复变函数积分复习题答案

3.1计算积分

2C

z dz ?

，其中C 是：

（1）原点到()2i +的直线段； （2）原点到2再到()2i +的折线； （3）原点到i 再沿水平到()2i +的折线。 解：（1）C 的参数方程为()()22201z t i t ti

t =+=+≤≤

()2dz i dt =+

于是

()()()222

1

222113

C

i i d z d t i z t +++==

?

（2）12C C C =+，1C 参数方程为()02z t

t =≤≤，

2C 参数方程为()201z it

t =+≤≤

()()1

2

2

21

2

2

2

2

1

22113

C

C C z dz z dz z dz t dt id it i t +=

+=+=+?

???? （3）12C C C =+，1C 参数方程为()01z it

t =≤≤，

2C 参数方程为()02z t i

t =+≤≤

()()()1

2

2

1

2

2

2

22

1

2113

C

C C z dz z dz z dz it idt dt t i i +=

+++==????? 3.2设C 是,i z e θ

θ=是从π-到π的一周，计算： （1）

()Re C

z dz ?

；（2）()Im C

z dz ?；（3）C

zdz ?

解：cos sin i z e i θ

θθ==+，()sin cos dz i d θθθ=-+

（1）()()Re cos sin cos C

z dz i d i π

π

θθθθπ-=-+=??；

（2）()()Im sin sin cos C

z dz i d π

π

θθθθπ-=-+=-?

?；

（3）

()()cos sin sin cos 2C

zdz i i d i π

π

θθθθθπ-=--+=?

?

3.3计算积分C

z zdz ?

，其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭

曲线。

解：12C C C =+，1C 表示为z x iy =+，()11,0x y -≤≤=；

2C 表示为()cos sin 0z x iy i θθ

θπ=+=+≤≤，()sin cos dz i d θθθ=-+，

()()1

2

1

1

cos sin sin cos C

C C z zdz z zdz z zdz

x xdx i i d i

π

θθθθθπ-=+=+--+=?

????

3.5沿下列指定曲线的正向计算积分

()21C dz

z z +? 的值：

（1）1:2C z =；（2）3:2C z =；（3）1:2C z i +=；（4）3

:2

C z i -=。 解：()()()

111

22f z z z i z i =

--

-+ （1）

()211111

2002221C C C C dz dz dz dz i i z z i z i z z ππ=--=--=-++???? ； （2）

()21111120221C C C C dz dz dz dz i i i z z i z i z z πππ=--=--=-++???? ； （3）

()21111100221C C C C dz dz dz dz i i z z i z i z z ππ=--=--=--++???? ； （4）

()21111120221C C C C dz dz dz dz i i i z z i z i z z πππ=--=--=-++????

3.6设区域D 为右半平面，z 为D 内的圆周1z =上的任意一点，用在D 内的任意一条曲线C 连接原点与z ，证明：20Re 14

z d επ

ε??=??+???。 证明：函数

2

1

1ε

+在右半平面解析，故从0到z 沿任意曲线C 的积分与路径无关，积分路径换为先沿实轴从0到1，再沿圆周到z 点。

1222000=111i z

i d dx ie d x e η

θηε

ηε++++??? 0

4

2cos i

d θ

π

ηη

=

+?

所以20Re 14

z d επε??=??+???

3.8设C 为正向椭圆22149

x y +=，定义()22

C f z d z εεεε-+=-? ，z 不在C 上，求

()()()1,,f f i f i '''-。

解： z 在C 内部时，22

z

εεε-+-在=z ε处不解析，

()()22

222C f z d i z z z

εεεπε-+==-+-? ， ()()

21

1224z f i z z i ππ==-+=；

()()()22122z i

f i i z i ππ='=-=-+；

()4f i i π''-=

3.9计算下列积分： （1）

2sin i

i

zdz ππ

-?；

（2）11

i z

ze dz +?；（3）()2

1

2i

iz dz +?；（4）()

()

1

ln 11i

z dz z ++?;

(5) ?C z dz z

z

e 2sin ，设C 为正向圆周2||=-i z 解：（1）

()21

sin 1cos 22

i

i

i

i zdz z dz πππ

π--=-??

sin 2sin 2242

4z i z i

z z z z ππ==-????

=--- ?

?

????

sin 22

i

i ππ=-

； （2）()

()1111111

1

1

11i

i

z z i z i z

i i ze dz ze e dz i e e ie ++++++=-=+-=?

?；

（3）

()

()2

3

111112233

i

i i iz dz iz i -++=

+=

?； （4）

()()()()222

11ln 111ln 1ln 1ln 2122

i

i z dz z i z +??=+=+-??+? 2

2

11ln 2ln 2224i π????=+-?? ???????

2

23ln 2

ln 23288

i ππ=-

-+ (5) 解：令 z e z f z

sin )(=，则由高阶求导公式得：

原式i z e z e i f i z z z πππ2|)cos sin (2)0(20=+='?==

3.10设()3

2e f z dz z π

ε

εε==

-? ，求()(),f i f i -；当2z >时，求()f z 。

解：z 在2z <内部时，3

e

z

π

εε-在=z ε处不解析，()3

3

22z e f z dz ie z π

ε

π

επε===-? ， (

)(3

3

22z i

z i

f i ie

ie

i ππ

πππ====-；

(

)(3

3

22z i z i

f i ie ie i π

π

πππ-=--===+；

当2z >时，3

e

z

π

εε-将处处解析，所以()3

20e f z dz z πε

εε===-? 3.11沿下列指定曲线的正向计算各积分： （1）

()5

cos ,:11C

z

dz C z r z π=>-? ；

（2）

()()

2

3

1

,:111C

dz C z r z

z =<--? ；

（3）

2

sin 3

,:2

2C

z

dz C z z π=?

?

- ??

?? ； （4）

()

3

,:1,z

C

e dz C z a z a =-? 为1a ≠的任何数；

（5）

2sin ,:229C z

dz C z i z -=+? ；

（6）12

3cos C C z

dz z

+?，其中1:2C z =取正向，2:3C z =取负向。 解：（1）cos z π在由:1C z r =>围成的区域内解析，

()()()

541

5

cos 2cos 4!

12

1z C z

i i

dz z z ππππ===-

-? ；

（2）函数()()()

2

3

1

11f z z

z =

--在由:1C z r =<围成的区域内无奇点，处处解析，所

以

()()

2

3

1

011C

dz z

z =--? ；

（3）函数()2

sin 2z

f z z π=

??- ??

?在由3

:2

C z =

围成的区域内无奇点，处处解析，所以 2

sin 02C

z

dz z π=?

?

- ??

?? ；

（4）当1a >时，()()

3

z

e f z z a =

-在由:1C z =围成的区域内无奇点，处处解析，所以

()

3

0z

C

e dz z a =-? ；

当1a <时，()()

3

z

e f z z a =

-在由:1C z =围成的区域内有奇点z a =，

()

()3

22!

z

z a z a

C

e i dz e e i z a ππ=''

==-? ；

（5）函数()2sin 9

z

f z z =

+在由:22C z i -=围成的区域内有奇点3z i =-， 32sin sin sin 32sin 3sinh 393333

z i C C z

z z i z i dz dz i i z z i z i πππ=--====++-?? ； （6）设2:3C z -

=取正向，

1212333cos cos cos C C C C z z z

dz dz dz z z z -+=-???

()()00

22cos cos 2!2!z z i i z z ππ==''''=-

0=

3.12设()f z 在1z ≤上解析且()01f =，()'

03f

=，试求：

()11122z f z z dz i z z π=????±+ ????

???? 。 解：()()()()221112111

222z z z f z f z f z z dz dz i z z i z z ππ==??+??????±+=± ???????????

?? ()()()2

201z f z f z ='??=±+??

()()()2

221z z f z z f z =??'=±?++??

()20f '=±23=±

3.13 试证：当1||

1()(21)()||1(ξξξξξπd z

z f i z f z

证：令 )1()()(ξξξz f F -?=

因为 ()f ξ在 ||1ξ< 内解析，在 ||1ξ≤上连续，所以()F ξ也在||1ξ<内解析，

在||1ξ≤上连续。根据Cauchy 积分公式有：

)||1()()()(21)1()(212

1||1||z z f z F d z

F i d z z f i -?==-=--???==ξξξξξπξξξξπ