机理分析建模

3. 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为： 选择如下广告策略， 时刻的广告费用为 时刻的广告费用为：
A, A( t ) = 0,
建模： 建模：
0 < t < τ; t >τ.
记 S(t) — t 时刻商品的销售速度； 时刻商品的销售速度； M — 销售饱和水平，即销售速度的上限； 销售饱和水平，即销售速度的上限； λ(＞0)— 衰减因子，广告作用随时间的推移而自 ＞ 衰减因子， 然衰减的速度。 然衰减的速度。 直接建立微分方程
三、微元法 基本思想： 基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个 很短时间内的变化情况。 很短时间内的变化情况。 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水 米的球体容器里盛了一半的水， 例5.1.3 一个高为 米的球体容器里盛了一半的水， 水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米。 水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米。 试求放空容器所需要的时间。 试求放空容器所需要的时间。 对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速 依赖于此 ． 时刻的流速v 刻容器内水的高度h(t)。 刻容器内水的高度 。 2 ．整个放水过程无能量损失。 整个放水过程无能量损失。 容器内水的体积为零 分析：放空容器 分析 放空容器 容器内水的高度为零
模型特点： 模型特点：有明确的物理或现实意义
5.1 微分方程的建立
当实际问题需寻求某个变量y 当实际问题需寻求某个变量 随另一变量 t 的变化 规律 ：y=y(t)，且直接求很困难时，可以建立关于未知 ，且直接求很困难时， 变量、未知变量的导数以及自变量的方程(即变量满足 变量、未知变量的导数以及自变量的方程 即变量满足 的微分方程)。 的微分方程 。 在实际问题中， 改变” 变化” 增加” 在实际问题中， “改变”、“变化”、“增加”、 减少”等关键词提示我们注意什么量在变化； “减少”等关键词提示我们注意什么量在变化；关键词 速率” 增长” 衰变” 边际的” “速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及 到导数。这些都我们建立微分方程模型的关键。 到导数。这些都我们建立微分方程模型的关键。 建立常微分方程模型的常用方法有以下四种： 建立常微分方程模型的常用方法有以下四种： 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法
一、运用已知物理定律 建立微分方程模型时应用已知物理定律， 建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功 倍。 一个较热的物体置于室温为18 的房间内 的房间内， 例5.1.1 一个较热的物体置于室温为 0C的房间内， 该物体最初的温度是60 ， 分钟以后降到 分钟以后降到50 该物体最初的温度是 0C，3分钟以后降到 0C 。想知 道它的温度降到30 需要多少时间？ 分钟以后它的 道它的温度降到 0C 需要多少时间？10分钟以后它的 温度是多少？ 温度是多少？ 牛顿冷却(加热 定律：将温度为T的物体放入处于 加热)定律 牛顿冷却 加热 定律：将温度为 的物体放入处于 的介质中时， 的变化速率正比于 的变化速率正比于T与周围介质 常温 m 的介质中时，T的变化速率正比于 与周围介质 的温度差。 的温度差。 分析：假设房间足够大， 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的 物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡， 物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡， 采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。 保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。
积分后整理得
t=
π
4.65 2 g
3 5 (700000 − 1000h 2 + 3h 2 )
(0≤h≤100)
小时58分 令 h=0，求得完全排空需要约 小时 分。 ，求得完全排空需要约2小时
四、分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识， 基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因 果关系, 找出反映内部机理的规律。 果关系 找出反映内部机理的规律。 例5.1.4(独家广告模型) 广告是调整商品销售的强 (独家广告模型) 有力的手段, 广告与销售量之间有什么内在联系？ 有力的手段, 广告与销售量之间有什么内在联系？如何 评价不同时期的广告效果？ 评价不同时期的广告效果？ 分析： 广告的效果，可做如下的条件假设： 分析： 广告的效果，可做如下的条件假设： 1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品在市 商品的销售速度会因广告而增大， 场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值； 场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值； 2. 商品销售率 销售加速度 随商品销售速度的增高 商品销售率(销售加速度 销售加速度)随商品销售速度的增高 而降低； 而降低；
dV = 0.62 2 ghdt
(1)
r1 h(t) r2 h+∆h 降至h+∆h(∆h<0), 容 在[t，t+∆t ]内，水面高度 h(t) 降至 ， 内 器中水的体积的改变量为 ∆V=V(h)－V(h+∆h)=－π∆h[3(r12+r22)＋o(∆h)] － － ＋ ≈－πr2∆h＋o(∆h) － ＋
dS S (t ) ) − λS ( t ) = pA( t )(1 − dt M
为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力。 的影响力。 称 p 为响应系数，表征 模型分析：是否与前三条假设相符？ 模型分析 是否与前三条假设相符？ 是否与前三条假设相符 改写模型
dS A( t ) ( M − S ( t )) − λS ( t ) = p dt M
dT = − k (T − m ) dt T ( 0 ) = 60
其中参数k ， 其中参数 >0，m=18，求得一般解为 ， ln(T－m)=－k t+c 或 T = m + ce − kt ( t ≥ 0) －
1 16 代入条件，求得c=42 ， k = − ln , 最后得 代入条件，求得 3 21
T ( t ) = 18 + 42e
1 16 − ln t 3 21
( t ≥ 0)
结果： 结果：
T (10) = 18 + 42e
1 16 − ln ×10 3 21
≈ 39.3( 0 C )
该物体温度降至30 需要8.17分钟。 分钟。 该物体温度降至 0C 需要 分钟 二、利用平衡与增长式 不变的特性， 许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性 许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性， 如封闭区域内的能量、货币量等。 如封闭区域内的能量、货币量等。 利用变量间的平衡与增长特性， 利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关 变量间的相互关系. 变量间的相互关系. 续例2.3 人口增长模型 续例 对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个体的出生、 对某地区时刻t的人口总数 ，除考虑个体的出生、 出生 死亡，再进一步考虑迁入 迁出的影响 迁入与 的影响。 死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响。
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t) (t≥0)， “T的变化速率正比于 与周围介质的温度差” ， 的变化速率正比于T与周围介质的温度差 的变化速率正比于 与周围介质的温度差”
dT 翻译成数学语言也就是： 翻译成数学语言也就是： 与 T − m 成正比 r = 100 − (100 − h) = 200h − h
2 2
2
→ 0, 得
dV=－πr2 dh， － ，
(2)
比较(1)、 两式得微分方程如下 两式得微分方程如下： 比较 、(2)两式得微分方程如下：
0.62 2 ghdt = −π ( 200h − h2 )dh h t = 0 = 100
假设1 假设 市场余额 假设2 假设
销售速度因广告作用增大, 同时 销售速度因广告作用增大 又受市场余额的限制。 又受市场余额的限制。
5.2 微分方程的定性分析
随着科学技术的发展， 随着科学技术的发展，常微分方程定性分析在各个 学科领域已成为必不可少的数学工具， 学科领域已成为必不可少的数学工具，也是数学建模的 必备基础理论。 必备基础理论。 一、微分方程定性理论的基本任务和主要研究方法 极少情况下，能够用初等函数或初等函数的积分表 极少情况下， 示微分方程的解。 示微分方程的解。 解 决 求微分方程的数值解 方 法 微分方程 定性分
2) Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死 方军队 方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死 a 名士兵； 名士兵； 3) X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死 方军队 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队 b 名士兵； 名士兵； 平衡式： 平衡式： {∆t 时间内 军队减少的士兵数 } 时间内X军队减少的士兵数 = {∆t 时间内 军队消灭对方的士兵数 时间内Y军队消灭对方的士兵数 军队消灭对方的士兵数} 即有： ，同理：∆y =－bx∆t 同理： 即有：∆x =－ay∆t － 同理 － 令∆t 0，得到微分方程组： ，得到微分方程组： dx dt = − ay ( a > 0) dy = − bx (b > 0) dt
在很短的时间段∆t 关于P(t)变化的一个最简单 在很短的时间段 内，关于 变化的一个最简单 的模型是： 的模型是： {∆t时间内的人口增长量 时间内的人口增长量} 时间内的人口增长量 ={∆t内出生人口数 －{∆t内死亡人口数 内出生人口数}－ 内死亡人口数} 内出生人口数 内死亡人口数 + {∆t内迁入人口数 －{∆t内迁出人口数 内迁入人口数}－ 内迁出人口数 内迁出人口数} 内迁入人口数 更一般地 {∆t时间内的净改变量 时间内的净改变量} 时间内的净改变量 ={∆t时间内输入量 －{∆t时间内输出量 时间内输入量 时间内输出量 时间内输入量}－ 时间内输出量} 不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程。 不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程。 输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量； 输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量； 输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量。 输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量。 此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的 此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的 关键 右端，使平衡式成立。 右端，使平衡式成立。