数值分析(计算方法)总结

第一章绪论
误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差
ε是的绝对误差，是的误差，εε，ε为的绝对误差限（或误差限）
为的相对误差，当较小时，令
相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：ε即：εε
绝对误差有量纲，而相对误差无量纲
若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么ε,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。

科学计数法：记其中若，则有n位有效数字，精确到。

由有效数字求相对误差限：设近似值（）有n位有效数字，则其相对误差限为
由相对误差限求有效数字：设近似值（）的相对误差限则它有n位有效数字
为为
（）
令、是、的近似值，且η、η
1.x+y近似值为且ηηη（）和的误差（限）等于误差（限）的
和
2.x-y近似值为且ηηη（）
3.xy近似值为ηηη
4.ηηη
1．避免两相近数相减
2．避免用绝对值很小的数作除数
3．避免大数吃小数
4．尽量减少计算工作量
第二章非线性方程求根
1.逐步搜索法
设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|<E为止，此时取x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。

2.二分法
设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。

对于给定精度ε，即，可得所需步数，ε
3.比例法
一般地，设 [a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、 (b k, f(b k))作直线，与x轴交于一点x k,则：
1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。

2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。

——这正是迭代法的基本思想。

事先估计:
事后估计
局部收敛性判定定理：设为方程φ的根，φ′在的某一邻域内连续，且φ′，则该迭代局部收敛
局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近
Steffensen迭代格式：
φ
φ
Newton法：
′
λ是下山因子
Newton下山法：λ
′
弦割法：
抛物线法：令可化为
其中：
则：
设迭代x k+1 = g(x k) 收敛到g(x) 的不动点（根）x* 设e k = x k x*若∞
，则称该迭代为p（不小于1）阶收敛，其中C (不为0)称为渐进误差常数
第三章解线性方程组直接法
列主元LU分解法：计算主元，选主元
，（
，（
，，即为上式主元
，
对于Ax=b，三角分解A=LU，Doolittle分解：L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵；Crout分解：L为下三角矩阵，U为单位上矩阵。

可分解为：
，下三角方程组
若利用紧凑格式可化为：
，上三角方程组
，（）
Cholesky平方根法：系数矩阵A必须对称正定其中
，
，，
改进Cholesky分解法：
，。

由
，，逐行相乘
，（
，（
为减少计算量，令，可改为：
，，等价于
其中：
追赶法：Ax=d(A=LU),可化为Ly=d,Ux=y
，（
向量范数：：
，范数
，范数或欧氏范数
∞∞
，∞范数
矩阵范数：
，列范数
λ，谱范数∞
，行范数
谱半径:ρλλ为特征值且ρ若为对称阵则：ρ收敛条件：谱半径小于1
条件数：，λ
λ
第四章解线性方程组的迭代法
Jacobi迭代：
基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代:
迭代收敛：谱半径小于1，范数小于1能推出收敛但不能反推
逐次超松弛迭代（SOR）:
或：
当=1时，就是基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代（加权平均）。

第五章插值法
Lagrange插值法：
，
，
，则
构造插值函数：，，令
则：
若记：（）
则可改为：
′，则
′
则插值余项：ξ
逐次线性插值法Aitken （埃特金法）：
Newton插值法：
N(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn)并满足N(x)=f(x) 差商的函数值表示：
差商与导数的关系：ξ
则：
等距节点Newton插值公式：
Newton向前插值：，其中
余项：ξ，
Newton向后插值：
余项：ξ
Hermite插值：αβ′
α，β
可得：
α
β
插值余项：ξ
待定系数：
三次样条插值：（三弯矩构造法）
记′′对积分两次并满足插值条件，，λ，μ对于附加弯矩约束条件：
μ
λμ
λ
μ
λ
λ，
，
μ
λμ对于附加转角边界条件：
λμ
λμ
λμ，，
对于附加周期性边界条件：
λμ
λμ
λμ
λμμλ，，
上式保证了s(x)在相邻两点的连续性
第六章函数逼近与曲线拟合
主要求法方程
第七章数值积分与数值微分
求积公式具有m次代数精度的充要条件：
，，
插值型求积公式求积系数公式：， Newton-Cotes（等分）
梯形求积公式（n=1），具有1次代数收敛精度
误差公式：′′η
抛物型求积公式（Simpson求积公式，n=2），具有3次代数收敛精度
误差公式（）η
Newton求积公式（Simpon3/8法则）具有3次代数收敛精度
，
Cotes求积公式（n=4），具有5次收敛精度
，
误差公式（（）η
节点数为奇数时，代数精度为n;为偶数时，代数精度为n+1。

代数精度都是奇数。

复化梯形求积公式：
截断误差：′′η
复化Simpson公式：
截断误差：η
复化Cotes求积：
截断误差：η
若一个复化积分公式的误差满足∞且C 0，则称该公式是p阶收敛的。

复化求积公式（需要2n+1个求积节点）
Romberg求积算法：
复化梯形求积公式：
复化Cotes求积公式：
Gauss型求积公式：
内积公式：ωωρ
截断误差：ηωρ，η（）
高斯求积公式代数精度为2n+1
Gauss-Legendre求积公式（注意区间（-1,1），变换可得）：形如：
求积系数可通过代数精度或插值型求积公式求积系数公式求出，亦可由下式求得：
，
′
截断误差：η，η（）
Gauss-Chebyshev求积公式：形如：
求积系数：π(必为正)
截断误差：πη，η（） Gauss-Laguerre求积公式：形如：∞
求积系数：
′
，
截断误差：
η，η（，∞）
∞
∞
求积系数：
π
′
，
截断误差：π
η，η（∞，∞）
三点数值微分公式：′′′′ξ，ξ（
泰勒级数展开：′
第八章常微分方程求解
Euler法：，为一阶法（f(x,y)为y的导数）梯形方法（改进Euler法）：，，四级四阶经典Runge-Kutta公式
，
，
，
，。