人教版高中数学必修5《数列的综合问题》课件
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高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.5 第4课时 数列求和
1 1 1 1 － ； (3)an＝ ＝ 2n－12n＋1 22n－1 2n＋1
1 1 1 1 － (4)an＝ ＝ nn＋1 n＋1n＋2； nn＋1n＋2 2
(5)an＝
1 1 ＝k( n＋k－ n)； n＋k＋ n
1 1 1 1 (其中{an}是公差为 d 的等差数列)； (6)bn＝ ＝ － anan＋1 dan an＋1 (7)an＝ 1 1 1 1 ＝kn－n＋k. nn＋k
＋
①－②得 －2Sn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2n· 3n ＝3(3n－1)－2n· 3n 1，
＋ ＋1
31－3n ＋ 所以 Sn＝ ＋ n· 3n 1. 2
数列通项与求和综合问题 [典例] (本题满分 12 分)设数列{an}满足 a1＋3a2＋32a3＋…＋3n 1an
－
n ＝ (n∈N*)． 3 (1)求数列{an}的通项公式 an； n (2)设 bn＝a ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n
1 1 2．等差数列{an}中，a1＝3，公差 d＝2，Sn 为前 n 项和，求 ＋ ＋… S1 S 2 1 1 ＋ ＋S . Sn－1 n
解析：∵等差数列{an}的首项 a1＝3，公差 d＝2， ∴前 n 项和 Sn＝na1＋ ＝n2＋2n， 1 1 1 1 11 . ∴S ＝ 2 ＝ ＝ － n ＋2n nn＋2 2n n＋2 n nn－1 nn－1 d＝3n＋ ×2 2 2
1 1 1 1 ∴ ＋ ＋ …＋ ＋ S1 S2 Sn－1 Sn
1 1 1 1 1 1 － ＝ 1－3 ＋ 2－4 ＋…＋ n－1 n＋1＋ 2 1 1 － n n ＋ 2
1 1 1 1 ＝ 1＋2－n＋1－n＋2 2 2n ＋ 3 3 ＝ － . 4 2n＋1n＋2
人教A版高中数学必修五 .2数列求和(一)教学ppt下载
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例2
求数列 bn 2n1 n 2 的前n项和
Sn b1 b2 ......bn
分组求和
(22 3) (23 4) ...... (2n1 2 n)
变式训练
求数列
11 2
,3
1 4
,5
1 8
, ,
(2n
1)
1 2n
前n项的和.
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例3
1
1
1
求数列 1 ，1 2 ， 1 2 3，…， 1 2 3 ... n ， … 的前n项和．
例1 （1）求数列 1，3，5，7，······，2n-1 的前n项和
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注意公式的应用范围
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非特殊（等差等比）数列的求和方法
（二）.分组求和法 （三）.裂项相消法 （四）.倒序相加法 （五）.错位相减法
（二）分组求和法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个 等差、等比数列，再求解. .在什么情况下，用分组求和？
cn an bn其中an、bn是等差或等比数列
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人教A版高中数学必修五课件数列求和1.pptx
∴原式=
1 1
1 a n 1
an1 1
原因： 1 1
an1 an
a
上述解法错误在于，当公比
1/a=1即a=1时，前n项和公式
不再成立。
例2求和：S1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)
解：当a=1时， S n 1；
当a 1时，
S
1
1
1 a
n
1
1 1
a
an1 1 an1 an
{bn}
Tn
b 1
1
n n(3lg an ) n(3lg102n )
1 n ( n 1)
1 1 n n1
111
11
Tn 1 2 2 3 n n 1
1 1 n . n1 n1
本课小结： 数列求和的一般步骤：
• 等差、等比数列直接应用求和公式求和。
• 非等差、等比的数列，通过通项化归的思 想设法转化为等差、等比数列，常用方法 有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、 并项求和法。
1 3
1 5
1
1
2n-1 2n+1
=（11-）
1
2
2n+1
n =
2n+1
评：裂项相消法的关键就是将数列的每 一项拆成二项或多项使数列中的项出现 有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
3.裂项相消法：
若数列的{通an项} 公式拆分为某数列相邻两项之差的形式
即：或an
m( 1 bn
1) bn1
an
m( 1 bn1
例1：若实数a,b满足：4a2 9b2 4a 6b 2 0
求： a a2b a3b2 L a100b99
高中数学人教A必修5精品课件：2.5.3 数列求和专题
1. 3
a a2b a3b2 L a100b99
a 1 (ab)100 1 ab
1 2
1
(
1 6
)100
1 1
3 5
(1
1 6100
).
6
2.倒序相加法
倒序相加法在教材中是推导等差数 列前n项和的方法
例2 S89 sin2 1 sin2 2 sin2 3 .... sin2 89
2.5.3数列求和专题
1.公式法
即直接用求和公式,求前n项和Sn
①等差数列的前n项和公式：Sn
n(a1 2
an
)
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式 ③ 1 2 3 L n 1 n(n 1)
2
Sn
na1 (q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
④ 12 22 32 L n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
⑤
13 23 33 L
n3
n(n 2
1)
2
例1：若实数a,b满足 4a2 9b2 4a 6b 2 0
求：a a2b a3b2 L a100b99
解：由已知有(4a2 4a 1) (9b2 6b 1) 0
即：（2a-1）2 (3b 1)2 0
解得a=
12，b
2 4 L 2n 3 51 52 L 5n
n(2 2n)
3
1 5
1
1 5n
2
1 1
n(n
1)
3 4
1
1 5n
5
规律概括：如果一个数列的通项可分成两项 之和（或三项之和）则可用分组求和法：在 本章我们主要遇到如下两种形式的数列.
高一数学数列求和课件 新课标 人教A 必修5(通用)
求S
x x y S lgn lgn 1 (•y ) .. l.gn
S ly g n lg y n 1 • ( x ) . .l.x g n
2 S l( g x)n y l( g x)n y . .l.( g x)n y
n(n1)a
3、求和
S 1 n 3 x 5 x 2 7 x 3 . . ( 2 n . 1 ) x n 1 , ( x 0 )
（1）x=1时，Sn=n2 （2）x≠1时
S=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1 x·S=x+3x2+5x3+…+(2n-1)x n-1+ (2n-1)x n (1-x)S=1+2(x+x2+x3+…+xn-1)-(2n-1) xn
12x(1xn1)(2n1)xn 1x
其他求法
第一题
4
（1）求{an}的通项公式
（2）设
bn 1 anan 1
记{bn}的前n项和为Tn，求Tn
答
案
反馈练习1答案 (1) q=1时 S1+S2+…+Sn=a+2a+…+na= n(n 1)a
2
(2) q≠1时，S1+ S2+a …+[S1 (nq)(1q2).. .(1qn)] 1q
a [n(qq2...qn)] 1q
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+……+(a1+an)
Sn=
n(a1 an) 2
返
设等比数列{an}的首项是a1，公比是q
Sn=a1+a2+……+an =a1+a1q+a1q2+……+a1q n-1
x x y S lgn lgn 1 (•y ) .. l.gn
S ly g n lg y n 1 • ( x ) . .l.x g n
2 S l( g x)n y l( g x)n y . .l.( g x)n y
n(n1)a
3、求和
S 1 n 3 x 5 x 2 7 x 3 . . ( 2 n . 1 ) x n 1 , ( x 0 )
（1）x=1时，Sn=n2 （2）x≠1时
S=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1 x·S=x+3x2+5x3+…+(2n-1)x n-1+ (2n-1)x n (1-x)S=1+2(x+x2+x3+…+xn-1)-(2n-1) xn
12x(1xn1)(2n1)xn 1x
其他求法
第一题
4
（1）求{an}的通项公式
（2）设
bn 1 anan 1
记{bn}的前n项和为Tn，求Tn
答
案
反馈练习1答案 (1) q=1时 S1+S2+…+Sn=a+2a+…+na= n(n 1)a
2
(2) q≠1时，S1+ S2+a …+[S1 (nq)(1q2).. .(1qn)] 1q
a [n(qq2...qn)] 1q
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+……+(a1+an)
Sn=
n(a1 an) 2
返
设等比数列{an}的首项是a1，公比是q
Sn=a1+a2+……+an =a1+a1q+a1q2+……+a1q n-1
高中数学必修五课件：第二章《数列章末归纳整合》(人教A版必修5)
1．观察法，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳出通项公 式；
2．递推公式法，就是根据数列的递推公式，采用迭代、叠加、累乘、转化 等方法产生an与a1(或Sn)的关系，得出通项公式；
3 ． 前 n 项 和 公 式 法 ， 就 是 利 用 an ＝
S1 Sn－Sn－1
n＝1 n≥2
，求通项公式的方法，这里应
题型二 数列求和 数列求和问题，是历年高考重点考查的内容之一，当然最基本的还是等差、 等比数列的求和，直接利用前n项和公式来解决，我们一般称之为公式法．在此基 础上，对于一些特殊的数列．我们有如下几种常用的求和方法： 1．分组法：若数列{an}的通项公式形如an＝bn＋cn(也可是多项之和)，而数 列{ bn}，{cn}是等差或等比数列，那么，数列{an}的前n项和不就迎刃而解了吗！
2．学习数列应注意的问题 (1)在学习时，应多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念．数列与函 数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解．在解题或复 习时，应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差或等比 数列的问题．运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数 列知识的理解．而且可使这类问题的解答更为快速、合理．
即an＝n(n＋1)． 当n＝1时，a1＝2适合上式． 故an＝n(n＋1)(n∈N*)．
方法点评：
如果数列
{an}的递推公式为
an＋1＝ an
f(n)型时，并且{f(n)}容易求前 n 项的积，这时可采
用迭乘法．
【例 4】 已知数列{an}中 a1＝1，an＋1＝a2n＋an2， 则通项公式 an＝________.
∵n＝1 时，a1＝31－2 1＝1， ∴an＝3n－2 1.
高中数学 2-5-2等差、等比数列的综合应用课件 新人教A版必修5
[答案] 0,4,8,16 或 15,9,3,1
[解析] 设这四个数为：a－d、a、a＋d、a＋ad2.
∴a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12.
解之得：ad＝＝44 或ad＝＝－9 6 ， ∴这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
[点评] 本题也可设四个数依次为 2a－aq，a，aq，aq2(a≠0) 或2qa－a，aq，a，aq(a≠0)．或依据两个和设未知数，根据等差 等比关系列方程求解．
当 cosα＝1 时，sinα＝0，由于等比数列的项不能为零，故 cosα＝1 应舍去，
当 cosα＝－12，α∈[0,2π]时，α＝23π或 α＝43π， 所以 α＝23π，β＝43π，γ＝83π或 α＝43π，β＝83π，γ＝163π.
命题方向 综合应用
[例 4] n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列：其有公比相 等．将第 i 行第 j 列的数记作 aij.已知 a24＝1，a42＝18，a43＝136， 求 ann.
Sn 等于( ) A．2n＋1－1
B．2n－2
C．2n
D．2n＋1－2
[答案] D
[解析] 由已知条件可得此等比数列的首项 a1＝2，公比 q ＝42＝2，故前 n 项和 Sn＝2×1－1－22n＝2n＋1－2.
2．等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，设 Sn 是数列{an}的 前 n 项和，则 S8＝________.
A．(44,12) C．(13,45)
[答案] D
B．(45,13) D．(12,44)
[解析] 细心观察图形可以发现，质点到达点(n，n)(n∈ N)时，走过的路程为 2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)单位长度．而 2012＝44×45＋32，故可知此质点到达(44,44)点后，又继续移 动 32 个单位，而且是向左移动，∴到达点为(12,44)．
[解析] 设这四个数为：a－d、a、a＋d、a＋ad2.
∴a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12.
解之得：ad＝＝44 或ad＝＝－9 6 ， ∴这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
[点评] 本题也可设四个数依次为 2a－aq，a，aq，aq2(a≠0) 或2qa－a，aq，a，aq(a≠0)．或依据两个和设未知数，根据等差 等比关系列方程求解．
当 cosα＝1 时，sinα＝0，由于等比数列的项不能为零，故 cosα＝1 应舍去，
当 cosα＝－12，α∈[0,2π]时，α＝23π或 α＝43π， 所以 α＝23π，β＝43π，γ＝83π或 α＝43π，β＝83π，γ＝163π.
命题方向 综合应用
[例 4] n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列：其有公比相 等．将第 i 行第 j 列的数记作 aij.已知 a24＝1，a42＝18，a43＝136， 求 ann.
Sn 等于( ) A．2n＋1－1
B．2n－2
C．2n
D．2n＋1－2
[答案] D
[解析] 由已知条件可得此等比数列的首项 a1＝2，公比 q ＝42＝2，故前 n 项和 Sn＝2×1－1－22n＝2n＋1－2.
2．等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，设 Sn 是数列{an}的 前 n 项和，则 S8＝________.
A．(44,12) C．(13,45)
[答案] D
B．(45,13) D．(12,44)
[解析] 细心观察图形可以发现，质点到达点(n，n)(n∈ N)时，走过的路程为 2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)单位长度．而 2012＝44×45＋32，故可知此质点到达(44,44)点后，又继续移 动 32 个单位，而且是向左移动，∴到达点为(12,44)．
人教A版高中数学必修五课件3数列的应用(使用3).pptx
则a5+a6=_____4_8_0_
3、若a,b,c成等比数列，则函数f(x)=ax2+bx+c的
图象与x轴的交点个数为____0___。
4、某个单位某年十二月份的产值是同年一月份
产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长
率是__1_1_m__1
3
典例剖析
例1：设数列{an}满足
a1 3a2 32 a3 L 3n1an
q 3
q 1
2(q2
1) ，q 1 (q 2
1)
2(q2
1) .所以q
1 2
.
故
an
a1 qn1
q 6
qn1
64
1 2
n1
.
（Ⅱ）
Sn
பைடு நூலகம்
a1(1 qn ) 1 q
64
1
1 2
1 1
n
128
1
1 2
n
128
2
10
作业：在等差数列{an}中公差 d 0且a2 是 a1与 a4的等比中项，已知数列
1 3
n, n
N*,
（1）求数列 {an }的通项公式，
（2）设
bn
n an
，求数列{bn}的前n项和 Sn.
4
解：(I)
a1
3a2
32 a3
...3n1an
n 3
,
a1
3a2
32
a3
...3n2 an1
n 1(n 3
2),
3n1 an
验证
n
n n 1 1 (n 2) . 33 3
1也满足上式，an
（1）设bn an+1 2an，求证{bn}为等比数列；
3、若a,b,c成等比数列，则函数f(x)=ax2+bx+c的
图象与x轴的交点个数为____0___。
4、某个单位某年十二月份的产值是同年一月份
产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长
率是__1_1_m__1
3
典例剖析
例1：设数列{an}满足
a1 3a2 32 a3 L 3n1an
q 3
q 1
2(q2
1) ，q 1 (q 2
1)
2(q2
1) .所以q
1 2
.
故
an
a1 qn1
q 6
qn1
64
1 2
n1
.
（Ⅱ）
Sn
பைடு நூலகம்
a1(1 qn ) 1 q
64
1
1 2
1 1
n
128
1
1 2
n
128
2
10
作业：在等差数列{an}中公差 d 0且a2 是 a1与 a4的等比中项，已知数列
1 3
n, n
N*,
（1）求数列 {an }的通项公式，
（2）设
bn
n an
，求数列{bn}的前n项和 Sn.
4
解：(I)
a1
3a2
32 a3
...3n1an
n 3
,
a1
3a2
32
a3
...3n2 an1
n 1(n 3
2),
3n1 an
验证
n
n n 1 1 (n 2) . 33 3
1也满足上式，an
（1）设bn an+1 2an，求证{bn}为等比数列；
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3 a2
1 3
, an1
1 2
an
2 3
课后作业：
1.在数列an中，a1 1, 2nan1 (n 1)an 1求数列an 的通项公式 2求数列an的前n项和Sn
2.数列an 满足：a1
1, an1
1 2
an
1
求an 的通项公式以及前n项和Sn
一个等差数列and 0中的部分项构成
公比为q的等比数列 akn ,已知k1 2, k2 4,
本节课重点：通项公式的求法
1累加法 2累乘法 3 特征根法
例1.已知数列an满足an an1 n,a1 1 求an 的通项公式.
如果采用累加法求通项公式
an an an1 an1 an2 L a2 a1 a1
例4.已知数列an满足a1 1,an1 3an 1 求an 的通项公式
形如：an1 kan b的递推公式可用 特征根法求通项公式 注意：其中k和b都必须为常数
a1 2,an1 2an 3,求an
练习：根据下列条件求通项公式
1 a1 1, an1 2n1 an
2 a1 1, nan1 n 1 an 2
k3 12
1求数列kn 的通项公式； 2求数列kn的前n项和Sn .
例2.数列
an
满足 an an1
n1 n 1 ,a1
1 2
求数列an 的通项公式.
如果数列满足递推公式：
an g(n) an1
那么可采用累乘法求通项公式
an
an an1
an1 an2
L
a2 a1
a1
例3.数列 an 满足an2 3an1 2an ,a1 1,
a2 3
1 证明 an1 an是等比数列 2求an的通项公式