第13讲 反比例函数
2014中考总复习第13讲反比例函数
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
5 1. (2013·兰州)当 x>0 时, 函数 y=- x 的图象在(
)
A. 第四象限 C. 第二象限
B. 第三象限 D. 第一象限
5 【解析】 ∵函数 y=- x 中 k=-5<0, ∴其图象位于第二、四象限, 当 x>0 时, 其图
象位于第四象限. 【答案】 A
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
∵O E =2, ∴C E =3, ∴点 C 的坐标是( -2, 3) .
6 ∴k=-2× 3=-6, ∴y=- x .
( 2) 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b( k≠0) .
1 k b 2 2 则 4k b 0 , 解得 . b 2
第一部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
一、反比例函数的有关概念 1. 反比例函数的定义: 形如 y= 量, y是 x的函数. 2. 反比例函数的解析式的三种形式: ( 1) y= 0, k为常数) . ( k≠0, k为常数) ; ( 2) y= ( k≠0, k为常数) ; ( 3) xy=k( k≠ ( k≠0, k为常数) 的函数叫做反比例函数, 其中 x是自变
BD 1 1 1 ∴ OD = 3 , BD = 4 BO . 又∵S△AB O =1, ∴ 2 B D ·B A=1, 8 ∴B O ·B A=8. 设 A 点坐标为 A ( x, y) , 由 xy=8, 得 y= x . 8 【答案】y= x ( x>0)
第一部分
k
.
复习目标
知识回顾
重点解析
【精品语文课件】2020(新增6页)教版中考数学复习解题指导：第13讲 反比例函数_6-10
kx2的交点坐标就是解这两个函数关系
式组成的方程组
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1
第13讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 反比例函数的概念 命题角度： 1. 反比例函数的概念； 2. 求反比例函数的解析式．
例1 [2012·益阳 ]反比例函数y＝ 的图象与一次函 数y＝2x＋1的图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的 解析式是________.
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4
第13讲┃ 归类示例
比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据 反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其 性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．
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5
” 樵夫用绳子把柴紧紧地捆了起来，用扁担挑上柴下山了。” 龙在十字路口等着这厚皮笨象。”于是那个人又问：“那你种了什么?”农夫说：“什么也没种。
深圳小产权房网:/ 你要是从边上吃，这是我瘦瘦的肋骨。
马努说：“我们不会让你死的!”他用手捧起水，让玛茨亚呆在水里，把他带回家去了。，” 庭太端起自己的那杯蔬菜汁，说：“我讨厌这种可怕的菜汁
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A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y2>y1>y3 D．y2>y3>y1
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3
第13讲┃ 归类示例
[解析] 反比例函数 y＝－7x的图象在第二，四象限，在每一个象限内，y 随 x 的 增大而增大．A(－2，y1)、B(－1，y2)在第二象限，因为－2<－1，所以 0<y1<y2.又 C(2， y3)在第四象限，所以 y3<0.
第13讲┃ 考点聚焦
考点3 反比例函数的应用
求函数 关系式
方法 步骤
利用待定系数法确定反比例函数：①根
《反比例函数》课件
部分，S梯形CABD= S△ABO .
y
A
C
D
O
B
E
x
重难剖析 重难点4：反比例函数的实际应用
病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，
每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药
后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与
1
D.
3
2. 若 y a 1 x
A. 1
B. －1
a2 2
是反比例函数，则 a 的值为 ( A )
C. ±1
a+1≠0
a2-2=-1
a=1
D. 任意实数
重难剖析 重难点2：反比例函数的图象和性质
已知点 A(1，y1),B(2，y2),C(-3，y3) 都在反比例函数
6
= 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是( D )
比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例
系数．
k
三种表达方法：y 或 xy=k 或 y=kx－1(k≠0)．
x
注意：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
2.反比例函数的图象和性质
k
（1）反比例函数的图象：反比例函数 y (k≠0)的
x
图象是 双曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形.
重难剖析 重难点5：反比例函数的综合应用
1
2
如图,已知 A (－4, ),B (－1,2) 是一次函数y =kx+b 与反
比例函数 = (m＜0)图象的两个交点,AC⊥x 轴于点
第十三讲反比例函数详解
第十三讲 反比例函数第一部分 知识梳理一、反比例函数的解析式1．反比例函数的概念一般地，函数xky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。
自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
二、反比例函数的图像及性质1．反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2．反比例函数的性质3．反比例函数中反比例系数的几何意义(如图)面积为k 。
连接该点和原点，所得三三角形（如图）的面积m 的值D ．21-〖选题意图〗对于反比例函数)0(≠=k xky 。
由于11-=x x ，所以反比例函数也可以写成1-=x y （k 是常数，k ≠0）的形式，有时也以xy=k （k 是常数，k ≠0）的形式出现。
（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。
〖解题思路〗根据反比例函数的定义m 2﹣5=﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．〖参考答案〗解：∵函数()521-+=m xm y 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，∴⎩⎨⎧+-=-01152＜m m ，解得m =±2且m ＜﹣1，∴m =﹣2．故选B ．【课堂训练题】1．已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成反比例，且当x =1时，y =﹣1；当x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式． 〖难度分级〗A 类〖参考答案〗解：设y 1=k 1x （k 1≠0），y 2=错误！未找到引用源。
中考数学专题复习讲座第十三讲反比例函数
中考数学专题复习第十三讲反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念：一般地：互数y （k是常数，k≠0）叫做反比例函数【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠02、反比例函数的另一种表达式为y= （k是常数，k≠0）3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x 与其对应函数值y之积，总等于】二、反比例函数的同象和性质：1、反比例函数y=kx（k≠0）的同象是它有两个分支，关于对称2、反比例函数y=kx（k≠0）当k>0时它的同象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而当k<0时，它的同象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而【名师提醒：1、在反比例函数y=kx中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k的几何意义：反曲线y=kx（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线→两线与坐标轴围成的形面积，即如图： AOBP=S△AOP=【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数y=kx（k≠0）中只有一个被定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法一、反比例函数的应用二、解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的【重点考点例析】考点一：反比例函数的同象和性质例1 （2012•张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数ayx在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．思路分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=ayx=过一、三象限；当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=ayx=过二、四象限；故选C．点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．例2 （2012•佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数22a ayx-+ =图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二象限 D．第三、四象限思路分析：把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式，再根据反比例函数的性质解答．解：a2-a+2，=a2-a+14-14+2，=（a-12）2+7 4 ，∵（a-12）2≥0，∴（a-12）2+7 4 ＞0，∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．故选A．点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出a2-a+2的正负情况是解题的关键，对于反比例函数kyx=（k≠0）：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．例3 （2012•台州）点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数6yx=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答．解：∵函数6yx=中k=6＞0，∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，∵-1＜0，∴点（-1，y1）在第三象限，∴y1＜0，∵0＜2＜3，∴（2，y2），（3，y3）在第一象限，∴y2＞y3＞0，∴y2＞y3＞y1．故选D．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键．对应训练1．（2012•毕节地区）一次函数y=x+m（m≠0）与反比例函数myx=的图象在同一平面直角坐标系中是（）A． B． C． D．1．C2．（2012•内江）函数1y xx=的图象在（）A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限2．A2x中x≥0，1x中x≠0，故x＞0，此时y＞0，则函数在第一象限．故选A．3．（2012•佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数2yx=的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1 y2．3．＞考点二：反比例函数解析式的确定例4 （2012•哈尔滨）如果反比例函数1kyx-=的图象经过点（-1，-2），则k的值是（）A．2 B．-2 C．-3 D．3思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．解答：解：根据题意，得-2=11k--，即2=k-1，解得k=3．故选D．点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．对应训练4．（2012•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数1b yx+ =的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．3yx=- B．1yx= C．2yx= D．2yx=-4．D4．分析：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得b的值，然后根据反比例函数1byx+=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数1+b＜0，则b的值可以确定，从而确定函数的解析式．解：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2化成一般形式是：2x2+（2-2b）x+（b2-1）=0，△=（2-2b）2-8（b2-1）=-4（b+3）（b-1）=0，解得：b=-3或1．∵反比例函数1byx+=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，∴1+b＜0 ∴b＜-1，∴b=-3．则反比例函数的解析式是：y=13yx-=，即2yx=-．故选D．考点三：反比例函数k的几何意义例5 （2012•铁岭）如图，点A在双曲线4yx=上，点B在双曲线kyx=（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（）A．12 B．10 C．8 D．6思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段BA，交y轴于点E，由于AB∥x轴，所以AE⊥y轴，故四边形AEOD是矩形，由于点A在双曲线4yx=上，所以S矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k，由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值．解：∵双曲线kyx=（k≠0）上在第一象限，∴k＞0，延长线段BA，交y轴于点E，∵AB∥x轴，∴AE⊥y轴，∴四边形AEOD是矩形，∵点A在双曲线4yx=上，∴S矩形AEOD=4，同理S矩形OCBE=k，∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8，∴k=12．故选A．点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数kyx=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．对应训练5．（2012•株洲）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数21,y yx x-==的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（）A．3 B．3 2 tC．32D．不能确定5．C5．解：把x=t分别代入21,y yx x-==，得21,y yt t==-，所以B（t，2t）、C（t，1t-），所以BC=2t-（1t-）=3t．∵A为y轴上的任意一点，∴点A到直线BC的距离为t，∴△ABC的面积=133 22tt⨯⨯=．故选C．考点四：反比例函数与一次函数的综合运用例6 （2012•岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数22yx=的图象交于A、B 两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（）A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BODD．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．解：A、12y xyx=+⎧⎪⎨=⎪⎩①②，∵把①代入②得：x+1=2x，解得：x1=-2，x2=1，代入①得：y1=-1，y2=2，∴B（-2，-1），A（1，2），∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；C、∵S△AOC=12×1×2=1，S△BOD=12×|-2|×|-1|=1，∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．对应训练6．（2012•达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=mx(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．-2＜x＜0或x＞1 B．x＜-2或0＜x＜1 C．x＞1 D．-2＜x＜16．A6．解：由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx(m≠0)的交点坐标为（1，4），（-2，-2），由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞1时，y1在y2的上方，∴当y1＞y2时x的取值范围是-2＜x＜0或x＞1．故选A．【聚焦山东中考】1．（2012•青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数3yx-=的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y31．A1．解：∵反比例函数y=-3 x 中，k=-3＜0，∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0＜x3，∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故选A．2．（2012•菏泽）反比例函数2yx=的两个点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＞x2，则下式关系成立的是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．不能确定2．D3．（2012•滨州）下列函数：①y=2x-1；②y=5x-；③y=x2+8x-2；④y=22x；⑤y=12x；⑥y=ax中，y是x的反比例函数的有（填序号）。
【大师特稿】中考数学一轮复习第13讲：反比例函数教案
第13讲:反比例函数一、复习目标1、理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式，能画出反比例函数的图象2、能够将反比例函数有关的实际应用题转化为函数问题二、课时安排1课时三、复习重难点1、反比例函数图象与性质2、反比例函数图象、性质的应用四、教学过程（一）知识梳理反比例函数的图象与性质·PN＝|y|·|x|＝（二）题型、技巧归纳考点1：反比例函数的概念技巧归纳：判断点是否在反比例函数图象上的方法有两种：一是口算选项中点的横坐标与纵坐标乘积是否都等于比例系数，二是将选项中点的坐标诸个代入反比例函数关系式，看能否使等式成立．考点2：反比例函数的图象与性质技巧归纳：1、比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．2、过反比例函数y ＝kx的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k |，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．考点3反比例函数的应用技巧归纳：先根据双曲线上点C 的坐标求出m 的值，从而确定点C 的坐标，再将点C 的坐标代入一次函数关系式中确定n 的值，在求出两个函数关系式后结合条件可求出三角形的面积．过反比例函数y ＝k x的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k |，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．（三）典例精讲例1 某反比例函数的图象经过(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是( ) A ．(－3,2) B ．(3,2) C ．(2,3) D ．(6,1)[解析] 设反比例函数的关系式为y ＝kx，把点(－1，6)代入可求出k ＝－6，所以反比例函数的关系式为y ＝－6x，故此函数也经过点(－3，2)，答案选A.例2在反比例函数y ＝k x (k <0)的图象上有两点()－1，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，y 2，则y 1－y 2的值是( ) A ．负数 B ．非正数C ．正数D ．不能确定 [解析] 反比例函数y ＝kx ：当k ＜0时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．又∵点(－1，y 1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，y 2均位于第二象限，－1＜－14， ∴y 1＜y 2，∴y 1－y 2＜0，即y 1－y 2的值是负数，故选A.例3 如图点A ，B 在反比例函数y ＝ (k>0，x>0)的图象上，过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM ＝MN ＝NC ，△AOC 的面积为6，则k 的值为________．[解析] ∵S △AOC ＝6，OM ＝MN ＝NC ＝13OC ，∴S △OAC ＝12×OC×AM，S △AOM ＝12×OM×AM＝13 S △OAC ＝2＝12|k|.又∵反比例函数的图象在第一象限，k ＞0，则k ＝4.例4 如图13－2，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋n 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线y ＝4y x=在第一象限内交于点C (1，m )． (1)求m 和n 的值；(2)过x 轴上的点D (3,0)作平行于y 轴的直线l ，分别与直线AB 和双曲线y ＝ 交于点P 、Q ，求△APQ 的面积．解：(1) ∵点C(1，m)在双曲线y ＝4x上，∴m ＝4，将点C(1，4)代入y ＝2x ＋n 中，得n ＝2；(2)在y ＝2x ＋2中，令y ＝0，得x ＝－1，即A(－1，0)．将x ＝3代入y ＝2x ＋2和y ＝4x，得点P(3，8)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，43，∴PQ ＝8－43＝203.又∵AD ＝3－(－1)＝4，∴△APQ 的面积＝12×4×203＝403. （四）归纳小结本部分内容要求熟练掌握反比例函数的求法，能画出反比例函数的图象，能够将反比例函数有关的实际应用题转化为函数问题（五）随堂检测1、已知点A(－2，y 1)、B(1，y 2)和C(2，y 3)都在反比例函数ky x= (k<0)的图象上，那么y 1、y 2和y 3的大小关系如何？2、已知反比例函数7y x=-图象上三个点的坐标分别是A(－2，y 1)、B(－1，y 2)、C(2，y 3)，能正确反映y 1、y 2、y 3的大小关系的是( )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2>y 1>y 3D ．y 2>y 3>y 13、已知反比例函数y=（k 为常数，k≠0）的图象经过点A （2，3）． （Ⅰ）求这个函数的解析式；（Ⅱ）判断点B （﹣1，6），C （3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； （Ⅲ）当﹣3＜x ＜﹣1时，求y 的取值范围．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y=的图象有一个交点A （m ，2）．（1）求m 的值；（2）求正比例函数y=kx 的解析式；（3）试判断点B（2，3）是否在正比例函数图象上，并说明理由．五、板书设计反比例函数六、作业布置反比例函数课时作业七、教学反思借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。
中考总复习数学13-第一部分 第13讲 反比例函数及其应用
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第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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续表
在每个象限内,y随x的增大
增减性
而⑤ 减小
对称性
是轴对称图形,对称轴为直线y=⑦
⑧ 原点O
在每个象限内,y随x的增大
而⑥增大
±x
; 是中心对称图形,对称中心是
图象由分别位于两个象限的双曲线组成,图象无限接近坐标轴,但不与
图象特征
坐标轴相交.
第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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考点 4 反比例函数的应用
1.判断同一坐标系中反比例函数图象和一次函数图象的方法
(假设法)假设反比例函数正确,即可确定 k的取值范围,再根据 k 的取值范围
确定一次函数图象,无矛盾,则正确.
2.已知两个函数图象,求交点坐标
(1)求一次函数图象与反比例函数图象的交点,将两个函数解析式联立方程组
位置关系,依据图象在上方的函数值总比图象在下方的函数值大 ,在各区域
内找对应的x的取值范围.
4.求图形面积
(1)当图形有一边在坐标轴上时,通常将坐标
轴上的边作为底边,再利用点的坐标求出底边上的高,最后用面积公式求解.
(2)当图形三边都不在坐标轴上时,一般用“割补法”.
第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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2.与反比例函数中k的几何意义有关的面积计算
S△AOP=⑩
S△APP‘=
|k|
2|k|
S△OBP= |k|
S△ABC=
|k|
S矩形OAPB=|k|
S▱ABCD=
|k|
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第十三讲反比例函数详解
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
反比例函数定义
形如$y = frac{k}{x}$（$k$为常 数且$k neq 0$）的函数称为反
比例函数。
反比例函数图象
反比例函数的图象是双曲线，当 $k > 0$时，图象位于第一、三 象限；当$k < 0$时，图象位于
解得$x$无实数解，说明一元反比例函数在其定义域内无极值。 • 例题二：求二元反比例函数$f(x,y) = \frac{1}{xy}$在条件$x+y=1$下的
极小值。 • 解题思路：引入拉格朗日乘数$\lambda$，构造拉格朗日函数
$L(x,y,\lambda) = \frac{1}{xy} + \lambda(x+y-1)$，然后分别求偏导 数并令偏导数等于零，解得可能的极值点。最后结合约束条件和函数的 性质判断极值点的真假及极小值的大小。
分析
同样根据反比例函数的性质，我们知 道在$(-infty, 0)$区间内，函数是单调 减少的。因此，在子区间$(-2, -1)$内 ，函数也是单调减少的。
04
反比例函数极值问题求解策 略
极值存在条件及求解方法
极值存在条件
对于一元反比例函数，其极值存在的条件是一阶导数等于零且二阶导数不为零；对于多元反比例函数，极值存在 的条件是其偏导数等于零且二阶偏导数矩阵（Hessian矩阵）正定或负定。
判断反比例函数$f(x)
=
frac{1}{x}$在区间$(1, 2)$内的单
调性。
分析
根据反比例函数的性质，我们知 道在$(0, +infty)$区间内，函数 是单调减少的。因此，在子区间 $(1, 2)$内，函数同样单调减少。
第13课时 反比例函数(共26张PPT)
A. 0<y<1 B. 1<y<2 C. 2<y<6 D. y>6
(4) (2014湘潭)如图，A、B两点在双曲线y=
4 x
上,
分别经过A、B两点向轴作垂线段,已知S阴影=1， 则S1+S2=( D ) A. 3 B.4 C.5 D. 6
变式训练（2016· 龙东）已知反比例函数 y= ，当 1＜x＜3 时，
{
{
例 7 （2016· 湖州）湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为
2000 平方米的长方形鱼塘． （1）求鱼塘的长 y（米）关于宽 x（米）的函数表达式； （2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖 20 米，当鱼塘的宽 是 20 米，鱼塘的长为多少米？
解： （1）由长方形面积为 2000 平方米，得到 xy=2000， 即 y= ； =100（米） ， （2）当 x=20（米）时，y=
中，一次函数 y=ax+b（a≠0）的图形与反比例 函数 y= （k≠0）的图象交于第二、四象限内 的 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，过点 A 作 AH⊥y 轴，垂足为 H，OH=3，tan∠ AOH= ， 点 B 的坐标为（m，﹣2）． （1）求△ AHO 的周长； （2）求该反比例函数和一次函数的表达式．
k ，一次函数 y ＝ x ＋ b ，得 k ＝ 1 × 4 ， 1 ＋ b ＝ 4 ，解得 k ＝ 4 ， b ＝ x 4 3，∴反比例函数的表达式是y＝x，一次函数表达式是y＝x＋3. (2)设直线y＝x＋3与x轴交于点C，当x＝－4时，y＝－1， ∴B(－4，－1)．当y＝0时，x＋3＝0，x＝－3，∴C(－3，0)， 1 1 15 S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝ ×3×4＋ ×3×1＝ . 2 2 2 (3)∵B(－4，－1)，A(1，4)，∴根据图象可知：当x＞1或 －4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
(中考复习)第13讲 反比例函数及其图象
C．y1＝y2
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5． (2012· 达州)一次函数 y1＝kx＋b(k≠0)与反 m 比例函数 y2＝ (m≠0)，在同一直角坐标 x 系中的图象如图 13－3 所示，若 y1>y2， 则 x 的取值范围是 ( A )
A．－2<x<0或x>1
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2 3． (2012· 菏泽)反比例函数 y＝ 图象上的两个点为 (x1， y1)， (x2， x y2)，且 x1<x2，则下式关系成立的是 ( D ) A．y1>y2 B．y1<y2
D．不能确定 1－2k 4． (2013· 哈尔滨 )反比例函数 y＝ 的图象经过点 (－ 2，3)，则 x k 的值为 ( C ) 7 7 A． 6 B．－ 6 C. D．－ 2 2
轴对称图形 ． ______________ 4．应用：
如图 13－1 所示，点 A 和点 C 是反比 k 例函数 y＝ (k≠0)的图象上任意两点， x 画 AB⊥x 轴于 B，CD⊥y 轴于 D，则 |k| 有 S△AOB＝S△COD＝ . 2
图13－1
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图13－4
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题组一
反比例函数解析式的确定
已知图象上一点求解析式
【 例 1】2 ( 0 1 3 · 巴 中 )如 图 1 3 －5 所 示 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，一 次 函 数 y＝ k x ＋ b(k≠ 0 ) 的 图 象 与 反 比 例 k 函数 y＝ 的 图 象 交 于 一 、 三 象 限 内 x 的 A、B 两 点 ，直线 AB 与 x 轴 交 于 点 C，点 B 的 坐 标 为 (－ 6，n)，线 段 OA＝ 5，E 为 x 轴 正 半 轴 上 一 点 ，且 4 a t n ∠A O E ＝ . 3
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1．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流强度 I(A)与电阻 R(Ω)成反比例关系，其函 数图象如图所示，则电流强度 I(A)与电阻 R(Ω)的函数解析式是( )
)
答案：D
6 4．(2012· 常德)对于函数 y＝ ，下列说法中错误的是( x A．它的图象分布在一、三象限 B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当 x>0 时，y 的值随 x 的增大而增大 D．当 x<0 时，y 的值随 x 的增大而减小
答案：C
)
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【点拨】本题考查确定反比例函数的系数 k.
1 【解答】因为 OM＝MN＝NC，所以 OM＝ OC.因为△AOC 的面积为 6，所以△AOM 的 3 面积为 2，根据反比例函数中系数 k 的几何意义可知 k＝2S△AOM＝4.
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k－1 (k 为常数，k≠1)． x (1)其图象与正比例函数 y＝x 的图象的一个交点为 P，若点 P 的纵坐标是 2，求 k 的值； (2)若在其图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围； (3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点 A(x1，y 1)，B(x2，y2)，当 y1>y 2 时，试比较 x 1 与 x 2 的大小． 例 3 (2012· 天津)已知反比例函数 y＝
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考点四反比例函数图象中比例系数k的 几何意义 k k 反比例函数 y＝ (k≠0)中 k 的几何意义 ：双曲线 y＝ (k≠0)上任意一点向两坐标轴作 x x 垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| .
1 1 如图①和②，S 矩形 PAOB＝PA· PB＝|y|· |x|＝|xy|＝|k|，同理可得 S△OPA＝S△AOB＝ |xy|＝ |k|. 2 2
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4 5.如图，过 y 轴正半轴上的任意一点 P，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数 y＝－ 和 x 2 y＝ 的图象交于点 A 和点 B.若点 C 是 x 轴上任意一点， 连接 AC、 则△ABC 的面积为( BC， x )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案：A
k 6．点 P 在反比例函数 y＝ (k≠0)的图象上，点 Q(2,4)与点 P 关于 y 轴对称，则反比例函 x 8 数的解析式为 y＝－ . x
【点拨】本题结合一次函数考查反比例函数的性质．
【解答】(1)由题意，设点 P 的坐标为(m,2)，∵点 P 在正比例函数 y＝x 的图象上，∴2 k－1 k－1 ＝m，即 m＝2.∴点 P 的坐标为(2,2)．∵点 P 在反比例函数 y＝ 的图象上，∴2＝ ， 2 x 解得 k＝5. k－1 (2)∵在反比例函数 y＝ 图象的每一支上， 随 x 的增大而减小， y ∴k－1>0， 解得 k>1. x k－1 (3)∵反比例函数 y＝ 图象的一支位于第二象限，∴在该函数图象的每一支上，y 随 x x 的增大而增大． ∵点 A(x1，y 1)与点 B(x2，y 2)在该函数的第二象限的图象上，且 y 1>y2，∴x1>x2.
)
答案：D
－k2－1 3．已知点(－1，y 1)、(2，y 2)、(3，y 3)在反比例函数 y＝ 的图象上．下列结论中 x 正确的是( ) A．y 1>y 2>y 3 B．y 1>y 3>y 2 C．y3>y1>y2 D．y 2>y 3>y 1
答案：B
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考点五反比例函数的应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案， 特别注意自变量的取值范围.
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k 例 2 (2012· 河南)如图，点 A，B 在反比例函数 y＝ (k>0，x>0)的图象上，过点 A，B 作 x x 轴的垂线，垂足分别为 M，N，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OM＝MN＝NC，△AOC 的 面积为 6，则 k 的值为____________．
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例 1 (1)(2012· 兰州)近视眼镜的度数 y(度)与镜片焦距 x(m)成反比例．已知 400 度近视眼 镜镜片的焦距为 0.25 m，则 y 与 x 的函数关系式为( ) 400 1 100 1 A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ x 4x x 400x k－1 (2)(2012· 哈尔滨)如果反比例函数 y＝ 的图象经过点(－1，－2)，则 k 的值是( ) x A．2 B．－2 C．－3 D．3 2 k ＋1 (3)(2012· 乌鲁木齐)函数 y＝－ (k 为常数)的图象过点(2，y1)和( 5，y2)，则 y1 与 y2 x 的大小关系是( ) A．y 1<y 2 B．y1＝y 2 C．y1>y2 D．与 k 的取值有关 (4)(2012· 西宁)如图，
k 反比例函数 y＝ 的图象与经过原点的直线相交于点 A，B，已知点 A 的坐标为(－2,1)， x 则点 B 的坐标为____________．
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【点拨】本组题主要考查反比例函数的图象和性质，解决此类问题时，往往用数形结合 的思想方法 ，在解题中能起到化繁为简、化难为易的作用．这是因为“形”能直观地启迪 “数”的计算，“数”能准确地澄清“形”的模糊 .
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7.
k 1 如图，已知反比例函数 y＝ (k≠0)的图象经过点( ，8)，直线 y＝－x＋b 经过该反比例 2 x 函数图象上的点 Q(4，m)． (1)求上述反比例函数和直线的函数表达式； (2)设该直线与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为 P， 连接 OP、OQ，求△OPQ 的面积．
y＝3x， x1＝2， x2＝－2， 解方程组 12 得 y1＝6， y2＝－6. y＝ x ，
2 R 3 B．I＝ R 6 C．I＝ R A．I＝ D．I＝－ 6 R
答案：C
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1 2．已知反比例函数 y＝ ，下列结论不正确的是( x A．图象经过点(1,1) B．图象在第一、三象限 C．当 x>1 时，0<y<1 D．当 x<0 时，y 随着 x 的增大而增大
)
答案：A
k 2．(2012· 无锡)若双曲线 y＝ 与直线 y＝2x＋1 的一个交点的横坐标为－1，则 k 的值为 x ) A．－1 B．1 C．－2 D．2
(
答案：B
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3．下列函数中，当 x＞0 时，y 值随 x 值的增大而减小的是( A．y＝x2 B．y＝x－1 3 1 C．y＝ x D．y＝ 4 x
【解答】(1)C 由近视眼镜的度数 y(度)与镜片焦距 x(m)成反比例，可设近视眼镜的度 k k 数 y(度)与镜片焦距 x(m)之间的函数关系式为 y＝ (k≠0)，把(0.25,400)代入 y＝ 即可求得 k x x 100 ＝0.25×400＝100，所以 y 与 x 的函数关系式为 y＝ ，故选 C. x k－1 (2)D 将(－1，－2)代入反比例函数的解析式得－2＝ ，解得 k＝3，故选 D. －1 (3)A 由函数关系式可知－(k2＋1)<0，即图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，而(2，y 1)，( 5，y2)都位于第四象限，2< 5，所以 y1<y 2，故选 A. (4)(2，－1) 反比例函数及正比例函数图象都是关于原点对称的中心对称图象，故其交 点也关于原点中心对称，所以点 B 的坐标为(2，－1)．
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2．反比例函数的图象和性质 k 反比例函数 y＝ (k≠0)的图象总是关于原点对称的， 它的位置和性质受 k 的符号的影响. x
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考点三反比例函数解析式的确定 由于反比例函数的关系式中只有一个待定系数，因此只需已知一组对应值就可以． 待定系数法求解析式的步骤： (1)设出含有待定系数的函数解析式； (2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程； (3)解方程求出待定系数，从而确定解析式．