(最新)人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+k的图象和性质》优质课课件
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人教版九年级数学上册 (二次函数y=ax2的图象与性质)二次函数课件
顶抛点物坐线标与是对__称___轴___. 顶的 线点交的是顶点图点叫象。做的抛最物__低__点.
单调性
当x<0 (在对称轴的 左侧)时，y随着x的 增大而减小.
推进新课
y 9 6 3
-3 O
3x
当x>0 (在对称轴的 右侧)时，y随着x 的增大而增大.
推进新课
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
练习
2.写出图象经过点(-1，1)的一个二次函数解析式是_____________. 3.已知二次函数y=(m-2)x²的图象开口向下，则m的取值范围是_______ 4.下列各点：(-1，2)，(-1，-2)，(-2，-4)，(-2，4)，其中在二次函数y=-2x²的图 象上的是________________. 5.已知二次函数y=ax²的图象经过点A(-1，-½ ). (1)求这个二次函数的解析式并画出其图象； (2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴.
作业布置
5.已知二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx-2的图象相交于A、B两点，如图所 示，其中A(-1,-1),求△OAB的面积.
下节课见！
人民教育出版社 数学 九年级 上册
新课导入
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
①列表；②描点；③连线
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
二次函数 y ax2 图象和性质
01
教学目标
目录
02 03
知识点框架
例题练习
04
作业布置
01
教学目标
掌握二次函数 y 图ax象2 和性质并熟练应用
02 知识点框架
知识点框架
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
人教版九年级(上)数学课件二次函数y=ax2的图像和性质(21张)-公开课
关于x轴对称
y x2
y x2
【名师示范课】人教版九年级上册数 学课件 22.1.2 二次函数y=ax2的图像和性质(共21张PPT )-公开 课课件 （推荐 ）
例1
在同一直角坐标系中，画出函数
y 1 x 2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图. y
8
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· 6
y=－x2
特征
y
函数y = x2的图象 9
实际上，每条抛物 线都有对称轴，抛 物线与对称轴的交
开口__向__上__.
6
点叫做抛物线的顶
这条抛物线关于y 轴对称，y轴就是 它的对称轴.
3
点.顶点是抛物线的
（0，0）最低点或最高点．
-3 O
3x
顶抛 的点物 交线 点坐与 叫标对 做称 抛是轴物________.
y
1.二次函数的图象都是抛物线.
8
2.抛物线y=ax2的图象性质:
6
（1）抛物线y=ax2的对称轴是
4
y轴，顶点是原点. （2）当a>0时，抛物线的开口 -4
2 O -2
向上，顶点是抛物线的最低点;
-2
当a<0时，抛物线的开口向
-4
下，顶点是抛物线的最高点;
|a|越大，抛物线的开口越小.
【名师示范课】人教版九年级上册数 学课件 22.1.2 二次函数y=ax2的图像和性质(共21张PPT )-公开 课课件 （推荐 ）
时，y随x增大而增大.
2
顶点都是原点(0，0)，顶-4 -2 O 点是抛物线的最低点；
y=2x2 y 1 x 2 2
人教部初三九年级数学上册 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 名师教学PPT课件
2
-4 -2 O 2 4 x -1
知识点2 二次函数y = ax2 +k的图象和性质
开口方向
y = 2x2+1 上 y = 2x2 -1 上
对称轴
y轴 y轴
顶点坐标
（0,1） （0,-1）
y y = 2x2+1
8 6
y = 2x2 -1 相同点：开口方向相同、形状相同，
4
对称轴都是y轴。
2
不同点：顶点坐标发生了改变。
y = 2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …
然后描点画图：
y y = 2x2+1 y = 2x2 -1 8
6
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的
4
开口方向、对称轴和顶点各是什么？
y = ax2 +k(k<0) O
k
y = ax2
x
在同一坐标系中，画出二次函数
y
1 2
x2
,
y
1 2
x2
2
y
1 2
x2
2
的图像，并分别指出它们的开口方向，对
y
称轴和顶点坐标，指明抛物线
y
1 2
x2 2
通
过怎样的平移可得到
如图所示
-4 -2 O 2 4 x
抛物线
y
1 2
x2ห้องสมุดไป่ตู้
2
.
y 1 x2+2
延 伸
2、拓展延伸：求抛物线y=2x2-1关于x轴对称的抛物
人教版九年级上册数学课件22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质(共24张PPT)
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
小结
1、二次函数y=ax2的图象是什么？ 2、二次函数y=ax2的图象有何性质？ 3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？
例1 在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
2、二次函数y=ax2的图象有何性质？ 它的左边是付出的艰辛，它的右边就是收获的快乐。
6
时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8 结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法．我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质．
,对称轴是
,
二次函数 的值最小,最小值是0.
4
2、二次函数y=ax2的图象有何性质？
当x
0时,y<0.
2 相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT课件
第二十二章 二次函数
∴正方形的边长为
cm，
∴S与C之间的关系式为S =
；
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm.
（4）若S ≥ 4cm2，即 因此C ≥ 8cm.
≥4，解得C，≥或8c≤-8(舍去）.
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题2 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题1
已知 0时，y随ห้องสมุดไป่ตู้增大而增大2，则k=
是二次函数，且当x＞ .
分析
是二次函数，即二次项的系数不
为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即
说明二次项的系数大于0. 因此，
，解得k=2 .
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P33：例1+达标训练
问题1 画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表 表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
41
0
1
4
9…
知识探究
第二十二章 二次函数
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象．
系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为 相反数，开口相反 ，大小相同，它们 关于x轴对称.
O
x
y=-ax2
知识探究
第二十二章 二次函数
知识点 3 二次函数y=ax2的性质
人教版初中数学九年级上册 二次函数y=ax2的图象和性质 课件PPT
列表：, 的几组对应值如下：
在 = 中
自变量可以
是任意实数
…
−
−
−
0
1
2
3
…
=
…
9
4
1
0
1
4
9
…
4
知识讲解
描点：根据表中, 的数值在坐标平面中描点 , ；
连线：用平滑曲线顺次连结各点，就得到 = 的图象，如图所示、
函数图象画法
9
列表
6
描点
−
连线
6
象的开口大小，与a的绝对值大小有什么关系？
4
=
2
当 > 时，的绝对值越大，开口越小、
－4
－2
2
4
知识讲解
问题
请画出函数 = −的图象，观察图象函数 = −有哪些性质？
解：列表如下：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
= −
…
−
−
−
0
−
−
−
…
y
在对称轴 轴的左侧，抛物线从左往右上升；
(, )
8
(, )
知识讲解
解:∵点B的坐标为（, ），
∴当＝时，＝ × ＝、
∴点C的坐标为（, ）， = 、
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，
∴＝，
∴在长方形内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，
∴S阴影部分面积之和＝ × ＝、
-4
-2
O
在对称轴 轴的右侧，抛物线从左往右下降、
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第1课时 二次函数y=ax 2+k的图象和性质
［归纳总结］ 在解答有关 y＝ax2＋k 的问题时，应抓住 以下结论，从而找到解决问题的方法： 1.二次项系数的符号⇔开口方向； 2.二次项系数的绝对值相等⇔抛物线的形状相同； 3.k⇔顶点的纵坐标.
第1课时 二次函数y=ax 2+k的图象和性质
备选探究问题
建立二次函数模型，解决实际问题
在建立二次函数模型时，应根据函数图象顶点坐标的位 置来选择合适的二次函数解析式，然后由函数图象上点的坐 标来求得待定系数的值，从而求得二次函数的解析式. 当抛物线的顶点在原点上时，设二次函数的解析式为 y ＝ax2； 当抛物线的顶点在 y 轴上（非原点）时，设二次函数的 解析式为 y＝ax2＋k.
2 y ＝－ 5x ＋3 为
，它是由抛物线 y＝－5x2 向
上
平移
3
个
［解析］ 根据两抛物线的形状相同，开口方向相同，可确 定 a 值.再根据顶点坐标是（0，3） ，可确定 k 值，从而可判断 平移方向. ∵抛物线 y＝ax2＋k 与 y＝－5x2 的形状相同，开口方向也 相同，∴a＝－5. 又∵其顶点坐标为（0，3） ，∴k＝3， ∴y＝－5x2＋3 是由抛物线 y＝－5x2 向上平移 3 个单位得 到的.
第1课时 二次函数y=ax 2+k的图象和性质
解： （1）设抛物线的解析式为 y＝ax2＋6， 又∵抛物线过点（4，2） ，则 16a＋6＝2， 1 1 2 ∴a＝－ ，∴抛物线的解析式为 y＝－ x ＋6. 4 4 1 2 （2） 当 x＝2.4 时， y＝－ x ＋6＝－1.44＋6＝4.56>4.2. 4 故这辆货运卡车能通过该隧道.
图22－1－13
这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明理由.
第1课时 二次函数y=ax 2+k的图象和性质
［解析］ （1）抛物线关于 y 轴对称，顶点为（0，6） ， 可设抛物线的解析式为 y＝ax2＋6， 又因为抛物线过点 （4， 2） ， 代入 y＝ax2＋6 中，则可求出 a 的值； （2）将 x＝2.4 代入到 所求的函数解析式中， 得到的 y 值与 4.2 比较大小， y 值比 4.2 大，则这辆货运卡车能通过该隧道，反之，则不能通过.
数 学
新课标（RJ） 九年级上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
2
第1课时 二次函数y=ax 2+k的图象和性质
新 知 梳 理
► 知识点一 二次函数 y＝ax2＋k 的图象
二次函数 y＝ax2＋k 的图象是一条抛物线.
第1课时 二次函数y=ax 2+k的图象和性质
例 如图 22－1－13 所示，隧道的截面由抛物线 AED 和 矩形 ABCD 构成，矩形的长 BC 为 8 m，宽 AB 为 2 m.以 BC 所在的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平 面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点 E 到坐标原点 O 的距离为 6 m. （1）求抛物线的解析式； （2）如果该隧道内设双行道，现 有一辆货运卡车高 4.2 m，宽 2.4 m，
［点评］ （1）根据抛物线的位置设抛物线的解析式为 y＝ax2＋6，这样大大减少了计算过程，使解题简便. （2）正确理解题意是解题的关键.如顶点 E 到坐标原点 O 的距离为 6 m，即抛物线的顶点为（0，6）.
►
知识点三
y＝ax2 y＝ax2
函数 y＝ax2 与 y＝ax2＋k 的图象的位置关系
y＝ax2＋k（k＞0）. y＝ax2－k（k＞0）.
口诀：上加下减.
第1课时 二次函数y=ax 2+k的图象和性质
重难互动探究
探究问题 抛物线 y＝ax2 与 y＝ax2＋k 的关系
例［教材例 2 变式题］ 抛物线 y＝ax2＋k 与 y＝－5x2 的 形状、开口方向都相同，且其顶点坐标是（0，3） ，则其解析式
第1课时 二次函数y=ax 2+k的图象和性质
►
知识点二
二次函数 y＝ax2＋k 的性质
开口 方向 向 上 向 下 顶点 坐标
二次 函数 y＝ ax2 ＋k
a 的取值 a>0 a<0
对称轴
最值 当 x＝0 时，y 最小 k 值＝ 当 x＝0 时，y 最大 k 值＝
y y
轴 轴
(0,k)
(0,k)
第1课时 二次函数y=ax 2+k的图象和性质