揭示函数的本质及其研究方法

揭示函数的本质及其研究方法
——记一堂高三函数复习课
常州市北郊高级中学马剑飞213000 摘要：数学学习是一个由薄到厚，再由厚到薄的过程，高三的学生经历了由薄到厚的过程，所以高三更加要关注学生由厚到薄的过程，让学生真正明白数学知识的本质及方法，从而提高数学能力与素养．函数是一个重要的知识点，通过这一章让学生经历这个过程，理解函数的本质，明白数学的学习方法．关键词：函数，本质，方法，数形结合
数学课程标准指出“高中教育属于基础教育。

高中数学课程应具有基础性，它包括两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备．”高三的数学复习是为了让学生在这两方面能够得到更进一步的提升，但是，往往我们给学生的是无数的题，无数的方法，学生学到最后变成了用记忆的方法来学习数学，这样既不利于学生的水平的提高，也影响学生对数学的兴趣及后续的数学学习，所以高三的复习课更应让学生感受数学的本质，体会数学的研究方法，真正感受数学是思维的体操，感受数学的美．函数一章是学生进入高中学的第一个难点知识，也是高考重要的一个知识考点，是贯穿整个数学学习过程的一块知识．对于本章内容，学生做了很多的题，但是总是一遇到问题就没有方法，遇难而退，其主要原因在于不能掌握函数的本质．笔者在一节课中用几道函数题让学生经历探究的过程，感受数学的研究方法，培养学生思维的灵活性、深刻性和发散性，促进数学素养的提高，揭示数学的本质，感受数学思维的快乐！
一、揭示函数的本质
函数的最大难点是变化，所以函数的本质是研究两个变量之间的相互关系，解决的方法就是找到两个变量之间的变化关系，从而转化为函数关系，这就是函数思想。

体会这个本质后，就形成了函数思想，就能够用函数的方法研究问题．为了让学生体会函数的本质，本节课给出了2011年江苏高考卷12题及一个练习，让学生真正感受函数的本质，形成函数的思想．
例1、在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数)0
x
f x的图象上
e
(>
(
)
=x
的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ．
生1：本题求t 的最值，必须找到t 与另一个变量的关系，从而求出最值．解题过程为：设00(,),x P x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y e e x x M x e -=-∴-，
过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，
00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-， 00'01()(1)2
x x t e e x -=+-， 所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e
=+． 通过生1的分析与解答过程，明确了求最值就是找函数关系式，转化为函数的最值问题，通过本题学生感受到了函数的本质，但是由于本题比较明显，学生还没有真正从思想上领会，故给出一个练习，通过练习让学生再摸索、感悟． 练习1、设函数x e x f x sin )(+=，x x g 3
1)(=．若存在),0[,21+∞∈x x ，使得)()(21x g x f =成立，则12x x -的最小值是 ．
生2：令12x x t -=，但是两个量都在变，不能建立函数关系．
生3：只要转化为一个变量就行了，所以要找两变量之间的关系，消元后就可以建立函数关系．
解题过程为：令12x x t -=，由题知：213
1sin 1x x e x =
+， x e x x sin 3312+=∴， 1sin 331x x e t x -+=∴，1cos 331'1-+=x e t x ， 令1cos 33)(11-+=x e x h x ，则1'sin 33)(1x e x h x +=，
由),0[1+∞∈x 知0)('>x h ，)(x h ∴在),0[+∞上单调递增，5)(≥∴x h ，即5'≥t t ∴在),0[+∞上单调递增，则3min =t ．
生2已能够运用函数的思想去理解，但是面对三个变量不知怎么处理，所以还没有能够真正掌握．生3运用化归的数学思想方法，消元解决了该问题，建立了函数关系，理解函数的本质．
二、体会研究函数的方法：数形结合
两个量的变化关系反映在函数图像上就更加形象，这就是数形结合思想．单
调性、奇偶性都是从图像上研究，从而得出代数关系，所以让函数清晰起来的方法就是用函数图像．在用函数图像研究函数的过程就是对数形结合思想的体会，提高了数学素养，为后续的数学学习打下扎实的思维基础．本节课给出了2011年的江苏高考卷19题，本题用代数方法与数形结合方法都可以解，但是代数方法要求明显高，而用数形结合的方法却是很容易研究，在比较中感受数形结合思想的美．
例2、已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致
（1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围；
（2）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a -b |的最大值。

(1)解略；
(2)给出的参考答案技巧多，分类多，学生看完答案后，普遍不理解，即使理解也感觉没有任何的收获．在这个时候，笔者提出问题：那么我们怎么来看这个问题？
生4：代数的形式比较陌生，本题的实质就是研究函数的单调性，而单调性的研究是从函数的图像开始的，所以我们可以用函数的图像来辅助研究．
解题过程为：a x x f +=2'3)(，0<a ，)(x f ∴在),3
(),3,(+∞----∞a a 单调递增，在)3,3(a a ----单调递减，而)(x g 在)2,(b --∞单调递减，),2
(+∞-b 上单调
递增．
(1)当0>b 时，)(x g 在],[b a 上单调递增，但)(x f 只能单调递减，所以0>b 舍去．
(2)当0≤b 时，)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上只能单调递减，所以)(x f 在以a ，b 为
端点的开区间上也只能单调递减，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--≥--≥∴33a
b a a ，031,031≤≤-<≤-∴b a ，故3
1||ma x =-b a ． 生4从图像上出发研究单调性，非常清晰明了，建立关系快，得分点多，所以数形结合会带来很多解题的方便．
通过本节课的学习，事后对学生跟踪调查发现，学生对函数题的解题能力有了明显的提高．细细想来，这样的学习方式学生还是很有收获．数学家华罗庚说过“数学学习是一个由薄到厚，再由厚到薄的过程”通过以前的学习，学生对于函数的知识逐渐深厚，通过本节课的学习，学生又经历了由厚到薄的过程，通过这样的一个过程，学生掌握了函数的本质，找到了数学学习的方法，提高了数学的素养，真正会解题，理解数学。

在高三的复习课中，我们总是在经历这样的一个过程，只是有时我们更加重视由薄到厚的过程，而忽视了由厚到薄的过程，让学生错过了提升能力的时机．。