高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式高效整合
第三讲 柯西不等式与排序不等式
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．若a ，b ∈R ，且a 2
＋b 2
＝10，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[－25，25] B ．[－210，210] C ．[－10，10]
D ．[－5，5]
解析： 由(a 2
＋b 2
)(1＋1)≥(a ＋b )2
， 所以a ＋b ∈[－25，25]，故选A. 答案： A
2．若x 2
1＋x 2
2＋…＋x 2
n ＝1，y 2
1＋y 2
2＋…＋y 2
n ＝1，则x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n 的最大值是( ) A ．2
B ．1
C ．3
D.
3
3
3
解析： 由(x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n )2
≤(x 2
1＋x 2
2＋…＋x 2
n )(y 2
1＋y 2
2＋…＋y 2
n )＝1，故选B. 答案： B
3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品，则至少要花( )
A ．300元
B ．360元
C ．320元
D ．340元
解析： 由排序原理知，反序和最小为320，故选C. 答案： C
4．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)? ??
??1
a
2＋1b
2＋1c 2的最小值为( )
A ．7
B ．9
C ．12
D ．18
解析： 由(a 2＋b 2＋c 2)? ??
??1
a
2＋1b
2＋1c 2
≥?
??
??a ·1
a ＋
b ·1b
＋c ·1c 2
＝(1＋1＋1)2
＝9， ∴所求最小值为9，故选B.
5．设a ，b ，c ≥0，a 2
＋b 2
＋c 2
＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值为( ) A ．0
B ．1
C ．3
D.
3
33
解析： 由排序不等式a 2
＋b 2
＋c 2
≥ab ＋bc ＋ac ， 所以ab ＋bc ＋ca ≤3.故应选C. 答案： C
6．表达式x 1－y 2
＋y 1－x 2
的最大值是( ) A ．2 B ．1 C. 2
D.32
解析： 因为x 1－y 2
＋y 1－x 2
≤
x 2＋1－x 2
1－y 2＋y
2
＝1，故选B.
答案： B
7．已知不等式(x ＋y )? ??
??1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )
A ．2
B ．4 C. 2
D ．16
解析： 由(x ＋y )?
??
??1x ＋1y
≥(1＋1)2
＝4，
因此不等式(x ＋y )(x ＋y )? ??
??1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，
即a ≤4，故应选B. 答案： B
8．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A. 5 B. 3 C ．2 3
D.3
2
解析： 1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2
＋(b )2
＋(2c )2
＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2
·13
，
∴(a ＋b ＋2c )2
≤3，即所求为 3.
9．若a >b >c >d ，x ＝(a ＋b )(c ＋d )，y ＝(a ＋c )(b ＋d )，
z ＝(a ＋d )(b ＋c )，则x ，y ，z 的大小顺序为( )
A ．x B ．y C ．x D ．z 解析： 因a >d 且b >c ， 则(a ＋b )(c ＋d )<(a ＋c )(b ＋d )， 得x 10．若0＜a 1＜a 2,0＜b 1＜b 2且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12 解析： 利用特值法，令a 1＝0.4，a 2＝0.6，b 1＝0.3，b 2＝0.7计算后作答；或根据排序原理，顺序和最大． 答案： A 11．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝4，a 2＋b 2＋c 2＋d 2 ＝163，则a 的最大 值为( ) A ．16 B ．10 C ．4 D ．2 解析： 构造平面π：x ＋y ＋z ＋(a －4)＝0， 球O ：x 2＋y 2＋z 2＝163 －a 2 ， 则点(b ，c ，d )必为平面π与球O 的公共点， 从而|a －4|3 ≤ 163 －a 2 ， 即a 2 －2a ≤0，解得0≤a ≤2， 故实数a 的最大值是2. 答案： D 12．x ，y ，z 是非负实数，9x 2 ＋12y 2 ＋5z 2 ＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( ) A ．9 B ．10 C ．14 D ．15 解析： u 2 ＝(3x ＋6y ＋5z )2 ≤[(3x )2 ＋(23y )2 ＋(5z )2 ]·[12 ＋(3)2 ＋(5)2 ] ＝9×9＝81，∴u ≤9. 答案： A 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ，b ，c 都是正数，且4a ＋9b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1 c 的最小值是________． 解析： 由4a ＋9b ＋c ＝3，∴4a 3＋3b ＋c 3＝1， ∴1a ＋1b ＋1 c ＝43a ＋3b ＋c 3a ＋43a ＋3b ＋c 3b ＋43a ＋3b ＋c 3c ＝43＋3b a ＋c 3a ＋3＋4a 3b ＋c 3b ＋13＋4a 3c ＋3b c ＝3＋53＋? ????3b a ＋4a 3b ＋? ????c 3a ＋4a 3c ＋? ????c 3b ＋3b c ≥3＋53＋4＋4 3＋2＝12. 答案： 12 14．已知a ，b 是给定的正数，则a 2sin 2 α＋b 2 cos 2α 的最小值是________． 解析： a 2sin 2α＋ b 2 cos 2 α ＝(sin 2 α＋cos 2 α)? ?? ??a 2 sin 2α＋b 2 cos 2α≥(a ＋b )2 . 答案： (a ＋b )2 15．已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x ，y ，z ，则 x ，y ，z 所满足的关系式为________，x 2＋y 2＋z 2的最小值是________． 解析： 利用三角形面积相等，得 12×23(x ＋y ＋z )＝34×(23)2 ， 即x ＋y ＋z ＝3； 由(1＋1＋1)(x 2 ＋y 2 ＋z 2 )≥(x ＋y ＋z )2 ＝9， 则x 2 ＋y 2 ＋z 2 ≥3. 答案： x ＋y ＋z ＝3 3 16．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋2z ，对满足x 2 ＋y 2 ＋z 2 ＝1的一切实数x ，y ，z 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析： 由柯西不等式可得(12 ＋22 ＋22 )(x 2 ＋y 2 ＋z 2 )≥(x ＋2y ＋2z )2 ，所以x ＋2y ＋2z 的最大值为3，故有|a －1|≥3， ∴a ≥4或a ≤－2. 答案： a ≥4或a ≤－2 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知a 2 ＋b 2 ＝1，x 2 ＋y 2 ＝1.求证：ax ＋by ≤1. 证明： ∵a 2 ＋b 2 ＝1，x 2 ＋y 2 ＝1. 又由柯西不等式知 ∴1＝(a 2 ＋b 2 )(x 2 ＋y 2 )≥(ax ＋by )2 ∴1≥(ax ＋by )2 ， ∴1≥|ax ＋by |≥ax ＋by ， ∴所以不等式得证． 18．(12分)设x 2 ＋2y 2 ＝1，求μ＝x ＋2y 的最值． 解析： 由|x ＋2y |＝|1·x ＋2·2y |≤1＋2·x 2 ＋2y 2 ＝ 3. 当且仅当x 1 ＝ 2y 2 ，即x ＝y ＝± 3 3 时取等号． 所以，当x ＝y ＝3 3 时，μmax ＝ 3. 当x ＝y ＝－ 3 3 时，μmin ＝－ 3. 19．(12分)设a ≥b ＞0，求证：3a 3 ＋2b 3 ≥3a 2 b ＋2ab 2 . 证明： ∵a ≥b ＞0， ∴a ≥a ≥a ≥b ≥b ＞0，a 2 ≥a 2 ≥a 2 ≥b 2 ≥b 2 ＞0， 由顺序和≥乱序和，得 a 3＋a 3＋a 3＋ b 3＋b 3≥a 2b ＋a 2b ＋a 2a ＋ab 2＋ab 2. 又a 2 b ＋a 2 b ＋a 2 a ＋a b 2 ＋ab 2 ≥3a 2 b ＋2ab 2 . 则3a 3 ＋2b 3 ≥3a 2 b ＋2ab 2 . 20．(12分)已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝3，求x 2 ＋y 2 ＋z 2 的最小值． 解析： 方法一：注意到x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝3为定值， 利用柯西不等式得到(x 2 ＋y 2 ＋z 2 )(12 ＋12 ＋12 )≥(x ·1＋y ·1＋z ·1)2 ＝9， 从而x 2 ＋y 2 ＋z 2 ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取“＝”号， 所以x 2 ＋y 2 ＋z 2 的最小值为3. 方法二：可考虑利用基本不等式“a 2 ＋b 2 ≥2ab ”进行求解， 由x 2 ＋y 2 ＋z 2 ＝(x ＋y ＋z )2 －(2xy ＋2xz ＋2yz ) ≥9－(x 2 ＋y 2 ＋x 2 ＋z 2 ＋y 2 ＋z 2 )， 从而求得x 2 ＋y 2 ＋z 2 ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取“＝”号， 所以x 2 ＋y 2 ＋z 2的最小值为3. 21．(12分)设a ，b ，c 为正数，且不全相等，求证： 2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c . 证明： 构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ； 1 a ＋b ， 1 b ＋c ， 1 c ＋a ，则由柯西不等式得 (a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )? ?? ? ?1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2， ① 即2(a ＋b ＋c )? ?? ? ?1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9. 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c . 于是 2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c . 由柯西不等式知， ①中有等号成立? a ＋b 1 a ＋b ＝ b ＋c 1 b ＋ c ＝ c ＋a 1 c ＋a ?a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ?a ＝b ＝c . 因题设a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立，于是 2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c . 22．(14分)设x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋ x 2n 1＋x n ≥1 n ＋1 . 证明： 因为x 1＋x 2＋…＋x n ＝1， 所以n ＋1＝(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )． 又? ?? ??x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋……＋x 2 n 1＋x n (n ＋1) ＝? ????x 211＋x 1＋x 221＋x 2 ＋…＋x 2 n 1＋x n [(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )] ≥(x 1＋x 2＋…＋x n )2 ＝1， 所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n ≥1 n ＋1 . 柯西不等式求最值 １. 设a 、b 、ｃ为正数，求4936 ()()a b c a b c ++++的最小值 【答案】121 ２.设x ，ｙ,z ∈ Ｒ,且满足x 2 + y ２ + z 2 = 5,则x + 2y ＋ 3z 之最大值为 解(x + 2y + 3z)2 ≤ (x 2 + y 2 + z ２ )（12 ＋ ２2 + ３2) = ５．14 = 7０ ∴ x ＋ 2y + 3z 最大值为70 3．设ｘ，y,z ∈ R ，若x 2 ＋ y 2 ＋ z ２ ＝ ４,则ｘ - ２y + 2z 之最小值为 时，(ｘ,y ，z) ＝ 解(x - 2ｙ ＋ 2z)2 ≤ (x 2 + ｙ２ + z 2)[1２ + ( － 2） 2 ＋ 2２ ] ＝ ４．9 = 36 ∴ ｘ - ２y + 2z 最小值为 - 6 此时 3 22)2(26221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-= x ,34=y ,3 4 -=z 4.设,,x y z R ∈，2 2 2 25x y z ++=，试求22x y z -+的最大值M 与最小值ｍ。 答：根据柯西不等式 )](2)2(1[)221(2 2 2 2 2 2 2 z y x z y x +++-+≤?+?-? 即259)22(2 ?≤+-z y x 而有152215≤+-≤-z y x 故z y x 22+-的最大值为15，最小值为–15。 5．设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，试求2 22z y x ++之最小值 )]()2()1(2[])2()1(2[2222222z y x z y x ++-+-+≤-+-+即 )(9)22(2222z y x z y x ++≤-- 将622=--z y x 代入其中,得 )(9362 22z y x ++≤ 而有 42 22≥++z y x 故2 2 2 z y x ++之最小值为4。 变形:．设x,y,z ∈ R ，2ｘ + ２y + z + 8 = ０，则(x - 1）2 + (y + ２)2 + （z - 3)２ 之最小值为 [2（x - 1) + 2(y ＋ ２) + (z － 3）]２ ≤ [(x － 1)２ + (y + 2) 2 + (z － ３) 2].(22 + 22 + 12) ? (ｘ - 1)２ + (ｙ + ２) 2 + (z - ３) 2 ≥ 9 )9(2 -= 9 6．设x, y, z ∈R ，若332=+-z y x ，则2 2 2 )1(z y x +-+之最小值为_＿______,又此时=y ____＿___ 1436])1([)332(]1)3(2][)1([2222222222≥ +-+++-≥+-++-+z y x z y x z y x ∴最小值7 18 1, 233,2(2)3(31)3231x y z t x y z t t t -===-+=∴--++=- ∴73=t ∴7 2 -=y 7.设a, b, c 均为正数，且232=++c b a ，则 c b a 3 21++之最小值为_______＿，此时=a ______＿_。 解: 22222 22)321(])3()2()1][()3()2()[(++≥++++c b a c b a 第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4 (),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b 柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴ 柯西不等式的证明及其应用 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application 不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。 可用柯西不等式的基本不等式训练题（含详解） 柯西不等式()（a+b ）c d +≥+ 条件a,b,c,d 为正 当且仅当c d a b =取=号 1．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则 的最小值是（ ） A ． B ．4 C ． D ．5 2．若直线 ()10,0x y a b a b +=>>过点()1,2，则2a b +的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．12 3．已知直线210kx y k -+-=恒过定点A ，点A 也在直线10mx ny ++=上，其 中m n 、均为正数，则12m n +的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．已知正数,x y 满足 811x y +=，则2x y +的最小值是（ ） A ．18 B ．16 C ．8 D ．10 5．如图，在ABC 中，23 BD BC =，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13x y +的最小值为（ ） A ．16 B ．15 C ．12 D ．10 6．若对0x >、0y >，有()212x y m x y ??++≥ ???恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤ B ．8m > C ．0m < D ．4m ≤ 7．圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称，则 13a b +的最小值是( ) A ． B ．263 C ．4 D ．153 8．若直线 1x y a b +=（0a >，0b >）过点()1,2，则2+a b 的最小值等于（ ） A ．9 B ．8 C ．3+ D ．4+ 9．若直线 1(00)x y a b a b +=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 10．若直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 11．已知x ，y 是正数，且141x y +=，则x y +的最小值是______． 12．已知()222log log log x y x y +=+，则 11x y +=______2x y +的最小值为 ______． 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥. 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 高中数学：柯西不等式的几种用法 1、熟记模型，直接应用 ()+21212 11,2111i n n a R i n a a a n a a a ∈=?? ++++++≥ ???例 ，求证 2、灵活变通，巧妙应用 22x y R x y x y ∈≤+≤例2、已知 ，，且3+26， 求证： 12 22223,3,,,2365,2. a b c d a b c d R a b c d a + ++=?∈ ?+++=?≤≤例、，且满足：求证：1 35,2 x ≤≤<例4、设求证： 3、以n 为目标，在“1”上下功夫 22212 12 n n i a a a a a a a R n ++++++∈≤例5、 +441,,18 a b R a b a b ∈+=≥例6、若 求证：+ ()12122 22221212,1111.n n n n a a a a a a n a a a a a a n ++++??????++++++≥ ? ? ???????例7、已知 ,,都是正数，且=1， 求证： 4、以分式的各项分母为目标，配对约分为桥梁。 ()22212a b c a b c R a b c a b c b a c + ∈++≥+++++例8、若、、，证明： ()()()333 111132 a b c abc a b c b a c c a b =≥+++例9设、、为正实数，且满足， 证明:++（IMO32届赛题） 5、 去伪存真，再寻对策 11111223421231 n n n n n n ∈≥->-+例10、 设N 且 2 求证：1-+-++ 6、综合中寻机应用，技高一筹 ,,,0,1, 131313131 a b c d abcd a b c d b c d a >≥+++≥++++例11、已知求证： (){}()() 1212222111,, ,2,,,1,1,1.2015n n n n n i i i i i i i a a a n a a n a εεεε===≥∈-??????+≤+ ? ? ??????? ∑∑∑例12、已知是实数，证明：可以选取使得：年全国联赛二试 2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达 标训练新人教A 版选修 基础·巩固 1.如下图所示，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和_________空白部分的矩形的面积之和. 思路分析：这可沿图中线段MN 向上翻折比较即知.当然由图我们可知,阴影面积=a 1b 1+a 2b 2,而空白面积=a 1b 2+a 2b 1.根据顺序和≥反序和可知答案. 答案：≥ 2.设a 、b 、c 为某一三角形三边长，求证： a 2(b+c-a)+ b 2(c+a-b)+ c 2(a+b-c)≤3abc. 思路分析：运用排序原理，关键是弄出有序数组，通常从函数的单调性质去寻找，如f(x)=x 2在R +单调递增，f(x)=在R +单调递减. 证明：不妨设a≥b≥c，易证a(b+c-a)≤b(c+a -b)≤c(a+b -c). 由排序原理得a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤a·b(c+a -b)+b·c(a+b -c)+c·a(b+c -a)=3abc. 3.对a,b,c∈R +,比较a 3+b 3+c 3与a 2b+b 2c+c 2a 的大小. 思路分析:将式子理解为积的形式a 2·a+b 2·b+c 2·c,a 2b+b 2c+c 2a,再依大小关系可求解. 解：取两组数a,b,c ；a 2,b 2,c 2. 不论a,b,c 的大小顺序如何，a 3+b 3+c 3都是顺序和，a 2b+b 2c+c 2a 都是乱序和； 故由排序原理可得a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a. 4.求证:正实数a 1,a 2,…,a n 的任一排列为a 1′,a 2′,…，a n ′，则有≥n. 思路分析:本题考查如何将和的形式构造为积的形式,本题关键是将n 理解为n 个1相加,而把1理解为x·的形式.这种方法有普遍的应用,应该加以重视. 证明：取两组数a 1,a 2,…,a n ；,,…,. 其反序和为=n ，原不等式的左边为乱序和，有≥n. 5.已知a,b,c∈R +，求证：≥a 10+b 10+c 10. 思路分析:可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式. 证明：不妨设a≥b≥c>0,则>0且a 12≥b 12≥c 12>0, 则ab c bc b ab a ab c ca b bc a 12 1212121212++≥++ c c b b a a a c c b b a 11 1111111111++≥++==a 10+b 10+c 10. 6.设a 1,a 2, …,a n 是1,2, …,n 的一个排列，求证： n n a a a a a a n n 1322113221-++≤-+++ . 经典例题透析 类型一：利用柯西不等式求最值 1．求函数的最大值． 思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析： 法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为 法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得 ∴时函数取最大值，最大值为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】 (Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】 法一： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．【答案】 根据柯西不等式 ， 故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时， 评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式 利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数： 2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序： 3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积，，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 课题：二维形式的柯西不等式 备课教师：沈良宏参与教师：郭晓芳、龙新荣审定教师：刘德清 1、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 2、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 3、学生必须掌握的内容： 1．二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2. 注意： 1．二维柯西不等式的三种形式及其关系 定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式． 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示． 2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号． (2)向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号． (3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号． 3．掌握二维柯西不等式的常用变式 (1) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|. (2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3) a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd. (4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2. 4．基本不等式与二维柯西不等式的对比 (1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式． (2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效． 4、容易出现的问题： 在二维形式的柯西不等式相关要点中，对式子(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2取等号的条件容易忽略，由于式子过长容易弄错各个数据之间的对应关系，使用公式时容易混淆公式中数据之间的关系，数据位置易出错。 5、解决方法： 柯西不等式的问题（2）——最大值 内容概述 柯西不等式的最大值问题，高考时通常出现在不等式选讲部分. 用到的公式是柯西不等式二维形式的变形. 先来看柯西不等式的二维形式： ()()()22222a b c d ac bd ++≥+当且仅当a b c d =时取等号。 该不等式的证明方法有很多，此处以作差法为例. ()()()2 2222a b c d ac bd ++-+ () 2222222222222()(2) 0a c a d b c b d a c abcd b d ad bc =+++-++=-≥ 并从向量的角度对柯西不等式的二维形式作出解释. 设向量(,)u a b = ，向量(,)v c d = ，向量u 与v 的夹角为θ， 则根据cos u v u v θ?= ，有u v u v u v -≤?≤ ，所以() 222u v u v ≥? ， 又u v ? 故有()()()22222a b c d ac bd ++≥+，当且仅当a b =时取等号. 体现的方法：公式法或配凑法，要充分关注柯西不等式的结构特征以及注意等号成立的条件，类似于基本不等式的“一正二定三相等”. 柯西不等式，有时可用于求函数的最值。而构造柯西不等式求最值，有利于培养学生的数学建模能力。当然，与此同时，也提高了逻辑思维和分析解决问题的能力。 关注其结构特征，注意等号成立条件。接下来通过具体的例题来看柯西不等式的应用。 例题示范 （柯西不等式二维形式的变形，求证最大值） 【例1】（2017年江苏高考题第21（D ）题） 已知,, ,a b c d 为实数，且22224,16a b c d +=+=，证明：8ac bd +≤ . 证明：由柯西不等式得ac bd +≤ 即ac bd +≤ 不等式选讲知识点归纳及近年高考真题 考点一：含绝对值不等式的解法 例1．(2011年高考辽宁卷理科24)已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集. 解：（I ）3, 2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤?? =---=-<+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{} 1-≤x x ，求a 的值。 第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ① 提出定理 1：若 a 、 b 、 c 、 d 为实数，则 (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) (ac bd )2 . 证法一：（比较法） (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2 = .= ( ad bc) 2 0 证法二：（综合法） (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) a 2c 2 a 2 d 2 b 2c 2 b 2d 2 ( ac bd ) 2 ( ad bc) 2 ( ac bd) 2 . （要点：展开→配方） ur (a,b) ， r ur a 2 b 2 r c 2 d 2 . 证法三：（向量法）设向量 m n (c,d ) ，则 | m | ， | n | ur r ur r ur r ur r ur r ur r ∴.. ∵ m ? n ac bd ，且 mgn | m |g| n |gcos m,n ，则 | mgn | | m |g| n | . 证法四：（函数法）设 f ( x) ( a 2 b 2 ) x 2 2( ac bd ) x c 2 d 2 ，则 f ( x) ( ax c)2 (bx d )2 ≥ 0 恒成立 . ∴ [ 2(ac bd)] 2 4(a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ≤ 0，即 .. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac | | bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 ac bd . 2：设 ur ur ur ur | | ur ur ④ 提出定理 , 是两个向量，则 | g || | . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） ur ur ur , → 讨论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 共线） ⑤ 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 a 2 b 2 c 2 d 2 (a c)2 (b d) 2 . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理 3：设 x , y , x , y R ，则 2 2 2 2 2 2 . 1 12 2 x 1 y 1 x 2 y 2 ( x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 ) 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 R ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结： 二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程 ： (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ； x 12 y 1 2 x 2 2 y 2 2 ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 )2 3. 如何利用二维柯西不等式求函数 y x 1 2 x 的最大值 ? 要点：利用变式 | ac bd | a 2 b 2 g c 2 d 2 . 二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值： ① 出示例 1：求函数 y 3 x 1 10 2x 的最大值？ 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式： y 3x 1 10 2x → 推广： y a bx c d e fx,( a,b,c,d ,e, f R ) ② 练习：已知 3x 2 y 1，求 x 2 y 2 的最小值 . 解答要点：（凑配法） x 2 y 2 1 ( x 2 y 2 )(3 2 22 ) 1 (3 x 2 y) 2 1 . 13 13 13 2. 教学不等式的证明： ① 出示例 2：若 x, y R ， x y 2 ，求证： 1 1 2 . x y 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 要点： 1 1 1 ( x y)( 1 1 ) 1 [( x )2 ( y )2 ][( 1 ) 2 (1)2 ] x y 2 x y 2 x y 2 排序不等式 先来看一个问题： 设有10个人各拿一只水桶去接水，若水龙头注满第i 个人的水桶需要i a 分钟，且这些i a 各不相同。那么，只有一个水龙头时，应如何安排10个人接水的顺序，才能使它们等待的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 解决这一问题，就需要用到排序不等式的有关内容。在没有找到合理的解决办法之前，同学们可以猜测一下，怎样安排才是最优的接水顺序？ 为了解决这一问题，先来了解排序不等式。 一般地，设有两组正数n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 ，且n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21. 若将两组中的数一对一相乘后再相加， 则其和同序时最大，倒序时最小.即 （倒序）（乱序）（同序）1 12121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n i n i i n n n +++≥+++≥+++- 其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的任一个排列，等号当且仅当n a a a === 21或 n b b b === 21时成立。 下面采用逐步调整法证明排序不等式。 证明：考察任意和式n i n i i b a b a b a s +++= 2121。 若1i b 是1b ，则转而考察2i b ； 若1i b 不是1b ，而某一k i b 是1b 。将1i b 与k i b 调整位置，得 n k i n i k i i b a b a b a b a s +++++=' 1221 则 0))(()()(111111≥--=-+-=-'i k i i k i i b b a a b b a b b a s s k k 这就是说，当把第一项调整为11b a 后，和不会减少。同样，可将第二项调整为22b a ，…，柯西不等式求最值
3.均值不等式(全国卷1)
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