高中数学柯西不等式教学设计
柯西不等式
一、指导思想
函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之
一．本节内容是在学生已经学过指数函数、对数的基础上引入的，因此既是对上述知识的拓展和延伸，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．
二、教材分析
对数函数是重要的基本初等函数之一，是指数函数知识的拓展和延伸.同时又为以后进一步研究函数打下基础.它的教学过程,体现了数形结合的思想,同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作用．
三、学情分析
学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受
log a y x =(0,1)a a >≠中，a 取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、
发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。
最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。 四、教学目标
（1）知识目标：让学生掌握对数函数的概念,能正确描绘对数函数的图象,掌握对数函数的性质．
（2）能力目标：通过对对数函数的学习,培养学生观察、思考、分析、归纳的思维能力及数形结合思想.
（3）情感目标：培养学生勇于探索的精神,激发学生学习的兴趣,让学生主动融入学习． 五、教学重点、难点
1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.
2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 六、教学过程
1．设置情境
在2．2．1的例6中，考古学家利用
log
P
估算出土文物或古遗址的年代，对于每一
个C14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log x
a
y =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log x
a y x =关于的函数．
设计意图：情景来源于生活,通过生活中的实例来反应对数函数的重要性,目的在于激发学生学习的兴趣,让每一个学生都主动融入学习中.
2．探索新知
一般地，我们把函数
log a y x
=（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，
函数的定义域是（0，+∞）．
提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1． （2）．为什么对数函数
log a y x
=（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生
充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.
答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x
=可化为y a x =，由指数的概念，要使y
a x
=有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．
②因为
log a y x
=可化为y
x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，y
a ＞0，所以
(0,)x ∈+∞．
例题1：求下列函数的定义域 （1）
2
log a y x = （2）
log (4)
a y x =- （a ＞0且a ≠1）
分析：由对数函数的定义知：2
x ＞0；4x -＞0，解出不等式就可求出定义域．
解：（1）因为2
x ＞0，即x ≠0，所以函数2
log x a y =的定义域为{}|0x x ≠.
（2）因为4x -＞0，即x ＜4，所以函数
(4)
log x a
y -=的定义域为{
|x x
＜
}
4.
下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：
先完成P81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数2log x y =的图象,
再利用电
脑软件画出
0.5log .
x y =的图象
2
注意到：
12
2
log log
y x x
==-
，若点2
(,)log
x y y x
=
在的图象上，则点1
2
(,)log
x y y x
-=
在
的图象上. 由于（,x y
-）与（,x y
-）关于x轴对称，因此，1
2
log
y x
=
的图象与2
log
y x
=的图象关于x轴对称 . 所以，由此我们可以画出
1
2
log
y x
=
的图象 .
先由学生自己画出
1
2
log
y x
=
的图象，再由电脑软件画出2
log
y x
=与1
2
log
y x
=
的图象.
和
1
4
log
y x
=
)
由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启
设计意图：让学生思考问题,能联想到之前学习的对数,根据对数的定义得到答案.从而培养学生的观察分析能力.
1. 比较下列各组数中的两个值大小 （1）22log 3.4,log 8.5
（2）0.30.3log 1.8,log 2.7
（3）
log 5.1,log 5.9
a a （a ＞0，且a ≠1）
分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成： （1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数2log y x
=的图象.在图象上，横坐标
为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：
所以，
22log 3.4log 8.5
<
解法2：由函数
2log y x R
=在+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以
22log 3.4log 8.5
<.
解法3：直接用计算器计算得：2log 3.4 1.8
≈，
2log 8.5 3.1
≈
（2）第（2）小题类似
（3）注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当a ＞1时，log a y x
=在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9.
所以，
log 5.1a a 当a <1时，log a y x =在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9. 所以， log 5.1a >log 5.9 a 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一， 令 11log 5.1, 5.1, b a b a ==则 令 22log 5.9, 5.9, b a b a ==则 则 2 5.9b a =则 当a ＞1时，x y a =在R 上是增函数，且5.1＜5.9 所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＜log 5.9 a 当0＜a ＜1时，x y a =在R 上是减函数，且5.1＞5.9 所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＞log 5.9a 说明：先画图象，由数形结合方法解答 设计意图：目的在于让学生运用对数函数的性质解决一些简单的问题,以巩固他们对对数函数性质的掌握和理解，培养学生分类讨论问题的数学思想,具体问题具体分析． 4. 归纳小结 将前面表中相同的性质归纳在一起,让学生更直观清楚的看到当底数不同时,对数 函数仍具有相同的性质． 设计意图：目的在于培养学生分类与整合的思想以及数形结合的思想． 5.布置作业 （1）复习：复习本节课的所有知识． （2）必做题： 习题2.2（A 组）第7、8题；（B 组）第2题． （3）思考题：对数函数2log y x =与指数函数2x y =之间存在着什么关系？（提示：从图 象和性质来分析） 设计意图：华罗庚说:“学数学而不练,犹如入宝山而空返．”因此把习题7,8作为作业题,同时设置思考题,这使学生在学习新知识的基础上,复习旧知识,并结合预习,解决问题.目的是让学生学以致用,注重新旧知识的联系与应用． 七、板书设计 设计意图：这样的板书简明清楚,重点突出,加深学生对定义、图象和性质的理解和掌握, 便于记忆,有利于提高教学效果． 澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【一般形式的柯西不等式】 学科：数学 年级：高三 班级：202、203 主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清 一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础。本节课的核心内容是柯西不等式一般形式的推导及其简单应用。 二、教学目标： 1、知识与技能：.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2、过程与方法：通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美; 3、情感、态度与价值观：在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法. 三、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法． 四、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式． 五、教学准备 1、课时安排：1课时 2、学情分析：学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处. 3、教具选择：多媒体 实物展台 六、教学方法：启发引导、讲练结合法 七、教学过程 1、自主导学：一、创设问题情境，检查课后学习情况： 问题1：你知道二维形式的柯西不等式吗？有几种形式？ 定理1：（二维柯西不等式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++， 等号当且仅当bc ad =时成立． 定理2：（向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则αβαβ? ≥，其中等号当且仅 当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立． 定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 问题2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？ （１）222a b ab +≥ （２）2221()2 a b a b ++≥ 解析： (1)2222222222))()(2),)(2)a b a b ab ab ab a b ab +++=+∵((≥∴(≥ 第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4 (),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b 二 一般形式的柯西不等式 教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 练习： 2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++ 二、讲授新课： 1. 教学一般形式的柯西不等式： ① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？ ② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,, ,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++ 讨论：什么时候取等号？（当且仅当 12 12 n n a a a b b b === 时取等号，假设0i b ≠） 联想：设1122n n B a b a b a b =+++， 22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B AC -≥， 可联想到一些什么？ ③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类） 要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++???++++???+（ ）（222 12()n b b b +++???+ ，则 2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++???+≥+（. 又222120n a a a ++???+>，从而结合二次函数的图像可知， []2 2221122122()4()n n n a b a b a b a a a ?=+++-++ 22212()n b b b +++≤0 即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.） ④ 变式：222212121 ()n n a a a a a a n ++ ≥++???+. （讨论如何证明） 柯西不等式的证明及其应用 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application 不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。 打印版 打印版 第01课时 不等式的基本性质 一、引入： 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可。怎么证呢? 二、不等式的基本性质： 1.实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?b ，那么bb 。(对称性) ②如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ?a>c 。 ③如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ?a+c>b+c 。 推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． ④如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac 教学设计 第六章微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 题目：罗尔定理与拉格朗日定理 一、教学目的： 1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推 论。 2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗 日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格 朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。 3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的 思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。 二、教学重点与难点： 1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的 高。 2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别 与联系。 三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法 四、教学手段：板书与课件相结合 五、教学基本流程： 六、教学 情境设计（1学时）： 1、知识回顾 费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。 2、引出定理，探究案例 微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括 四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。 定理 6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件： (i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()0='ξf . ()1 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)． 均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥. 高中数学：柯西不等式的几种用法 1、熟记模型，直接应用 ()+21212 11,2111i n n a R i n a a a n a a a ∈=?? ++++++≥ ???例 ，求证 2、灵活变通，巧妙应用 22x y R x y x y ∈≤+≤例2、已知 ，，且3+26， 求证： 12 22223,3,,,2365,2. a b c d a b c d R a b c d a + ++=?∈ ?+++=?≤≤例、，且满足：求证：1 35,2 x ≤≤<例4、设求证： 3、以n 为目标，在“1”上下功夫 22212 12 n n i a a a a a a a R n ++++++∈≤例5、 +441,,18 a b R a b a b ∈+=≥例6、若 求证：+ ()12122 22221212,1111.n n n n a a a a a a n a a a a a a n ++++??????++++++≥ ? ? ???????例7、已知 ,,都是正数，且=1， 求证： 4、以分式的各项分母为目标，配对约分为桥梁。 ()22212a b c a b c R a b c a b c b a c + ∈++≥+++++例8、若、、，证明： ()()()333 111132 a b c abc a b c b a c c a b =≥+++例9设、、为正实数，且满足， 证明:++（IMO32届赛题） 5、 去伪存真，再寻对策 11111223421231 n n n n n n ∈≥->-+例10、 设N 且 2 求证：1-+-++ 6、综合中寻机应用，技高一筹 ,,,0,1, 131313131 a b c d abcd a b c d b c d a >≥+++≥++++例11、已知求证： (){}()() 1212222111,, ,2,,,1,1,1.2015n n n n n i i i i i i i a a a n a a n a εεεε===≥∈-??????+≤+ ? ? ??????? ∑∑∑例12、已知是实数，证明：可以选取使得：年全国联赛二试 [核心必知] 1．二维形式的柯西不等式 (1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论： (a ＋b )(c ＋d )(a ，b ，c ，d 为非负实数)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 (1)x 21＋y 21＋x 22＋y 22x 1，y 1，x 2，y 2∈R )． (2)推论： （x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥ (x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )． [问题思考] 1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a b ＝c d 吗？ 提示：不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝c d 不成立． 2．不等式x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2 (x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？ 提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线， 且P1，P2在原点两旁时，等号成立.2·a2＋c2≥a＋c， 设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．[精讲详析]本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：a2＋b2·12＋12≥a＋b，即2·a2＋b2≥a＋b， 同理：2·b2＋c2≥b＋c，2·a2＋c2≥a＋c， 将上面三个同向不等式相加得： 2(a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2)≥2(a＋b＋c)， ∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2·(a＋b＋c)． 利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)·(c＋d)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R＋. 1．设a1，a2，a3为正数，求证：a31＋a21a2＋a1a22＋a32＋a32＋a22a3＋a2a23＋a33＋a33＋a23a1＋a3a21＋a31≥2(a31＋a32＋a33)． 证明：因为a31＋a21a2＋a1a22＋a32＝(a1＋a2)·(a21＋a22)， 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 如何进行柯西不等式的教学 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用. 在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了—个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式. 由上可见，教材编写者对这部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的基础，但这部分教与学的难度是显而易见的. 柯西不等式∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a 1 21 2 1 2 )(是柯西在1931年研究数学分析中的“留数” 问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式22222)())((bd ac d c b a +≥++，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式αβαβ≥?不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学设计 一、设计思想： 本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希 望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学 结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具 体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学 结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。 二、教材分析： 二维形式的柯西不等式是人教A 版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生 继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作 用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的 三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊 到一般的研究过程。本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它 的简单应用。 三、学情分析： 学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推 理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最 近发展区”。另外授课班级是高二年级（4）班，学生基础较好，学习积极性较高。 四、教学目标 1、知识与技能目标 （1）认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。 （2）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。 2、过程与方法目标 通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生 独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。 3、情感态度与价值观 简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。 五、教学重难点 （1）教学重点 二维形式的柯西不等式 ； 二维形式的柯西不等式的向量形式 （2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值 六、教学过程 （一）定理探究 设α ，β 为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的坐标α =（b a ,） β =（d c ,）那么它们的数量积为ac bd αβ→→?=+而22||a b α→=+，22||c d β=+ ||||cos αβαβθ?=?? ，cos 1θ≤ ||||||αβαβ∴ ?≤? ，其中等号当且仅当两个向量共线时成立。 定理：（二维柯西不等式的向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则 ||||||αβαβ?≤? ，当且仅当β 是零向量或存在实数k ，使k αβ= 时等号成立。 用向量坐标表示不等式||||||αβαβ?≤? ，得2222||d c b a bd ac +?+≤+ 第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ① 提出定理 1：若 a 、 b 、 c 、 d 为实数，则 (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) (ac bd )2 . 证法一：（比较法） (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2 = .= ( ad bc) 2 0 证法二：（综合法） (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) a 2c 2 a 2 d 2 b 2c 2 b 2d 2 ( ac bd ) 2 ( ad bc) 2 ( ac bd) 2 . （要点：展开→配方） ur (a,b) ， r ur a 2 b 2 r c 2 d 2 . 证法三：（向量法）设向量 m n (c,d ) ，则 | m | ， | n | ur r ur r ur r ur r ur r ur r ∴.. ∵ m ? n ac bd ，且 mgn | m |g| n |gcos m,n ，则 | mgn | | m |g| n | . 证法四：（函数法）设 f ( x) ( a 2 b 2 ) x 2 2( ac bd ) x c 2 d 2 ，则 f ( x) ( ax c)2 (bx d )2 ≥ 0 恒成立 . ∴ [ 2(ac bd)] 2 4(a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ≤ 0，即 .. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac | | bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 ac bd . 2：设 ur ur ur ur | | ur ur ④ 提出定理 , 是两个向量，则 | g || | . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） ur ur ur , → 讨论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 共线） ⑤ 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 a 2 b 2 c 2 d 2 (a c)2 (b d) 2 . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理 3：设 x , y , x , y R ，则 2 2 2 2 2 2 . 1 12 2 x 1 y 1 x 2 y 2 ( x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 ) 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 R ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结： 二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程 ： (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ； x 12 y 1 2 x 2 2 y 2 2 ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 )2 3. 如何利用二维柯西不等式求函数 y x 1 2 x 的最大值 ? 要点：利用变式 | ac bd | a 2 b 2 g c 2 d 2 . 二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值： ① 出示例 1：求函数 y 3 x 1 10 2x 的最大值？ 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式： y 3x 1 10 2x → 推广： y a bx c d e fx,( a,b,c,d ,e, f R ) ② 练习：已知 3x 2 y 1，求 x 2 y 2 的最小值 . 解答要点：（凑配法） x 2 y 2 1 ( x 2 y 2 )(3 2 22 ) 1 (3 x 2 y) 2 1 . 13 13 13 2. 教学不等式的证明： ① 出示例 2：若 x, y R ， x y 2 ，求证： 1 1 2 . x y 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 要点： 1 1 1 ( x y)( 1 1 ) 1 [( x )2 ( y )2 ][( 1 ) 2 (1)2 ] x y 2 x y 2 x y 一般形式的柯西不等式 【教学目标】 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。 【教学重点】 会证明二维柯西不等式及三角不等式。 【教学难点】 理解几何意义。 【教学过程】 一、复习准备： 1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案： (0,0)2a b a b +>>及几种变式。 2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=…=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课： 1． 柯西不等式： ① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+。 → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+。 （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a =+2||n c d =+ ∵ m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n ?=<>，则||||||m n m n ?≤。 ∴ …。。 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立。 ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即…。。 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 《二 一般形式的柯西不等式》教案 教学目标 1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 教学重、难点 重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式. 难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式. 教学过程 一、复习引入： 定理1：(柯西不等式的代数形式)设d c b a ,,,均为实数，则 22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立. 定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα?≥?，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立. 定理3：(三角形不等式)设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 二、讲授新课： 类似的，从空间向量的几何背景业能得到?αβαβ≤将空间向量的坐标代入，可得到 2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 当且仅当,αβ共线时，即0,β=或存在一个数k ，使得(1,2,3)i i a kb i ==时，等号成立. 这就是三维形式的柯西不等式. 对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 定理(一般形式的柯西不等式)：设n 为大于1的自然数，i i b a ,(=i 1，2，…，n )为任 意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++L L L 即 2 11212)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a ，其中等号当且仅当1212n n b b b k a a a ====L 时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ). 证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=Λ 第一课时 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 证法一：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a b =+，2||n c d =+ ∵ m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. } ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： 222||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+ 222c d ac bd +≥+. ④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 讨论：上面时候等号成立（β是零向量，或者,αβ共线） ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈ ? 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程： 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 3. 如何利用二维柯西不等式求函数y = 要点：利用变式222||ac bd c d ++. 二、讲授新课： % 1. 教学最大（小）值： ① 出示例1：求函数y = 分析：如何变形 → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：y = → 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313 x y x y x y += ++≥+=. 2. 教学不等式的证明： ① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证： 112x y +≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式 （注意对比 → 构造） 第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 教学要求：1、认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义； 2、并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案： (0,0)2 a b a b +≥>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课： 1. 教学柯西不等式： ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，2||n c d =+∵ m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 22||c d ac bd +≥+ 或 22||||c d ac bd +≥+ 2 22c d ac bd +≥+. ④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线） ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习：一般形式的柯西不等式 教案
3.均值不等式(全国卷1)
2014年人教A版选修4-5教案 二 一般形式的柯西不等式
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人教版数学高二(人教A版选修4-5)1.1.1不等式的基本性质 素材
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