陕西省安康市2015届高考数学三模试卷(文科)
陕西省安康市高考数学二模试卷文(含解析)
陕西省安康市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．cos480°的值为( )A．B．C．﹣D．﹣2．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（C U B）∩A=( ) A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3）C．6．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )A．﹣＞0 B．﹣＜0 C．＞D．＜7．当a＞l时，函数f （x）=log a x和g（x）=（l﹣a）x的图象的交点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．若x0是方程e x=3﹣2x的根，则x0属于区间( )A．（﹣1，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，2）9．函数f（x）=sin（2x+）则下列结论正确的是( )A．f（x）图象关于直线x=对称B．f（x）图象关于（，0）对称C．f（x）图象向左平移个单位，得到一个偶函数图象D．f（x）在（0，）上为增函数10．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（l﹣y），若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，7] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1]∪；④命题“若cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，则其中正确命题的序号为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．命题P：已知a＞0，函数y=a x在R上是减函数，命题q：方程x2+ax+1=0有两个正根，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．17．设函数f（x ）=sinxcosx﹣cos（π+x）cosx（x∈R）（1）求f（x）的最小正周期；（2）若sin（π+α）=，|α|，求f（x）的值．18．在直角坐标系xoy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2）是平行四边形ABCD中的三顶点．（1）求点D的坐标；（2）求平行四边形ABCD中的较小内角的余弦值．19．已知函数f（x）=在x=l处的切线与直线x﹣y+10=0平行．（1）求a的值；（2）若函数y=f（x）﹣m在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．20．设数列{a n}的前n项和为S n满足点（n，S n）在函数f（x）=x2﹣8x图象上，{b n}为等比数列，且b1=a5，b2+a3=﹣1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）=x2﹣ax3，g（x）=me x﹣x﹣1，曲线y=g（x）在x=0处取得极值．（1）求m的值；（2）若a≤0，试讨论y=f（x）的单调性；（3）当a=，x＞0时，求证：g（x）﹣x3＞f（x）﹣x2．陕西省安康市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．cos480°的值为( )A．B．C．﹣D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos（360°+120°）=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．2．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（C U B）∩A=( ) A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3）C．，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪分析：依题意，利用等比数列的性质，可求得a5=4，从而可得答案．解答：解：在正项等比数列{a n}中，∵a1•a9==16，∴a5=4，∴log2a5=log24=2，故选：A．点评：本题考查等比数列的性质，考查对数的运算，属于基础题．6．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )A．﹣＞0 B．﹣＜0 C．＞D．＜考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的性质即可得出．解答：解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．7．当a＞l时，函数f （x）=log a x和g（x）=（l﹣a）x的图象的交点在( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数和一次函数的图象和性质即可判断解答：解：∵a＞l时，f （x）=log a x的图象经过第一四象限，g（x）=（l﹣a）x的图象经过第二四象限，∴f （x）=log a x和g（x）=（l﹣a）x的图象的交点在第四象限故选：D．点评：本题考查了对数函数和一次函数的图象和性质，属于基础题8．若x0是方程e x=3﹣2x的根，则x0属于区间( )A．（﹣1，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，2）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，设函数f（x）=e x﹣（3﹣2x），判断函数f（x）在哪个区间内存在零点即可．解答：解：根据题意，设函数f（x）=e x﹣（3﹣2x）=e x+2x﹣3，∵f（﹣1）=e﹣1﹣2﹣3＜0，f（0）=e0+0﹣3=﹣2＜0，f（）=+2×﹣3=﹣2＜0，f（1）=e+2﹣3=e﹣1＞0，f（2）=e2+4﹣3=e2+1＞0，∴f（）•f（1）＜0；∴f（x）在区间（，1）内存在零点，即x0∈（，1）．故选：C．点评：本题考查了判断函数零点的应用问题，解题时应根据根的存在性定理进行解答，是基础题目．9．函数f（x）=sin（2x+）则下列结论正确的是( )A．f（x）图象关于直线x=对称B．f（x）图象关于（，0）对称C．f（x）图象向左平移个单位，得到一个偶函数图象D．f（x）在（0，）上为增函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：分别根据函数的对称性，单调性和周期性的性质进行判断即可得到结论．解答：解：A．f（）=sin（2×+）=sinπ=0，不是最值，∴f（x）的图象关于直线x=对称错误；B．f（）=sin（2×+）=cos≠0，∴f（x）的图象关于关于点（，0）对称，错误；C．∵f（x）图象向左平移个单位，得到函数g（x）=sin=cos2x的图象，故C正确；D．由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z．得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．取k=0，可知f（x）在上为增函数，x超过时递减，∴选项D不正确．故选：C．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数的对称性，周期性，单调性的性质的判断方法，属于基础题．10．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（l﹣y），若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，7] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1]∪；④命题“若cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，则其中正确命题的序号为①④．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据对数函数的图象和性质，可判断①；根据函数的奇偶性，可判断②；求出函数的值域，可判断③；根据三角函数的定义，可判断④．解答：解：对于①，∵函数y=1n（x+2）的单调递增区间为（﹣2，+∞），故在区间（0，+∞）上单调递增；故①正确；对于②，y=3x+3﹣x是偶函数，y=3x﹣3﹣x是奇函数；故②错误；对于③，y=的值域为（0，]；故③错误对于④，命题“若cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，故④正确；故正确命题的序号是：①④，故答案为：①④．点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的单调性，奇偶性，值域等知识点，难度不大，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．命题P：已知a＞0，函数y=a x在R上是减函数，命题q：方程x2+ax+1=0有两个正根，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据指数函数的单调性，可求出命题p中实数a的取值范围；根据一元二次方程根的个数与△的关系，可求出命题q：方程x2+2ax+1=0有两个正根，实数a的取值范围；综合讨论结果，可得答案．解答：解：若命题p为真，即函数y=a x在R上是减函数，所以0＜a＜1，若命题q为真，方程x2+ax+1=0有两个正根，即，则a≤﹣2，因为p或q为真命题，p且q为假命题，所以命题p与q中一真一假，当p真q假时，则满足，即0＜a＜1；当p假q真时，则满足，即a∈∅；综上所述，a的范围为{a|0＜a＜1}．点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，指数次函数的单调性，一元二次方程根的个数与△的关系，难度不大，属于基础题．17．设函数f（x ）=sinxcosx﹣cos（π+x）cosx（x∈R）（1）求f（x）的最小正周期；（2）若sin（π+α）=，|α|，求f（x）的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由两角和与差的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+）+，从而可求f（x）的最小正周期；（2）先求sinα=﹣，又|α|，即可求得cos，sin2，cos2，化简f（α）﹣后代入即可求值．解答：解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos（π+x）cosx=sinxcosx﹣cos（π+x）cosx=sinxcosx+cos2x=sinxcosx+=sin（2x+）+∴f（x）的最小正周期为T==π（2）∵sin（π+α）=，∴sinα=﹣，又|α|，∴cos，sin2，cos2∴f（α）﹣=sin（2）=sin2αcos+cos2αsin=点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．18．在直角坐标系xoy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2）是平行四边形ABCD中的三顶点．（1）求点D的坐标；（2）求平行四边形ABCD中的较小内角的余弦值．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）设D（x，y），由平行四边形的性质定理可得：，利用向量坐标运算即可得出．（2）=（1，2），=（1，﹣1）．可得，，．利用向量夹角公式可得cos∠BAD=，即可得出．解答：解：（1）设D（x，y），由平行四边形的性质定理可得：，∴（1，2）=（3﹣x，2﹣y），∴，解得，∴D（2，0）．（2）=（1，2），=（1，﹣1）．∴=1﹣2=﹣1，=，=．∴cos∠BAD==．∴平行四边形ABCD中的较小内角的余弦值为．点评：本题考查了平行四边形的性质定理、向量坐标运算、向量夹角公式、数量积运算，考查了计算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=在x=l处的切线与直线x﹣y+10=0平行．（1）求a的值；（2）若函数y=f（x）﹣m在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）先化简f（x）==﹣1，从而求导f′（x）==a；从而得到f′（1）=a=1；解得．（2）由（1）知，f（x）=﹣1，x∈，f′（x）=；列表说明取值范围，从而解得．解答：解：（1）∵f（x）==﹣1；∴f′（x）==a；∵函数f（x）在x=l处的切线与直线x﹣y+10=0平行，∴f′（1）=a=1；故a=1；（2）由（1）知，f（x）=﹣1，x∈，f′（x）=；列表如下，x 1 （1，e） e （e，e2） e2f′（x） 1 + 0 ﹣f（x）﹣1 ↑极大值﹣1 ↓﹣1则当函数y=f（x）﹣m在区间上有两个零点时，实数m的取值范围为考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由点（n，s n）在函数f（x）=x2﹣8x的图象上得到数列递推式S n=n2﹣8n，由a n=s n ﹣s n﹣1=求得数列的通项公式．再由数列{b n}为等比数列，b1=a5=1，b2=2求得公比，代入等比数列的通项公式求得b n；（2）把b n=2n﹣1代入c n=n•b n，然后由错位相减法求得数列的前项n和T n．解答：解：（1）∵点（n，s n）在函数f（x）=x2﹣8x的图象上，∴S n=n2﹣8n，当n=1时，a1=s1=﹣7，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=（n2﹣8n）﹣ =2n﹣9，而a1=﹣7满足上式，∴a n=2n﹣9．∵数列{b n}为等比数列，b1=a5=1，b2=2，∴q=2，则b n=2n﹣1；（2）c n=n•b n=n•2n﹣1，T n=c1+c2+…+c n=1•20+2•21+3•22+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1．+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n．两式相减得：．∴．点评：本题考查了数列的函数特性，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．21．已知函数f（x）=x2﹣ax3，g（x）=me x﹣x﹣1，曲线y=g（x）在x=0处取得极值．（1）求m的值；（2）若a≤0，试讨论y=f（x）的单调性；（3）当a=，x＞0时，求证：g（x）﹣x3＞f（x）﹣x2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）由题意求导g′（x）=me x﹣1，从而得到g′（0）=me0﹣1=0，从而解得．（2）先求函数f（x）=x2﹣ax3的定义域，求导f′（x）=2x﹣2ax2=2x（﹣ax+1）；从而判断函数的单调性；（3）当a=时，f（x）=x2﹣x3，令h（x）=g（x）﹣x3﹣=e x﹣x2﹣x﹣1，（x＞0）；从而求导证明．解答：解：（1）∵g（x）=me x﹣x﹣1，∴g′（x）=me x﹣1，又∵曲线y=g（x）在x=0处取得极值，∴g′（0）=me0﹣1=0，解得，m=1；（2）函数f（x）=x2﹣ax3的定义域为R，f′（x）=2x﹣2ax2=2x（﹣ax+1）；当a=0时，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，故y=f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）；当a＜0时，由f′（x）＞0得x＞0或x＜，由f′（x）＜0得＜x＜0；故y=f（x）的增区间为（﹣∞，），（0，+∞），减区间为（，0）；（3）证明：当a=时，f（x）=x2﹣x3，令h（x）=g（x）﹣x3﹣=e x﹣x2﹣x﹣1，（x＞0）；h′（x）=e x﹣x﹣1，＞0，易知h（x）在（0，+∞）内单调递增，h（x）＞h（0）=0，即g（x）﹣x3＞f（x）﹣x2．点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．。
陕西省安康市高考数学三模试卷 理(含解析)
2016年陕西省安康市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x丨0＜x＜4}，则A∪B等于（）A．{x|0＜x＜l} B．{x|﹣l＜x＜l} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|l＜x＜4}2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1+3i D．1﹣3i3．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，且=x+y，则（）A．x=﹣1，y=﹣B．x=1，y=C．x=﹣1，y=D．x=1，y=﹣4．若x，2x+1，4x+5是等比数列{a n}的前三项，则a n等于（）A．2n﹣1B．3n﹣1C．2n D．3n5．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数g（x）=cos（ωx+）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=6．已知a=dx，则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为（）A．160 B．80 C．﹣80 D．﹣1607．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=﹣1的一个交点的纵坐标为y0，若|y0|＜2，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，）C．（，+∞）D．（，+∞）8．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）A．B．C．D．9．设命题p：∃x0∈（0，+∞），e+x0=e，命题q：，若圆C1：x2+y2=a2与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2相切，则b2+c2=2a2．那么下列命题为假命题的是（）A．￢q B．￢p C．（￢p）∨（￢q）D．p∧（￢q）10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．72 B．80 C．86 D．9211．设函数f（x）=3|x﹣1|﹣2x+a，g（x）=2﹣x2，若在区间（0，3）上，f（x）的图象在g （x）的图象的上方，则实数a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（3，+∞）D．[3，+∞）12．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3 B．2 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最小值为．14．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为m，则m= ．15．若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则实数a的取值范围是．16．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a n（2+sin）=n（2+cosnπ），且S4n=an2+bn，则a﹣b= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在四边形ABCB′，△ABC≌△AB′C，AB⊥AB′，cos∠BCB′=，BC=2．（1）求sin∠BCA；（2）求BB′及AC′的长．18．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点， =3．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．19．在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9．（1）求μ，σ；（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．（i）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率；（ii）若从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，求X的数学期望．20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．21．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0 （1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．四.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求AO的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．2016年陕西省安康市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x丨0＜x＜4}，则A∪B等于（）A．{x|0＜x＜l} B．{x|﹣l＜x＜l} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|l＜x＜4}【考点】并集及其运算．【分析】根据并集的运算性质计算即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x丨0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜4}，故选：C．2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=2+i代入z（1﹣z），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数z（1﹣z）的共轭复数．【解答】解：∵z=2+i，∴z（1﹣z）=（2+i）（﹣1﹣i）=﹣1﹣3i，∴复数z（1﹣z）的共轭复数为﹣1+3i．故选：B．3．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，且=x+y，则（）A．x=﹣1，y=﹣B．x=1，y=C．x=﹣1，y=D．x=1，y=﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用平面向量的三角形法则用表示出．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∵E是BC中点，∴=﹣=﹣．∴==．∴x=1，y=﹣．故选D：．4．若x，2x+1，4x+5是等比数列{a n}的前三项，则a n等于（）A．2n﹣1B．3n﹣1C．2n D．3n【考点】等比数列的通项公式．【分析】由x，2x+1，4x+5是等比数列{a n}的前三项，可得（2x+1）2=x（4x+5），解得x即可得出．【解答】解：∵x ，2x+1，4x+5是等比数列{a n }的前三项，∴（2x+1）2=x （4x+5），解得x=1．∴公比q==3． 则a n =3n ﹣1．故选：B ．5．已知函数f （x ）=sin （ωx ﹣）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数g （x ）=cos（ωx+）的图象的一条对称轴方程为（ ）A ．x=B ．x=C ．x=D ．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，可得g （x ）的解析式，再根据余弦函数的图象的对称性求得g （x ）的图象的对称轴方程．【解答】解：根据函数f （x ）=sin （ωx ﹣）（ω＞0）的部分图象，可得=﹣，∴ω=2，则函数g （x ）=cos （ωx+）=cos （2x+），令2x+=k π，求得x=﹣，k ∈Z ，故函数g （x ）的图象的对称轴方程为x=﹣，k ∈Z ，当k=1时，x=， 故选：B ．6．已知a=dx ，则二项式（1﹣）5的展开式中x ﹣3的系数为（ ）A ．160B ．80C ．﹣80D ．﹣160【考点】二项式定理的应用．【分析】求定积分可得a 的值，再根据二项式展开式的通项公式，求得展开式中x ﹣3的系数．【解答】解：a=dx=2，则二项式（1﹣）5=（1﹣）5 的展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣2）r •x ﹣r ，令﹣r=﹣3，求得r=3，可得展开式中x ﹣3的系数为•（﹣2）3=﹣80，故选：C．7．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x=﹣1的一个交点的纵坐标为y0，若|y0|＜2，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，）C．（，+∞）D．（，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线和渐近线的交点的纵坐标，根据不等式关系求出a，b的范围，进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x，∴当x=﹣1时，y=±，∵交点的纵坐标为y0，若|y0|＜2，∴||＜2，则离心率e=====，∵e＞1，∴1＜e＜，故选：B8．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=时，满足条件S＜1，退出循环，输出S的值为．【解答】解：模拟执行程序，可得S=600，i=1执行循环体，S=600，i=2不满足条件S＜1，执行循环体，S=300，i=3不满足条件S＜1，执行循环体，S=100，i=4不满足条件S＜1，执行循环体，S=25，i=5不满足条件S＜1，执行循环体，S=5，i=6不满足条件S＜1，执行循环体，S=，i=7满足条件S＜1，退出循环，输出S的值为．故选：C．9．设命题p：∃x0∈（0，+∞），e+x0=e，命题q：，若圆C1：x2+y2=a2与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2相切，则b2+c2=2a2．那么下列命题为假命题的是（）A．￢q B．￢p C．（￢p）∨（￢q）D．p∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】对于命题p：由于函数y=e x与函数y=e﹣x的图象在第一象限有一个交点，因此∃x0∈（0，+∞），使得e+x0=e，即可判断出真假．对于命题q：由于两圆的圆心距离d=，两圆的半径均为|a|，可知两圆必然外切，进而判断出真假．【解答】解：对于命题p：∵函数y=e x与函数y=e﹣x的图象在第一象限有一个交点，∴：∃x0∈（0，+∞），e+x0=e，是真命题．对于命题q∵两圆的圆心距离d=，两圆的半径均为|a|，因此两圆必然外切，∴=2|a|，∴b2+c2=4a2．故命题q为假命题．只有￢q为真命题．故选：B．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．72 B．80 C．86 D．92【考点】由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图复原的几何体，画出图形，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】解：如图：三视图复原的几何体是五棱柱ABCEF﹣A1B1C1E1F1，其中底面面积S==14，底面周长C=1+4+5+1+5=16，高为h=4，表面积为：2S+Ch=28+64=92．故选：D．11．设函数f（x）=3|x﹣1|﹣2x+a，g（x）=2﹣x2，若在区间（0，3）上，f（x）的图象在g （x）的图象的上方，则实数a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（3，+∞）D．[3，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得3|x﹣1|﹣2x+a＞2﹣x2在0＜x＜3上恒成立，即有a＞2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|的最大值，由二次函数和指数函数的最值的求法，可得x=1时，右边取得最大值，即可得到a 的范围．【解答】解：由题意可得3|x﹣1|﹣2x+a＞2﹣x2在0＜x＜3上恒成立，即有a＞2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|的最大值，由h（x）=2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|=3﹣（x﹣1）2﹣3|x﹣1|，当x=1∈（0，3）时，h（x）取得最大值，且为3﹣0﹣1=2，即有a＞2．故选A．12．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3 B．2 C．2 D．3【考点】棱锥的结构特征．【分析】由四棱锥的体积为9可得到底面边长a与高h的关系，作出图形，则球心O在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R的表达式，将问题转化为求R何时取得最小值的问题．【解答】解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，∵V棱锥S﹣ABCD=•a2•h=9，∴a2=，∵正四棱锥内接于球O，∴O在直线SM上，设球O半径为R，（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM﹣SO=h﹣R，（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO﹣SM=R﹣h，∵SM⊥平面ABCD，∴△OMB是直角三角形，∴OM2+MB2=OB2，∵OB=R，MB=BD=a，∴（h﹣R）2+=R2，或（R﹣h）2+=R2∴2hR=h2+，即R=+=+=≥3=．当且仅当=取等号，即h=3时R取得最小值．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最小值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得B（1，1），由z=x+y得：y=﹣x+z，显然直线过B时z最小，z的最小值是2，故答案为：2．14．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为m，则m= 2 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，将椭圆mx2+y2=1的方程变形为标准方程可得+=1，比较与1的大小可得该椭圆的焦点在y轴上，且b=，进而依据题意可得m=2，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆mx2+y2=1的方程可以变形为+=1，又由m＞1，则＜1，故该椭圆的焦点在y轴上，则b=，又由该椭圆的短轴长为m，则有m=2，解可得m=2；故答案为：2．15．若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则实数a的取值范围是[，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【分析】若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则f′（x）=≥0在（2，3）上恒成立，进而得到答案．【解答】解：若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则f′（x）=≥0在（2，3）上恒成立，则9a+1≥0，解得：a∈[，+∞），故答案为：[，+∞）．16．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a n（2+sin）=n（2+cosnπ），且S4n=an2+bn，则a﹣b= 5 ．【考点】数列的求和．【分析】通过计算得出数列{a n}前8项的值，进而联立S4=a+b、S8﹣S4=3a+b，进而解方程组，计算即得结论．【解答】解：①当n=4k﹣3时，a n（2+1）=n（2﹣1），a n=；②当n=4k﹣2时，a n（2+0）=n（2+1），a n=n；③当n=4k﹣1时，a n（2﹣1）=n（2﹣1），a n=n；④当n=4k时，a n（2+0）=n（2+1），a n=n；∵S4n=an2+bn，∴S4=a+b=+•2+3+•4=+12，S8﹣S4=（4a+2b）﹣（a+b）=3a+b=•5+•6+7+•8=+28，∴（3a+b）﹣（a+b）=（+28）﹣（+12），解得：a=+8，b=+12﹣a=（+12）﹣（+8）=﹣+4，∴a﹣b=（+8）﹣（﹣+4）=5，故答案为：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在四边形ABCB′，△ABC≌△AB′C，AB⊥AB′，cos∠BCB′=，BC=2．（1）求sin∠BCA；（2）求BB′及AC′的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）利用△ABC≌△AB′C，可得∠BCA=∠B′CA，利用cos∠BCB′=，即可求sin∠BCA；（2）利用余弦定理求出BB′，利用正弦定理求出BB′，即可求出AC′的长．【解答】解：（1）∵△ABC≌△AB′C，∴∠BCA=∠B′CA，∴cos∠BCB′=2cos2∠BCA﹣1，∵cos∠BCB′=，∴cos2∠BCA=，∴sin2∠BCA=，∴sin∠BCA=；（2）∵BC=2，∴BB′2=8+8﹣2×=4，∴BB′=2∵，∴AB=，设BB′与AC交于O，则AO=1，CO==，∴AC=+1．18．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点， =3．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，推导出EO∥PB，FG∥EO，PB∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，又=3，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD的中点，∴FG∥EO，∴PB∥FG，∵FG⊂平面FMN，PB⊄平面FMN，∴PB∥平面FMN．解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设PA=AB=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），则=（2，2，0），=（0，1，1），平面ABCD的一个向向量=（0，0，1），设平面AEC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），∴cos＜＞==，由图知二面角E﹣AC﹣B为钝角，∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为﹣．19．在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9．（1）求μ，σ；（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．（i）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率；（ii）若从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，求X的数学期望．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由茎叶图得这20个数据的平均数，再由这20个数据的方差为49.9，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），结合题意能求出μ和σ．（2）（i）∵由题知x服从正态分布N（89.1，49），作出相应的正态曲线，能求出该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率．（3）由从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185，能求出这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的数学期望．【解答】解：（1）由茎叶图得这20个数据的平均数：=（79+80+81+82+87+87+88+88+89+90×4+91+92+93+93+100+101+109）=90，∵这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），∴μ=90﹣0.9=89.1，σ==7．（2）（i）∵英语成绩服从正态分布N（89.1，49），P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，∴P（82.1＜X＜96.1）=0.6826，P（75.1＜X＜103.1）=0.9544，由题知x服从正态分布N（89.1，49），作出相应的正态曲线，如图，依题意P（82.1＜X＜96.1）=0.6826，P（75.1＜X＜103.1）=0.9544，即曲边梯形ABCD的面积为0.9544，曲边梯形EFGH的面积为0.6826，其中A、E、F、B的横坐标分别是75.1、82.1、96.1、103.1，由曲线关于直线x=89.1对称，可知曲边梯形EBCH的面积为0.9544﹣=0.8185，即该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185．（3）∵从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185．∴从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，X的数学期望E（X）=0.8185×10000=8185．20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得AF⊥x轴，即有p=3，进而得到抛物线的方程；（2）设B（x2，y2），AB：y=k（x+），代入抛物线的方程，可得x的方程，运用判别式大于0和求根公式，运用向量共线的坐标表示，可得2p=x2﹣x1，解方程即可得到所求定值．【解答】解：（1）抛物线y2=2px的焦点F（，0），准线方程为x=﹣，则|AF|=y1，可得AF⊥x轴，则x1=，即有d=+=3，即p=3，则抛物线的方程为y2=6x；（2）证明：设B（x2，y2），AB：y=k（x+），代入抛物线的方程，可得k2x2+p（k2﹣2）x+=0，由△=p2（k2﹣2）2﹣k4p2＞0，即为k2＜1，x1=，x2=，由d=2λp，可得x1+=2λp，由+λ=，M（﹣，0），可得x1+=λ（x2﹣x1），即有2p=x2﹣x1=，解得k2=．故直线AB的斜率的平方为定值．21．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0 （1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在[p，1]上的最小值为f（1）=1，最小值f（p）=2，只需2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，利用导数求出函数的单调性，列出不等式，即可求得结论；【解答】解：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣+，∴f′（1）=﹣+n=﹣1，把x=1代入x+y﹣2=0得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=﹣，∴f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣﹣，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞），没有递增区间．（2）由（1）可得，f（x）在[p，1]上单调递减，∴f（x）在[p，1]上的最小值是f（1）=1，最大值是f（p）=2，∴只需t3﹣t2﹣2at+2≤1或≥2，即2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，令g（t）=t2﹣t+，则g′（t）=，令g′（t）=0，解得：t=1，而2t2+t+1＞0恒成立，∴≤t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，1＜t≤2时，g′（t）＞0，g（t）递增，∴g（t）的最大值是max{g（），g（2）}，而g（）=＜g（2）=，∴g（t）在[，2]的最大值是g（2）=，又t2﹣t∈[﹣，2]，∴2a≥或2a≤﹣，解得：a≥或a≤﹣，故a的范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．四.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求AO的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）连结OC，OC⊥AB，推导出OA=OB，OC⊥AB，由此能证明直线AB与⊙O相切．（2）延长DO交⊙O于点F，连结FC，由弦切角定理得△ACD∽△AFC，从而=，由此能求出AO的长．【解答】证明：（1）∵AB∥DE，∴，又OD=OE，∴OA=OB，如图，连结OC，∵AC=CB，∴OC⊥AB，又点C在⊙O上，∴直线AB与⊙O相切．解：（2）如图，延长DO交⊙O于点F，连结FC，由（1）知AB是⊙O的切线，∴弦切角∠ACD=∠F，∴△ACD∽△AFC，∴tan∠ACD=tan∠F=，又∠DCF=90°，∴=，∵AD=2，∴AC=6，又AC2=AD•AF，∴2（2+2r）=62，∴r=8，∴AO=2+8=10．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，由此能求出直线l与极轴的交点到极点的距离．（2）先求出直线l和曲线C的直角坐标方程，由曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，结合题设条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，∴令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，∴3ρ=2，∴直线l与极轴的交点到极点的距离ρ=．（2）直线l的直角坐标方程为3x﹣4y﹣2=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=m2，曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，∵曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，∴．∴实数m的取值范围是（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）化不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10为3个不等式组，解不等式组可得；（2）由题意可得﹣10＜a+b＜10，由基本不等式可得（x﹣4）（﹣9）≤25，由恒成立可得m+25≤﹣10，解不等式可得．【解答】解：（1）不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10等价于，或或，解得﹣5＜x＜5，故可得集合A=（﹣5，5）；（2）∵a，b∈A=（﹣5，5），x∈R+，∴﹣10＜a+b＜10，∴（x﹣4）（﹣9）=1﹣﹣9x+36=37﹣（+9x）≤37﹣2=25，∵不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，∴m+25≤﹣10，解得m≤﹣35。
【数学】陕西省安康市安康中学2015届高三二模试题(理)
陕西省安康市安康中学2015届高三二模试题（理）一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•安康二模）设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（C U B）∩A=（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3）C．[0，3）D．（0，3）【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．【解析】：解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∴C U B=（﹣1，3），∴（C U B）∩A=（0，3），故选：D【点评】：本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义．2．（5分）（2015•安康二模）已知向量=（{1，），=（3，m），若向量与的夹角为，则实数m的值为（）A．2B．C．0 D．﹣【考点】：数量积表示两个向量的夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．【解析】：解：由题意向量=（1，），=（3，m），若向量与的夹角为，可得：，解得m=，故选：D．【点评】：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．3．（5分）（2015•安康二模）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．﹣＞0 B．﹣＜0 C．＞D．＜【考点】：不等关系与不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：利用不等式的性质即可得出．【解析】：解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4．（5分）（2015•安康二模）在正项等比数列{a n}中，若a1•a9=16，则log2a5=（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】：等比数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：依题意，利用等比数列的性质，可求得a5=4，从而可得答案．【解析】：解：在正项等比数列{a n}中，∵a1•a9==16，∴a5=4，∴log2a5=log24=2，故选：A．【点评】：本题考查等比数列的性质，考查对数的运算，属于基础题．5．（5分）（2015•安康二模）函数y=x2+bx+c（x∈[0，∞））是单调函数的充要条件是（）A．b≥0 B．b＞0 C．b＜0 D．b≤0【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】：根据二次函数的性质得出：﹣≤0，b≥0，结合根据充分必要条件的定义可判断．【解析】：解：∵函数y=x2+bx+c（x∈[0，+∞））是单调函数的∴根据二次函数的性质得出：﹣≤0，b≥0，∴函数y=x2+bx+c（x∈[0，∞））是单调函数的充要条件是b≥0，故选；A【点评】：本题考查了二次函数的性质，充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，关键是理解定义即可．6．（5分）（2015•安康二模）角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．B．C．D．【考点】：任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：由条件可得，tanθ=2，再由二倍角的余弦公式和同角的平方关系和商数关系，计算即可得到．【解析】：解：由条件可得，tanθ=2，则cos2θ=cos2θ﹣sin2θ====﹣．故选C．【点评】：本题考查任意角三角函数的定义和二倍角公式，同时考查同角的商数关系，考查运算能力，属于基础题．7．（5分）（2015•安康二模）△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB ﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【考点】：解三角形．【专题】：计算题．【分析】：先把1代入方程，然后利用余弦的二倍角化简整理，最后利用两角和公式求得cos （A﹣B）=1推断出A=B，则可知三角形的形状．【解析】：解：依题意可知1﹣cosAcosB﹣cos2=0，∵cos2===∴1﹣cosAcosB﹣=0，整理得cos（A﹣B）=1∴A=B∴三角形为等腰三角形．故选B【点评】：本题主要考查了解三角形和三角形的形状判断．解三角形常与三角函数的性质综合考查，应注意积累三角函数的基本公式．8．（5分）（2015•安康二模）函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：数形结合．【分析】：先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解析】：解：∵y==当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C．【点评】：本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．9．（5分）（2015•安康二模）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用基本不等式，先求出当x＞0时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可．【解析】：解：当x＞0时，f（x）=x++a，此时函数的最小值为a+2，若a＜0，则函数的最小值为f（a）=0，此时f（0）不是f（x）的最小值，此时不满足条件，若a≥0，则要使f（0）是f（x）的最小值，则满足f（0）=a2≤a+2，即a2﹣a﹣2≤0解得﹣1≤a≤2，∵a≥0，∴0≤a≤2，故选：D【点评】：本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．10．（5分）（2015•安康二模）方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若方程x4+ax﹣4=0各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，3）C．（3，∞）D．（﹣∞，﹣6）∪（6，∞）【考点】：函数的图象；二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：原方程等价于x3+a=，分别作出y=x3+a与y=的图象：分a＞0与a＜0讨论，利用数形结合即可得到结论．【解析】：解：方程的根显然x≠0，原方程x4+ax﹣4=0，等价为方程x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标；曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（x i，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得：或，解得a＞6或a＜﹣6，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，∞），故选：D【点评】：本题考查函数与方程的综合运用，利用数形结合是解决本题的关键．注意合理地进行等价转化．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答卷中的横线上. 11．（5分）（2015•安康二模）3x2dx=8，则a=2．【考点】：定积分．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据定积分的法则计算即可【解析】：解：3x2dx=x3=a3=8，解得a=2，故答案为：2．【点评】：本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题12．（5分）（2015•安康二模）曲线y=在点（1，﹣1）处的切线与轴x的交点的坐标为（，0）．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；导数的概念及应用．【分析】：由题意求导y′==﹣；从而写出切线方程，再求交点的坐标即可．【解析】：解：∵y=，∴y′==﹣；则y′|x=1=﹣=﹣2；故切线方程为y+1=﹣2（x﹣1）；当y=0时，1=﹣2（x﹣1）；解得，x=；故曲线y=在点（1，﹣1）处的切线与轴x的交点的坐标为（，0）；故答案为；（，0）．【点评】：本题考查了导数的几何意义的应用及直线与坐标轴的交点的求法，属于基础题．13．（5分）（2015•安康二模）设a，b，c都是正数，且满足+=1则使a+b＞c恒成立的c 的取值范围是（0，9）．【考点】：基本不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：由题意得（a+b）（+）=1+4++，利用基本不等式的性质即可得出．【解析】：解：∵a，b，c都是正数，且满足+=1，∴（a+b）（+）=1+4++≥5+2=5+4=9，且仅当a=3，b=6时取等号．∵a+b＞c恒成立，且c＞0．∴0＜c＜9．故答案为：（0，9）．【点评】：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．14．（5分）（2015•安康二模）设不等式组其中a＞0，若z=2x+y的最小值为，则a=．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出满足条件的平面区域，通过图象得出函数z=2x+y过（1，﹣2a）时，z取到最小值，从而得到关于a的方程，解出即可．【解析】：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然函数z=2x+y过（1，﹣2a）时，z取到最小值，∴2﹣2a=，解得：a=，故答案为：．【点评】：本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道中档题．15．（5分）（2015•安康二模）下列说法：①x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）=x﹣[x]在R上是周期函数；②函数y=e|x﹣1|的图象关于轴y对称；③函数f（x）=asin2x+bx+4，若f（lg）=2013，则f（lg2014）=﹣2013；④若等差数列{a n}满足a8+a9+a10＞0，a8+a11＜0，则当n=9时{a n}的前n项和最大；其中真命题的序号是①④．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】：判断函数f（x）的周期性，可判断①；分析函数y=e|x﹣1|的图象的对称性，可判断②；分析函数的奇偶性，可判断③；分析数列的单调性，可判断④．【解析】：解：对于①，∵f（x）=x﹣[x]，∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f （x），∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．故①正确；对于②，函数y=e|x﹣1|的图象关于直线x=1对称，故②错误；对于③，函数f（x）=asin2x+bx+4，是非奇非偶函数，故当f（lg）=2013，f（lg2014）=﹣2013不成立，故③错误；对于④，若等差数列{a n}满足a8+a9+a10＞0，则a9＞0，a10＜0，则当n=9时{a n}的前n项和最大，故④正确；故答案为：①④；【点评】：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的周期性，对称性，奇偶性及数列的单调性，难度中档．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）（2015•安康二模）命题P：已知a＞0，函数y=a x在R上是减函数，命题q：方程x2+ax+1=0有两个正根，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】：复合命题的真假．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据指数函数的单调性，可求出命题p中实数a的取值范围；根据一元二次方程根的个数与△的关系，可求出命题q：方程x2+2ax+1=0有两个正根，实数a的取值范围；综合讨论结果，可得答案．【解析】：解：若命题p为真，即函数y=a x在R上是减函数，所以0＜a＜1，若命题q为真，方程x2+ax+1=0有两个正根，即，则a≤﹣2，因为p或q为真命题，p且q为假命题，所以命题p与q中一真一假，当p真q假时，则满足，即0＜a＜1；当p假q真时，则满足，即a∈∅；综上所述，a的范围为{a|0＜a＜1}．【点评】：本题考查的知识点是复合命题的真假，指数次函数的单调性，一元二次方程根的个数与△的关系，难度不大，属于基础题．17．（12分）（2015•安康二模）已知函数f（x）=sinωx•cos（ωx+）（ω＞0）图象的两相邻对称轴间的距离为．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）先化简求得解析式f（x）=，由f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为，可求周期，即可求w的值；（2）由（1）知，由，可得，即可求函数f（x）在[0，]上的最大值．。
高考三模 甘肃省兰州一中2015届高三第三次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
兰州一中2015届高三第三次模拟考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．2．答题时，考生需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|-1<x<1}，B={x|x2-3x≤0}，则A∩B等于()．A．B．(-1，3] C．，(45，50]，(50，55]，(55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区间(45，50]上的女生数与体重在区间(55，60]上的女生数之比为4:3．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)从样本中体重在区间(50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．20．(本小题满分12分)已知⊙C过点P(1，1)，且与⊙M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称．(Ⅰ)求⊙C的方程；(Ⅱ)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．(Ⅰ)求a，b的值，并求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)设g(x)=f(x)-3x，试问过点(2，2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB =AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ．(Ⅰ)求证：PC PDAC BD=； (Ⅱ)若AC =2，求AP ·AD 的值．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，动点A 的坐标为(2-3sin α，3cos α-2)，其中α∈R ．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为ρcos(θ -4π)=a ． (Ⅰ)判断动点A 的轨迹表示什么曲线； (Ⅱ)若直线l 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值．24．(本小题满分10分)选修4-5；不等式选讲若实数a ，b 满足ab >0，且a 2b =4，若a +b ≥m 恒成立． (Ⅰ)求m 的最大值； (Ⅱ)若2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．D兰州一中2015届高三第三次模拟试题文科数学参考答案一、选择题1．C 解析：∵A =(-1，1)，B =，则A ∩B =． 解析：直线y +2=k (x +1)过定点(-1，-2)，作图得k 的取值范围是(-∞，-2)∪(0，23]．14．16解析：在36对可能的结果中，和为7的有6对：(1，6)，(2，5)，(2，5)，(3，4)，(3，4)，(4，3)．∴得到两数之和为7的概率是61366=． 15．(1，-1) 解析：由题意可知b 的终点在直线x =1上，可设b =(1，y )，则||⋅a b b =17y 2+48y +31=0，∴y =-1或y =-3117(增解，舍去)，∴b =(1，-1)．16 解析：∵{a n }是等差数列，∴a =0，S n =n 2，∴a 2=3，a 3=5，a 4=7． 设三角形最大角为θ，由余弦定理，得cos θ=-12，∴θ=120°．∴该三角形的面积S =12×3×5×sin120°三、解答题17．(Ⅰ)解：a 1=2，a 2=2+k ，a 3=2+3k ，由a 22=a 1a 3得，(2+k )=2(2+3k )，∵k ≠0，∴k =2．······················································································2分 由a n +1=a n +2n ，得a n -a n -1=2(n -1)， ∴a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+···+(a n -a n -1)=2+2=n 2-n +2．·························6分(Ⅱ)解：(1)122n n n n a k n n n n k n ---==⋅⋅．·······························································8分 ∴T n =12301212222nn -+++⋅⋅⋅+， 2341101221222222n n n n n T +--=+++⋅⋅⋅++，························································10分 两式相减得，234111111111111111(1)22222222222n n n n n n n n n T +-++--+=+++⋅⋅⋅+-=--=-，∴T n =1-12nn +．·······················································································12分 18．(Ⅰ)证明：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =14AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ．又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ． 又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形． ∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ． 又EF ⊄平面DBC 1，BD ⊂平面DBC 1． ∴EF ∥平面DBC 1．…………………6分 (Ⅱ)解：∵AB =BC =CA =AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，AF =14AB ，∴C 1D ⊥面ABB 1A 1． 而11D BEC C BDE V V --=，1111BDE ABA B BDB ABE A DE S S S S S ∆∆∆∆=---=1113222121112222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．∵C 1D∴111113332D BEC C BDE BDE V V S C D --∆==⋅=⨯=．………………………………12分19．(Ⅰ)解：样本中体重在区间(45，50]上的女生有a ×5×20=100a (人)，·····················1分样本中体重在区间(50，60]上的女生有(b +0.02)×5×20=100(b +0.02)(人)，··············2分依题意，有100a =43×100(b +0.02)，即a =43×(b +0.02)．①·································3分根据频率分布直方图可知(0.02+b +0.06+a )×5=1，②··········································4分解①②得：a =0.08，b =0.04．······································································6分 (Ⅱ)解：样本中体重在区间(50，55]上的女生有0.04×5×20=4人，分别记为 A 1，A 2，A 3，A 4，··················································································7分 体重在区间(55，60]上的女生有0.02×5×20=2人，分别记为B 1，B 2．··················8(第18题解图)分从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．·······10分其中体重在(55，60]上的女生至少有一人共有9种情况：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．····························································································11分 记“从样本中体重在区间(50，60]上的女生随机抽取两人，体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M ，则P (M )=93155=．··········································12分20．(Ⅰ)解：设圆心C (a ，b )，则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩． (3)分则圆C 的方程为x 2+y 2=r 2，将点P 的坐标代入得r 2=2， 故圆C 的方程为x 2+y 2=2．·····································································5分 (Ⅱ)解：由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数， 故可设P A ：y -1=k (x -1)，PB ：y -1=-k (x -1)，且k ≠0，······································6分 由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，得(1+k 2)x 2-2k (k -1)x +k 2-2k -1=0，······································7分 ∵点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得x A =22211k k k --+． (8)分同理，x B =22211k k k+-+．···········································································9分∴(1)(1)2()B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+===---=1=k OP ． (11)分∴直线AB 和OP 一定平行．·····································································12分依题设，f (1)=5，f ′(1)=-3，∴a =-3，b =-2．···················································4分 ∴f ′(x )=2-22232223xx x x x ---=，令f ′(x )>0，又x >0，∴x ．∴函数的单调增区间为，+∞)．······················································6分(Ⅱ)g (x )=f (x )-3x =2x -2ln x ，g ′(x )=2-2x．设过点(2，2)与曲线g (x )的切线的切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0-2=g ′(x 0)(x 0-2)，即2x 0-2ln x 0-2=(2-02x )(x 0-2)，∴ln x 0+02x =2． (8)分令h (x )=ln x +2x -2，则h ′(x )=212x x-，∴x =2． ∴h (x )在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增．······································10分∵h (12)=2-ln2>0，h (2)=ln2-1<0，h (e 2)=22e >0． ∴h (x )与x 轴有两个交点，∴过点(2，2)可作2条曲线y =g (x )的切线．···············12分22．(Ⅰ)证明：∵∠CPD =∠ABC ，∠D =∠D ，∴△DPC ～△DBA ． ∴PC PD AB BD=． 又∵AB =AC ，∴PC PDAC BD=．·····································································5分 (Ⅱ)解：∵∠ACD =∠APC ，∠CAP =∠CAD ，∴△APC ～△ACD ． ∴AP AC AC AD =，∴AC 2=AP ·AD =4．·······························································10分 23．(Ⅰ)解：设动点A 的直角坐标为(x ，y )，则23sin ,3cos 2.x y αα=-⎧⎨=-⎩∴动点A 的轨迹方程为(x -2)2+(y +2)2=9，其轨迹是以(2，-2)为圆心，半径为3的圆．·····················································5分(Ⅱ)解：直线l 的极坐标方程ρcos(θ-4π)=a 化为直角坐标方程是x +y ．由=3，得a =3，或a =-3．··························································10分24．(Ⅰ)解：由题设可得b =24a >0，∴a >0．∴a +b =a +24a =2422a a a ++≥3， 当a =2，b =1时，a +b 取得最小值3，∴m 的最大值为3．·································5分(Ⅱ)解：要使2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，须且只须2|x -1|+|x |≤3．用零点区分法求得实数x 的取值范围是-13≤x ≤53．········································10分。
2015年上海市高三三模浦东新区数学试卷(文科含答案).
2015年上海市高三三模浦东新区数学试卷(文科含答案2015.5注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚; 2. 本试卷共有23道试题,满分150分,考试时间120分钟.一、填空题:(本大题满分56分,每小题4分本大题共有14小题,考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.若集合{}13A x x =≤≤,集合{}2B x x =<,则AB = [1,2 .2.函数2(,(2f x x x =<-的反函数是(4y x => . 3.过点(1,0且与直线02=+y x 垂直的直线的方程 210x y --= .4.已知数列{}n a 为等比数列,前n 项和为n S ,且3245+=S a ,3256+=S a ,则此数列的公比q 3 .5.如果复数z 满足2=-++i z i z (i 是虚数单位,则||z 的最大值为 1 .6.函数x y 2cos =的单调增区间为 ],2[πππk k -(Z k ∈ .7.行列式42354112k---中第2行第1列元素的代数余子式的值为10-,则实数k = 14- . 8.设21,F F 是双曲线12422=-y x 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且2143PF PF =,则21F PF ∆的周长 24 .9.设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点,且在同一个平面内,1====DA CD BC AB ,球心到该平面的距离是球半径的23倍,则球的体积是 328π. 10.从3名男生和4名女生中选出4人组成一个学习小组.若这4人中必须男女生都有的概率为3435.11.数列{}n a 中,111nn na a a ++=-且12a =,则数列{}n a 前2015项的积等于 3 . 12.若,,a b c 均为平面单位向量,且333(,22a b c +-=,则c = 12⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭.(用坐标表示13.已知(,P x y 满足约束条件301010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩,O 为坐标原点,(3,4A ,则c o s OP A O P ∠的最大值是 115. 14.记符号{}12min ,,,n c c c 表示集合{}12,,,n c c c 中最小的数.已知无穷项的正整数数列{}n a 满足(1N i i a a i *+≤∈,令{}(min |,kn bn a k k *=≥∈N ,若21k b k =-,则数列{}n a 前100项的和为 2550 .二、选择题(本大题共有4题,满分20分每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得 5分,否则一律得零分.15.二元一次方程组111222,a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的必要非充分条件是 ( DA .系数行列式0D ≠B .比例式1122a ba b ≠C .向量1122,a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭不平行 D . 直线111222,a x b y c a x b y c +=+=不平行 16.用符号(]x 表示不小于x 的最小整数,如(]4π=,(]1.21-=-.则方程(]12x x -=在4,1(上实数解的个数为 ( DA .0B .1C .2D .317.已知P 为椭圆2214x y +=的左顶点.如果存在过点((00,0,0M x x >的直线交椭圆于A B 、两点,使得2AOB AOP S S =△△,则0x 的取值范围为 (CA .(B .C .(1,2D .(1,+∞18.在圆锥PO 中,已知高PO =2,底面圆的半径为1;根据圆锥曲线的定义,下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,其中点M 为所在母线的中点,O 为底面圆的圆心,对于下面四个命题,正确的个数有 ( C①圆的面积为4π;;③双曲线两渐近线的夹角为4 arcsin5;.A.1 个B.2 个C.3个D.4个三、解答题(本大题共有5题,满分74分解答下列各题必须写出必要的步骤.19.(本题满分12分本题共有2个小题,第(1小题满分5分,第(2小题满分7分.如图,边长为2的正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD,CE为圆O的直径,线段CD为圆O的弦,AE垂直于圆O所在平面,且1=AE.(1求异面直线CB与DE所成角的大小;(2将A C D∆(及其内部绕AE所在直线旋转一周形成一几何体,求该几何体体积.解:(1因为DACB//,AE垂直于圆O所在平面,所以DEAE⊥,所以,ADE∠为异面直线CB与DE所成的角……………………………………………2分在AEDRt∆中,1=AE,2=DA,所以21sin=∠ADE,得6π=∠ADE,即异面直线CB与DE所成的角为6π.……………………………………………………5分(2由题意知,将ACD∆(及其内部绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差. 因为异面直线CB与DE所成的角为6π,且DACB//,所以6π=∠ADE,…………7分又因为1=AE,所以,在AEDRt∆中,3=DE,2= DA………………………9分因为CE为圆O的直径,所以2π=∠CDE,在CDERt∆中,2==DA CD ,3=DE ,所以7=CE …………………………………………10分所以该几何体的体积πππ34313122=⋅⋅-⋅⋅=AE DE AE CE V ……………………12分 20.(本题满分14分本题共有2个小题,第(1小题满分6分,第(2小题满分8分.如图在半径为5cm 的圆形的材料中,要截出一个“十字形”ABCDEFGHIJKL ,其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形.(O 为圆心(1若要使截出的“十字形”的边长相等(DE CD =(图1,此时边长为多少? (2若要使截出的“十字形”的面积为最大(图2,此时DOE ∠为多少?(用反三角函数表示图(1 图(2解:(1当“十字形”的边长相等时,过O 作DE OM ⊥交DE 于E ,作CN ⊥OM 交OM于N .设该“十字形”的边长为2x ,则DM x =,3OM x =. 在OMD Rt ∆中,由勾股定理得,(2525322=⇒=+x x x …………………………5分所以,边长cm x52=………………………………………………………………………6分 (2过O 作DE OM ⊥交DE 于E ,作CN ⊥OM 交OM 于N .设∠DOM θ=,则5cos ,5sin OM DM θθ==.5sin ON CN θ∴==,5cos 5sin NM θθ=-.…………………………………………8分所以,“十字形”的面积为2222(24(100cos 100(cos sin S OM NM θθθ=-=-- 12θϕ=+-( 其中cos ϕ=21tan =ϕ⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ …………………………………10分所以,当22πϕθ=+时,(2max 1550cm S -= ………………………………………12分此时,552arccos22-==∠πθDOE 或21arctan 2-π ……………………………14分21.(本题满分14分本题共有2个小题,第(1小题满分6分,第(2小题满分8分. 设函数(x f 对任意R x ∈,都有(2(x f a x f ⋅=,其中a 为常数.当2,1[∈x 时,2sin((x x f π=.(1设0>a ,(x f 在8,4[∈x 时的解析式及其值域; (2设01<≤-a ,求(x f 在,1[∞+∈x 时的值域. 解:(1当8,4[∈x 时,于是2,1[4∈x,又(2(x af x f = 所以4(2((2x f a x af x f ==即8sin((2x a x f π=……………………………………3分∈x 8,4[πππ<≤⇒82x2(0a x f ≤<⇒即(x f 在8,4[∈x 时的值域为],0(2a …6分(2由于 2,2[2,2[2,2[2,1[,1[1322+=∞+n n只研究函数(x f 在(2,2[1N n n n ∈+值域即可 (7)分对于∈x (2,2[1N n n n ∈+得2,1[2∈nx于是2(2(2((22nn x f a x f a x af x f ==== 所以2sin((1+=n nxa x f π ∈x (2,2[1N n n n ∈+………………………………………9分πππ<≤+122n x⇒12sin(01≤<+n xπ因为01<≤-a所以当n 为偶数时,(x f 在(2,2[1N n n n ∈+上单调减,值域为],0(n a ;且⊇⊇⊇⊇⊇],0(],0(],0(]1,0(242ka a a ………………………………………10分当n 为奇数时,(x f 在(2,2[1N n n n ∈+上单调增,值域为0,[na且⊇⊇⊇⊇⊇-0,[0,[0,[0,[1253k a a a a ………………………………………12分所以(x f 的值域为]1,0(0,[ a …………………………………………………………14分 22.(本题满分16分本题共有3个小题,第(1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知在数列}{n a 中,11=a .(1设121+=+n n a a (*∈N n ,求数列}{n a 的通项公式; (2若⎩⎨⎧+=+奇数时当为偶数时当n a n a a nn n 211,求数列}{n a 的前m 2项和m S 2;（3）当 an 1 1 时，是否存在一个常数 p ，使 a2n p a2n 1 对任意正整数 n 都 an 1 成立？如果存在，请求出 p 的值，并证明；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意 an 1 2an 1，令 an 1 x 2 an x ，比较得到 x 1 ，故有 an 1 1 2 an 1 ，所以数列 a n 1 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，……2 分因此 an 1 2 2 n 1 2 n，所以 an2 n 1 ， n N 。
数学_2015年安徽省安庆市高考数学三模试卷(文科)(含答案)
2015年安徽省安庆市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 是虚数单位，若复数z 1=3+2i ，z 2=4−mi(m ∈R)，且z 1⋅z 2为实数，则m 的值为（ ）A 6B −6C 83D −832. 抛物线y =ax 2(a <0)的准线方程是（ ） A y =−12a B y =−14a C y =12a D y =14a 3. 函数f(x)=14x 2+cosx 的图象大致是（ ）A B C D4. 设{a n }是等比数列，则对任何n ∈N ∗，都有1a 1a 2⋅1a 2a 3…1a n a n+1=( )A 1(a1⋅a n)nB 1(a1⋅a n+1)nC 1(a1⋅a n)n+1D 1(a1⋅a n+1)n+15. 阅读程序框图，若输入m ＝4，n ＝6，则输出a ，i 分别是（ ）A a ＝12，i ＝3B a ＝12，i ＝4C a ＝8，i ＝3D a ＝8，i ＝46. 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（ ）A B C D7. x ，y 满足约束条件{x +2y −1≥0x −y ≥00≤x ≤k.若z =x +ky 的最小值为−2，则z 的最大值为（ ）A 12B 16C 20D 248. 在空间四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ．E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则下列命题中正确的是（ ）A E ，F ，G ，H 四点不共面B EFGH 是梯形C EG ⊥FHD EFGH 是矩形 9. “a ≤0”是“函数f(x)=|(ax −1)x|在区间(0, +∞)内单调递增”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 10. 若定义域为D 的函数f(x)满足： ①f(x)在D 内是单调函数；②存在[a, b]⊆D ，使得f(x)在[a, b]上的值域为[a 2, b2]，则称函数f(x)为“半值函数”．已知函ℎ(x)=log c (c x +t)(c >0, c ≠1)是“半值函数”则实数t 的取值范围为（ ） A (0, +∞) B (−∞, 14) C (14, +∞) D (0, 14)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 如图是不锈钢保温饭盒的三视图，根据图中数据（单位：cm ），求得该饭盒的表面积为________cm 2．12. 调查某电脑公司的三名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如表：由表中数据算出线性回归方程∧y =bx +a 中的b =726，若该电脑公司第四名推销员的工作年限为6年，则估计他的年推销金额为________万元．14. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=3x 2+2xf′(2)，则f′(5)=________．15. 在△ABC 中，AB →=a →+kb →，AC →=ka →+b →，其中k ∈R ，且|a →|=1，|b →|=2，a →与b →的夹角为120∘对于以下结论：①|a →+b →|=√3；②若点D 是边BC 的中点，则AD →=k+12(a →+b →)；③若∠A 为直角，则k =5±√212； ④若∠A 为钝角，则k <5−√212且k ≠−1或k >5+√212；⑤若∠A 为锐角，则5−√212<k <5+√212．其中所有正确命题的序号是________ （把你认为正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域.16. 已知函数f(x)=2√3sin(x +π4)⋅cos(x +π4)−sin(2x +3π)． （1）求f(x)的最小正周期；（2）若将f(x)的图象向左平移π4个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．17. 某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：学生的概率是多少？(Ⅱ)若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？(Ⅲ)学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82818. 如图，在空间几何体ABCDEF 中，底面CDEF 为矩形，DE =1，CD =2，AD ⊥底面CDEF ，AD =1，平面BEF ⊥底面CDEF ，且BE =BF =√2． （1） 证明：AB // 平面CDEF ；（2）求几何体A−DBC的体积V．19. 设函数f(x)=lnx+ax2+bx(a, b∈R)，其图象在点（1, f(1)）处的切线平行于x轴．（1）若a=1，求函数f(x)的极值；（2）试讨论函数f(x)的单调性．20. 已知数列{a n}的首项a1=1，a n+1=3a na n+1，n∈N+．（1）证明：数列{1a n −12}是等比数列；（2）求数列{2na n}的前n项和S n．21. 设F1(−c, 0)，F2(c, 0)分别是椭圆E:x2a2+yb22=1(a>b>0)的左、右焦点．（1）若点P(√3, 2)在椭圆E上，且c=√3，求椭圆E的方程；（2）已知椭圆E的离心率为√22，若过点F1(−c, 0)的直线交椭圆E于A，B两点，且|AF1|= 3|F1B|．证明：AB⊥AF2．2015年安徽省安庆市高考数学三模试卷（文科）答案1. C2. B3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. C10. D11. 900π12. 313. 11214. 615. ①②③④⑤16. 解：（1）f(x)=2√3sin(x+π4)⋅cos(x+π4)−sin(2x+3π)=√3sin(2x+π2)+sin2x=sin2x+√3cos2x=2(12sin2x+√32cos2x)=2sin(2x+π3)．∴ f(x)的最小正周期为2π2=π；（2）由已知得g(x)=f(x+π4)=2sin[2(x+π4)+π3]=2sin(2x+π2+π3)=2cos(2x+π3)，∵ x∈[0,π2]，∴ 2x+π3∈[π3,4π3]，故当2x+π3=π，即x=π3时，g(x)min=g(π3)=−2；当2x+π3=π3，即x=0时，g(x)max=g(π3)=1．17. （1）随机调查这个班的一名学生，有50种情况，抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生，有19种情况，故概率是P=1950（2）设这7名学生为a，b，c，d，e，A，B（大写为男生），则从中抽取两名学生的所有情况是：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，Bb，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB共21种情况，其中含一名男生的有10种情况，∴ P=1021．(Ⅲ)根据K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50×(18×19−6×7)224×26×25×25≈11.538>10.828∴ 我们有99.9%把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．18. （1）证明：过点B作BM⊥EF，∵ 平面BEF⊥底面CDEF，且BE=BF=√2，∴ M为等腰直角三角形底边EF的中点，∴ BM⊥底面CDEF，∵ AD⊥底面CDEF，∴ BM // AD，又∵ AD=BM=1，∴ 四边形ADMB为平行四边形，∴ AB // DM，∵ AB⊄底面CDEF，DM⊂底面CDEF，∴ AB // 平面CDEF…（2）解：∵ V A−BCD=V B−ADC=13S△ADC⋅d（d为三棱锥B−ADC高）∵ DE⊥DC，DE⊥AD，∴ DE⊥平面ADC又∵ 平面BEF⊥底面CDEF，DE⊥EF，∴ DE⊥平面BEF∴ 平面BEF // 平面ADC，∵ d=ED=1，S△ADC=12×1×2=1，∴ V A−BCD=13×1×1=13…19. 解：（1）f(x)=lnx+ax2+bx的定义域为(0, +∞)，f′(x)=2ax+1x+b，∵ 图象在点（1, f(1)）处的切线平行于x 轴， ∴ f′(1)=2a +b +1=0，b =−2a −1， f′(x)=2ax +1x −2a −1=(2ax−1)(x−1)x，当a =1时，f′(x)=(2x−1)(x−1)x=0，x 1=12，x 2=1．当0<x <12时，f′(x)>0，f(x)单调增；12<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调减；x >1时，f′(x)>0，f(x)单调增．∴ f(x)的极大值为f(12)=−54−ln2，f(x)的极小值为f(1)=−2．（2）由（1）知：f′(x)=2ax +1x−2a −1=(2ax−1)(x−1)x．∴ a ≤0时，x ∈(0, 1)f′(x)>0，f(x)单调增，x ∈(1, +∞)f′(x)<0，f(x)单调减； 0<a <12时，x ∈(0, 1)f′(x)>0，f(x)单调增，x ∈(1,12a )f′(x)<0，f(x)单调减， x ∈(12a ，+∞)f′(x)>0，f(x)单调增； a =12时，x ∈(0, +∞)f′(x)>0，f(x)单调增；a >12时，x ∈(0,12a )f′(x)>0，f(x)单调增，x ∈(12a ，1)f′(x)<0，f(x)单调减， x ∈(1, +∞)f′(x)>0，f(x)单调增． 20. 证明：（1）由题意得，a n+1=3a na n+1，则1an+1=13(1+1a n)，∴ 1an+1−12=13(1a n−12)，又a 1=1，则1a 1−12=12，∴ 数列{1a n−12}是以12为首项、13为公比的等比数列，∴ a n =2+(n −1)×12=12(n +3)，∴ a n 2n=n+32n+1，则S n =422+523+624+⋯+n+32n+1，12S n =423+524+625+⋯+n+32n+2，两式相减得，12S n =422+123+124+⋯+12n+1−n+32n+2 =422+18(1−12n−1)1−12−n+32n+2=54−n+22n+1， ∴ S n =52−n+22n；（2）由（1）得，1a n−12=12⋅13n−1，则1a n=12⋅13n−1+12，∴2n a n=n 3n−1+n ，令T n =130+231+332+⋯+n3n−1，①13T n =131+232+333+⋯+n 3n，②，①-②得，23T n =130+131+132+⋯+13n−1−n3n =1−13n 1−13−n 3n =32−2n+32⋅3n，则T n =94−2n+34⋅3n−1，所以S n =T n +1+2+3+...+n =94−2n+34⋅3n−1+n(1+n)2=2n 2+2n+94−2n+34⋅3n−1．21. 解：（1）因为F 1(−√3，0)，F 2(√3,0)，且点P(√3，2)在椭圆E 上， 所以2a =√(√3+√3)2+(2−0)2+√(√3−√3)2+(2−0)2=6，a =3． 因此b 2=a 2−c 2=9−3=6．故椭圆E 的方程为x 29+y 26=1．…（2）因为ca =√22，所以a =√2c ．设|F 1B|=t(t >0)，则|AF 1|=3t ，|AB|=4t ．在△AF 1F 2中，cosA =(3t)2+(2a−3t)2−(2c)22×3t×(2a−3t)=9t 2+(2a−3t)2−2a 22×3t×(2a−3t)，在△ABF 2中，cosA =(4t)2+(2a−3t)2−(2a−t)22×4t×(2a−3t)=16t 2+(2a−3t)2−(2a−t)22×4t×(2a−3t)…所以9t 2+(2a−3t)2−2a 22×3t×(2a−3t)=16t 2+(2a−3t)2−(2a−t)22×4t×(2a−3t)，整理得，3at =a 2，a =3t ．于是|AF 2|=3t =|AF 1|，|BF 2|=5t ，|AB|=4t ，∠A =90∘，故AB ⊥AF 2．…。
数学_2015年安徽省某校高考数学三模试卷(理科)(含答案)
2015年安徽省某校高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，复数z 满足1+i +(1+i)2z =(1−i)2，则复数z 的虚部为（ ） A 12B 12i C 32D −322. 若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）A k <6？B k <7？C k <8？D k <9？ 3. 若∫(π20sinx −acosx)dx =2，则实数a 等于（ ） A −1 B 1 C −√3 D √3 4. 下列命题：①若f(x)=2cos 2x2−1，则f(x +π)=f(x)对x ∈R 恒成立；②要得到函数y =sin(x2−π4)的图象，只需将y =sin x2的图象向右平移π4个单位； ③若锐角α，β满足cosα>sinβ，则α+β<π2．其中是真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 35. 设a ∈R ，则“a =−1”是“直线ax +y −1=0与直线x +ay +5=0平行”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件6. 以直角坐标系的原点为极点x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．则曲线C 1:ρ2−2ρcosθ−1=0上的点到曲线C 2:{x =3−ty =1+t （t 为参数）上的点的最短距离为（ ） A 2√2 B3√22 C √2 D √227. 在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →+PB →+PC →=0→，则△PBC 与△ABC 面积之比是（ ）A 13B 12C 23D 348. 数列{a n }满足a 1=1，√1a n2+4=1a n+1，记数列{a n 2}前n 项的和为S n ，若S 2n+1−S n ≤t30对任意的n ∈N ∗ 恒成立，则正整数t 的最小值为（ ）A 10B 9C 8D 79. 实数x ，y 满足x 2+2xy +y 2+x 2y 2=1，则x −y 的最大值为（ ） A 4 B 2n C 2 D S n10. 若x 、y ∈{x|x =a 0+a 1⋅10+a 2⋅100}，其中a i ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}(i =0, 1, 2)，且x +y =636，则实数对(x, y)表示坐标平面上不同点的个数为（ ） A 50个 B 70个 C 90个 D 180个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上． 11. 二项式(x 3+1x 2)n的展开式中，只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为________．12. 在区间[0, 4]内随机取两个数a 、b ，则使得函数f(x)=x 2+ax +b 2有零点的概率为________．13. 已知正三棱锥P −ABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为________．14. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的一条渐近线方程为y =−√3x ，离心率为e ，则a 2+e 2b的最小值为________．15. 在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似实数排序的定义，我们定义“点序”记为“>”：已知M(x 1, y 1)和N(x 2, y 2)，M >N ，当且仅当“x 1>x 2”或“x 1=x 2且y 1>y 2”．定义两点的“⊕”与“⊗”运算如下：M ⊕N =(x 1+x 2, y 1+y 2)，M ⊗N =x 1x 2+y 1y 2则下面四个命题：①已知P(2015, 2014)和Q(2014, 2015)，则P >Q ；②已知P(2015, 2014)和Q(x, y)，若P >Q ，则x ≤2015，且y ≤2014； ③已知P >Q ，Q >M ，则P >M ；④已知P >Q ，则对任意的点M ，都有P ⊕M >Q ⊕M ； ⑤已知P >Q ，则对任意的点M ，都有P ⊗M >Q ⊗M 其中真命题的序号为________（把真命题的序号全部写出）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知点(a, b)在直线x(sinA −sinB)+ysinB =csinC 上．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，且满足m tanC=1tanA+1tanB，求实数m 的最小值．17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n 2+1=(a n −2)S n ，n ∈N ∗ （1）求S 1，S 2，S 3，猜想S n ，并用数学归纳法证明；（2）设b n =(2n +1)a n 2，求证：对任意正整数n ，有b 1+b 2+...+b n <1．18. 在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为12．（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．19.如图，在△ABC 中，∠C =90∘，AC =BC =a ，点P 在边AB 上，设AP →=λPB →(λ>0)，过点P 作PE // BC 交AC 于E ，作PF // AC 交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△A′PE 使平面A′PE ⊥平面ABC ；沿PE 将△BPF 翻折成△B′PF ，使平面B′PF ⊥平面ABC ．（1）求证：B′C // 平面A′PE ；（2）是否存在正实数λ，使得二面角C −A′B′−P 的大小为90∘？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 224+y 212=1，设R(x 0, y 0)是椭圆C 上的任一点，从原点O 向圆R ：(x −x 0)2+(y −y 0)2=8作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ．（1）若直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：2k 1k 2+1=0； （3）试问OP 2+OQ 2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 21. 已知函数f(x)=lnx ．（1）方程f(x +a)=x 有且只有一个实数解，求a 的值；（2）若函数g(x)=f(x)+12x 2−mx(m ≥52)的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)恰好是函数ℎ(x)=f(x)−cx 2−bx 的零点，求y =(x 1−x 2)ℎ′(x 1+x 22)的最小值．2015年安徽省某校高考数学三模试卷（理科）答案1. A2. C3. A4. B5. A6. D7. A8. A9. C 10. C 11. 210 12. 1413. 64π314.4√3315. ①③④ 16. 解：（1）由条件可知a(sinA −sinB)+bsinB =csinC ， 根据正弦定理，得a 2+b 2−c 2=ab ． 又由余弦定理，得cosC =a 2+b 2−c 22ab=12．∵ 0<C <π， ∴ 角C 的大小为π3．（2）∵mtanC=1tanA +1tanB ，∴ m =tanC (1tanA+1tanB)=sinCcosC (cosAsinA +cosBsinB ) =sinC cosC ⋅cosAsinB +cosBsinA sinAsinB =2sin 2C sinAsinB =2c 2ab =2(a 2+b 2−ab)ab=2(a b+ba−1)≥2×(2−1)=2，当且仅当a =b ，即△ABC 为等边三角形时等号成立，此时可得实数m 的最小值为2．17. （1）解：∵ S n 2+1=(a n −2)S n ， 令n =1，可得S 1=−12，同理可得：S 2=−23，S 3=−34，猜想S n =−nn+1． 利用数学归纳法证明： ①当n =1时，S 1=−12成立， ②假设n =k ∈N ∗时，S k =−kk+1．则当n =k +1时，由S k 2+1=(S k −S k−1−2)S k ，化为S k =−12+S k−1，∴ S k+1=−12+S k=−12−kk+1=−k+1k+1+1成立．∴ 当n =k +1时命题成立．综上可知：S n =−nn+1对∀n ∈N ∗都成立．（2）由S n 2+1=(a n −2)S n ，S n =−nn+1，解得a n =−1n(n+1)． ∴ b n =(2n +1)a n 2=1n 2−1(n+1)2．∴ 对任意正整数n ，有b 1+b 2+...+b n =(1−122)+(122−132)+...+(1n 2−1(n+1)2)=1−1(n+1)2<1．∴ 对任意正整数n ，有b 1+b 2+...+b n <1． 18. 解：（1）设事件A 表示“甲选做第21题”，事件B 表示“乙选做第21题”， 则“甲选做第22题”为A ¯，“乙选做第22题”为B ¯，进而可得，甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB +A ¯B ¯”，且事件A 、B 相互独立． ∴ P(AB +A ¯B ¯)=P(A)P(B)+P(A ¯)P(B ¯)=12×12+(1−12)×(1−12)=12；（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ∼B(4,12)．∴ P(ξ=k)=C 4k (12)k (1−12)4−k =C 4k (12)4(k =0,1,2,3,4)∴ 变量ξ的分布列为：Eξ=0×116+1×14+2×38+3×14+4×116=2（或Eξ=np =4×12=2）．19. （1）证明：以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则C(0, 0, 0)，A(0, a, 0)，B(a, 0, 0)设P(x, y, 0)，由AP →=λPB →⇒(x, y −a, 0)=λ(a −x, −y, 0)⇒x =λa λ+1，y =aλ+1， ∴ P(λaλ+1，aλ+1，0)，从而E(0,aλ+1，0)，F(λaλ+1，0，0)， 于是A′(0,aλ+1，λaλ+1)，B′(λaλ+1，0，aλ+1)， 平面A ′PE 的一个法向量为CE →=(0,a λ+1,0)，又CB′→=(λaλ+1,0,aλ+1)，CB′→⋅CE →=0，从而B ′C // 平面A ′PE ． （2）解：由（1）知有：CA′→=(0,a λ+1,λaλ+1)，A′B′→=(λa λ+1,−a λ+1,(1−λ)a λ+1)，B′P →=(0,a λ+1,−aλ+1)．设平面CA ′B ′的一个法向量为m →=(x, y, −1)，则{ay λ+1−λaλ+1=0λaxλ+1−ayλ+1−(1−λ)a λ+1=0，∴ 可得平面CA ′B ′的一个法向量m →=(1λ,λ,−1)， 同理可得平面PA ′B ′的一个法向量n →=(1,1,1)， 由m →⋅n →=0，即1λ+λ−1=0，又λ>0，λ2−λ+1=0，由于△=−3<0，∴ 不存在正实数λ，使得二面角 C −A ′B ′−P 的大小为90∘． 20. 解：（1）由圆R 的方程知，圆R 的半径的半径r =2√2， 因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以|OR|=√2r =4，即x 02+y 02=16，①…又点R 在椭圆C 上，所以x 0224+y 0212=1，②…联立①②，解得{x 0=±2√2y 0=±2√2.…所以所求圆R 的方程为(x ±2√2)2+(y ±2√2)2=8． … （2）因为直线OP:y =k 1x ，OQ:y =k 2x ，与圆R 相切，所以{y =k 1x (x −x 0)2+(y −y 0)2=8，化简得(1+k 12)x 2−(2x 0+2k 1y 0)x +x 02+y 02−8=0… 同理(1+k 22)x 2−(2x 0+2k 2y 0)x +x 02+y 02−8=0，…所以k 1，k 2是方程ξ的两个不相等的实数根，k 1⋅k 2=−b+√b 2−4ac2a ⋅−b−√b 2−4ac2a=ca =y 02−8x 02−8…因为点R(x 0, y 0)在椭圆C 上，所以x 0224+y 0212=1，即y 02=12−12x 02，所以k 1k 2=4−12x 02x 02−8=−12，即2k 1k 2+1=0． …（3）OP 2+OQ 2是定值，定值为36，…理由如下：法一：(I)当直线ξ不落在坐标轴上时，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 联立{y =k 1xx 224+y 212=1解得{x 12=241+2k 12y 12=24k 121+2k 12.… 所以x 12+y 12=24(1+k 12)1+2k 12，同理，得x 22+y 22=24(1+k 22)1+2k 22，…由k 1k 2=−12，所以OP 2+OQ 2=x 12+y 12+x 22+y 22=24(1+k 12)1+2k 12+24(1+k 22)1+2k 22=24(1+k 12)1+2k 12+24(1+(−12k 1)2)1+2(−12k 1)2=36+72k 121+2k 12=36…(II)当直线ξ落在坐标轴上时，显然有ξ， 综上：OP 2+OQ 2=36． …法二：(I)当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，因为2k 1k 2+1=0，所以2y 1y 2x 1x 2+1=0，即y 12y 22=14x 12x 22，…因为P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，在椭圆C 上，所以{x 1224+y 1212=1x 2224+y 2212=1， 即{y 12=12−12x 12y 22=12−12x 22，… 所以(12−12x 12)(12−12x 22)=14x 12x 22，整理得x 12+x 22=24， 所以y 12+y 22=(12−12x 12)+(12−12x 22)=12，所以OP 2+OQ 2=36． …(II)当直线落在坐标轴上时，显然有OP 2+OQ 2=36， 综上：OP 2+OQ 2=36． … 21. 解：（1）由题意得，函数y =f(x +a)=ln(x +a)与直线y =x 相切， 设切点为(x 0, y 0)，y′=f′(x +a)=1x+a ， ∴ y′|x=x 0=1x0+a=1，∴ x 0+a =1又有x 0=ln(x 0+a)∴ x 0=0，a =1；（2）g(x)=lnx +12x 2−mx(m ≥52)，ℎ(x)=lnx −cx 2−bx 由已知g′(x)=x 2−mx+1x =0的两根为x 1，x 2，当m ≥52时方程x 2−mx +1=0的△>0，则x 1+x 2=m ，x 1x 2=1，又由x 1，x 2为ℎ(x)=lnx −cx 2−bx 的零点可得{lnx 1−cx 12−bx 1=0lnx 2−cx 22−bx 2=0， 两式相减ln x 1x 2−c(x 1+x 2)(x 1−x 2)−b(x 1−x 2)=0，可解得b =lnx 1x 2x1−x 2−c(x 1+x 2)①而y =(x 1−x 2)ℎ′(x 1+x 22)=(x 1−x 2)[2x 1+x 2−c(x 1+x 2)−b]代入①式 可得y =(x 1−x 2)(2x1+x 2−lnx 1x 2x1−x 2)=2x 1−x 2x1+x 2−ln x 1x 2=2x 1x 2−1x 1x 2+1−ln x1x 2，令x1x 2=t(0<t <1)，由x 1+x 2=m ，x 1x 2=1可得t +1t +2=m 2，则t ∈(0,14]， 设函数G(t)=2t−1t+1−lnt ，而G′(t)=−(t−1)2t(t+1)2<0，则y =G(t)在t ∈(0,14]单调递减， 所以G(t)min =G(14)=−65+ln4， 即y =(x 1−x 2)ℎ′(x 1+x 22)的最小值为−65+ln4．。
南通市2015届高三三模数学试题含答案
(第10题) C(第11题)(第5题)(第4题)小时)0、0、0、0、南通市20１5届高三第三次调研测试一、填空题：本大题共1４小题，每小题5分，共计７0分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. １．设集合Ａ={3,m },B ={３m ,3｝,且A =B ,则实数m 得值就是 ▲.2.ﻩ已知复数z =（i 为虚数单位),则z 得实部为 ▲ .3.ﻩ已知实数ｘ,y 满足条件则z =2x +y 得最小值就是 ▲ .４.ﻩ为了解学生课外阅读得情况,随机统计了n 名学生得课外阅读时间,所得数据都在[5０,1５０］中,其频率分布直方图如图所示．已知在中得频数为1００，则ｎ５.ﻩ6. 从集合{１x ，则7．ﻩ在平面直角坐标系8.ﻩ在等差数列{a n }中,若9. 给出下列三个命题 ①“a >b ”就是“3 ②“α＞β”就是“cos α＜cos β”得必要不充分条件;③“a =0”就是“函数f (x ） = x 3＋ax 2(x ∈Ｒ)为奇函数”得充要条件.ﻩ其中正确命题得序号为 ▲ .1０.已知一个空间几何体得所有棱长均为1 ｃm,其表面展开图如图所示，则该空间几何体得体积V =▲ cm ３．11． 如图，B A Ｅ为半径,作弧交AD 于点F ．若P 12.ﻩ已知函数若函数ｆｍ得取值范围为 ▲ . 13.在平面直角坐标系x 2＋0得两条切线,切点分别为M (x 1,ｙ１),N (x ２,y 2)，且,则实数a 得值为 ▲ ．14．已知正实数ｘ,y 满足,则xy 得取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共６小题,共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分１４分)如图,在三棱柱A ＢC -Ａ1B 1Ｃ1中,B 1C ⊥AB ，侧面BCC １B 1为菱形．ﻩ(1)求证：平面ABC １⊥平面BCC 1B 1； ﻩ(2)如果点D ,E 分别为A 1C 1,ＢB 1得中点，求证:ＤE ∥平面A ＢC １.1６.(本小题满分１4分）已知函数（其中A ,,为常数，1(第15题)且A >０,＞0,)得部分图象如图所示． (1)求函数f （ｘ）得解析式; （2)若，求得值. 1７．(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系ｘOy 中,椭圆(ａ>ｂ＞0）得两焦点分别为F 1(,0),F 2(，０),且经过点（，）.(1)求椭圆得方程及离心率;(2）设点B ，C ,D 就是椭圆上不同于椭圆顶点得三点,点B 与点D 关于原点O 对称.设直线C Ｄ,CB ，ＯB ，OC 得斜率分别为k １,k 2,k ３，k ４,且ｋ１ｋ2=ｋ3k 4. ①求ｋ1k 2得值; ②求ＯB ２+O Ｃ２得值．1８.（本小题满分１６分)ﻩ为丰富市民得文化生活,市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为１20计如图：内接梯形AB ＣＤ区域为运动休闲区,其中Ａ,B 分别在半径Ｂ;△ＯＡB 区域为文化展示区,ＡＢ长为m;其余空地为绿化区域,且CD 长不得超过．．．．2００ ｍ.ﻩ（1)试确定A ,B 得位置,使△OAB 得周长最大？(2)当△OAB 得周长最大时，设∠DO Ｃ=,试将运动休闲区A ＢＣD 得面积S 表示为得函数,并求出S 得最大值．1９.（本小题满分16分) 已知数列{a ｎ},{ｂn }中,a 1=1,,n ∈N *,数列{b n }得前ｎ项与为Ｓn . (1）若,求Ｓn ;（2)就是否存在等比数列{a n },使对任意n ∈N *恒成立?若存在，求出所有满足条件得数列｛a ｎ}得通项公式；若不存在，说明理由;(3)若a 1≤a 2≤…≤a n ≤…,求证：0≤S ｎ＜2．20.(本小题满分16分) ﻩ已知函数（a ∈Ｒ).ﻩ(１)若a =2,求函数在(1,e ２)上得零点个数（e 为自然对数得底数)；(2)若恰有一个零点,求a 得取值集合;ﻩ(３)若有两零点x １，x 2（x 1＜ｘ2),求证：2<ｘ1+x 2＜-1.21.【选做题】本题包括Ａ、B 、C 、Ｄ四小题,请选定其中两题．．．．．．,．并在相应得答题区域内作答．．．．．．．．．．．．. 若多做,则按作答得前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)ﻩ如图,BC 为圆O 得直径，A 为圆Ｏ上一点,过点A 作圆O 得切线交B Ｃ得延长线于点Ｐ，AH ⊥PB 于H ．求证:P Ａ·A Ｈ=PC ·H Ｂ.B CDQ(第18题)O(第17题)Ｂ.[选修4-２:矩阵与变换](本小题满分10分)ﻩ在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0),B （２，0）,Ｃ(１,2),矩阵,点A ，B ,C 在矩阵M 对应得变换作用下得到得点分别为,,,求△得面积．C .[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系x Ｏy 中,曲线C 得参数方程为(为参数,ｒ为常数,ｒ>0).以原点Ｏ为极点,ｘ轴得正半轴为极轴建立极坐标系,直线ｌ得极坐标方程为．若直线l 与曲线C 交于A ,Ｂ两点,且,求r 得值. D .［选修4-5:不等式选讲］(本小题满分10分)已知实数a ,b ,c ，d 满足ａ>ｂ＞c >d ,求证:.【必做题】第２2、２3题,每小题１0分,共计2０分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22.(本小题满分１０分）ﻩ如图,正四棱柱ＡB ＣD -A 1B １C 1D 1中,. (1)求与面所成角得正弦值;（２)点在侧棱上,若二面角E -ＢD -Ｃ１得余弦值为,求得值.２３.(本小题满分10分)ﻩ袋中共有8个球,其中有３个白球，5个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中.重复上述过程n 次后，袋中白球得个数记为X ｎ．ﻩ(1)求随机变量Ｘ2得概率分布及数学期望Ｅ(X ２）；(2)求随机变量X n 得数学期望E （X n ）关于n 得表达式．南通市20１５届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题:本大题共1４小题，每小题5分,共计7０分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.【答案】０ 2.【答案】3 ３.【答案】-３ 4.【答案】10０0 5.【答案】-46.【答案】7.【答案】 ８.【答案】2n +１ ９.【答案】③ 10.【答案】 １1．ﻩ【答案】 １２.【答案】（-5,0) 1３.【答案】３或-2 14．【答案】[1,］二、解答题:本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. １5.(本小题满分14分)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,B １C ⊥AB ,侧面B ＣC 1Ｂ1为菱形．ABCDA 1B 1C 1D 1(第22题) 1(1）求证：平面AB Ｃ1⊥平面B ＣＣ1B 1;ﻩ(2）如果点D ，E 分别为A 1C 1，BB 1得中点,求证:DE ∥平面ABC 1.解:（1)因三棱柱ABC -A 1Ｂ1Ｃ1得侧面BCC 1B 1为菱形，故Ｂ1C ⊥ＢC 1.………………………………………………………………………2分ﻩ又B 1C ⊥ＡB ，且ＡB ,BC １为平面ＡB Ｃ１内得两条相交直线，故B 1C ⊥平面ABC 1.5分ﻩ因B 1C 平面BCC １Ｂ１, 故平面A ＢC 1⊥平面BCC 1Ｂ1. 7分(２）如图,取AA １得中点Ｆ,连ＤF ，F Ｅ.ﻩ又D 为A 1Ｃ1得中点,故DF ∥AC 1，EF ∥A Ｂ.ﻩ因D Ｆ平面AB Ｃ1，AC 1平面ABC 1,ﻩ故ＤＦ∥面ABC １． ………………… 10分同理,E Ｆ∥面AB Ｃ1.ﻩ因DF ,E Ｆ为平面D ＥF 内得两条相交直线,ﻩ故平面ＤＥF ∥面ABC 1 (2)ﻩ因DE 平面ＤＥF ,故DE ∥面ＡＢＣ1.…………………………………………………………………… 14分16.(本小题满分14分）已知函数（其中A ,,为常数, 且A ＞0,>0,)得部分图象如图所示. (1)求函数f (x )得解析式; (2）若,求得值.解:(１）由图可知,A =2,…………………………………………………………… 2分T =，故,所以,f (x ) =.……………………………………4分 ⎡又,且，故. 于就是,f （x ） = (7)（2)由,得.…………………………………………9分ﻩ所以，…………………………ﻩ1２分 ﻩ=.……………………………………ﻩ１４分 １7.（本小题满分1４分）如图,在平面直角坐标系xO ｙ中,椭圆(ａ>b ＞０）得两焦点分别为Ｆ1（,０)，F 2（,０),且经过点(,). ﻩ（１）求椭圆得方程及离心率;（2）设点B ,C ,D 就是椭圆上不同于椭圆顶点得三点,点B 与点D 关于原点Ｏ对称．设直线CD ,CB ,O Ｂ,OC1(第15题答图)得斜率分别为k1,k2,k３,k４,且k1k2=k3k4.①求k1ｋ２得值;②求ＯB2+ＯC２得值．解:(1)方法一依题意,c=,a２=b2+3，………………………………………………………2分由,解得ｂ2=1(b2=,不合,舍去),从而ａ2=4.故所求椭圆方程为:.ﻩ离心率e=.……………………………………………………………………５分方法二ﻩ由椭圆得定义知,2a==4,ﻩ即a=2 (2)ﻩ又因c=,故b2=１.下略．ﻩ（2)①设B(ｘ1,y1）,Ｃ(x2，y２),则D(-ｘ1,-y１）,于就是k1k2====.…………………8ﻩ分②方法一ﻩ由①知,ｋ3ｋ4=k１ｋ2=,故x1x2=．ﻩ所以,(ｘ1x2)2=(-４y1ｙ2)2,即(x1x2)2==,所以,=４.……………………………………………………………………１１分又2==，故.ﻩ所以,OB2+ＯC２==5 (4)ﻩ方法二由①知,ｋ３k４=ｋ1k2=．将直线y=ｋ3ｘ方程代入椭圆中，得．……………………9ﻩ分ﻩ同理,.所以,==４.……………………1１分ﻩ下同方法一.1８．(本小题满分16分)为丰富市民得文化生活,市政府计划在一块半径为20０ m,圆心角为１20°得扇形地上建造市民广场.规划设计如图:内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ,OQ 上,C ,D 在圆弧上,CD ∥ＡB ;△O ＡB 区域为文化展示区,AB 长为m;其余空地为绿化区域,且CD 长不得超过．．．．200 m. (１）试确定A ，Ｂ得位置,使△OAB 得周长最大?(2）当△OA Ｂ得周长最大时,设∠DOC =,试将运动休闲区ABC Ｄ得面积S 表示为得函数,并求出S 得最大值.解:(１)设, ﻩ在△中,,ﻩ即, (2)所以,, (4)ﻩ所以,当且仅当m =n =５0时,取得最大值,此时△周长取得最大值． ﻩ答：当都为50 m 时,△得周长最大.6ﻩ分ﻩ（２)当△ＡＯＢ得周长最大时,梯形ＡCBD 为等腰梯形. ﻩ过作ＯF ⊥CD 交ＣD 于F ,交AB 于E , ﻩ则分别为AB ,ＣD 得中点, ﻩ所以,由，得.ﻩ8分 在△中,.又在△中,,故.10分ﻩ所以,=,．…………12分(一直没有交代范围扣２分)令,,ﻩ()8cos 64cos216sin()64cos26f θθθθθθπ'=--+=-++，，又y =及y =在上均为单调递减函数， 故在上为单调递减函数． 因>0,故＞0在上恒成立,于就是，在上为单调递增函数．……… 1４分ﻩ所以当时,有最大值,此时S 有最大值为.答:当时,梯形面积有最大值，且最大值为 ｍ２.…ﻩ１6分1９.(本小题满分16分）ﻩ已知数列{a n },{b n }中，ａ1=１,,n ∈N *,数列{b n ｝得前n 项与为S ｎ.AB CDPQ(第18题)OABCDPQ(第18题答图)OE F(1）若,求S n;(2)就是否存在等比数列{aｎ｝，使对任意ｎ∈N＊恒成立?若存在，求出所有满足条件得数列{aｎ}得通项公式;若不存在,说明理由；(3)若a1≤ａ2≤…≤a n≤…,求证:0≤Sｎ<２.解:(1)当ａｎ=时,b n==.………………………………………ﻩ２分所以,Sｎ=.………………………………………4ﻩ分(2)满足条件得数列{a n}存在且只有两个，其通项公式为a n=１与aｎ=.ﻩ证明:在中,令n=1,得b３=ｂ1．ﻩ设a n=,则b n=.…………………………………………………6分由b3＝b1,得.若q=，则bｎ＝0,满足题设条件.此时a n=１与a n＝．…………………8ﻩ分ﻩ若ｑ，则,即ｑ2 =１，矛盾.ﻩ综上，满足条件得数列{aｎ｝存在,且只有两个，一就是ａn＝１，另一就是ａn＝. 10分(3)因1=a１≤a２≤…≤a n≤…,故,0<≤1,于就是0＜≤1.所以，≥0,ｎ=1,2,3,…．ﻩ所以,Sｎ=b1＋b２＋…+bｎ≥０.…………………………………………………………1３分ﻩ又,==≤.ﻩ故,S n=b1+ｂ2+…+b n≤==<２.ﻩ所以,0≤S n<2．…………………………………………………………………ﻩ１6分2０.(本小题满分16分）已知函数（a∈R）.（１)若a=２,求函数在(1,e２)上得零点个数（e为自然对数得底数);ﻩ(2)若恰有一个零点,求a得取值集合；（３)若有两零点ｘ１,x２(x1＜x２）,求证:２<x1+ｘ2<-1.解:(1)由题设，=，故在(1,e2)上单调递减.……………………2分ﻩ所以在（1，e2)上至多只有一个零点．ﻩ又<0,故函数在(１,ｅ2)上只有一个零点.……………４分ﻩ(2)=,令=0，得x=1.ﻩ当x>１时,＜０，在上单调递减;当0＜x<1时,＞０，在(0,1）上单调递增,ﻩ故=f(1）=a-１.………………………………………………………６分①当=0，即a=1时,因最大值点唯一,故符合题设;……………8分②当<0,即a<1时,f(x）＜0恒成立,不合题设；ﻩ③当>０,即ａ>1时,一方面,>１,<０;另一方面，<１，≤2a-e a<0(易证:ｅx≥ｅｘ)，于就是,f(x）有两零点,不合题设.ﻩ综上,a得取值集合为｛1}．…………………………………………………………１０分（3)证:先证x1+x2＞２．ﻩ依题设,有a==,于就是.记=ｔ,ｔ＞1，则,故.于就是,x１＋x2=x1(t+１）=，ｘ１+x2-2=．记函数g(x)=,x>1.ﻩ因>0,故ｇ(x)在上单调递增．于就是,t＞１时，g(t)＞g(1）=0.又ln t>0，所以,x1+x2＞2.……………………………………………………………13分ﻩ再证ｘ1＋x2<-1．ﻩ因f（ｘ)=0h(x)=ａｘ-１-ｘlｎx=０，故ｘ1，x2也就是h(x)得两零点．ﻩ由=ａ-1-ln x=0,得x=（记p=).ﻩ仿(1)知,p就是h(x)得唯一最大值点,故有作函数h(ｘ)=，则≥0，故ｈ（ｘ)单调递增.故，当ｘ＞ｐ时,ｈ(ｘ)>ｈ(p)=0;当0<ｘ＜p时，h(x)＜0.于就是,aｘ１-１=ｘ１ｌn x1＜.整理,得＞0,ﻩ即,＞０．同理，＜0.ﻩ故,<,ﻩ,ﻩ于就是,.ﻩ综上,2＜x1+ｘ2＜-１． (6)ﻬ21．【选做题】本题包括Ａ、Ｂ、Ｃ、D四小题,请选定其中两题．．．．．．．．．．．．.．．．．．．,．并在相应得答题区域内作答若多做,则按作答得前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)ﻩ如图，BC为圆Ｏ得直径,A为圆O上一点,过点A作圆O得切线交BC得延长线于点P,AH⊥PB于H. ﻩ求证：P A·ＡＨ=PＣ·ＨB.因BＣ为圆O得直径，故AＣ⊥AB.(第21(A)题)ﻩ又AH ⊥ＰＢ,故AH 2=CH ·ＨB ,即.………………………………5ﻩ分 ﻩ因P A 为圆Ｏ得切线,故∠P AC =∠B ．在Rt △ABC 中,∠Ｂ+∠A ＣB =9０°.ﻩ在Rt △ＡC Ｈ中,∠ＣＡH +∠ACB =90°.所以,∠HAC =∠B .ﻩ所以,∠P A Ｃ=∠CAH , ﻩ所以,，即.所以，，即P A ·AH =PC ·ＨB .…………………………………………ﻩ１0分B .[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)ﻩ在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (0,0)，B (2,０)，Ｃ（1，２）,矩阵，点A ,B ,Ｃ在矩阵Ｍ对应得变换作用下得到得点分别为,，，求△得面积. 解:因,,, 即.……………………………………………………6分故．………………………………………………………………10分ﻬC .[选修４-4:坐标系与参数方程]（本小题满分1０分)ﻩ在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 得参数方程为(为参数,r 为常数,r >0）.以原点O 为极点,ｘ轴得正半轴为极轴建立极坐标系,直线ｌ得极坐标方程为．若直线l 与曲线Ｃ交于Ａ,B 两点,且,求r 得值. 解:由,得, 即直线l 得方程为.……………………………………………………ﻩ3分 由得曲线得普通方程为,圆心坐标为,……… 6分所以,圆心到直线得距离，由，则.………………10分D .［选修４-5:不等式选讲]（本小题满分10分) ﻩ已知实数ａ,b ,c ,d 满足ａ>b >c ＞d ,求证:． 证:因a >b >c >d ,故ａ-b >0，b -c ＞0,c -d ＞0.ﻩ故2149[()()()](123)36a b b c c d a b b c c d ⎛⎫-+-+-++++= ⎪---⎝⎭≥,……………６分所以, (10)【必做题】第22、２3题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分１0分)ﻩﻩ如图,正四棱柱AB ＣＤ-Ａ1B 1C 1D 1中,. (1）求与面所成角得正弦值；(2）点在侧棱上，若二面角E -B Ｄ-C 1得余弦值为,ABCD A 1B 1C 1D 1(第21(A)题答图)求得值.解:(1)以为原点,DA ,DC ，D Ｄ1分别为轴,轴，轴， 建立如图所示空间直角坐标系D -xyz ．设,则D (０，０,0),Ａ(１，０，0),ﻩB (1,1,0),C (０,1,0)，D 1(0，0，2）,ﻩA 1（1,0,2）,Ｂ1（１,1,2),C 1(0，1,2).（1)设与面所成角得大小为,ﻩ, 设平面得法向量为n =(ｘ,y ,z )，,,则,即．ﻩ令，则,所以,，ﻩ所以与平面所成角得正弦值为.………………………… ６分(２)设E （１,0，)，0≤≤２.ﻩ设平面得法向量为ｎ１=(x 1,ｙ1,z 1),平面得法向量为n 2=(x ２,y 2,z ２）, ﻩ,由,得,ﻩ令,则，,, ﻩ由,得,令z 2=1,则x 2=2,y 2=-２,,,所以,得．所以.……………………………10分23．（本小题满分１0分)ﻩ袋中共有８个球,其中有3个白球,5个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球,如果取出白球,则把它放回袋中；如果取出黑球,则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后,袋中白球得个数记为X n .ﻩ（１）求随机变量Ｘ2得概率分布及数学期望E （X 2）；(2)求随机变量Ｘn 得数学期望E (X n )关于n 得表达式.解:(１)由题意可知Ｘ2=3，4,5.ﻩ当X 2=３时,即二次摸球均摸到白球，其概率就是P (X 2=3)==; 当X 2=４时,即二次摸球恰好摸到一白,一黑球,其概率就是P (X ２=4)==; 当Ｘ２=５时,即二次摸球均摸到黑球,其概率就是P (X 2=5)==．…… ３分数学期望E (X 2）=.………………………………ﻩ５分(2)设P(Xｎ=３+ｋ）=pｋ，k=０,1,2,3,４，5.则p0＋p１+p2+ｐ３+p4+p5=1,E（Xｎ)=３ｐ0+4p1+5p2+6p3+7p４+８p5.P(X n＋1=3)=,P(Xｎ+1=4)=p０＋p1,P(Ｘn+1=5)=p1+p２,Ｐ（X n＋1=6)=ｐ2＋p3，ﻩP（Ｘn＋1=7)=p3+p4,P(Xｎ+１=8)=ｐ4＋p5,………………………7ﻩ分所以,E(Ｘn+1）=３×p0+4×(ｐ0＋p1)+５×(ｐ1+p2)+6×(p2+ｐ3)+7×(p3＋p4)+8×(p4+p5）=p0+p１＋ｐ2+p3＋ｐ４+ｐ5ﻩ=(３p0＋4p1＋５p2＋6p３+7ｐ４＋8ｐ５)+ p0＋p1+p2＋p3＋p４+ｐ５ﻩ=E(X n）＋１．…………………9分ﻩ由此可知,E(X n＋１)-８=(Ｅ(Xｎ)-８）.又Ｅ（X1)-8=,所以E(X n)=.……………………………10ﻩ分。
2015年湖北省宜昌一中高考数学三模试卷(文科)
2015年湖北省宜昌一中高考数学三模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A.（-1，1）B.（-1，-1）C.（1，-1）D.（1，1）【答案】A【解析】解：由=，则复数对应的点的坐标是：（-1，1）．故选：A．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p是q 的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B，则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系是解决本题的关键．3.已知a=2log32，，，则a，b，c的大小关系是（）A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.a＞c＞b【答案】D【解析】解：a=2log32=log34＞1，=，=＜1，则a＞c＞b，故选：D．分别判断a，b，c的取值范围即可．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对对数函数的性质是解决本题的关键．4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序则输出的K和S值分别为（）A.9，B.11，C.13，D.15，【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=0，K=1不满足条件K＞10，s=，K=3不满足条件K＞10，s=，K=5不满足条件K＞10，s=，K=7不满足条件K＞10，s=，K=9不满足条件K＞10，s=，K=11满足条件K＞10，退出循环，输出K的值为11，s的值为．故选：B．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，K的值，当K=11时，满足条件K＞10，退出循环，输出K的值为11，s的值为．本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s，K的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5.甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有（）A.，s1＜s2B.，s1＞s2C.＞，s1＞s2 D.，s1=s2【答案】B【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；甲同学测试成绩的平均数是=（76+76+82+88+88）=82，乙同学测试成绩的平均数是=（76+78+83+86+87）=82；甲同学测试成绩的方差是：=[（76-82）2+（76-82）2+（82-82）2+（88-82）2+（88-82）2]=，标准差是s1=，乙同学测试成绩的方差是=[（-6）2+（-4）2+12+（4）2+52]=，标准差是s2=．∴=，s1＞s2．故选：B．根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论．本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差、标准差的计算问题，是基础题．6.已知函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=log b（x-a）的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】解：函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移a的单位得到的，由图象可知1＜a＜2，由图象可知函数的最小正周期＜T＜π，∴＜＜π，解得2＜b＜4，∴y=log b x的图象过定点（1，0）且为增函数，∵y=log b（x-a）函数的图象是由y=log b x图象向右平移a的单位得到，∴y=log b（x-a）函数的图象过定点（a+1，0），其中2＜a+1＜3，故选：C先根据正弦函数的图象得到a，b的取值范围，再根据对数函数的图象和性质得到答案．本题考查了正弦函数的图象和对数函数的图象，属于基础题．7.已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x-y=0，它的一个焦点在抛物线y2=-4x的准线上，则双曲线的方程为（）A.4x2-12y2=1B.4x2-y2=1C.12x2-4y2=1D.x2-4y2=1【答案】D【解析】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x-y=0，∴a：b=：1，∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=-4x的准线x=1上，∴c=1．c2=a2+b2，解得：b2=，a2=∴此双曲线的方程为：x2-4y2=1．故选：D．利用双曲线的渐近线的方程可得a：b=：1，再利用抛物线的准线x=1=c及c2=a2+b2即可得出a、b．得到椭圆方程．本题考查的知识点是抛物线的简单性质和双曲线的简单性质，熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．8.已知函数f（x）=sinωx-cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为（）A.（-，0）B.（-，）C.（0，）D.（，）【答案】D【解析】解：∵函数f（x）=sinωx-cosωx=2sin（ωx-），又∵函数f（x）=sinωx-cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于=，故函数的最小正周期T=π，又∵ω＞0，∴ω=2，故f（x）=2sin（2x-），将函数y=f（x）的图象向左平移个单位可得y=g（x）=2sin[2（x+）-]=2sin2x的图象，令+2kπ≤2x≤+2kπ，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故函数y=g（x）的减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，当k=0时，区间[，]为函数的一个单调递减区间，又∵（，）⊆[，]，故选：D．由已知可求出函数f（x）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g（x）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得到结论．本题考查的知识点是函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键，属于中档题．9.在平面直角坐标系x O y中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心C在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为（）A.[0，]B.（0，）C.（1，3）D.[1，3]【答案】A【解析】解：因为圆C的圆心在直线y=2x-4上，所以设圆心C为（a，2a-4），则圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1．又|MA|=2|MO|，设M为（x，y），则可得：x2+（y+1）2=4，设该方程对应的圆为D，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．则|2-1|≤≤|2+1|．由5a2-12a+8≥0，得a∈R．由5a2-12a≤0得0≤a≤．所以圆心C的横坐标的取值范围为[0，]．故选：A．设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而根据|MA|=2|MO|，设出M，利用等式关系整理求得M的轨迹方程，进而判断出点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D 有交点．进而确定不等式关系求得a的范围．本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．10.已知函数f（x）=|mx|-|x-1|（m＞0），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A.0＜m≤1B.≤m＜C.1＜m＜D.≤m＜2【答案】B【解析】解：f（x）＜0可化为|mx|＜|x-1|，作函数y=|mx|与函数y=|x-1|的图象如下，结合图象可知，关于x的不等式f（x）＜0的解集中的3个整数解为0，-1，-2；故只需使＜，解得，≤m＜；故选：B．f（x）＜0可化为|mx|＜|x-1|，作函数y=|mx|与函数y=|x-1|的图象，由数形结合求解即可．本题考查了不等式的解与函数的图象的关系应用，属于基础题．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)11.已知集合M={-1，1}，＜＜，，则M∩N= ______ ．【答案】{-1}【解析】解：集合N中的不等式可化为：2-1＜2x+1＜22，因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则-1＜x+1＜2即-2＜x＜1，由x∈Z得到x 的值可以是-1和0所以N={-1，0}，则M∩N═{-1，1}∩{-1，0}={-1}故答案为：{-1}把集合N中的不等式变形后，利用指数函数的单调性列出关于x的不等式，求出解集中的整数解即可得到集合N的元素，然后利用求交集的法则求出M与N的交集即可．本题属于以函数的单调性为平台，求集合的交集的基础题，是高考常会考的题型．12.某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16．若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是______ ．【答案】39【解析】解：∵样本间隔k=16，若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，∴抽取的号码数为7+16x，当x=2时，7+16×2=39，即在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该39，故答案为：39根据系统抽样的定义进行求解．本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．13.若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为______ ．【答案】-【解析】解：∵向量，满足||=||=|+|=1，∴，化为，即1，解得．故答案为．利用向量的数量积运算即可得出．熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为______ ．【答案】【解析】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=1×1=1，高h=1，故棱锥的体积V==，故答案为：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．15.在平面区域内任取一点P（x，y），若（x，y）满足x+y≤b的概率大于，则b的取值范围是______ ．【答案】（1，+∞）【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则矩形的面积S=2×2=4，当满足x+y≤b的概率大于，则满足x+y≤b对应的区域为△OED，则E（b，0），D（0，b），（b＞0），则△OED的面积S=×，即，即b2=1，解得b=1，若满足x+y≤b的概率大于，则对应区域的面积S＞S△OED，此时直线x+y=b在直线x+y=1的上方，即b＞1，故b的取值范围是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）先求出满足x+y≤b的概率等于对应的直线方程即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出概率等于对应的直线方程是解决本题的关键．16.如图，我们知道，圆环也可看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S=π（R2-r2）=（R-r）×2π×．所以，圆环的面积等于是以线段AB=R-r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M={（x，y）|（x-d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是______ ．（结果用d，r表示）【答案】2π2r2d【解析】解：由已知中圆环的面积等于是以线段AB=R-r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x-d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x-d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．故V=πr2•2πd=2π2r2d，故答案为：2π2r2d．根据已知中圆环的面积等于是以线段AB=R-r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x-d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x-d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．代入可得答案．本题考查的知识点是圆柱的体积，类比推理，其中得到拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x-d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x-d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d 为高的圆柱的体积．是解答的关键．17.若函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x o（a＜x o＜b），满足f（x o）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x o是它的一个均值点．例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函数”，O就是它的均值点．（1）若函数，f（x）=x2-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是______ ．（2）若f（x）=㏑x是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x o是它的一个均值点，则㏑x o与的大小关系是______ ．【答案】（0，2）；【解析】解：∵函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根．即x2-mx-1=-m在（-1，1）内有实数根．即x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．又1∉（-1，1）∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）（2）解：由题知lnx0=．猜想：，证明如下：，令t=＞1，原式等价于lnt2＜，2lnt-t+＜0，令h（t）=2lnt-t+（t＞1），则h′（t）=-1-=-＜0，∴h（t）=2lnt-t+＜h（1）=0，得证（1）函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．（2）猜想判断，换元转化为h（t）=2lnt-t，利用导数证明，求解出最值，得出2lnt-t+＜h（1）=0，即可得到结论．本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．三、解答题(本大题共5小题，共65.0分)18.如图，已知点A（3，4），C（2，0），点O为坐标原点，点B在第二象限，且|OB|=3，记∠AOC=θ．高．（Ⅰ）求sin2θ的值；（Ⅱ）若AB=7，求△BOC的面积．【答案】解：（Ⅰ）∵A点的坐标为（3，4），∴，∴，，∴（Ⅱ）设B（x，y），由OB=3，AB=7得解得或，又点B在第二象限，故．∴△BOC的面积【解析】（Ⅰ）先由三角函数定义求sinθ、cosθ，再根据正弦的倍角公式求出sin2θ；（Ⅱ）设点B坐标，然后列方程组解之，最后由三角形面积公式求得答案．本题考查三角函数定义、正弦的二倍角公式及方程思想．19.在等差数列{a n}中，a2+a7=-23，a3+a8=-29．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b n}的前n项和S n．【答案】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差是d．依题意a3+a8-（a2+a7）=2d=-6，从而d=-3．所以a2+a7=2a1+7d=-23，解得a1=-1．所以数列{a n}的通项公式为a n=-3n+2．（Ⅱ）解：由数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，得，即，所以．所以=．从而当c=1时，；当c≠1时，．【解析】（Ⅰ）依题意a3+a8-（a2+a7）=2d=-6，从而d=-3．由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，得，所以．所以=．由此能求出{b n}的前n项和S n．本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=AD，PA⊥底面ABCD，过BC的平面交PD于M，交PA于N （M与D不重合）．（1）求证：MN∥BC；（2）如果BM⊥AC，求此时的值．【答案】（Ⅰ）∵BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，证明：∴BC∥平面PAD，∵平面PAD∩平面BCMN=MN，∴BC∥MN，即MN∥BC；…（4分）（2）过M作MK∥PA交AD于K，则K为AD中点，连结BK．因为PA⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．所以MK⊥AC．又因为BM⊥AC，BM∩MK=M，所以AC⊥平面BMK，所以AC⊥BK．由K为AD中点，BC∥AD，BC=AD，可得DC∥BK，可得AC⊥CD，所以在平面ABCD中可得BCDK是平行四边形．所以BC=DK=AK，因为K是AD中点，所以M为PD中点．所以．…（13分）【解析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明MN∥BC；（2）根据线面垂直的判定定理证明BCDK是平行四边形，即可证明M是PD的中点即可得到结论．本题主要考查线面垂直和线面平行的判定和性质，综合考查空间直线和平面的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理，考查学生的运算和推理能力，属于基本知识的考查．21.已知离心率为的椭圆＞＞的右焦点F是圆（x-1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．【答案】解：（I）∵圆（x-1）2+y2=1的圆心是（1，0），∴椭圆＞＞的右焦点F（1，0），∵椭圆的离心率是，∴∴a2=2，b2=1，∴椭圆的方程是．（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），由得，∴，，．直线PM的方程：，化简得（y0-m）x-x0y+x0m=0．又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，∴，∴（y0-m）2+x02=（y0-m）2+2x0m（y0-m）+x02m2，化简得（x0-2）m2+2y0m-x0=0，同理有（x0-2）n2+2y0n-x0=0．∴，，∴=．∵P（x0，y0）是椭圆上的点，∴，∴，记，则′，，时，f'（x）＜0；，时，f'（x）＜0，∴f（x）在，上单调递减，在，内也是单调递减，∴，，，当时，|MN|取得最大值，此时点P位置是椭圆的左顶点，．【解析】（I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．（II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x0的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和PN的距离．求得x0和y0的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当时，|MN|取得最大值，进而求得y0，则P点坐标可得．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．22.设函数f（x）=e x（lnx-a），e是自然对数的底数，e≈2.718…，a∈R且为常数．（1）若y=f（x）在x=1处的切线的斜率为2e，求a的值；（2）若y=f（x）在区间[ln2，ln3]上为单调函数，求a的取值范围．【答案】解：（1）′…（1分）依题意，k=f'（1）=e1（ln1-a+1）=2e，解得a=-1…（2分）（2）′，[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间．当且仅当f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零，由e x＞0，作，，由得x=1…（7分）列表如下：h（x）在[ln2，ln3]上的最小值为m=1，所以，当且仅当a≤1时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递增…（11分）下面比较h（ln2）与h（ln3）的大小（方法一）由23＜32＜e3，＜＜，＜＜又h（x）在[ln2，1）上单调递减得＞ …（12分）＞ …（13分）＜＜＜，∴h（ln2）＞h（ln3），当且仅当时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递减，综上所述，a的取值范围为∞，，∞…（14分）（方法二）由＜＜，＜＜＜，以及的单调性知，＞…（12分）由知，单调递减…（13分）由ln3＞1得＜，＞，＞，∴h（ln2）＞h（ln3），当且仅当时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递减，综上所述，a的取值范围为∞，，∞…（14分）（“单调递增…（11分）”以下，若直接写，，再给1分）【解析】（1）对函数进行求导，由f'（1）=2e求得a（2）由[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间当且仅当f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零．注意对对数h（ln2）和h（ln3）的大小比较有两种方法：方法一：利用作差法比较h（ln2）和h（ln3）的大小，方法二：构造新函数，利用新函数的单调性比较大小本题主要考查导数的几何意义和导数在单调性中得应用和用其求参数范围的方法，属于难题．。
2015届高三数学理科三模试题
2015届高三数学理科三模试题时间：20150516一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=( ) A ．3 B ．2 C ．5 D2. 已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ） A 、命题p q ∨是假命题B 、命题p q ∧是真命题C 、命题()p q ∧⌝是真命题D 、命题()p q ∧⌝是假命题3. 在区间[0,]π上随机取一个数x，则事件“sin cos x x +≥”发生的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12 D ．234. 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.A ．12 B ．815 C ．1631 D ．1629、从抛物线24y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5PM =，设抛物线的焦点为F ，则∆PMF 的面积为 A ．5 B ．10 C ．15 D ．205、已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组12222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则OA AM Z →→=⋅的最大值为A ．5-B ．1-C ．0D ．16、以下四个命题中①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； ②对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥；③设随机变量 2(1,)XN σ~，若(01)0.4P X<<=，则(02)0.8P X <<=；④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1. 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．47、阅读如下程序框图，如果输出4i =，那么空白的判断框中应填入的条件是6.如图所示的程序框图表示求算式“248163264⨯⨯⨯⨯⨯”的值，则判断框内可以填入( )A.132?k <B.70?k <C.64?k <D.63?k <7.若函数a x x x f -+=2)(，则使得“函数)(x f y =在区间)1,1(-内有零点”成立的一个必要非充分条件是（ ）A. 241≤≤-a B. 241<≤-a C. 20<<a D. 041<<-a 8. 一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④9.已知直线)0(0>=-+k k y x 与圆422=+y x 交于不同的两点A,B,O 是坐标原点，且有≥+，那么k 的取值范围是（ ） A. ),2[+∞ B. )22,2[ C. ),3(+∞ D. )22,3[10.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5﹪，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系t p t p )51()(000+=，其中0p 为t=0时的物价。
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陕西省安康市2015届高考数学三模试卷（文科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知A={1，2，5}，B={2，3，5}，则A∪B等于( ) A．{2，3} B．{2，5} C．{2} D．{1，2，3，5}
2．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则等于( ) A．（2，4） B．（3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣2，﹣4）
4．已知sin（）=则cos（x）等于( ) A．﹣ B．﹣ C． D．
5．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b的值等于 ( ) A． B．1 C．2 D．4 6．定义在R上的奇函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，则下列关系式正确的是( ) A．0＜f（1）＜f（﹣1） B．f（﹣1）＜f（1）＜0 C．f（﹣1）＜0＜f（1） D．f（1）＜0＜f（﹣1）
7．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值等于( ) A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( ) A．90 B．92 C．98 D．104 9．已知M（2，m）是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，则“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
10．如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为( )
A． B． C． D． 11．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填( )
A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？ 12．已知x0是函数的一个零点，若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则( ) A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞0
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．lg5lg2+lg22﹣lg2=__________． 14．从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为__________．
15．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值__________． 16．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米，记防洪堤横断面的腰长为x（米），则其腰长x的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知数列{an}是公差为整数的等差数列，且a1a2=4，a3=7． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{2}的前n项和Sn．
18．已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈[0，]． （1）当函数取得最大值时，求自变量x的值； （2）若方程f（x）﹣a=0有两个实数根，求a的取值范围．
19．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD； （Ⅱ）求几何体D﹣ABC的体积．
20．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求续驶里程在[200，300]的车辆数； （2）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[200，250）的概率． 21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为：，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．
22．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+a． （1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域； （2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞成立．
陕西省安康市2015届高考数学三模试卷（文科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知A={1，2，5}，B={2，3，5}，则A∪B等于( ) A．{2，3} B．{2，5} C．{2} D．{1，2，3，5}
考点：并集及其运算． 专题：集合． 分析：直接利用并集运算得答案． 解答： 解：∵A={1，2，5}，B={2，3，5}， 则A∪B={1，2，5}∪{2，3，5}={1，2，3，5}． 故选：D． 点评：本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型． 2．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
解答： 解：∵1+i=，
∴z===在复平面内，复数z所对应的点在第一象限． 故选：A． 点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．
3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则等于( ) A．（2，4） B．（3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣2，﹣4）
考点：平面向量的坐标运算． 专题：平面向量及应用． 分析：利用平行四边形对边平行相等，结合向量的运算法则，求解即可．
解答： 解：∵，
∴==（﹣3，﹣5）． 故选：C． 点评：本题考查向量的基本运算，向量的坐标求法，考查计算能力．
4．已知sin（）=则cos（x）等于( ) A．﹣ B．﹣ C． D．
考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数． 专题：计算题；三角函数的求值． 分析：由诱导公式化简后即可求值．
解答： 解：cos（x）=sin[﹣（x）]=sin（﹣x）=． 故选：D． 点评：本题主要考察了诱导公式的应用，属于基础题．
5．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b的值等于( ) A． B．1 C．2 D．4 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，可得=2，即可求出b的值． 解答： 解：∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，
∴=2， ∴b=2， 故选：C． 点评：本题考查双曲线的渐近线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．
6．定义在R上的奇函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，则下列关系式正确的是( ) A．0＜f（1）＜f（﹣1） B．f（﹣1）＜f（1）＜0 C．f（﹣1）＜0＜f（1） D．f（1）＜0＜f（﹣1）
考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可． 解答： 解：∵定义在R上的奇函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减， ∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减， 则f（1）＜0＜f（﹣1）， 故选：D 点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，比较基础．
7．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值等于( ) A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
考点：线性回归方程． 专题：计算题；概率与统计． 分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程求出a．
解答： 解：∵==5，==54 ∴这组数据的样本中心点是（5，54） 把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a，∴54=10.5×5+a， ∴a=1.5， 故选：B． 点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A．90 B．92 C．98 D．104 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：由三视图知几何体为一四棱柱，且四棱柱的高为4，底面为直角梯形，直角梯形的直角腰为4，两底边长分别为2，5，求得另一腰长，把数据代入表面积公式计算． 解答： 解：由三视图知几何体为一四棱柱，且四棱柱的高为4，
底面为直角梯形，直角梯形的直角腰为4，两底边长分别为2，5，另一腰长为=5；
∴几何体的表面积S=S底面+S侧面=2××4+（2+4+5+5）×4=92． 故选：B． 点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
9．已知M（2，m）是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，则“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：根据抛物线的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
解答： 解：抛物线的交点坐标为F（，0），准线方程为x=﹣，
则点M到抛物线焦点的距离PF=2﹣（﹣）=2+， 若p≥1，则PF=2+≥，此时点M到抛物线焦点的距离不少于3不成立，即充分性不成立，