高三数学一轮复习材料

（新课标）山东省2013高考数学二轮复习 （研热点聚焦突破+析典型预测高考+巧演练素能提升） 第一部分 专题三 三角函数与解

三角形 1-3-1第一讲 三角函数的图象与性质 理

一、选择题

1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ＝( )

A.

5

5 B ．－

55

C ．±

55

D ．±255

解析：当角θ为第一象限角时，取终边所在直线y ＝2x 上一点P (1，2)，点P 到原点的距离为5，cos θ＝

15＝

5

5

；当角θ为第三象限角时，取终边所在直线y ＝2x 上一点P (－1，－2)，则点P 到原点的距离为5，cos θ＝

－15

＝－55，所以cos θ＝±5

5，选

C.

答案：C

2．(2012年高考江西卷)若sin α＋cos αsin α－cos α＝1

2，则tan 2α＝( )

A ．－34

B.3

4 C ．－43

D.43

解析：利用“弦化切”求解． 由

sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝1

2

，解得tan

α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2

α＝3

4

. 答案：B

3．已知sin α

D ．若α，β是第四象限角，则cos α

4π3，β＝7π6，则－32＝sin α

2

，但是3＝tan α>tan β＝3

3

，故选项C 不成立；结合三角函数的图象可知选项A 、B 、D 均成立，故选C.

答案：C

4．(2012年高考安徽卷)要得到函数y ＝cos (2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )

A ．向左平移1个单位

B ．向右平移1个单位

C ．向左平移1

2

个单位

D ．向右平移1

2

个单位

解析：利用三角函数图象的平移求解． ∵y ＝cos (2x ＋1)＝cos 2(x ＋1

2

)，

∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移1

2个单位即可，故选C.

答案：C

5．(2012年广州模拟)已知函数f (x )＝sin (2x ＋3π

2)(x ∈R)，给出下面四个命题：

①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间[0，π

2

]上是增函数．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：函数f (x )＝sin (2x ＋

3π

2

)＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象关于直线x ＝π4不对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在[0，π

2]上是增函数，故④正确．综上可知，选C.

答案：C 二、填空题

6．如图是函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π

2)的一段图象，则函数的解析

式为________．

解析：由图象知，A ＝1，T 4＝π12－(－π6)＝π4，即T ＝π，则ω＝2πT ＝2π

π

＝2.将点(－

π6，0)代入y ＝sin (2x ＋φ)得，φ＝k π＋π3，k ∈Z，因为0<φ<π2，所以φ＝π

3，所以y ＝sin (2x ＋π

3

)．

答案：y ＝sin (2x ＋π

3)

7．已知f (n )＝sin

n π

3

(n ∈N *

)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝________.

解析：由题意知f (1)＝sin

π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝32

，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝sin 4π3＝－32，f (5)＝sin 5π3＝－32，f (6)＝sin 2π＝0，f (7)＝sin 7π3＝sin π

3＝

3

2

…由此可得函数f (n )的周期T ＝6. 所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)

＝335×[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝ 3. 答案： 3

8．为了得到函数f (x )＝2cos x (3sin x －cos x )＋1的图象，需将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，则φ的最小值为________．

解析：f (x )＝2cos x (3sin x －cos x )＋1 ＝23sin x cos x －2cos 2

x ＋1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin (2x －π

6

)

＝2sin 2(x －π12)，因此只要把函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π

12＋2k π(k ∈Z)个单位，

即可得到函数f (x )的图象，因为φ>0，显然平移的最小值为π

12

.

答案：π12

三、解答题

9．已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π

2)的部分图象如图所示．

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)令g (x )＝f (x ＋π

12

)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．

解析：(1)由图象知，A ＝2.

f (x )的最小正周期T ＝4×(

5π12－π

6

)＝π， 故ω＝2π

T

＝2.

将点(π6，2)代入f (x )的解析式，得sin (π

3＋φ)＝1，

又|φ|<π2，所以φ＝π6

.

故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin (2x ＋π

6)．

(2)g (x )＝f (x ＋π12)＝2sin [2(x ＋π12)＋π

6]

＝2sin (2x ＋π

3

)，

其中g (－π3)＝－3，g (π

3

)＝0，

所以g (－π3)≠g (π3)，g (－π3)≠－g (π

3)．

故g (x )为非奇非偶函数．

10．(2012年高考陕西卷)函数f (x )＝A sin (ωx －π

6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，

其图象相邻两条对称轴之间的距离为π

2

.

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)设α∈(0，π2)，f (α

2)＝2，求α的值．

解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.

∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π

2，

∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，

∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin (2x －π

6)＋1.

(2)∵f (α2)＝2sin (α－π

6)＋1＝2，

∴sin (α－π6)＝1

2

.

∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π

3，

∴α－π6＝π6，∴α＝π

3

.

11．(2012年长沙模拟)设x ∈R，函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)(ω>0，－π

2<φ<0)的最小

正周期为π，且f (π4)＝3

2

.

(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )>

2

2

，求x 的取值范围． 解析：(1)∵函数f (x )的最小正周期T ＝2π

ω＝π，

∴ω＝2，

∵f (π4)＝cos (2×π4＋φ)＝cos (π

2＋φ)＝－sin φ

＝

32，且－π2<φ<0，∴φ＝－π3

. (2)由(1)知f (x )＝cos (2x －π

3

)，列表如下：

作图象如图：

(3)∵f (x )>

22，即cos (2x －π3)>22

， ∴2k π－π4<2x －π3<2k π＋π

4，k ∈Z，

则2k π＋π12<2x <2k π＋7

12π，k ∈Z，

即k π＋π24

24

π，k ∈Z.

∴x 的取值范围是{x |k π＋π24

24π，k ∈Z}．