,可得())]2))2666f x x x x πππππ=--=---，所以D 不正确. 故选：AB.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()2e 11e 2x x f x =-+，()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列叙述正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数B ．()f x 在R 上是增函数C ．()f x 的值域是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()g x 的值域是{}1,0,1-【答案】BD【分析】依题意可得()2321e xf x =-+，再根据指数函数的性质判断函数的单调性与值域，距离判断B 、D ，再根据高斯函数的定义求出()g x 的解析式，即可判断A 、D.【详解】解：因为()()22e 2e 111321e 21e 21e 21122e2x x x x x x f x =-=-=--=-+-++++，定义域为R ， 因为1e x y =+在定义域上单调递增，且e 11x y =+>，又2y x=-在()1,+∞上单调递增，所以()2321e xf x =-+在定义域R 上单调递增，故B 正确； 因为1e 1x +>，所以1011e x<<+，所以1101e x -<-<+，则2201e x -<-<+， 则1323221e 2x -<-<+，即()13,22f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故C 错误；令()0f x =，即32021e x -=+，解得ln3x =-，所以当ln3x <-时()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()1f x =，即32121ex-=+，解得ln3x =， 所以当ln3ln3x -<<时()()0,1f x ∈，当ln 3x >时()31,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()1,ln 30,ln 3ln 31,ln 3x g x f x x x ≥⎧⎪⎡⎤==-≤<⎨⎣⎦⎪-<-⎩， 所以()g x 的值域是{}1,0,1-，故D 正确；显然()()55g g ≠-，即()g x 不是偶函数，故A 错误； 故选：BD三、填空题13．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，方程()f x k =有3个实数解，则k 的取值范围为___________.【答案】(4,3]--【分析】根据给定条件将方程()f x k =的实数解问题转化为函数()y f x =的图象与直线y k =的交点问题，再利用数形结合思想即可作答.【详解】方程()f x k =有3个实数解，等价于函数()y f x =的图象与直线y k =有3个公共点， 因当0x ≤时，()f x 在(,1]-∞-上单调递减，在[1,0]-上单调递增，(1)4,(0)3f f -=-=-， 当0x >时，()f x 单调递增，()f x 取一切实数，在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象及直线y k =，如图：由图象可知，当43k -<≤-时，函数()y f x =的图象及直线y k =有3个公共点，方程()f x k =有3个解，所以k 的取值范围为(4,3]--. 故答案为：(4,3]--14．已知()1sin 503α︒-=，且27090α-︒<<-︒，则()sin 40α︒+=______【答案】##【分析】由4090(50)αα︒+=︒-︒-，应用诱导公式，结合已知角的范围及正弦值求cos(50)α︒-，即可得解.【详解】由题设，()sin 40sin[90(50)]cos(50)ααα︒+=︒-︒-=︒-，又27090α-︒<<-︒，即14050320α︒<︒-<︒，且()1sin 503α︒-=，所以14050180α︒<︒-<︒，故cos(50)3α︒-=-. 故答案为：3-15．关于x 不等式0ax b +<的解集为{}3x x >，则关于x 的不等式2045ax bx x +≥--的解集为______.【答案】()[)13,5-∞-，【分析】根据不等式的解集，可得方程的根与参数a 与零的大小关系，利用分式不等式的解法，结合穿根法，可得答案.【详解】由题意，可得方程0ax b +=的解为3x =，且a<0，由不等式2045ax bx x +≥--，等价于()()22450450ax b x x x x ⎧+--≥⎪⎨--≠⎪⎩，整理可得()()()()()510510ax b x x x x ⎧---+≤⎪⎨-+≠⎪⎩，解得()[),13,5-∞-，故答案为：()[)13,5-∞-，.16．已知函数f （x ）=221122x a x x x -≥⎧⎪⎨-<⎪⎩（），（）， 满足对任意实数12x x ≠，都有1212f x f x x x -<-（）（）0 成立，则实数a 的取值范围是( ) 【答案】138a ≤【分析】根据分段函数的单调性可得()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩ ，解不等式组即可. 【详解】根据题意可知，函数为减函数，所以()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得138a ≤.故答案为：138a ≤【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数值，考查了基本知识掌握的情况，属于基础题.四、解答题17．在①A B B ⋃=；②“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件；③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{}{}121,13A x a x a B x x =-≤≤+=-≤≤. (1)当2a =时，求A B ⋃；()RAB(2)若_______，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}15A B x x ⋃=-≤≤，{}35R A B x x ⋂=<≤ (2)答案见解析【分析】（1）代入2a =，然后根据交、并、补集进行计算.（2）选①，可知A B ⊆，分A =∅，A ≠∅计算；选②可知A B ，分A =∅，A ≠∅计算即可；选③，分A =∅，A ≠∅计算.【详解】（1）当2a =时，集合{}{}15,13A x x B x x =≤≤=-≤≤， 所以{}15A B x x ⋃=-≤≤；{}35R A B x x ⋂=<≤ （2）若选择①A B B ⋃=，则A B ⊆， 当A =∅时，121a a ->+解得2a <- 当A ≠∅时，又A B ⊆，{|13}B x x =-≤≤，所以12111213a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是)([],10,1-∞-⋃.若选择②，“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ， 当A =∅时，121a a ->+解得2a <- 当A ≠∅时，又A B ，{|13}B x x =-≤≤，12111213a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩或12111213a a a a -≤+⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩解得01a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是)([],10,1-∞-⋃. 若选择③，A B ⋂=∅，当A =∅时，121a a ->+解得2a <- 当A ≠∅又A B ⋂=∅则12113211a a a a -≤+⎧⎨->+<-⎩或解得2a <-所以实数a 的取值范围是()(),24,-∞-+∞.18．计算下列各式的值： (1)1222301322( 2.5)3483-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)7log 2log lg25lg47++ 【答案】(1)12； (2)112.【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数的定义及运算求解. 【详解】（1）12232231222301322( 2.5)34833331222-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥⎢⎥ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦ 2339199112242442--+-+⎛⎫=== ⎪⎝⎭. （2）7log 2log lg25lg47++()31111log 27lg 2542322222=+⨯+=⨯++=.19．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭同时满足下列两个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）求出()f x 的解析式；（2）求方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和.【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）23π.【分析】（1）由条件可得2A =，最小正周期T π=，由公式可得2ω=,得出答案.(2)由()10f x +=，即得到1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解出满足条件的所有x 值，从而得到答案.【详解】（1）由函数()f x 的最大值为2，则2A = 由函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则最小正周期T π=，由2T ππω==，可得2ω= 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()10f x +=，所以1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()2266x k k πππ+=-+∈Z 或()72266x k k πππ+=+∈Z ， 解得()6x k k ππ=-+∈Z 或()2x k k ππ=+∈Z .又因为[],x ππ∈-，所以x 的取值为6π-，56π，2π-，2π， 故方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解得和为23π. 20．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）．当年产量不小于80千件时，10000()511450C x x x=+-（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）100千件【分析】（1）根据题意，分080x <<，80x ≥两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果； （2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型. 【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得：当080x <<时，2211()(0.051000)102004020033⎛⎫=⨯-+-=-+- ⎪⎝⎭L x x x x x x ．当80x ≥时，10000()(0.051000)511450200L x x x x ⎛⎫=⨯-+-- ⎪⎝⎭ 100001250⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x x所以2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当080x <<时，21()(60)10003L x x =--+．此时，当60x =时，()L x 取得最大值(60)1000L =万元．当80x ≥时，10000()125012502L x x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭12502001050=-=．此时10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1050万元． 由于10001050<，答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大， 最大利润为1050万元【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.21．已知函数2()(22)x f x a a a =-- (a >0,a ≠1)是指数函数. (1)求a 的值,判断1()()()F x f x f x =+的奇偶性,并加以证明； (2)解不等式 log (1)log (2)a a x x +<-.【答案】（1）3a =，是偶函数，证明见解析；（2）1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）根据2221,0,1a a a a --=>≠，求出a 即可； （2）根据对数函数的单调性解不等式，注意考虑真数恒为正数. 【详解】（1）函数2()(22)x f x a a a =-- (a >0,a ≠1)是指数函数， 所以2221,0,1a a a a --=>≠，解得：3a =， 所以()3x f x =， 1()()33()x x F x f x f x -=+=+，定义域为R ，是偶函数，证明如下： ()33()x x F x F x --=+=所以，1()()()F x f x f x =+是定义在R 上的偶函数； （2）解不等式 log (1)log (2)a a x x +<-，即解不等式 33log (1)log (2)x x +<- 所以012x x <+<-，解得112x -<< 即不等式的解集为1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【点睛】此题考查根据指数函数定义辨析求解参数的值和函数奇偶性的判断，利用对数函数的单调性解对数型不等式，注意考虑真数为正数.22．已知函数2()2x x b cf x b ⋅-=+，1()log a x g x x b -=+（0a >且1a ≠），()g x 的定义域关于原点对称，(0)0f =．(1)求b 的值，判断函数()g x 的奇偶性并说明理由； (2)求函数()f x 的值域；(3)若关于x 的方程2[()](1)()20m f x m f x ---=有解，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)1b =，()g x 为奇函数 (2)()1,1-(3)(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据()g x 的定义域关于原点对称可得1b =，再求解可得()()0g x g x -+=判断即可； （2）根据指数函数的范围逐步分析即可；（3）参变分离，令()()21,3t f x =-∈，将题意转换为求()()222tm t t =---在()1,3t ∈上的值域，再根据基本不等式，结合分式函数的范围求解即可. 【详解】（1）由题意，1()log ax g x x b-=+的定义域10x x b ->+，即()()10x x b -+>的解集关于原点对称，根据二次函数的性质可得1x =与x b =-关于原点对称，故1b =. 此时1()log 1ax g x x -=+，定义域关于原点对称，11()log log 11a a x x g x x x --+-==-+-，因为1111()()log log log log 101111aa a a x x x x g x g x x x x x -+-+⎛⎫-+=+=⨯== ⎪+-+-⎝⎭. 故()()g x g x -=-，()g x 为奇函数.（2）由（1）2()21x x c f x -=+，又(0)0f =，故002121c -=+，解得1c =，故212()12121x x x f x -==-++，因为211x +>，故20221x<<+，故211121x -<-<+，即()f x 的值域为()1,1- （3）由（2）()f x 的值域为()1,1-，故关于x 的方程2[()](1)()20m f x m f x ---=有解，即()()()22f x m f x f x -=-在()()()1,00,1f x ∈-⋃上有解.令()()()21,22,3t f x =-∈⋃，即求()()212223tm t t t t==---+-在()()1,22,3t ∈⋃上的值域即可.因为2333t t +-≥=，当且仅当t =时取等号，且21301+-=，223333+-=，故)2233,00,3t t ⎛⎫⎡+-∈⋃ ⎪⎣⎝⎭，故13,223m t t∞∞⎛⎛⎫=∈-⋃+ ⎪ ⎝⎭⎝+-，即m的值域为(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，即实数m 的取值范围为(3,3,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.。
江苏省苏州市部分重点学校2022-2023学年高三上学期10月模拟数学试题(Word版含答案)
苏州市部分重点学校2022-2023学年高三上学期10月模拟数学试卷一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 的满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是（ ） A.1B.2C.iD.2i -2.设集合{}13M x x =≤<，(){}2log 11N x x =-<，则（ ） A.NM B.M N C.M N M ⋂= D.M N N ⋃=3.已知向量()1,3a =，()2,4b =-，则b 在a 上的投影向量是（ ）A.⎛ ⎝⎭B.⎝⎭C.()1,3--D.()1,34.某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ） A.72B.108C.216D.4325.已知()212nx n x *⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中3x 的系数为（ ）A.160B.160-C.60D.60-6.若)()sin101sin 20α︒=︒-⋅-︒，则()sin 250α+︒=（ ）A.18 B.18-C.78D.78-7.设函数()e e sin 2x xf x x --=+，不等式()()e ln 10x f a x f x x -+++≤对0x >恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A.e 1- B.1C.0D.e 2-8.已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（ ） A.c b a << B.a b c << C.c a b <<D.a c b <<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a ，b 为正实数，且216ab a b ++=，则（ ） A.ab 的最大值为8B.2a b +的最小值为8C.a b +的最小值为3D.1112a b +++ 10.在平面四边形ABCD 中，1AB BC CD DA DC ===⋅=，12BA BC ⋅=，则（ ） A.1AC =B.CA CD CA CD +=-C.2AD BC =D.BD CD ⋅=11.向量()sin ,cos a x x ωω=，22sin ,cos 242x x b ωπω⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0ω>，函数()f x a b =⋅，则下述结论正确的有（ ）A.若()f x 的图像关于直线2x π=对称，则ω可能为12B.周期T π=时，则()f x 的图像关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.若()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到一个偶函数，则ω的最小值为34D.若()f x 在2,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12.对于函数()ln xf x x=，下列说法正确的是（ ） A.()f x 在()1,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减 B.若方程()1fx =有4个不等的实根，则e k >C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对1x ∀∈R ，()21,x ∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则e a ≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量()2,N ξμσ~，()142P ξ≤=，()536P ξ>=，()35P ξ<≤=______.14.命题“x ∃∈R ，()()224210a x a x -++-≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______.15.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC △的面积，且()222S a b c =--，则bc的取值范围______. 16.已知函数()12e ,132,1x x f x x x x +⎧≤=⎨-+->⎩，若函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，则实数k 的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数()222sin 12f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域； （2）若0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()32f x =，求12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )cos sin a C b c A -=. （1）求角A ；（2）若AD 为BC 边上中线，2AD =，5AB =，求ABC △的面积 19.（12分）某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”（1）某校高二年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高二学生中抽取了90名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如表：根据表中统计的数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？（2）以（1）中抽取的90名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高二学生中随机抽取4人 （i ）求所选4人中恰有3人综合素质评价为“优秀”的概率；（ii ）记X 表示这4人中综合素质评价等级为“优秀”的人数，求X 的数学期望 附：参考数据与公式 （1）临界值表：（2）参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++20.（12分）已知函数()21f x x a x b =-+- （1）当1a =-，2b =，求()f x 的最小值；（2）当1b =时，若()f x 在[)0,+∞上的最小值为0，求实数a 的取值范围； （3）当b a =时，若()1f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.21.（12分）在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______. （1）求角A 的大小；（2）若ABC △为锐角三角形，且其面积为2，点G 为ABC △重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP |的取值范围. 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.22.（12分）已知函数()ln f x a x bx =-，()()()e 11,,xg x x m x a b m =-+-∈R（1）当1b =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 在1ex =处的切线方程为()e 12y x =--，且不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.高三数学模拟试卷参考答案一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】()()34i 12i 34i 36i 4i 812i 12i 55z -+--+-+++====++，∴z 的实部为1，选A2.【答案】A【解析】{}13M x x =≤<，{}13N x x =<<，∴N M ，选A3.【答案】C【解析】10cos ,10a b a b a b⋅-===⨯，b 在a 上的投影向量为()cos 1,3b a aθ⋅=--，选C.4.【答案】A【解析】第一步：将2名“生手”分配到3个小区共有23A 个结果 第二步：设有“生手”的小区，选两个“熟手”共有24C 个结果； 第三步：剩下两个“熟手”全排列共22A 个结果222342A C A 72=，选A5.【答案】B【解析】二项式的系数之和为64，∴264n =，∴6n =，6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式第1r +项()()()626122612316661C 2C 21C 21rrr r rr r r r r rr r T xx x x x ------+⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，1233r-=， 则3r =，()3333346C 21160T x x =-=-，选B6.【答案】C【解析】()sin101sin 20cos10α⎛⎫︒︒=--︒ ⎪ ⎪︒⎝⎭，()cos10sin10sin 20cos10α︒-︒︒=⋅-︒︒，()()2sin 1030sin10sin 20cos10α︒-︒︒=-︒︒， ()()2sin 20sin10sin 204sin10sin 20cos10αα-︒︒=-︒=-︒-︒︒，∴()1sin 204α-︒=-()()()sin 250sin 22090cos220ααα⎡⎤+︒=-︒+︒=-︒⎣⎦()221712sin 201248α⎛⎫=--︒=-⨯-= ⎪⎝⎭，选C7.【答案】C【解析】()()e e sin 2x xf x x f x ---=-=-， ∴()f x 为奇函数，()e ecos 1cos 02x xf x x x -+=+≥'+≥，()f x 在R 上()()e ln 10x f a x f x x -+++≤，()()()ln 1e e x x f x x f a x f x a ++≤--=-，∴ln 1e x x x x a ++≤-，∴1e ln e ln e x x x a x x x x x +≤--=-令()e xg x x =，0x >，()()1e 0xg x x =+>'，()g x 在()0,+∞()0g x >，令e x x t =，0t >，ln y t t =-，1110t y t t-=-=='，1t =， y 在()0,1，()1,+∞，min 1ln11y =-=，∴11a +≤，∴0a ≤，选C. 8.【答案】B【解析】ln 1x x ≤-，（1x =时取“=”），∴()6661ln1.2 1.2155253<⨯-=<，∴a c < 比较0.20.2e 与13大小，先比较0.2e 与53大小，先比较e 与553⎛⎫⎪⎝⎭大小，556255e 3243⨯⎛⎫=> ⎪⎝⎭，∴210.2e 3b ->，即c b >，∴c 最大，选B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】ABC【解析】162ab a b ab =++≥+8ab ≤，A 对2a b +≥()228a b ab +≤，()2216228a b ab a b a b +=++≤++，∴28a b +≥，B 对162181822233222b b a b b b b b b b ---++=+=++-=++-≥+++，C 对()216a b b ++=，则()()1218a b ++=，1112a b +≥=++D 错 选ABC10.【答案】ABD【解析】1cos cos 2BA BC BA BC B B ⋅===，3B π=， ∴ABC △为正三角形，则1AC =，A 对2222122DA DC AC DA DA DC +-⋅===，∴22DA =，∴CA CD ⊥∴CA CD CA CD +=-，B 对AD 与BC 不平行，则2AD BC ≠，()22cos1501BD CD BC CD CD BC CD CD CB CD CD ⋅=+=⋅+=-︒+=，D 对 选ABD 11.【答案】ACD【解析】()221sin sin cos cos 242242x x f x x x x ωπωπωωω⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 关于2x π=对称，则242k πππωπ+=+，k ∈Z∴122k ω=+，k ∈Z 0k =时，12ω=，A 对2T ππω==，∴2ω=，()1242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，不可能关于3,08⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，B 错.11sin 323422342f x x x πππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数则342k ωππππ+=+，k ∈Z ，334k ω=+，k ∈Z∵0ω>，∴0k =时，ω取最小值34，C 对 256x ππ-≤≤，则254464x πππππωωω-+≤+≤+，()f x 在2,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴2542642πππωπππω⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，∴302ω<≤，D 对12.【答案】BD 【解析】()()2ln 10ln x f x x -'==，e x =，()f x 在()1,e ，()e,+∞，A 错()f x 在()0,1，()1,e ，()e,+∞，0x <时，()0f x <，()()e e f x f ==极小值，()f x 为偶函数，∴()f x k =有4个不等的实根e k ⇔>，B 对 1201x x <<<，12122112ln ln ln ln x xx x x x x x <⇔< ()()12f x f x ⇔<在()0,1矛盾，C 错()1,x ∈+∞时，()f x 的值域[)e,+∞，()g x 的值域[),a +∞，1x ∀∈R ，[21,)x ∃∈+∞，使得()()12g x f x =，∴[)[),e,a ⊆+∞+∞， ∴e a ≥，D 对三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】23【解析】()142P ξ≤=，∴12μ=，()536P ξ>=，∴()51134623P ξ<<=-=∴()2353P ξ<<= 14.【答案】62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】x ∀∈R ，()()224210a x a x -++-<，240a -=时，2a =±时，2a =-时恒成立，2a =时不恒成立； 240a -≠时240Δ0a ⎧-<⎨<⎩，625a -<< ∴625a -≤< 15.35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()()222222cos 2S b c bc A b c bc =+--+-，12sin 22cos 2bc A bc bc A ⋅=-， ∴sin 22cos A A =-，又∵22sin cos 1A A +=，sin 0A >，cos 0A >∴4sin 53cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，4tan 3A =，()43cos sin sin sin 41355sin sin sin 5sin 5C C A C b B c C C C C ++====⋅+，∵0202B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，∴0202A C C πππ⎧<--<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，∴22A C ππ-<<，∴13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-==⎪⎝⎭， ∴35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭16.【答案】(2e 0,71,3⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦【解析】过()2,0A -作1ex y +=的切线，切点()010,e x x +，1ex y +'=，011ex k +=切线：()00110e e x x y x x ++-=-过()2,0-，∴()00110ee 2x x x ++-=--，∴01x =-，11k =，设()21,eB ，2e 3ABk=， ∴2e 13k <≤满足条件过()1,0A -作232y x x =-+-的切线，切点()211,32x x x -+-，23y x '=-+，()()()2211111233223k x y x x x x x =-+--+-=-+-过()2,0-，∴211480x x +-=12x =，27k =-∴07k <<-时满足条件综上：(2e 0,71,3⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ∵02x π<<，∴72666x πππ<+<，∴1sin 2126x π⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭∴()f x 的值域为(]1,2-（2）∵()33cos22sin 2sin 26264f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵06x π<<，∴2662x πππ<+<，∴cos 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴312sin22sin 22126642424f x x x πππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-==+-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭18.【解析】（1))cos sin sin cos sin sin sin a C b c A A C B A C -=-=)sin cos sin cos cos sin sin sin A C A C A C A C --=sin A A ⇒=，tan A =23A π=（2）()12AD AB AC =+， ∴2222211212942AD c b bc b c bc ⎛⎫⎛⎫=++⋅-⇒+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2255129b b ⇒+-=，251040b b --=，()()813013b b b +-=⇒=∴11sin 13522ABC S bc A ==⨯⨯=△19.【解析】（1）抽取男生：50人，女生40人，∴5030812x =--=，403064y =--=列联表如下：∴()229030103020 2.25 2.70660305040K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯∴没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关” （2）（i ）随机选取一名高二学生，优秀的概率602903P ==，非优秀为13∴4人中恰有3人“优秀”的概率为：3342132C 3381⎛⎫⨯=⎪⎝⎭（ii ）24,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()28433E X =⨯= 20.【解析】（1）当1a =-，2b =时，()212f x x x =--- 当1x ≤-时，()221233f x x x x x =--+=+-≥-当11x -<<时，()2231213,4f x x x x x ⎛⎤=--+=-+-∈--⎥⎝⎦当12x ≤<时，()[)221231,3f x x x x x =--+=+-∈当2x ≥时，()[)221213,f x x x x x =--+=-+∈+∞，∴()min 3f x =-（2）当1b =时，()2110f x x a x =-+-≥对[)0,x ∀∈+∞恒成立且1x =时可取“=”当()0,1)1,x ⎡∈⋃+∞⎣时，由()m 2ax110101x a x x a a x -+-≥⇒++≥⇒≥-+而11x -+<-，∴1a ≥-， ∴实数a 的取值范围为[)1,-+∞（3）法一：当b a =时，()211f x x a x a =-+-≥对任意的x ∈R 恒成立①当1a ≤时，注意到()()2111111244f a a a a a ⎛⎫=-=-=--+≤ ⎪⎝⎭与题设不符，舍去②当1a >时（i ）当1x ≤-时，()()22211f x x a a x x ax a =-+-=-+-，此时()f x 在(],1-∞上单调递减，故只需()()n 2mi 11f x f a a =-=+≥，显然成立（ii ）当11x -<<时，()()22222511124a f x x a a x x ax a x a ⎛⎫=-+-=--++=-+++ ⎪⎝⎭()f x 的对称轴为02ax =-<，故此时只需()11f ≥即可，故()11a a a -≥⇒≥（iii ）当1x a ≤<时，()()22222311124a f x x a a x x ax a x a ⎛⎫=-+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭函数()f x 的对称轴为2ax = 当12a≤，即12a <≤时，只需()211f a a =-≥，即a ≥2a ≤≤ 当12a>，即2a >时，只需23114a ->显然成立∴a ≥（iv ）当x a ≥时，()()()22211f x x a x a x ax a =-+-=+--，此时()2min 11f x a a =-≥⇒≥<综上：实数a的取值范围为1,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭法二：当b a =时，()221111f x x a x a a x a x =-+-≥⇒-≥--作出()2222,1111,11x x x g x x x x ⎧-≤-≥=--=⎨-<<⎩或，()h x a x a =-大致图象如下：显然0a >，考察1x ≥时()g x 在1x =处的切线AC ，()2g x x '=-，2k =- 切线AC 方程为()21123y x x =--+=-+与x 轴交于3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭当302a <≤时，显然()h x 有一些落在()g x 的下方，舍去 当32a >时，考察()h x 恰好经过A 点的情形，此时()1111a a a a -=⇒-=，210a a --=，a =∴a ≥综上：实数a 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭法三：必要性探路由211x a x a -+-≥，令11112x a a a =⇒-≥⇒≥（必要性）下证充分性，当12a ≥时（i ）若1x ≤，则()2111x a x a a a -+-≥-≥=（ii ）若x a ≥，则2221111x a x a x a -+-≥-≥-≥> （iii ）若1x a <<，则()2222311124a x a x a x a a x x a ⎛⎫-+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭①若122a ≤≤，则()22311124a x a a a ⎛⎫-+-≥-≥ ⎪⎝⎭ ②若2a >，则222331121244a x a a ⎛⎫-+-≥->> ⎪⎝⎭，充分性成立，综上：a ≥21.【解析】（1）若选①，则()2sin cos sin cos sin cos sin sin A A B C C B B C A =+=+=1cos 2A ⇒=， 3A π=若选②，则()tan tan tan 1tan tan B CB C B C+=+=-tan A =3A π=，（2）()2133AG AD AB AC ==+，过M 作ME CN ∥交AB 于点E ，∴E 为AN 的中点，∴AE EN NB ==，∴()1111224BP AP AB AM AB AC PM =⇒=+=+ ∴11612GP AP AG AB AC =-=-()2222211144421442144GP c b bc b c bc ⎛⎫=+-⋅=+- ⎪⎝⎭ 221421427272b c bc b c bc c b +-⎛⎫=⋅=+- ⎪⎝⎭而1sin 2232bc bc π=⇒=，222222122b c bc a b c bc a +-⋅=⇒+-= ∵ABC △为锐角三角形，∴222222222222222222222122b c bc b c a b c b b c a b c b c bc c a c b b c bc c b ⎧⎧+-+>+>⎪⎪⎪⎪+>⇒+>+-⇒<<⎨⎨⎪⎪+>+-+>⎪⎪⎩⎩令b t c =，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2141132,7236144GP t t ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴GP的取值范围为16⎛ ⎝⎭.22.【解析】（1）当1b =时，()ln f x a x x =-，()1a a xf x x x-=-='， 当0a ≤时()0f x '<，()f x 在()0,+∞上当0a >时，令()0f x x a ='⇒=且当0x a <<时，()0f x '>，()fx ；当x a >时，()0f x '<，()fx（2）()1a f x x '=-，由题意知1e 1e 1()e 11e 11111()1e e ee af a b b a f ⎧-=-=-⎧⎪=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--=--⎩⎪⎪=⎩'--⎪⎩ ∴()ln f x x x =-，由()()()e 11ln xf xg x x m x x x ≤⇒-+-≥-mine ln 1e 1ln x xx x mx x x m x ⎛⎫--⇒≤--⇒≤ ⎪⎝⎭而ln e ln 1e ln 1ln 1ln 11x x x x x x x x x x x x+----++--=≥= 当且仅当ln 0x x +=时取“=”，显然可取“=” 综上：1m ≤，即m 的取值范围为(],1-∞。
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试卷(解析版)
南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测数学2022.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，N ＝{x |－3＜x ＜1}，则M ∩N ＝()A ．{x |－3＜x ≤－1}B ．{x |－3＜x ＜－1}C ．RD ．{x |－3≤x ≤1}【答案】A2．若(z －1)i ＝i －2，则z ＝()A ．2－2i B ．2＋2iC ．2iD ．－2i【答案】B3．顶角为36°的等腰三角形被称为最美三角形，已知其顶角的余弦值为5＋14，则最美三角形底角的余弦值为()A ．5－14B ．5－12C ．5＋14D ．5＋12【答案】A4．在△ABC 中，→AB ·→AC ＝9，AB ＝3，点E 满足→AE ＝2→EC ，则→AB ·→BE ＝()A ．－6B ．－3C ．3D ．6【答案】B【解析】→AB ·→BE ＝→AB ·(→AE －→AB )＝→AB ·(23→AC －→AB )＝23→AB ·→AC －→AB 2＝23×9－32＝－3．5．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，点E 为线段DC 上一动点．现将△ADE 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 内的射影K 在直线AE 上．当点E 从D 运动到C 时，则点K 所形成轨迹的长度为()A ．233B ．32C ．π2D ．π3【答案】D6．已知椭圆长轴AB的长为4，N为椭圆点，满足|NA|＝1，∠NAB＝60°，则椭圆的离心率为()A．55B．255C．277D．377【答案】C7．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案有()A．72种B．84种C．96种D．124种【答案】C【解析】由题意有一名女生的选法有C12⋅C24⋅A33，没有女生的选法有C34⋅A33，因此至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有C12⋅C24⋅A33＋C34⋅A33＝96，故选C．8．若a＝sin1＋tan1，b＝2，c＝ln4＋12，则a，b，c的大小关系为()A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省苏锡常镇四市2022_2023学年度高三教学情况调研(二)数学试卷及参考答案
高三数学 第 1 页 共 7 页 2022~2023学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二) 数 学 2023.05
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答字写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。 1．若复数z满足(1－i)z＝i，则在复平面内z表示的点所在的象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知A，B为非空数集，A＝{0，1}，(CRA)∩B＝{－1}，则符合条件的B的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 3．已经连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，都出现了正面向上的结果，第3次随机地抛掷这枚硬币，则其正面向上的概率为
A．18 B．14 C．12 D．1 4．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|a－b|＝1，则 A．|2a－b|＝1 B．|a－2b|＝1 C．＝60° D．＝60° 5．埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余
弦值为5－12，则侧面三角形的顶角的正切值为
A．2 B．3 C．5－12 D．5＋12 6．已知(2－1x)23＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a22x22＋a23x23，则a0222＋a1221＋…＋a212＋a22＝ A．－1 B．0 C．1 D．2 7．设a＝13，b＝ln32，c＝tan12，则 A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 高三数学 第 2 页 共 7 页
8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，Sn＋1＋1＝4an(n∈N*)，则使得不等式am＋am＋1＋…＋am＋k－am＋1Sk
江苏省南京市2022-2023学年高三9月学情调研数学试卷(解析版)
南京市2023届高三年级学情调研数学2022.09.07注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6＜0}，B ＝{x |x ＋1＞0}，则A ∩B ＝A ．(－3，－1)B ．(－1，2)C ．(2，＋∞)D ．(－3，＋∞)【答案】B【考点】集合的运算【解析】由题意可知，A ＝{x |x 2＋x －6＜0}＝{x |－3＜x ＜2}，B ＝{x |x ＋1＞0}＝{x |x ＞－1}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，故答案选B ．2．已知复数z ＝(2＋i)i ，其中i 为虚数单位，则z z －的值为A ．3B ．5C ．3D ．5【答案】D【考点】复数的运算【解析】由题意可知，z ＝(2＋i)i ＝－1＋2i ，则z －＝－1－2i ，所以z z －＝(－1＋2i)(－1－2i)＝＝1－(－4)＝5，故答案选D ．3．已知随机变量X ~N (4，22)，则P (8＜X ＜10)的值约为A ．0.0215B ．0.1359C ．0.8186D ．0.9760附：若Y ~N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Y ＜μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ＜Y ＜μ＋2σ)≈0.9545，P (μ－3σ＜Y ＜μ＋3σ)≈0.9974【答案】A【考点】正态分布的应用【解析】由题意可知，μ＝4，σ＝2，所以P (8＜X ＜10)＝P (μ＋2σ＜X ＜μ＋3σ)＝12P (μ－3σ＜Y＜μ＋3σ)－12P (μ－2σ＜Y ＜μ＋2σ)＝12×0.9974－12×0.9545＝0.02145≈0.0215，故答案选A ．4．若直线x ＋y ＋a ＝0与曲线y ＝x －2ln x 相切，则实数a 的值为A ．0B ．－1C ．－2D ．－3【答案】C【考点】函数的切线方程与导数的几何意义综合应用【解析】由题意可知，设切点为(m ，n )，且y′＝1－2x ，因为直线x ＋y ＋a ＝0的斜率为－1，所以k ＝－1＝1－2m ，解得m ＝1，所以切点为(1，1)，则代入直线方程可得1＋1＋a ＝0，解得a ＝－2，故答案选C ．5．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y (m)和时间t (s)的函数关系为y ＝sin(ωt ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)，如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t 1，t 2，t 3(0＜t 1＜t 2＜t 3)，且t 1＋t 2＝2，t 2＋t 3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为A ．13sB ．23sC ．1sD ．43s【答案】D【考点】新情景问题下的三角函数的图象与性质的应用【解析】由题意可知，t 1＋t 2＝2，t 2＋t 3＝6，所以t 3－t 1＝4，则T ＝4＝2πω，解得ω＝π2，所以y ＝sin(π2t ＋φ)，令sin(π2t ＋φ)＞12，则解得π6＜π2t ＋φ＜5π6，所以13－2πφ＜t ＜53－2πφ，则时间间隔为53－2πφ－(13－2πφ)＝43s ，故答案选D ．tOy（第5题图）图1图26．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2．若AB∥PF1，则椭圆的离心率为A．55B．12C．33D．22【答案】A【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质应用：求离心率【解析】由题意可知，A(－a，0)，B(0，b)，P(c，b2a)，F1(－c，0)，则k AB＝ba，k PF1＝b22ac，又AB∥PF1，所以ba＝b22ac，化简可得b＝2c，而a2＝b2＋c2＝5c2，则a＝5c，所以e＝ca＝15＝55，故答案选A．7．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥P－ABE外接球的表面积为A.25π16B.25π4C.5π2D.5π【答案】B【考点】立体几何中三棱锥的外接球问题【解析】由题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，设三棱锥P－ABE外接球球心为O，AB的中点为O1，则球心为O在高PO1上，设外接球半径为R，且满足R2＝(2－R)2＋1，解得R＝54，所以外接球的表面积为4πR2＝4π×(54)2＝25π4，故答案选B．8．已知函数f(x)，任意x，y∈R，满足f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，且f(1)＝2，f(2)＝0，则f(1)＋f(2)＋…＋f(90)的值为A．－2B．0C．2D．4【答案】C【考点】函数的性质综合应用【解析】法一：由题意可知，令x＝2，y＝1，则可得f(3)f(1)＝f2(2)－f2(1)＝0－4＝－4，即2f(3)＝－4，解得f(3)＝－2，x＝3，y＝2，则可得f(5)f(1)＝f2(3)－f2(2)＝4－0＝4，即2f(5)＝4，解得f(5)＝2，x＝4，y＝1，则可得f(5)f(3)＝f2(4)－f2(1)＝f2(4)－4＝－4，即－4＝f2(4)－4，解得f(4)＝0，可得到周期T＝4，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(90)＝f(1)＋f(2)＝2，故答案选C．法二：由题意可知，令y＝2，则可得到f(x＋2)f(x－2)＝f2(x)－f2(2)＝f2(x)，令x＝0，y＝0，可得f(0)f(0)＝f2(0)－f2(0)＝0，解得f(0)＝0，同理可得，f(4)＝f(6)＝…＝f(2n)＝0，令x＝2，y＝1，则可得f(3)f(1)＝f2(2)－f2(1)＝0－4＝－4，即2f(3)＝－4，解得f(3)＝－2，同理可得f(5)＝2，f(7)＝－2，…，则奇数项是以－1为公比的等比数列，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(90)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(3)＋…＋f(89)＝2[1－(－1)45]1－(－1)＝2(另解：f(1)＋f(2)＋…＋f(90)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(3)＋…＋f(89)＝2－2＋2－2＋…＋2＝2)，故答案选C．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中，“l⊥m”的充分条件有A．α⊥β，l⊥α，m∥βB．α∥β，l∥α，m⊥βC．α⊥β，l⊥α，m⊥βD．α⊥β，l∥α，m∥β【答案】BC【考点】立体几何的位置关系判断【解析】由题意可知，对于选项A，α⊥β，l⊥α，则l⊂β或l∥β，又m∥β，若l⊂β，则推不出l⊥m，故选项A错误；对于选项B，m⊥β，α∥β，则m⊥α，又l∥α，所以l⊥m，故选项B正确；对于选项C，l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，若l⊂β，m⊥β，则l⊥m，若l∥β，则在内至少存在一条直线n与l平行，则n⊥m，所以l⊥m，故选项C正确；对于选项D，l ∥α，α⊥β，则l与β无关系，所以不能推出l⊥m，故选项D错误；综上，答案选BC．10．已知a＞b＞0，则A．1b＞1aB．a－1b＞b－1aC．a3－b3＞2(a2b－ab2)D．a＋1－b＋1＞a－b 【答案】AC【考点】不等关系的判断【解析】由题意可知，对于选项A ，因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，所以1b －1a ＝a －bab ＞0，即1b ＞1a ，故选项A 正确；对于选项B ，设函数f (x )＝x ＋1x ，可知在(0，1)上单调递减，在(1，＋ )上单调递增，而a ＞b ＞0，不能判断出a ＋1a 与b ＋1b 的大小，即无法判断a －1b 与b －1a 的大小，故选项B 错误；对于选项C ，因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，所以a 3－b 3－2(a 2b －ab 2)＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)－2ab (a －b )＝(a －b )(a 2－ab ＋b 2)＝(a －b )[(a －b )2＋ab ]＞0，即a 3－b 3＞2(a 2b －ab 2)，故选项C 正确；对于选项D ，因为a ＞b ＞0，所以b ＞a ，b ＋1＞a ＋1，则b ＋1＋b ＞a ＋1＋a ＞0，所以1b ＋1－b＞1a ＋1－a，推不出a ＋1－b ＋1＞a －b ，(另解：若a ＋1－b ＋1＞a －b ，则a ＋1－a ＞b ＋1－b ，则1a ＋1＋a＞1b ＋1＋b ，显然不成立)，故选项D 错误；综上，答案选AC ．11．已知直线l ：x ＋1＝0，点P (1，0)，圆心为M 的动圆经过点P ，且与直线l 相切，则A ．点M 的轨迹为抛物线B ．圆M 面积的最小值为4πC ．当圆M 被y 轴截得的弦长为25时，圆M 的半径为3D ．存在点M ，使得MO MP ＝233，其中O 为坐标原点【答案】ACD【考点】直线与圆的位置关系综合应用【解析】由题意可知，设M (x ，y )，则MP ＝x ＋1＝r ，即(x －1)2＋y 2＝x ＋1，化简可得y 2＝4x ，即为抛物线，(另解：点M 到点P 的距离与到直线l 的距离相等，则动点M 的轨迹为抛物线)故选项A 正确；对于选项B ，MP 的最小值为1，则圆M 面积的最小值为π，故选项B 错误；对于选项C ，圆心M 到y 轴的距离的为d ，且d ＝x ，x ＋1＝r ，弦长为25，所以可得x 2＋(5)2＝(x ＋1)2，解得x ＝2，所以圆M 的半径为r ＝x ＋1＝3，故选项C 正确；对于选项D ，MO ＝x 2＋y 2，MP ＝x ＋1，因为MO MP＝233，所以x 2＋y 2(x ＋1)2＝43，且y 2＝4x ，则化简整理可得x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，即存在点M ，使得MO MP ＝233，故选项D 正确；综上，答案选ACD ．12．已知函数f (x )＝3x －2x ，x ∈R ，则A ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增B ．存在a ∈R ，使得函数y ＝f (x )a x 为奇函数C ．函数g (x )＝f (x )＋x 有且仅有2个零点D ．任意x ∈R ，f (x )＞－1【答案】ABD【考点】函数的综合应用：单调性、奇偶性、零点、恒成立等【解析】法一：由题意可知，因为f (x )＝3x －2x ，所以f ′(x )＝3x ln3－2x ln2，对于选项A ，当x ＞0时，3x ＞2x ，ln3＞ln2，所以f ′(x )＝3x ln3－2x ln2＞0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故选项A 正确；对于选项B ，y ＝f (x )a x ＝3x －2x a x ＝(3a )x －(2a )x ，若函数y ＝f (x )a x 为奇函数，则3a ＝a 2，解得a ＝6，即存在a ∈R ，使得函数y ＝f (x )a x 为奇函数，故选项B 正确；对于选项C ，g (x )＝f (x )＋x ＝3x －2x ＋x ，当x ＞0时，3x －2x ＞0，则g (x )＞0，x ＝0时，g (x )＝0，当x ＜0时，3x －2x ＜0，则g (x )＜0，所以函数g (x )有唯一的零点0，故选项C 错误；对于选项D ，当x ≥0时，f (x )≥f (0)＝0＞－1，当x ＜0时，f (x )＝3x －2x ＞－2x ＞－1，所以对于任意x ∈R ，f (x )＞－1，故选项D 正确；综上，答案选ABD ．法二：由题意可知，对于选项A ，f (x )＝3x －2x ＝2x [(32)x －1]，当x ＞0时，函数y ＝2x ，函数y ＝(32)x －1均为单调递增，且均为正，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故选项A 正确；对于选项B ，y ＝f (x )a x ＝3x －2x a x ＝(3a )x －(2a )x，若a ＝6，则y ＝(36)x －(26)x 为奇函数，存在a∈R ，使得函数y ＝f (x )a x 为奇函数，故选项B 正确；对于选项C ，令g (x )＝f (x )＋x ＝0，解得f (x )＝－x ，且当x ≤0时，f (x )≤0，x ＞0时，函数f (x )单调递增，则可作出函数y ＝f (x )与函数y ＝－x 的图象，可知两函数图象仅有一个交点，即函数g (x )＝f (x )＋x 有且仅有1个零点，故选项C 错误；对于选项D ，当x ≥0时，f (x )≥f (0)＝0＞－1，当x ＜0时，f (x )＝3x ＋1∈(1，2)，2x ∈(0，1)，所以3x ＋1＞2x ，则3x －2x ＞－1，所以对于任意x ∈R ，f (x )＞－1，故选项D 正确；综上，答案选ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．(1－1x2)(1＋x )6的展开式中x 3的系数为▲________．【答案】14【考点】二项式定理展开式的应用：求项的系数【解析】由题意可知，二项式(1＋x)6的展开式通式为T r＋1＝C r6x r，当r＝3时，为C36x3，则x3的系数为1⋅C36＝20；当r＝5时，为C56x5，则x3的系数为－1⋅C56＝－6，综上，展开式中x3的系数为20－6＝14．14．双曲线x2－y24＝1右焦点为F，点P，Q在双曲线上，且关于原点对称．若PF⊥QF，则△PQF的面积为▲________．【答案】4【考点】圆锥曲线中双曲线的几何性质应用【解析】法一：由题意可知，设左焦点为F1，因为P，Q关于原点对称，且PF⊥QF，所以四边形PFQF1为矩形，则S△PQF＝S△PFF1＝b2tan90°2＝b2＝4．法二：由题意可知，F(5，0)，因为P，Q关于原点对称，且PF⊥QF，所以PQ＝2OF＝25，设左焦点为F1，四边形PFQF1|PF－PF1|＝|PF－QF|＝2，在Rt△△PQF中，有PF2＋QF2＝PQ2＝20，则PF⋅QF＝12(PF2＋QF2－|PF－QF|2)＝8，所以S△PQF＝12PF⋅QF＝4．15．如图是构造无理数的一种方法：线段OA1＝1；第一步，以线段OA1为直角边作直角三角形OA1A2，其中A1A2＝1；第二步，以OA2为直角边作直角三角形OA2A3，其中A2A3＝1；第三步，以OA3为直角边作直角三角形OA3A4，其中A3A4＝1；…，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如OA2，OA3，…，则OA2→·OA4→＝▲________．【答案】2－63A1A2A3A4A5O（第15题图）【考点】新情景问题下的三角恒等变换与数量积的综合应用【解析】由题意可知，在Rt △OA 2A 3中，OA 2＝2，A 2A 3＝1，OA 3＝3，则cos ∠A 2OA 3＝63，sin ∠A 2OA 3＝33，Rt △OA 3A 4中，OA 3＝3，A 3A 4＝1，OA 4＝2，则cos ∠A 3OA 4＝32，sin ∠A 3OA 4＝12，所以cos ∠A 2OA 4＝cos(∠A 2OA 3＋∠A 3OA 4)＝cos ∠A 2OA 3cos ∠A 3OA 4－sin ∠A 2OA 3sin ∠A 3OA 4＝63×32－33×12＝32－36，则OA 2→·OA 4→＝|OA 2→|⋅|OA 4→|⋅cos ∠A 2OA 4＝2×2×32－36＝6－63＝2－63．16．若函数f (x )＝2x －sin x －a 在(－π，π)上存在唯一的零点x 1，函数g (x )＝x 2＋cos x －ax ＋a在(－π，π)上存在唯一的零点x 2，且x 1＜x 2，则实数a 的取值范围为▲________．【答案】(－2π，1－π]【考点】函数的零点综合应用【解析】由题意可知，因为f (x )＝2x －sin x －a ，所以f ′(x )＝2－cos x ＞0，则函数f (x )在(－π，π)上单调递增，且f (－π)＝－2π－a ，f (π)＝2π－a ，若要存在唯一的零点x 1，则－2π－a ＜0，2π－a ＞0，解得－2π＜a ＜2π，对于g (x )＝x 2＋cos x －ax ＋a ，则g′(x )＝2x －sin x －a ＝f (x )，令g′(x )＝0，解得x ＝x 1，所以函数g (x )在(－π，x 1)上单调递减，在(x 1，π)上单调递增，又函数g (x )在(－π，π)上存在唯一的零点x 2，且x 1＜x 2，则当x ∈(－π，x 1)时，f ′(x )＜f ′(x 1)＜0，当x ∈(x 1，π)时，f ′(x )＞f ′(x 1)＞0，所以g (－π)≤0，g (π)＞0，即(－π)2＋cos(－π)－a (－π)＋a ≤0，且π2＋cosπ－a π＋a ＞0，解得a ≤1－π，综上，实数a 的取值范围为(－2π，1－π]．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在平面四边形ABCD 中，∠ABD ＝45°，AB ＝6，AD ＝32．对角线AC 与BD 交于点E ，且AE ＝EC ，DE ＝2BE ．(1)求BD 的长；(2)求cos ∠ADC 的值．【考点】解三角形与三角恒等变换的应用【解析】(1)在△ABD 中，由AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，得6sin ∠ADB＝3222，所以sin ∠ADB ＝1．因为0°＜∠ADB ＜135°，所以∠ADB ＝90°，所以BD ＝AB 2－AD 2＝32．(2)在△ADE 中，DE ＝23BD ＝22，因为∠ADE ＝90°，所以AE ＝AD 2＋DE 2＝26cos ∠DAE ＝AD AE ＝31313．在△ACD 中，AC ＝2AE ＝226，AD ＝32，cos ∠DAC ＝31313，所以CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ⋅AC ⋅cos ∠DAC ＝50，即CD ＝52，所以cos ∠DAC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝－35．18．(本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝6，a 2＝12，a 3＝20，且数列{a n ＋1－a n }为等差数列，n ∈N *．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{1a n }的前n 项和为S n ，证明：S n ＜12．【考点】数列的通项与求和【解析】(1)解：因为a 1＝6，a 2＝12，a 3＝20，所以a 2－a 1＝6，a 3－a 2＝8．又因为数列{a n ＋1－a n }为等差数列，所以a n ＋1－a n ＝6＋(n －1)×2＝2n ＋14．当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n ＋2)＋2n ＋＋…＋6＋6＝(2n ＋8)(n －1)2＋6＝n 2＋3n ＋2．当n ＝1时，a 1＝6满足a n ＝n 2＋3n ＋2，综上，a n ＝n 2＋3n ＋2．(2)证明：由(1)得1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，MDCBAP所以S n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2．因为n ∈N*，故1n ＋2＞0，所以S n ＜12．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．(1)求证：PA ∥平面MBD ；(2)若AB ＝AD ＝PA ＝2，∠BAD ＝120°，求二面角B －AM －D 的正弦值．【考点】立体几何中四棱锥的位置关系判断、二面角求解【解析】(1)证明：连AC 交BD 于点N ，连MN ．因为底面ABCD 为行四边形，所以N 为AC 的中点，因为M 为PC 中点，所以MN ∥PA ．又PA ⊄面MBD ，MN ⊂平面MBD 所以PA ∥平面MBD ．(2)方法1取CD 中点E ，连AE ．因为AB ＝AD ，四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为菱形，又∠BAD ＝120°，所以∠ADC ＝60°，因此△ACD 为等边三角形，所以AE ⊥CD ，即AE ⊥AB ．又PA ⊥平面ABCD ，(第19题图)故以AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2)，C (1，3，0)，D (－1，3，0)，M (12，32，1)，所以→AB ＝(2，0，0)，→AM ＝(12，32，1)，→AD ＝(－1，3，0)．没平面AMB 的一个法向量为→n 1＝(x ，y ，z )，1·→AB ＝0，1·→AM ＝0，＝0，＋32y ＋z ＝0，取x ＝0，y ＝2，z ＝－3，即→n 1＝(0，2，－3)．设平面AMD 的一个法向量为→n 2＝(a ，b ，c )，2·→AD ＝0，2·→AM ＝0，a ＋3b ＝0，＋32b ＋c ＝0，取a ＝3，b ＝1，c ＝－3，即→n 2＝＝(3，1，－3)．则cos<→n 1，→n 2>＝0×3＋2×1＋(－3)×(－3)7×7＝57，又<→n 1，→n 2>∈(0，π)，所以二面角B －AM －D 的二面角的正弦值为267．方法2因为AB ＝AD ，四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为菱形．又∠BAD ＝120°，所以∠ABC ＝60°，因此△ABC 为等边三角形．又AB ＝2，N 为AC 的中点，所以BN ＝3．取AM 中点F ，连BF ，DF ，在Rt △BMN 中，MN ＝1，BN ＝3，所以BM ＝2．又因为AB＝2，所以BF⊥AM，同理可证DF⊥AM，所以∠BFD即为二面角B－AM－D的平面角．在Rt△AMN中，AN＝MN＝1，AM＝2．在△BAM中，BF＝BA2－AM24＝142．同理在△DAM中计算得DF＝14 2．又BD＝23，所以cos∠BFD＝BF2＋DF2－BD22BF·DF＝－57．又∠BFD∈(0，π)，所以sin∠BFD＝1－cos2∠BFD＝26 7，所以二面角B－AM－D的二面角的正弦值为26 7．20．(本小题满分12分)某高校男、女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表：合格不合格男生3515女生455(1)是否有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关？(2)从这50名男生中任意选2人，求这2人中合格人数的概率分布及数学期望；(3)将抽取的这100名学生合格的频率视为该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率．若学生首次考试不合格，则经过一段时间的努力，第二次参加考试合格的概率会增加0.1．现从该校学生中任意抽取2名学生，求至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，【考点】独立性检验、随机变量的分布列与期望、随机变量的概率【解析】(1)K 2＝(45＋5＋35＋15)(45×15－35×5)2(45＋5)(35＋15)(45＋35)(5＋15)＝6.25．因为6.25＜6.635，所以没有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关．(2)设2人中合格人数为X ，则X 的可能取值为0，1，2．P (X ＝0)＝C 035C 215C 250＝335，P (X ＝1)＝C 135C 115C 250＝37，P (X ＝2)＝C 235C 015C 250＝1735，所以2人中合格人数的概率分布为所以数学期望E (X )＝0×335＋1×37＋2×1735＝75．(3)该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率为35＋45100＝0.8．两次考试后两人全部合格可分为三类：第一类：两名学生第一次考试都合格，则概率为0.82＝0.64；第二类：两名学生中有一位第一次考试不合格，第二次合格，则概率为C 12×0.8×0.2×0.9＝0.288；第三类：两名学生中第一次考试都不合格，第二次都合格，则概率为0.22×0.92＝0.0324；所以0.64＋0.288＋0.324＝0.9604，所以2名学生至多两次四级考试后这两人全部合格的概率为0.9604．21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点．P (K 2≥k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(1)求p的值；(2)是否存在定点T，使得TA→·TB→为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由．【考点】圆锥曲线中抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系应用：存在性问题与定值问题【解析】(1)抛物线y2＝2px的焦点F(p2，0)．因为P(0，2)，且A为PF中点，所以A(p4，1)．因为A在抛物线上，所以1＝2p×p4，解得p＝2．(2)由题意知直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y12＝22x1，y22＝22x2．＝kx＋2，2＝22x，消去x，得ky2－22y＋42＝0，则y1＋y2＝22k，y1y2＝42k，假设存在定点T(m，n)，则→TA＝(x1－m，y1－n)，→TB＝(x2－m，y2－n)，所以→TA·→TB＝(x1－m)(x2－m)＋(y1－n)(y2－n)＝(24y12－m)(24y22－m)＋(y1－n)(y2－n)＝18y12y22－24m(y12＋y22＋m2＋y1y2－n(y1＋y2)＋n2＝4k2－24m(8k2－82k)＋m2＋42k－22nk＋n2＝(4－22m)1k2＋(4m＋42－22n)1k＋m2＋n2．要使得→TA·→TB－22m＝0，m＋42－22n＝0，解得m＝2，n＝4，所以存在定点T(2，4)，此时→TA·→TB＝m2＋n2＝18．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e ax－x，a∈R．(1)若a＞0，求函数f(x)的单调区间；(2)若任意x≥0，f(x)≥1＋12ax2，求a的取值范围．【考点】函数与导数：函数的单调区间讨论、恒成立问题【解析】(1)由f (x )＝e ax －x ，得f ′(x )＝a e ax －1，令f ′(x )＝0，得x ＝－1aln a ．当x ＜－1a a 时，f ′(x )＜0；x ＞－1aln a 时，f ′(x )＞0，所以，f (x )的减区间为(－∞，－1a ln a )，增区间为(－1a ln a ，＋∞)．(2)设g (x )＝f (x )－(1＋12ax 2)＝e ax －12ax 2－x －1，x ∈[0，＋∞)．则g′(x )＝a e ax －ax －1，g′′(x )＝a (e ax －1)＝af′(x )．①当a ≥1时，因为x ≥0，所以g′′(x )≥a (a －1)≥0，从而g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增．因此g ′(x )≥g ′(0)＝a －1≥0，故g (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (0)＝0恒成立，因此a ≥1符合题意．②当0＜a ＜1时，由(1)知，当x ∈(0，－1a ln a )时，g′′(x )＝af′(x )＜0，所以g ′(x )单调递减，因此，当x ∈(0，－1a ln a )时，g ′(x )＜g ′(0)＝a －1＜0，所以g (x )单调递减，故g (－1a ln a )＜g (0)＝0，与g (x )≥0恒成立矛盾．因此0＜a ＜1不符合题意．③当a ＝0时，此时g (x )＝－x ，g (1)＝－1＜0，与g (x )≥0恒成立矛盾，因此a ＝0不符合题意．④当a ＜0时，此时g (－2a )＝e －2－1＜0，与g (x )≥0恒成立矛盾．因此a ＜0不符合题意．综上，a ≥1．。
2022-2023学年江苏省扬州市高一(下)期末数学试卷(A卷)【答案版】
2022-2023学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷（A 卷）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z 满足zi ＝2﹣i （i 为虚数单位），则z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为（ ） A ．2.75B ．2.80C ．2.81D ．2.823．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知A ＝30°，a ＝5，b ＝6，求角B 时，解的情况是（ ） A ．无解B ．一解C ．两解D ．无数解4．已知向量a →与b →的夹角为60°，b →=(1，2)，b →⋅(a →−b →)=0，则|a →|=（ ） A ．√5 B ．2√5C ．√5或2√5D ．以上都不对5．已知l 、m 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l ∥α，m ⊥α，则l ⊥mB ．若l ⊥m ，m ⊥α，则l ∥αC ．若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥βD ．若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m6．如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一．小强同学学以致用，欲测量大运塔AB 的高度．他选取与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BCD ＝120°，CD ＝112m ，在C ，D 两观测点处测得大运塔顶部A 的仰角分别为45°，30°，则大运塔AB 的高为（ ）A ．56√2mB ．112mC ．112√2mD ．112√3m7．已知sin(α−π4)=√55，0≤α≤π，则sin(2α−π3)=（ ） A ．4√3−310 B ．3−4√310 C ．3+4√310D ．3−4√310或3+4√3108．如图，在一个质地均匀的正八面体木块的八个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．连续抛掷这个正八面体木块两次，并记录每次正八面体与地面接触的面上的数字，记“第一次记录的数字为奇数”为事件A ，“第二次记录的数字为偶数”为事件B ，“两次记录的数字之和为奇数”为事件C ，则下列结论正确的是（ ）A ．B 与C 是互斥事件B ．A 与B 不是相互独立事件C ．P （ABC ）＝P （A ）P （B ）P （C ）D ．A 与C 是相互独立事件二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）A ．EF →=13AB →B ．AD →+DC →=AB →+BC →C ．BE →=CB →−CE →D ．AF →=23AD →+13AC →10．从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命（单位：年）的检测结果如下表：记甲工厂样本使用寿命的众数为x 1，平均数为x 2，极差为x 3，方差为x 4；乙工厂样本使用寿命的众数为y 1，平均数为y 2，极差为y 3，方差为y 4．则下列选项正确的有（ ） A ．x 1＜y 1B ．x 2＝y 2C ．x 3＜y 3D ．x 4＞y 411．在△ABC 中，已知A =2π3，AD 为∠A 的内角平分线且AD ＝2，则下列选项正确的有（ ） A ．1AC+1AB=1ADB ．BC 2﹣2AC •AB ＝16 C ．AB •AC ﹣DB •DC ＝4D ．△ABC 的面积最小值为4√312．已知函数f(x)=2sinωx ⋅sin(π2+ωx)−2sin 2ωx +1(ω＞0)在区间[0，π]上有且仅有3个不同零点，则下列选项正确的有（ ）A ．f （x ）在区间（0，π）上有且仅有3条对称轴B ．f （x ）的最小正周期不可能是π2C ．ω的取值范围是[118，158)D ．f （x ）在区间(0，π16)上单调递增 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，双空题第一空2分，第二空3分.13．已知非零向量a →与b →的夹角为45°，|b →|=2√2，向量b →在向量a →上投影向量为c →，则|c →|= ． 14．写出一个同时具有下列两个性质的复数z ＝ ． 性质1：|z −z|=2 性质2：z ⋅z =415．已知角α的终边经过点P （cos50°，sin50°），且满足√3(tanα+tan2α)+xtanα⋅tan2α=−1，则实数x ＝ ．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 是底面A 1B 1C 1D 1（含边界）上一个动点，直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°，则PC 1的取值范围为 ；当PC 1取得最小值时，四棱锥P ﹣ABCD 的外接球表面积为 ．四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知向量a →=(2，x)，b →=(x −1，1)，x ∈R ．（1）若x ＝4，试判断a →，b →能否构成平面的一组基底？并请说明理由． （2）若c →=(2，−6)，且c →⊥(2a →+b →)，求a →与b →的夹角大小．18．（12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点． （1）求证：BD 1∥平面EAC ； （2）求点D 到平面EAC 的距离．19．（12分）某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚．现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量（单位：千克）均分布在区间[1.5，7.5]内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：（1）按分层随机抽样的方法从质量落在区间[2.5，3.5），[3.5，4.5）的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案： A ．所有蜜柚均以20元/千克收购；B ．低于4.5千克的蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购． 请你通过计算为该村选择收益最好的方案．20．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，∠CBA ＝90°，SA ＝AB ＝BC ＝2，SC =2√3，D 、E 分别为SB ，AB 的中点． （1）求证：SB ⊥BC ；（2）求二面角E ﹣DC ﹣B 的正弦值．21．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知（a ﹣c ）（sin A +sin C ）＝（a ﹣b ）sin B ． （1）求角C 的大小；（2）若D 是边AB 的三等分点（靠近点A ），CD ＝tAD ．求实数t 的取值范围． 22．（12分）已知函数f(x)=√2a(sinx +cosx)+2bsin2x −2，（a ∈R ，b ∈R ）．（1）若a ＝1，b ＝0，证明：函数g(x)=f(x)+12在区间[0，π4]上有且仅有1个零点； （2）若对于任意的x ∈R ，f （x ）≤0恒成立，求a +b 的最大值和最小值．2022-2023学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z 满足zi ＝2﹣i （i 为虚数单位），则z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：因为zi ＝2﹣i ，则z =2i −1=−1−2i ，所以z 在复平面上所对应的点为（﹣1，﹣2），位于第三象限． 故选：C ．2．已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为（ ） A ．2.75B ．2.80C ．2.81D ．2.82解：因为10个样本数据是从小到大排列的，且10×75%＝7.5， 所以第75百分位数是第8个数2.80． 故选：B ．3．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知A ＝30°，a ＝5，b ＝6，求角B 时，解的情况是（ ） A ．无解B ．一解C ．两解D ．无数解解：因为A ＝30°，a ＝5，b ＝6， 由正弦定理可得：a sinA=b sinB，则512=6sinB，所以sinB =35，因为a ＜b ，所以A ＜B ，所以角B 有两解． 故选：C ．4．已知向量a →与b →的夹角为60°，b →=(1，2)，b →⋅(a →−b →)=0，则|a →|=（ ） A ．√5 B ．2√5C ．√5或2√5D ．以上都不对解：∵b →=(1，2)，∴|b →|=√5，又b →⋅(a →−b →)=0，则a →⋅b →=b →2=|b →|2=5，∵向量a →与b →的夹角为60°，∴a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos60°=|a →|×√5×12=5，∴|a→|=2√5．故选：B．5．已知l、m为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m⊥α，则l⊥m B．若l⊥m，m⊥α，则l∥αC．若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥βD．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m解：对于A，∵m⊥α，∴m垂直平面α内任意一条线，又l∥α，∴∃n⊂α，使得l∥n，∴m⊥n，则有l⊥m，故A正确；对于B，当l⊥m，m⊥α时，有l∥α或l⊂α，故B错误；对于C，当l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β时，α与β可以相交，故C错误；对于D，若α∥β，l⊂α，m⊂β时，有l∥m或l与m异面，故D错误．故选：A．6．如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一．小强同学学以致用，欲测量大运塔AB的高度．他选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝120°，CD＝112m，在C，D两观测点处测得大运塔顶部A的仰角分别为45°，30°，则大运塔AB的高为（）A．56√2m B．112m C．112√2m D．112√3m解：由题意得，在直角△ABC中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB，在直角△ABD，∠ADB＝30°，所以ABBD=tan30°，即BD=√3AB，在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝112，由余弦定理BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos120°，可得3AB2=AB2+1122−2×112⋅(−12)⋅AB，因为AB＞0，所以解得AB＝112，即大运塔AB的高为112m．故选：B．7．已知sin(α−π4)=√55，0≤α≤π，则sin(2α−π3)=（ ） A ．4√3−310 B ．3−4√310 C ．3+4√310D ．3−4√310或3+4√310解：因为sin(α−π4)=√55，所以sinαcos π4−cosαsinπ4=√55， 即√22(sinα−cosα)=√55，所以sinα−cosα=√105， 所以(sinα−cosα)2=(√105)2，即sin 2α−2sinαcosα+cos 2α=25，即1−sin2α=25，所以sin2α=35， 因为0≤α≤π，所以−π4≤α−π4≤3π4， 又0＜sin(α−π4)＜√22，所以0＜α−π4＜π4，即π4＜α＜π2，所以π2＜2α＜π，所以cos2α=−√1−sin 22α=−45，所以sin(2α−π3)=sin2αcos π3−cos2αsin π3=35×12−(−45)×√22=3+4√310． 故选：C ．8．如图，在一个质地均匀的正八面体木块的八个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．连续抛掷这个正八面体木块两次，并记录每次正八面体与地面接触的面上的数字，记“第一次记录的数字为奇数”为事件A ，“第二次记录的数字为偶数”为事件B ，“两次记录的数字之和为奇数”为事件C ，则下列结论正确的是（ ）A ．B 与C 是互斥事件B ．A 与B 不是相互独立事件C ．P （ABC ）＝P （A ）P （B ）P （C ）D ．A 与C 是相互独立事件解：对于选项A ，事件C ，两次记录的数字之和为奇数，说明是一奇一偶，即事件B 与事件C 可以同时发生，不是互斥事件，故选项A 错误； 对于选项B ，对于事件A 与事件B ，P(A)=48=12，P(B)=48=12，P(AB)=4×48×8=14， 满足P （AB ）＝P （A ）P （B ），故A 与B 是相互独立事件，选项B 错误； 对于选项C ，由题意可得，P(A)=48=12，P(B)=48=12，P(C)=4×4×28×8=12， P(ABC)=4×48×8=14，故P （ABC ）≠P （A ）P （B ）P （C ），选项C 错误； 对于选项D ，P(A)=48=12，P(C)=4×4×28×8=12，P(AC)=4×48×8=14， 满足P （AC ）＝P （A ）P （C ），故A 与C 是相互独立事件，选项D 正确； 故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）A ．EF →=13AB →B ．AD →+DC →=AB →+BC →C ．BE →=CB →−CE →D ．AF →=23AD →+13AC →解：对于选项A ：由题意可知：EF →与AB →方向相同且E 、F 分别是CD 边上的两个三等分点，则EF →=13AB →，故选项A 正确；对于选项B ：由图可知，AD →+DC →=AC →，AD →+DC →=AC →， 所以AD →+DC →=AB →+BC →，故选项B 正确； 对于选项C ：CB →−CE →=EB →，所以选项C 错误；对于选项D ：AF →=AD →+DF →=AD →+23DC →=AD →+23(AC →−AD →)=13AD →+23AC →，故选项D 错误．故选：AB ．10．从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命（单位：年）的检测结果如下表：记甲工厂样本使用寿命的众数为x 1，平均数为x 2，极差为x 3，方差为x 4；乙工厂样本使用寿命的众数为y 1，平均数为y 2，极差为y 3，方差为y 4．则下列选项正确的有（ ） A ．x 1＜y 1B ．x 2＝y 2C ．x 3＜y 3D ．x 4＞y 4解：由题意可得，x 1＝8，x 2=110(3+5+6+7+7+8+8+8+9+10)=7.1， x 4=110[(3−7.1)2+(5−7.1)2+(6−7.1)2+(7−7.1)2+(7−7.1)2+（8﹣7.1）2+（8﹣7.1）2+（8﹣7.1）2+（9﹣7.1）2+（10﹣7.1）2]＝3.69， x 3＝10﹣3＝7， y 1＝8，y 2=110(4+6+6+7+8+8+8+8+8+8)=7.1， y 3＝8﹣4＝4，y 4=110[(4−7.1)2+(6−7.1)2+(6−7.1)2+(7−7.1)2+(8−7.1)2+（8﹣7.1）2+（8﹣7.1）2+（8﹣7.1）2+（8﹣7.1）2+（8﹣7.1）2]＝1.69， 则x 2＝y 2，x 1＝y 1，x 3＞y 3，x 4＞y 4． 故选：BD ．11．在△ABC 中，已知A =2π3，AD 为∠A 的内角平分线且AD ＝2，则下列选项正确的有（ ） A ．1AC+1AB=1ADB ．BC 2﹣2AC •AB ＝16 C ．AB •AC ﹣DB •DC ＝4D ．△ABC 的面积最小值为4√3解：依题意S △ABC ＝S △ABD +S △ADC ，即12AB ⋅ACsin 2π3=12AB ⋅ADsinπ3+12AD ⋅ACsin π3，所以AB •AC ＝AD （AB +AC ），所以1AC+1AB=1AD，故A 正确；AB •AC ＝2（AB +AC ），所以AB⋅AC 2=AB +AC ≥2√AB ⋅AC ，当且仅当AB ＝AC 时取等号，所以AB •AC ≥16或AB •AC ≤0（舍去）， 则S △ABC =12AB ⋅ACsin2π3=√34AB ⋅AC ≥4√3，当且仅当AB ＝AC ＝4时取等号，故D 正确； 又BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcos π3，DC 2=AC 2+AD 2−2AC ⋅ADcos π3， 即BD 2＝AB 2+AD 2﹣AB •AD ，DC 2＝AC 2+AD 2﹣AC •AD ， 所以BD 2+DC 2＝AB 2+AC 2+2AD 2﹣AC •AD ﹣AB •AD ，又BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos 2π3，即BC 2＝AB 2+AC 2+AB •AC ， 所以（BD +DC ）2＝BD 2+2BD •DC +DC 2＝AB 2+AC 2+AB •AC ， 所以2BD •DC ＝AB •AC ﹣2AD 2+（AC +AB ）•AD ， 即2BD •DC ＝2AB •AC ﹣2AD 2，所以AB •AC ﹣DB •DC ＝AD 2＝4，故C 正确； 由余弦定理BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos2π3， 即BC 2＝AB 2+AC 2+AB •AC ＝（AB +AC ）2﹣AB •AC =(AB⋅AC 2)2−AB ⋅AC =14(AB ⋅AC)2−AB ⋅AC ， 所以BC 2−2AC ⋅AB =14(AB ⋅AC)2−3AB ⋅AC ， 由于由已知条件无法得知AB •AC 的值， 故无法确定BC 2﹣2AC •AB 的值，故B 错误． 故选：ACD ．12．已知函数f(x)=2sinωx ⋅sin(π2+ωx)−2sin 2ωx +1(ω＞0)在区间[0，π]上有且仅有3个不同零点，则下列选项正确的有（ ）A ．f （x ）在区间（0，π）上有且仅有3条对称轴B ．f （x ）的最小正周期不可能是π2C ．ω的取值范围是[118，158)D ．f （x ）在区间(0，π16)上单调递增解：由题意f （x ）=2sinωxcosωx −(1−cos2ωx)+1=sin2ωx +cos2ωx =√2sin(2ωx +π4)， 令2ωx +π4=kπ，k ∈Z ，则x =(4k−1)π8ω，k ∈Z ， 函数 f （x ）在区间[0，π]上有且仅有 3个不同零点，即0≤(4k−1)π8ω≤π 有 3个整数k 符合， 由 0≤(4k−1)π8ω≤π，得0≤4k−18ω≤1⇒0≤4k −1≤8ω，则k ＝1，2，3， 即4×3﹣1≤8ω＜4×4﹣1，∴118≤ω＜158，故C 正确；对于A ，∵x ∈（0，π），∴2ωx +π4∈(π4，2ωπ+π4)， ∵2ωπ+π4∈[3π，4π)，当 2ωx +π4∈[π4，3π) 时，f （x ）在区间（0，π）上有且仅有3条对称轴； 当2ωx +π4∈[π4，4π) 时，f （x ）在区间（0，π）有且仅有4条对称轴，故A 错误； 对于B ，周期 T =2πω，由118≤ω＜158，则815＜1ω≤811，∴16π15＜T ≤16π11，又π2∉(16π15，16π11]，所以f （x ）的最小正周期不可能是π2，故B 正确；对于D ，∵x ∈(0，π16)，∴2ωx +π4∈(π4，ωπ8+π4)，∵ω∈[118，158)， ∴ωπ8+π4∈(27π64，31π64)，又31π64＜π2，所以f （x ）在区间 (0，π16) 上单调递增，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，双空题第一空2分，第二空3分.13．已知非零向量a →与b →的夹角为45°，|b →|=2√2，向量b →在向量a →上投影向量为c →，则|c →|= 2 ． 解：根据题意，非零向量a →与b →的夹角为45°，|b →|=2√2， 向量b →在向量a →上投影向量为c →，则|c →|＝||b →|cos ＜a →，b →＞|＝2． 故答案为：2．14．写出一个同时具有下列两个性质的复数z ＝ ±√3±i （写出其中一个即可） ． 性质1：|z −z|=2 性质2：z ⋅z =4解：设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，则z =a −bi ，从而z −z =(a +bi)−(a −bi)=2bi ， 因为|z −z|=2，所以|2b |＝2，解得b ＝±1，因为z ⋅z =4，所以（a +bi ）•（a ﹣bi ）＝a 2+b 2＝4，解得a =±√3， 所以z =±√3±i ．故答案为：±√3±i （写出其中一个即可）．15．已知角α的终边经过点P （cos50°，sin50°），且满足√3(tanα+tan2α)+xtanα⋅tan2α=−1，则实数x ＝ ﹣1 ．解：因为角α的终边上有一点P （cos50°，sin50°）， 所以tanα=sin50°cos50°=tan50°，因为点P （cos50°，sin50°）在第一象限，不妨取α＝50°，所以√3(tanα+tan2α)+xtanα⋅tan2α=−1等价于√3(tan50°+tan100°)+xtan50°⋅tan100°=−1． 因为tan(50°+100°)=tan150°=tan50°+tan100°1−tan50°⋅tan100°=−√33，所以√3(tan50°+tan100°)=tan50°⋅tan100°−1， 所以（x +1）tan50°•tan100°＝0， 所以x +1＝0， 解得x ＝﹣1．故答案为：﹣1．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P是底面A1B1C1D1（含边界）上一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则PC1的取值范围为[2√2−2，2]；当PC1取得最小值时，四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积为(32−16√2)π．解：连接A1P，AP，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以∠AP A1即为直线AP与平面A1B1C1D1所成的角，因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故直线AP与平面ABCD所成的角等于直线AP与平面A1B1C1D1所成的角，故∠AP A1＝45°，在Rt△AP A1中，tan∠APA1=AA1PA1=1，故P点轨迹为以A1为圆心，2为半径的圆位于底面A1B1C1D1内的部分，故连接A1C1，与圆弧交于点M，当P与M重合时，PC1取得最小值，最小值为A1C1−2=2√2−2，当P与B1或C1重合时，PC1取得最大值，最大值为2，故PC1的取值范围是[2√2−2，2]；连接AC，BD相交于点T，连接B1D1与A1C1相交于点H，连接TH，则TH＝2，AT=A1H=√22+222=√2，球心O在TH上，连接OP，OA，则OP＝OA＝R，其中PH=2−√2，设OH ＝x ， 则TO ＝2﹣x ，由勾股定理得AO 2=OT 2+AT 2=(2−x)2+(√2)2，PO 2=OH 2+PH 2=x 2+(2−√2)2， 故(2−x)2+(√2)2=x 2+(2−√2)2， 解得x =√2，则R 2=2+(2−√2)2=8−4√2，当PC 1取得最小值时，四棱锥P ﹣ABCD 的外接球表面积为4πR 2=(32−16√2)π． 故答案为：[2√2−2，2]；(32−16√2)π．四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知向量a →=(2，x)，b →=(x −1，1)，x ∈R ．（1）若x ＝4，试判断a →，b →能否构成平面的一组基底？并请说明理由． （2）若c →=(2，−6)，且c →⊥(2a →+b →)，求a →与b →的夹角大小． 解：（1）当x ＝4时，a →=(2，4)，b →=(3，1)，因为2×1≠4×3，所以向量a →，b →不共线，所以a →，b →能构成平面的一组基底； （2）因为a →=(2，x)，b →=(x −1，1)，所以2a →+b →=(x +3，2x +1)， 又c →=(2，−6)，且c →⊥(2a →+b →)，所以2（x +3）﹣6（2x +1）＝0，所以x ＝0， 此时a →=(2，0)，b →=(−1，1)，则cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →||b →|=−222=−√22， 又因为0≤〈a →，b →〉≤π，所以〈a →，b →〉=3π4，即向量a →与b →的夹角为3π4．18．（12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点． （1）求证：BD 1∥平面EAC ； （2）求点D 到平面EAC 的距离．（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接EO ，由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1可知底面ABCD 为正方形，知O 为BD 中点， ∵E 为棱DD 1的中点，∴EO ∥BD 1，又EO ⊂平面EAC ，BD 1⊄平面EAC ，∴BD 1∥平面EAC ；（2）解：设点D 到平面EAC 的距离为h ，由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1可知DD 1⊥平面ABCD ，底边ABCD 为正方形， ∴三棱锥E ﹣ADC 的体积V E−ADC =13×ED ×S △ADC =13×12×12×1×1=112， 在△EAC 中，∵EA ＝EC ，O 为AC 中点，∴EO ⊥AC ， 又EO =12BD 1=√32，∴三棱锥D ﹣AEC 的体积V D−AEC =13×ℎ×S △EAC =13×ℎ×12×√32×√2=√612ℎ， ∵V D ﹣EAC ＝V E ﹣ADC ，∴√612ℎ=112，解得ℎ=√66，即点D 到平面EAC 的距离√66． 19．（12分）某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚．现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量（单位：千克）均分布在区间[1.5，7.5]内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：（1）按分层随机抽样的方法从质量落在区间[2.5，3.5），[3.5，4.5）的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案： A ．所有蜜柚均以20元/千克收购；B ．低于4.5千克的蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购． 请你通过计算为该村选择收益最好的方案．解：（1）由题意得x＝1﹣（0.1×2+0.4+0.2+0.05）＝0.15，∴蜜柚质量在区间[2.5，3.5）和[3.5，4.5）的比为2：3，∴应该分别在蜜柚质量在区间[2.5，3.5）和[3.5，4.5）的蜜柚中抽取2个和3个，记抽取的2个蜜柚中质量至少有一个小于3.5千克为事件A，从这5个蜜柚中随机抽取2个，基本事件总数n=C52=10，这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克包含的基本事件个数m=C22+C21C31=7，∴这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率为P（A）=mn=710．（2）方案A好．理由如下：由题中频率分布直方图可知，蜜柚质量在区间[1.5，2.5），[2.5，3.5），[3.5，4.5），[4.5，5.5），[5.5，6.5），[6.5，7.5）的频率分别为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案A收购，由题意知各区间的蜜柚个数分别为500，500，750，2000，1000，250，∴总收益为：（1.5+2.52× 500+2.5+3.52×500+3.5+4.52×750+4.5+5.52×2000+5.5+6.52×1000+6.5+7.52×250）×20＝465000（元），若按方案B收购，由题意知蜜柚质量低于4.5千克的个数为1750，蜜柚质量高于或等于4.5千克的个数为5000﹣1750＝3250，所以总收益为1750×70+3250×90＝415000（元）．因为415000＜465000，所以方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，∠CBA＝90°，SA＝AB＝BC＝2，SC= 2√3，D、E分别为SB，AB的中点．（1）求证：SB⊥BC；（2）求二面角E﹣DC﹣B的正弦值．（1）证明：因为SA＝AB，D为SB的中点，所以AD⊥SB，因为平面SAB⊥平面SBC，AD⊂平面SAB，平面SAB∩平面SBC＝SB，所以AD⊥平面SBC，又BC⊂平面SBC，所以AD⊥BC，因为∠CBA＝90°，所以AB⊥BC，又AD∩AB＝A，AD⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB，又SB⊂平面SAB，所以SB⊥BC；（2）解：取BD中点H，过H作HK⊥CD于K，连接EK，因为E、H分别为AB、BD的中点，所以EH∥AD，由（1）知AD⊥SB，AD⊥BC，所以EH⊥SB，EH⊥BC，又SB∩BC＝B，SB⊂平面SBC，BC⊂平面SBC，所以EH⊥平面SBC，即EH⊥平面BDC，又CD⊂平面BDC，所以EH⊥CD，因为HK⊥CD，EH∩HK＝H，EH⊂平面EHK，HK⊂平面EHK，所以CD⊥平面EHK，又EK⊂平面EHK，所以CD⊥EK，所以∠EKH为二面角E﹣DC﹣B的平面角，在△SBC中，∠CBS＝90°，BC＝2，SC=2√3，所以SB=√12−4=2√2，在△SAB中，SA＝AB＝2，SB=2√2，所以SA⊥AB，由（1）可知BC⊥平面SAB，SA⊂平面SAB，所以SA⊥BC，又AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以SA⊥平面ABC，因为CE⊂平面ABC，所以SA⊥EC，因为D、E分别为SB、AB的中点，所以DE∥SA且DE=12SA=1，所以DE⊥EC，在Rt△BEC中，BE＝1，BC＝2，所以EC=√5，在Rt △DEC 中，DE ＝1，EC =√5，所以DC =√6，所以EK =√56，在Rt △ADB 中，AD =√AB 2−BD 2=√2，所以EH =√22，由HK 在面SBC 内，则EH ⊥HK ， 所以在Rt △EHK 中，sin ∠EKH =EH EK =√155，即二面角E ﹣DC ﹣B 的正弦值√155． 21．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知（a ﹣c ）（sin A +sin C ）＝（a ﹣b ）sin B ． （1）求角C 的大小；（2）若D 是边AB 的三等分点（靠近点A ），CD ＝tAD ．求实数t 的取值范围． （1）解：由正弦定理可得：（a ﹣c ）（a +c ）＝（a ﹣b ）b ， ∴a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab =ab 2ab =12， 又∵C ∈（0，π），∴C =π3．（2）设AD ＝x ，∠ACD ＝θ，θ∈(0，π3)， 则BD ＝2x ，CD ＝tx ，在△ACD 中，由正弦定理得：sin A ＝t sin θ， 在△BCD 中，由正弦定理得：sinB =CDsin∠BCD BD =t 2sin(π3−θ)． 又sinB =sin(π3+A)=√32cosA +12sinA =√32cosA +t 2sinθ，由√32cosA +t 2sinθ=t 2sin(π3−θ)，得cosA =tcos(π3+θ)．因为sin 2A +cos 2A =t 2sin 2θ+t 2cos 2(π3+θ)=1， 所以t 2=1sin 2θ+cos 2(π3+θ)=21−cos2θ+1+cos(2π3+2θ)=22−√3cos(2θ−π6)． 因为θ∈(0，π3)，所以−π6＜2θ−π6＜π2，∴0＜cos(2θ−π6)≤1，2−√3≤2−√3cos(2θ−π6)＜2，122−√3cos(2θ−π6)≤4+2√3，∴1＜t 2≤4+2√3，t ∈(1，√3+1]．22．（12分）已知函数f(x)=√2a(sinx +cosx)+2bsin2x −2，（a ∈R ，b ∈R ）．（1）若a ＝1，b ＝0，证明：函数g(x)=f(x)+12在区间[0，π4]上有且仅有1个零点； （2）若对于任意的x ∈R ，f （x ）≤0恒成立，求a +b 的最大值和最小值．解：（1）证明：已知函数f(x)=√2a(sinx +cosx)+2bsin2x −2，（a ∈R ，b ∈R ），当a ＝1，b ＝0时，f （x ）=√2（sin x +cos x ）﹣2＝2sin （x +π4）﹣2， 此时g(x)=2sin(x +π4)−32因为g(0)=√2−32＜0，g(π4)=12＞0且函数g （x ）的图象在区间[0，π4]上不间断， 所以g （x ）在[0，π4]上存在零点， 因为0≤x ≤π4， 所以π4≤x +π4≤π2， 此时函数g （x ）在[0，π4]上单调递增， 则g （x ）在[0，π4]上有且仅有1个零点； （2）若对于任意的x ∈R ，f （x ）≤0恒成立， 不妨令t ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），−√2≤t ≤√2， 又sin2x ＝2sin x cos x ＝（sin x +cos x ）2﹣1＝t 2﹣1，此时对于任意的x ∈R ，√2at +2b(t 2−1)−2≤0恒成立， 不妨设h （t ）=√2at +2b （t 2﹣1）﹣2，函数定义域为[−√2，√2]， 当−√2≤t ≤√2时，h （t ）≤0恒成立， 令√2t =2(t 2−1)， 解得t =√2或−√22， 当t =√2时，a +b ≤1， 令a ＝1，b ＝0，此时h （t ）=√2t ﹣2≤√2×√2−2＝0恒成立，其满足条件， 所以a +b 的最大值为1， 当t =−√22时，满足a +b ≥﹣2，令a =−43，b =−23，此时h （t ）=−43×√2t −43（t 2﹣1）﹣2=−43（t +√22）2≤0恒成立，其满足条件， 所以a +b 的最小值为﹣2，综上：a +b 的最小值为﹣2，a +b 的最大值为1．。
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2022-2023学年江苏省扬州市高邮市高三（上）学情调研数学试卷（10月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A ＝（﹣∞，1]∪[4，+∞），B ＝{x |a ﹣1＜x ＜a +1}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，3）B ．[2，3）C ．（2，3]D ．[2，3]2．（5分）已知i 为虚数单位，则复数z =1−3i1+2i对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知单位向量a →，b →满足|a →−b →|＝2，则a →在b →方向上的投影向量为（ ） A ．b →B ．−b →C ．a →D ．−a →4．（5分）与直线3x ﹣y +1＝0关于y 轴对称的直线的方程为（ ） A ．x ﹣3y +1＝0B ．3x +y ﹣1＝0C ．x +3y +1＝0D ．3x +y +1＝05．（5分）定义：若函数f （x ）的图象经过Ω变换后所得图象的对应函数的值域与f （x ）的值域相同，则称Ω变换是f （x ）的”同值变换”．则下列正确的是（ ） A ．f （x ）＝cos （x +π6）：Ω将函数f （x ）的图象关于点（e ，0）对称 B ．f （x ）＝x 2﹣2|x |：Ω将函数f （x ）的图象关于原点对称 C ．f （x ）＝2x ﹣1：Ω将函数f （x ）的图象关于x 轴对称 D ．f （x ）＝log 2x ：Ω将函数f （x ）的图象关于直线y ＝x 对称 6．（5分）椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，射线AF 1交椭圆E 于B ，以AB 为直径的圆过F 2，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．√22B ．√33C ．12D ．√557．（5分）定义在[0，π]上的函数y ＝sin （ωx −π6）（ω＞0）存在极值点，且值域M ⊆[−12，+∞），则ω的范围是（ ） A ．[76，2]B ．（23，43]C ．（76，43]D ．[23，2]8．（5分）当x ＞0时，不等式x 2e x ≤mx +2lnx +1有解，则实数m 的范围为（ ）A ．[1，+∞）B ．[−1e，+∞）C ．[2e，+∞）D ．[2，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）已知a ＞0，b ＞0，且2a +b ＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．ab ≤2B ．12a+1b≥1C ．4a +2b ≥6D ．4a 2+b 2≤8（多选）10．（5分）已知向量a →=（1，1），b →=（cos θ，sin θ）（0≤θ≤π）．则下列命题正确的是（ ） A ．若a →∥b →，则θ=π4B ．存在θ，使得|a →+b →|＝|a →−b →| C ．与a →共线的单位向量为（√22，√22） D ．向量a →与b →夹角的余弦值范围是[−√22，1]（多选）11．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ），满足f （x ）+|cos x |是奇函数，且f （x ）﹣sin x 是偶函数．则下列命题正确的是（ ） A ．f （3π4）=√2 B ．f （π2）＝1C ．f （k π+x ）＝f （x ）D ．f （π2−x ）＝f （π2+x ）（多选）12．（5分）过点P （﹣1，0）的直线l 与圆C ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0交于A ，B 两点，线段MN 是圆C 的一条动弦，且|MN |＝2√7，则（ ） A ．|AB |的最小值为2√11B ．△ABC 面积的最大值为8C ．△ABC 面积的最大值为√55D ．|PM →+PN →|的最小值为6﹣2√5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若cos （α−π4）=45，则sin2α＝ ．14．（5分）若“∀x ∈[1，2]，都有2x 2﹣λx +1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是 ． 15．（5分）已知实数x ，y 满足x ＞2y ＞0，若z ＝x 2+2(x−2y)y ，则z 的最小值是 ．16．（5分）椭圆E ：x 24+y 23=1内有一个圆C ，圆C 与椭圆内切，圆C 面积的最大值是 ；若切点是椭圆的右顶点，则圆C 面积的最大值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知A ＝{x |log 2（x 2﹣2x ﹣4）＞2}，B ＝{x |(13)x−a ＜127}． （1）当a ＝2时，求A ∩∁R B ；（2）已知“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求实数a 的取值范围．18．（12分）圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9，过点P （﹣1，3）向圆C 引两切线，A ，B 为切点．（1）求切线的方程； （2）求PA →⋅PB →的值．19．（12分）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力、在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐．某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的20n （n ∈N +）台汽车车主，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得x 2≈5.556．喜欢 不喜欢 总计 男性 10n 12n 女性 3n 总计15n（1）完成表格并求出n 值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关：（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率．从该车企今年某月份售出的汽车中，随机抽取4辆汽车，设被抽取的4辆汽车中属于不喜欢新能源购车者的辆数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：K ²=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．a ＝P （x 2≥k ） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82820．（12分）在三角形ABC 中，A ＝60°，D 点在AC 边上，AD ＝1，DC =√3． （1）BD =√7，求△ABD 的面积；（2）若E 点在AB 边上，AD ＝AE ，∠DBC ＝30°，求sin ∠EDB ．21．（12分）如图，半圆所在的平面与矩形所在平面ABCD 垂直，P 是半圆弧上一点（端点除外），AD 是半圆的直径，AB ＝1，AD ＝2．（1）求证：平面P AB ⊥平面PDC ；（2）是否存在P 点，使得二面角B ﹣PC ﹣D 的正弦值为√32？若存在，求四棱锥P ﹣ABCD 的体积；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f （x ）＝e a ﹣x ，g （x ）＝a ﹣lnx ，f （x ）与g （x ）在x ＝1处的切线相同．（1）求实数a 的值；（2）令m （x ）={f(x)，x ＜1g(x)，x ＞1，若存在x 1＜x 2，使得m （x 1）+m （x 2）＝2．①求x 1+m （x 2）的取值范围； ②求证：x 1+x 2＞2．2022-2023学年江苏省扬州市高邮市高三（上）学情调研数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A ＝（﹣∞，1]∪[4，+∞），B ＝{x |a ﹣1＜x ＜a +1}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，3）B ．[2，3）C ．（2，3]D ．[2，3]【解答】解：集合A ＝（﹣∞，1]∪[4，+∞），B ＝{x |a ﹣1＜x ＜a +1}， A ∩B ＝∅， ∴{a −1≥1a +1≤4， 解得2≤x ≤3，则实数a 的取值范围是[2，3]． 故选：D ．2．（5分）已知i 为虚数单位，则复数z =1−3i1+2i对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：z =1−3i1+2i =(1−3i)(1−2i)5=−5−5i5=−1﹣i ， 故复数z =1−3i1+2i对应的点为（﹣1，﹣1），位于第三象限， 故选：C ．3．（5分）已知单位向量a →，b →满足|a →−b →|＝2，则a →在b →方向上的投影向量为（ ） A ．b →B ．−b →C ．a →D ．−a →【解答】解：∵单位向量a →，b →满足|a →−b →|＝2，∴a →2+b →2−2a →⋅b →=4，即1+1−2a →⋅b →=4，解得a →⋅b →=−1，∴a →在b →方向上的投影向量为a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=−b →．故选：B ．4．（5分）与直线3x ﹣y +1＝0关于y 轴对称的直线的方程为（ ） A ．x ﹣3y +1＝0B ．3x +y ﹣1＝0C ．x +3y +1＝0D ．3x +y +1＝0【解答】解：根据题意，直线3x ﹣y +1＝0即y ＝3x +1，其斜率k ＝3，与y 轴的交点为（0，1），则要求直线的斜率为﹣3，与y 轴的交点为（0，1），则其方程为y ＝﹣3x +1，变形可得3x +y ﹣1＝0， 故选：B ．5．（5分）定义：若函数f （x ）的图象经过Ω变换后所得图象的对应函数的值域与f （x ）的值域相同，则称Ω变换是f （x ）的”同值变换”．则下列正确的是（ ） A ．f （x ）＝cos （x +π6）：Ω将函数f （x ）的图象关于点（e ，0）对称 B ．f （x ）＝x 2﹣2|x |：Ω将函数f （x ）的图象关于原点对称 C ．f （x ）＝2x ﹣1：Ω将函数f （x ）的图象关于x 轴对称 D ．f （x ）＝log 2x ：Ω将函数f （x ）的图象关于直线y ＝x 对称【解答】解：因为函数f(x)=cos(x +π6)的图象关于点（e ，0）对称后得到的仍然为三角函数，值域仍然为[﹣1，1]，所以A 选项正确；因为f （x ）＝x 2﹣2|x |的值域为[﹣1，+∞），关于原点对称后的函数为f （x ）＝﹣x 2+2|x |，值域为（﹣∞，1]，所以B 选项错误；f （x ）＝2x ﹣1的值域为（﹣1，+∞），关于x 轴对称后的解析式为y ＝﹣f （x ）＝﹣（2x ﹣1）＝﹣2x +1，值域为（﹣∞，1），所以C 选项错误；f （x ）＝log 2x 的值域为R ，f （x ）＝log 2x 关于直线y ＝x 对称的函数为y ＝2x ，值域为（0，+∞），所以D 选项错误． 故选：A ． 6．（5分）椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，射线AF 1交椭圆E 于B ，以AB 为直径的圆过F 2，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．√22B ．√33C ．12D ．√55【解答】解：由题意可知：设|BF 1|＝m ，|BF 2|＝n ，可得m +n ＝2a ，（m +a ）2＝a 2+n 2， m 2+a 2+2ma ＝a 2+（2a ﹣m ）2，解得m =2a 3，n =4a3，(4a 3)2+(2c)2−(2a2)22×2a3×2c=ba，a 2＝b 2+c 2，解得b ＝2c ，a =√5c ， 所以e =c a =√55． 故选：D ．7．（5分）定义在[0，π]上的函数y ＝sin （ωx −π6）（ω＞0）存在极值点，且值域M ⊆[−12，+∞），则ω的范围是（ ） A ．[76，2]B ．（23，43]C ．（76，43]D ．[23，2]【解答】解：∵定义在[0，π]上的函数y ＝sin （ωx −π6）（ω＞0）存在极值点， ωx −π6∈[−π6，ωπ−π6]，且值域M ⊆[−12，+∞），∴π2＜ωπ−π6≤7π6，求得23＜ω≤43，则ω的范围为（23，43]，故选：B ．8．（5分）当x ＞0时，不等式x 2e x ≤mx +2lnx +1有解，则实数m 的范围为（ ） A ．[1，+∞）B ．[−1e，+∞）C ．[2e，+∞）D ．[2，+∞）【解答】解：设f （x ）＝e x ﹣x ﹣1，则f ′（x ）＝e x ﹣1，所以当x ∈（﹣∞，0）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以当x ＝0时，f （x ）取得极小值，即为最小值，最小值为f （0）＝0， 所以f （x ）＝e x ﹣x ﹣1≥0，所以e x ≥x +1， 所以x 2e 3≤mx +2lnx +1有解等价于m ≥x 2e x −2lnx−1x，x ＞0有解， 所以x 2e x −2lnx−1x=e x+lnx 2−2lnx−1x≥x+lnx 2+1−2lnx−1x=1，当且仅当x +lnx 2＝0时取等号． 所以m ≥1，所以m 的取值范围[1，+∞）． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。