波动问题中的三维时域粘弹性人工边界
采用黏弹性人工边界时显式算法稳定性条件
采用黏弹性人工边界时显式算法稳定性条件刘晶波;宝鑫;李述涛;王菲【期刊名称】《爆炸与冲击》【年(卷),期】2022(42)3【摘要】黏弹性人工边界是处理无限域波动问题常用的数值模拟方法。
采用显式时域逐步积分算法进行计算时,受黏弹性人工边界的阻尼、刚度等影响,人工边界区的稳定性比内部计算域的更严格,尚无明确、实用的稳定性判别准则,这限制了黏弹性人工边界在显式动力分析中的应用。
针对二维黏弹性人工边界,利用基于局部子系统的稳定性分析方法和基于传递矩阵谱半径的稳定性判别准则,给出了可代表整体模型局部特征的不同边界子系统的稳定性条件解析解。
通过对比分析不同计算区域的稳定性条件及其影响因素,证明了整体模型的稳定性由角点子系统控制。
在此基础上,获得了含黏弹性人工边界的整体模型在显示动力计算中的统一稳定性判别准则和简化实用计算方法。
在实际应用中,令积分时间步长满足稳定性条件,即可顺利完成整体模型的动力计算。
以上研究可为将黏弹性人工边界应用于显式动力计算时积分时间步长的合理选取提供参考。
【总页数】14页(P121-134)【作者】刘晶波;宝鑫;李述涛;王菲【作者单位】清华大学土木工程系;军事科学院国防工程研究院;陆军工程大学国防工程学院【正文语种】中文【中图分类】O345;TU311【相关文献】1.混杂边界条件下轴向变速运动黏弹性梁参数振动的稳定性2.饱和多孔介质三维时域黏弹性人工边界与动力反应分析的显式有限元法3.采用黏弹性人工边界单元时显式算法稳定性的改善研究4.基于黏弹性人工边界条件的岩质边坡动力反应分析5.采用粘弹性人工边界单元时显式算法稳定性分析因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
粘弹性人工边界的有限元分析
粘弹性人工边界的有限元分析徐浩【摘要】采用数值方法集中比较了工程中广泛应用的几种人工边界在SSI体系分析中的动力反应,研究结果表明:粘性边界能较好的模拟土的边界但计算的位移会发生整体的飘逸,精度也不如粘弹性边界;粘弹性边界能很好的模拟土一结构相互作用体系中土的边界问题,但实现过程比较麻烦.【期刊名称】《山西建筑》【年(卷),期】2011(037)009【总页数】2页(P72-73)【关键词】人工边界;SSI体系;粘弹性人工边界;有限元法【作者】徐浩【作者单位】同济大学土木工程学院建筑工程系,上海,200092【正文语种】中文【中图分类】TU411土木工程中有许多涉及弹性半无限地基的振动及波动问题,诸如土—结构动力相互作用(SSI)问题、地震波的传播问题、动力机器基础的振动问题、打桩及道路交通引起的振动问题等。
对这类问题用有限元法求解与用其他计算方法相比具有可灵活地适用于地基物性的不均匀性并可考虑地基的非线性特性等优点。
但由于有限元法必须对求解对象的全领域进行离散,故在分析弹性半无限地基问题时必须截取一定范围的计算模型,这就要求在切取的边界上建立人工边界,用于模拟切除的无限域影响。
目前人工边界主要分为两类：一类是全局人工边界条件,如边界元法等;另一类是局部人工边界条件,如旁轴近似人工边界、透射人工边界、粘弹性人工边界等。
局部人工边界具有时空解耦的特点,得到了广泛的应用。
其中粘弹性人工边界是通过沿人工边界设置一系列由弹簧和阻尼器组成的简单物理元件来吸收射向人工边界的波动能量和反射波的散射,其模型简单,物理意义清晰,便于在大型通用有限元计算软件中得到实现。
ANSYS是一功能强大的有限元计算软件,其中的 ANSYS中的Combin14单元和 LSDYNA中的Combin165单元,是弹簧与阻尼器的元件,易于实现粘弹性人工边界。
本文在 ANSYS中实现了粘弹性边界并进行了验证和对比。
粘弹性人工边界作为一种应力边界条件,该应力是边界结点位移和速度的函数,一般形式写为：由式(1)可以看出,粘弹性边界相当于在边界结点每个方向施加一个一段固定的单向弹簧—阻尼元件,而且该弹簧—阻尼元件的刚度和阻尼系数仅与该边界结点在该方向该时刻的反应相关,从而通过粘性阻尼的吸能作用和弹簧的刚性恢复作用模拟无限域对广义结构的影响。
波动问题中的三维时域粘弹性人工边界
波动问题中的三维时域粘弹性人工边界一、本文概述在波动问题研究中，粘弹性人工边界作为一种重要的数值模拟方法，被广泛应用于地震工程、岩土工程、结构动力学等领域。
本文将重点探讨三维时域粘弹性人工边界在波动问题中的应用。
我们将对粘弹性人工边界的基本理论进行介绍，包括其发展历程、基本原理以及在波动问题中的应用背景。
随后，我们将详细介绍三维时域粘弹性人工边界的建模方法、数值实现过程以及关键参数的选取。
我们还将分析三维时域粘弹性人工边界在波动问题中的优势和局限性，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
我们将通过具体案例来展示三维时域粘弹性人工边界在波动问题中的实际应用效果，并总结其在实际工程中的应用前景。
本文旨在为从事波动问题研究的学者和工程师提供一种有效的数值模拟方法，以更好地理解和解决实际工程中的波动问题。
通过本文的介绍和分析，读者可以深入了解三维时域粘弹性人工边界的基本原理、数值实现方法以及实际应用效果，为相关研究提供有益的参考和借鉴。
二、波动问题基本理论波动问题，作为物理学和工程学中的核心领域，主要研究波在介质中的传播规律。
波的传播受介质特性、波的初始条件和边界条件等多种因素影响。
波动问题涉及弹性力学、动力学、波动方程等多个学科分支，其基本理论为理解和分析复杂波动现象提供了基础。
在波动问题中，波动方程是描述波传播行为的关键。
一维情况下，波动方程可以表示为 (\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2})，其中 (u) 是波的位移，(t) 是时间，(x) 是空间坐标，(c) 是波速。
这一方程描述了波在均匀、无阻尼介质中的传播行为。
对于三维情况，波动方程需要考虑三个空间维度，形式更为复杂。
同时，波动方程还需要结合具体的介质特性，如弹性模量、密度等，来求解特定问题的波动行为。
在波动问题中，边界条件对于波的传播具有重要影响。
弹性地基中的三维时域规则网格无限元
频域无限元不能用于时域计算问题的关键是动 力平衡方程中含有频域项 , 如果能够将频率项消除 掉, 则可以在时域中进行直接计算. 鉴于频域无限元 在弹性地基中具有非常高精度 , 如果构造一种新的 时域无限元, 预计会取得非常好的计算结果. 本文构 造了一种新的无限元, 其单元质量、刚度矩阵所含有 的项与频率无关.
2010 年
第 40 卷
第 7 期: 811 ~ 821
《中国科学》杂志社
SCIENCE CHINA PRESS
弹性地基中的三维时域规则网格无限元
严细水*, 叶惠飞, 赵永倩, 葛炜
浙江大学建筑工程学院, 杭州 310058 * E-mail: xishui99@ 收稿日期: 2009-05-29; 接受日期: 2009-10-12
[ m1 ]( e) = [ k1 ]
(e)
其中:
a11 = ∫ exp[ −2(ikh + α )( x − x0 )]dx =
x0
∞
ρΔyΔz
4
∫ ∫ ∫
x0 −1
∞
1
1 −1
[ N ]T [ N ]dη dζ dx,
(12) (13)
1 . (22) 2(ikh + α )
Δy Δz ∞ 1 1 * T = [ B ] [ D][ B* ]dη dζ dx. 4 ∫ x0 ∫ −1 ∫ −1 [ H1 ] = [ A2 A3 A7 A6 ], [ H 2 ] = [C2 C3 C7 C6 ],
( e)
( e)
=
(23) (24)
= iω [ ck1 ]
( e)
+
1 (e) [ sk1 ] , iω
三维饱和地基人工黏弹性边界
２ ０１ ５年 ４ 月
中 国水 利 水 电科 学 研 究 院学 报
Ｖ ｏ １ ． １ ３ Ｎ ｏ ． ２
Ａｐ ｒ ｉ ｌ ， ２ ０ １ ５
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃｈ ｉ ｎ ａ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｗａ ｔ ｅ ｒ Ｒｅ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ Ｈｙ ｄ ｒ ｏ ｐ ｏ ｗｅ ｒ Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ
水 压力 的变化 时程 。与单 向固体结 构 的人 工 黏弹性 边 界 不 同 ，对 于 饱 和土体 的人工 边界 ，除 了要
处 理位 移边 界 条件 外 ，还要 考虑 孔 隙水压 力 在人 工边 界 的传播 。Ｍｏ ｄ ａ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ 等 基 于简 化 的 比奥 （ Ｂ ｉ ｏ ｔ ）
有 限 元 语 言 编 写 出算 法 脚 本 文 件 ，并 基 于 有 限 元 自动生 成 系统 （ Ｆ Ｅ Ｐ Ｇ） ，生 成 了 计算 源代 码 程 序 。通 过 在 无 限 大
地 基 表 面 施 加 冲击 荷 载 和 突 加 荷 载 的 数值 算 例 ，验 证 了 所 建 立 方 程 和程 序 的正 确 性 。 本 文 方法 可 以应 用 于 三 维 饱 和 地 基 的 动力 固结 问题 数 值 模 拟 。
方 程 ，针 对 实 际土 木工 程 的 中低频 率 振 动并 且 渗透 系数 比较小 的情况 ，忽略 第 二类 压 缩波 ，将 傍 轴
近似 应 用 于 两 相介 质 ，提 出了饱 和介 质 动 力 方程 ｕ — ｐ 形 式 的 黏性 边 界 。Ａ ｋ ｉ ｙ ｏ ｓ ｈ ｉ 等 进一 步 给 出 了
文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ — ３ ０ ３ １ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ２ — ０ １ ２ ８ — ０ ８
黏弹性人工边界地震波动输入方法综述
黏弹性人工边界地震波动输入方法综述
王晓东
【期刊名称】《北方建筑》
【年(卷),期】2018(003)001
【摘要】本文以黏弹性人工边界为例,总结了黏弹性人工边界地震波动输入的几种主要方法.分析了各种黏弹性边界地震波动输入方法的优缺点,讨论它们之间的相互联系,对它们的精度和适用性进行了对比,并阐述了黏弹性人工边界地震波动输入研究的发展方向.
【总页数】5页(P9-13)
【作者】王晓东
【作者单位】西南林业大学土木工程学院,云南昆明 650051
【正文语种】中文
【中图分类】TU12.1
【相关文献】
1.黏弹性人工边界地震动输入方法及实现 [J], 何建涛;马怀发;张伯艳;陈厚群
2.黏弹性人工边界地震波动输入方法综述 [J], 王晓东;
3.基于黏弹性边界的地震动输入方法和边界条件选择研究 [J], 孙纬宇;欧尔峰;严松宏
4.基于黏弹性边界的地震动输入方法和边界条件选择研究 [J], 孙纬宇;欧尔峰;严松宏;
5.三维黏弹性人工边界地震波动输入方法研究 [J], 张波;李术才;杨学英;王锡平
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波动问题中的三维时域粘弹性人工边界_刘晶波
第22卷第6期 工 程 力 学 V ol.22 No.6 2005年 12 月ENGINEERING MECHANICSDec. 2005———————————————收稿日期：2003-12-03；修改日期：2004-05-24基金项目：国家973项目(2002CB412706)；国家自然科学基金(50078028)；北京市自然科学基金重点项目(8011002)资助作者简介：*刘晶波(1956)，男，辽宁新宾人，教授，博士，博士生导师，从事结构工程和防灾减灾工程研究(E-mail: liujb@)； 王振宇(1976)，男，湖北石首人，博士，从事防灾减灾工程研究；杜修力(1963)，男，四川广安人，教授，博士，博士生导师，从事结构工程和防灾减灾工程研究; 杜义欣(1979)，男，河北保定人，博士生，从事结构工程和人防工程研究.文章编号：1000-4750(2005)06-0046-06波动问题中的三维时域粘弹性人工边界*刘晶波1，王振宇1，杜修力2，杜义欣1(1. 清华大学土木工程系，北京 100084；2. 北京工业大学，北京 100022)摘 要：应用弹性波动理论，发展了实现波动直接模拟的三维时域粘弹性人工边界。
首先基于三维波动方程推导了三维粘弹性人工边界的法向与切向边界方程，然后研究了时域粘弹性人工边界的数值模拟技术，最后通过典型的波动问题算例证明了给出的三维人工边界具有较高精度，可以方便地应用于三维波动问题的模拟分析。
关键词：波动；粘弹性人工边界；三维介质；时域；无限域 中图分类号：O347.4, P315.3 文献标识码：ATHREE-DIMENSIONAL VISCO-ELASTIC ARTIFICIAL BOUNDARIESIN TIME DOMAIN FOR WA VE MOTION PROBLEMS*LIU Jing-bo 1 , WANG Zhen-yu 1 , DU Xiu-li 2 , DU Yi-xin 1(1. Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China; 2. Beijing University of Technology, Beijing 100022, China)Abstract: Three-dimensional visco-elastic artificial boundaries in time domain are developed by means of theory of elastic wave motion in this paper. Three-dimensional visco-elastic artificial boundary equations along normal and tangent directions are derived based on three-dimensional wave motion equations. Numerical simulation techniques of visco-elastic artificial boundaries in time domain are studied. Numerical examples of classic wave motion problems demonstrate that high precision is achieved by use of three-dimensional visco-elastic boundaries, and that the boundaries can be used in analysis of three-dimensional wave motion problems easily.Key words: wave motion; visco-elastic artificial boundary; three-dimensional media; time domain; infinitedomain二十世纪七十年代以来，与土－结构动力相互作用问题相关的动力基础振动、地震波散射等近场波动问题的数值模拟方法得到了很大的发展[1~3]。
三维黏弹性静_动力统一人工边界_刘晶波
966 中国科学E辑工程科学材料科学2005, 35(9): 966~980三维黏弹性静-动力统一人工边界*刘晶波李彬(清华大学土木工程系, 北京 100084)摘要提出了一种发展静-动力统一人工边界的方法, 基于黏弹性动力人工边界和半无限空间中静力问题的基本解, 建立了对动力问题和静力问题均适用的三维黏弹性静-动力统一人工边界.关键词人工边界半无限空间开放系统土-结构相互作用土木工程中的结构-地基系统是一个开放系统, 静力分析和动力分析均涉及半无限地基的模拟问题, 因此合理设置人工边界成为解决土-结构相互作用等问题的关键. 广义上讲, 人工边界可以分为静力人工边界和动力人工边界. 其中静力人工边界由来已久, 比如固定边界、滚轴边界等. 而目前广泛应用的动力人工边界主要是基于单侧波动概念的局部人工边界, 比如黏性边界[1]、黏弹性边界[2~4]1)、透射边界[5]等. 其中黏性边界概念清楚、简单方便, 因而得到了广泛应用[1,6]; 但黏性边界精度不高, 且存在低频失稳问题[3]. 相比而言, 黏弹性边界可以约束动力问题中的零频分量, 能够模拟人工边界外半无限介质的弹性恢复性能, 具有良好的稳定性和较高的精度[2,4]. 目前对需要综合考虑静力效应及动力效应的工程问题普遍采用的方法是分别采用静力人工边界和动力人工边界对静力问题和动力问题分别进行计算, 叠加后得到完整的结果. 但由于叠加原理仅在线弹性小变形范围内适用, 原则上不能应用于涉及非线性或大变形问题的分析, 比如大型拱坝的强地震反应分析、需考虑P-∆效应的高层结构-地基系统的地震反应分析、地下结构-地基系统的静力效应对其动力特性的影响分析等. 因而有必要发展既适用于动力问题又适用于静力问题的静-动力统一人工边界.一般情况下, 动力人工边界和静力人工边界是分别基于动力学和静力学的基本理论建立的, 因而试图从基本理论出发建立静-动力统一人工边界存在着很2004-11-29收稿, 2005-05-04收修改稿*国家973项目(批准号: 2002CB412706)和国家自然科学基金(批准号: 50478014)资助项目1)刘晶波, 王振宇, 杜修力. 波动问题中的三维时域粘弹性人工边界. 工程力学, 2005, 待发表第9期 刘晶波等: 三维黏弹性静-动力统一人工边界 967大的难度. 可行的方法是首先基于动力学(静力学)基本理论, 建立适用于动力问题(静力问题)分析的动力(静力)人工边界; 然后对其进行修正, 使之能够适用于静力问题(动力问题)的分析. 本文将根据这一思路, 基于现有的黏弹性动力人工边界来建立静-动力统一人工边界.1 黏弹性动力人工边界及其鲁棒性分析为了克服黏性动力人工边界精度不高和低频漂移失稳等缺点, Deeks [2]、刘晶波等人[3,4]在假定散射波为二维柱面波的基础上提出了二维黏弹性动力人工边界, 刘晶波等人1)在假定散射波为三维球面波的基础上提出了三维黏弹性动力人工边界. 上述二维和三维黏弹性动力人工边界可以等效为在人工截断边界上设置连续分布的并联弹簧-阻尼器系统, 其中弹簧元件的弹性系数b K 及黏性阻尼器的阻尼系数b C 的计算公式如下:,b G K R α= (1) ,b C c ρ= (2) 式中, ρ和G 分别表示介质的质量密度和剪切模量; R 表示散射波源至人工边界的距离; c 表示介质中的波速, 法向人工边界c 取P 波波速p c , 切向人工边界c 取S 波波速s c ; 参数α根据人工边界的类型及设置方向参照表1取值, 为叙述方便, 在以下的分析中也将人工边界法向和切向的参数α分别记为n α和t α. 显然, 当α取零或R 趋于无穷大时, 弹性系数b K 等于零, 黏弹性动力人工边界即退化为黏性动力人工边界.表1 黏弹性动力人工边界中参数α 的取值类型方向 α平面内法向 2.0 二维人工边界平面内切向 1.5出平面切向 0.5法向4.0 三维人工边界 切向 2.0黏弹性动力人工边界可以方便地与有限元方法结合使用, 只需在有限元模型中人工边界节点的法向和切向分别设置并联的弹簧单元和阻尼器单元[7]1). 以三维黏弹性动力人工边界为例, 具体的实施方法如图1所示. 图中坐标X 和Y 向为人工边界面的切向, Z 向为法向, 弹簧单元的弹性系数K 及阻尼器单元的阻尼系数C 可以根据(1)和(2)式简单地取为1) 见966页脚注968 中国科学 E 辑 工程科学 材料科学 第35卷,i G K A R α=∑ (3) ,i C c A ρ=∑ (4) 式中,∑i A 为人工边界节点所代表的面积, 即图1虚线所包围部分.图1 三维黏弹性动力人工边界的有限元实现下面通过三维线弹性无限空间中的内源问题算例来分析一下三维黏弹性动力人工边界的鲁棒性. 计算模型如图2(a)所示, 介质的质量密度1=ρ, 剪切波速c s = 4, Possion 比v = 0.25. 荷载)(t P 取为Dirac δ函数的有限差分近似, 即 44444113()16()464(1),424G G G G G δττττττ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−−+−−−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦ (5) 式中, /t T τ=为无量纲时间, T 为持续时间(本算例取 1.0 s T =), )()(34τττH G =, )(τH 是Heaviside 阶跃函数. 理论上采用以加载点为球心的球面形状的人工边界可以取得更好的模拟效果, 但为模型处理方便, 实际工程中在进行土-结构动力相互作用分析时往往采用平面形式的人工边界. 本算例也采用平面人工边界, 各人工边界面坐标方程分别为5.0±=b x , 5.0±=b y 和5.0±=b z , 即计算范围取0.5,,0.5x y z −≤≤, 有限元网格尺寸05.0=∆=∆=∆z y x . 为操作方便, 在每一个平面人工边界上R 简单地取同一值, 本算例取为加载点至人工边界面的垂直距离, 即0.5R =. 改变(1)式给出的弹性系数b K 的取值即可研究黏弹性动力人工边界的鲁棒性, 计算时取参数t n αα2=分别为4.0, 2.0, 4/3, 1.0和0.0, 其中, n α取4.0和0.0时分别对应于三维黏弹性动力人工边界和黏性动力人工边界. 图2(b)给出第9期 刘晶波等: 三维黏弹性静-动力统一人工边界 969了观测点)2.0,2.0,2.0(的z 向位移时程. 根据图2(b)可知, 当02 4.0n t αα<=≤时, 黏弹性动力人工边界的精度均优于黏性动力人工边界, 而且当1.02 2.0n t αα<=≤时, 黏弹性动力人工边界具有良好的精度. 以上分析结果表明黏弹性动力人工边界具有良好的鲁棒性, 这为通过修正弹性系数b K 来发展静-动力统一人工边界提供了保证. 本算例也相当于三维黏弹性动力人工边界(0.42==t n αα)中R 分别取为0.5, 1.0, 1.5, 2.0和∞时的结果, 这也证明黏弹性动力人工边界中的R 可以在一个较大范围内取值, 即R 的取值也具有良好的鲁棒性.图2 内源问题算例(a) 内源问题示意图, (b) 观测点的z 向位移时程黏弹性动力人工边界概念清晰, 公式简单, 具有较高的精度和良好的稳定性及鲁棒性. 目前已经在土-结构动力相互作用问题中得到成功的应用[7~9]. 但黏弹性动力人工边界是基于均匀无限弹性空间中的波动理论提出的, 虽然弹簧元件970 中国科学 E 辑 工程科学 材料科学 第35卷的存在可以保证所隔离的计算系统是稳定的, 但直接将其用于静力问题会导致较大误差. 另外, 半无限空间中除了存在P 波、S 波等体波之外还存在Rayleigh 波等面波, 这决定了半无限空间弹性波场与无限空间波场之间的差别, 尤其是在半无限空间自由表面附近. 因此为更好地模拟工程中的弹性半空间模型, 也有必要对三维黏弹性动力人工边界实施修正[10].2 三维黏弹性静-动力统一人工边界原则上, 动力人工边界的确定是一个低频问题[11], 文献[10]和[12]指出: 对于采用弹簧及阻尼器构建的动力人工边界, 计算精度取决于其静力特性. 根据这一标准, 如果能够修正黏弹性动力人工边界, 使之用于静力问题时具有足够高的精度, 则其对动力问题的模拟精度也可能得到进一步提高. 换言之, 将黏弹性动力人工边界修正为既适用于静力问题又适用于动力问题的黏弹性静-动力统一人工边界是提高其精度的一种有效途径.黏弹性边界对静力问题的模拟精度完全取决于弹性系数b K 的取值, 因而参照半无限空间中静力问题基本解对参数α进行修正是必要的. 考查半无限空间自由表面上受法向集中力或切向集中力作用问题, 如图3所示. 根据Boussinesq 解答及Cerruti 解答[13], 半无限空间中给定截面上某一点的应力及其相应位移之间的比例系数可写为(1)式的形式, 如表2所示, 其中参数α为柱面坐标r 和z 或者直角坐标x , y 和z 的函数.图4给出了Possion 比25.0=ν时表2中各参数α的取值, 图中R 表示加载点至给定截面的垂直距离, d 表示给定截面上点的位置坐标, 对于1α和2α, r d =; 对于5α和6α, x d =; 对于3α, 4α, 7α和8α, z d =. 需要说明的是当0≠y 时,图3 半无限空间自由表面上受集中力作用问题(a) Boussinesq 问题, (b) Cerruti 问题第9期 刘晶波等: 三维黏弹性静-动力统一人工边界 971表2 Boussinesq 和Cerruti 问题中给定截面上点的应力及其相应位移之间的比例系数截面位置法向 切向 底面b z z =11z b z b G K u z σα=−= 22rz b r b G K u z τα=−= Boussinesq 问题侧面b r r =33r b r bG K u r σα=−= 44rz b z b G K u r τα=−= 底面b z z = 55z b z bG K u z σα=−= 66xz b x b G K u z τα=−= Cerruti 问题 侧面b x x = 77xb x b G K u x σα=−= 88xz b zb G K u x τα=−=参数5α, 6α, 7α和8α的取值将减小. 根据图4, 2α与3α存在奇异点且在一定范围内取负值, 这导致2b K 与3b K 在某些区域内无法采用普通的弹簧元件加以模拟.根据上述弹性半空间静力问题基本解的特点及现有的黏弹性动力人工边界, 考虑到土木工程中涉及的静力效应多为自重引起, 本文建议计算模型底面人工边界的法向参数α取为1α; 考虑到7α与1α相似, 并为简单起见, 模型侧面法向参数α也取为1α; 模型底面切向参数α按三维黏弹性动力人工边界切向参数α取值; 模型侧面切向参数α参照4α取值, 并简单地取为0.5, 这与二维黏弹性动力人工边界切向参数α一致. 表3给出了修正后黏弹性人工边界的参数α的具体取值.表3 三维黏弹性静-动力统一人工边界中参数α 的取值人工边界位置方向 α 法向 α * 模型底面切向 2.0法向α * 模型侧面 切向 0.5表3中人工边界面法向参数*α的具体计算公式为 2226*,2(1)11d d R R αν=⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞−+++⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (6)式中, ν为Possion 比, d 为位置坐标, R 为荷载作用点到人工边界点的距离. 对于底面人工边界, (6)式中的变量d r =; 对于侧面人工边界, d z =. 对于集中荷载, R 可取为加载点至人工边界的垂直距离; 对于分布荷载, R 可取为分布荷载中心至人工边界的垂直距离. 如果研究的是散射问题, 则R 为散射源至人工边界的垂直972中国科学E辑工程科学材料科学第35卷图4 表2中各参数α 的取值第9期 刘晶波等: 三维黏弹性静-动力统一人工边界 973距离.算例表明参考静力问题基本解修正后的黏弹性人工边界对三维半无限空间中的动力问题和静力问题均具有很高的模拟精度, 可称之为三维黏弹性静-动力统一人工边界.3 数值算例3.1 半无限空间自由表面受法向集中力作用问题半无限空间模型如图3(a)所示, 介质的质量密度1=ρ, 剪切波速4=s c , Possion 比25.0=ν. 静力问题中取荷载1=P , 理论解已由Boussinesq 给出[13]; 将静力荷载P 改为动力荷载)(t P 即为三维Lamb 表面源问题, 计算时)(t P 取(5)式给出的δ函数, 理论解可由Lamb 问题基本解[14]积分求得. 计算范围取0.5,0.5x y −≤≤,0 1.0z ≤≤; 网格尺寸05.0=∆=∆=∆z y x . 各人工边界面上分别施加静-动力统一人工边界、三维黏弹性动力人工边界、黏性边界、滚轴边界等, 计算中R 取为加载点至人工边界面的垂直距离.图5给出了Lamb 问题中自由表面上距离加载点r 处观测点的法向位移时程, 实际计算时考虑了加载点分别为原点)0,0,0(或者A 点)0,2.0,2.0(两种情况, 图5(c)中1和2分别代表坐标为)0,4.0,2.0(和)0,0,2.0(的观测点. 根据图5, 黏性边界导致了明显的漂移失稳; 三维黏弹性动力人工边界虽然没有失稳现象发生, 但弹性系数偏大; 黏弹性静-动力统一人工边界不仅具有良好的稳定性, 精度也明显优于其他两种人工边界. 根据图5(c)还可以发现, 对于非对称问题, 采用静-动力统一人工边界的计算结果基本取决于观测点与加载点之间的距离r , 而与观测点是否靠近人工边界没有明显关系, 而黏性和黏弹性人工边界则有明显差别, 这也进一步说明了黏弹性静-动力统一人工边界具有更好的模拟精度.图6给出了原点加载时静力问题(Boussinesq 问题)的计算结果. 根据图6, 对于主要位移分量z u , 黏弹性静-动力统一人工边界的精度明显高于其他两种人工边界, 即使在人工边界面0.1=z 上, 其精度也没有明显降低. 值得一提的是, 根据图4, 当0.15/0.36z R ≤≤时, r σ与r u 之间的关系是无法采用普通弹簧模拟的, 但静-动力统一人工边界的精度仍然很高.3.2 半无限空间自由表面受切向集中力作用问题如图3(b)所示, 选取计算范围为1,1x y −≤≤, 01z ≤≤, 集中荷载作用于原点, 作用方向与x 轴重合, 各人工边界面上的参数R 均取1.0, 其他参数同3.1. 图7和8分别给出了动力问题和静力问题的计算结果, 其中静力问题的理论解是由Cerruti 给出的[13], 动力问题的理论解是扩展边界的有限元解. 根据图7和8,974中国科学E辑工程科学材料科学第35卷图5 Lamb问题中观测点的z向位移时程(竖向荷载)(a) r = 0.2 (原点加载), (b) r = 0.4 (原点加载), (c) r = 0.2 (A点加载)第9期 刘晶波等: 三维黏弹性静-动力统一人工边界 975图6 Boussinesq 问题位移解(原点加载)(a) 自由表面z = 0.0, (b) 平面z = 0.5三维黏弹性静-动力统一人工边界对由水平荷载作用下的动力问题仍然明显优于其他两种动力人工边界. 对静力问题而言, 水平位移分量的计算精度较高, 但对于z 向位移分量的精度较低. 考虑到土木工程动力问题分析计算中需考虑的静力效应一般是由结构的自重, 即由竖向荷载引起的, 因而这一缺点对三维黏弹性静-动力统一人工边界的实际应用影响不大.3.3 成层半无限空间自由表面受法向均布荷载作用问题如图9所示, 半无限空间0z ≥由两层介质构成, 00.5z ≤≤时, 1=ρ, 2=s c , 30.0=v ; 5.0>z 时,1=ρ, 4=s c , 25.0=v ; 自由表面上法向均布荷载)(t p 的作用范围为0.5,0.5x y −≤≤, 荷载)(t p 仍取(5)式所示δ函数, 其他参数同3.2. 图10给出了两观测点的z 向位移时程, 其中理论解为扩展边界的有限元(a) 观测点(0.5,0,0), (b) 观测点(0,0.5,0), (c) 观测点(0,0,0.5)图8 Cerruti 问题位移解(a) y = 0, z = 0.25; (b) y = 0, z = 0.50解. 根据图10, 三维黏弹性静-动力统一人工边界完全可以应用于成层半无限空间中的动力问题分析, 而且仍然具有很高的精度和良好的稳定性, 明显优于黏性或黏弹性动力人工边界.3.4 散射问题算例考查半无限空间0z ≥, 质量密度ρ =2 g/cm 3, 100m/s s c =, Possion 比ν = 0.25.自由表面附近6,6m x y −≤≤, 0≤ z ≤6 m 范围内为一基坑. 利用对称性取如图11所示计算模型, 计算范围取为0≤,,20m x y z ≤, 网格尺寸2m.x y z ∆=∆=∆= 各人工边界面上分别施加三维黏图9 成层半无限空间问题模型图10 成层半无限空间自由表面受法向均布荷载作用问题(a) 点(0.5,0,0)的z向位移时程, (b) 点(0.5,0,0.5)的z向位移时程弹性静-动力统一人工边界、三维黏弹性动点至人工边界面的垂直距离. 假定一S波δ沿z轴入射, 振动方向平行于x脉冲()t轴, 脉冲如(5)式所示(T=0.5s). 波动输入参照文献[4]实现. 图12给出了观测点A和B的x向位移时程, 其中理论解为扩展边界的有限元解. 根据图12可知, 对于散射问题而言，三维黏弹性静-动力统一人工边界仍然具有很高的精度和良好的稳定性.图11 散射问题算例示意图图12 观测点的x向位移时程(a) 观测点A, (b) 观测点B4结论本文提出了一种发展静-动力统一人工边界的方法, 并在分析半无限空间中Boussinesq问题及Cerruti问题的基础上, 根据现有的黏弹性动力人工边界提出了三维黏弹性静-动力统一人工边界. 新的人工边界物理概念清晰, 计算公式简单, 而且易于有限元实现. 数值算例表明, 对于动力问题, 黏弹性静-动力统一人工边界明显优于黏性或黏弹性动力人工边界, 具有很高的精度和良好的稳定性; 对于静力问题, 黏弹性静-动力统一人工边界仍然具有令人满意的精度, 并且优于目前静力问题分析中常采用的滚轴边界. 这突破了以往的人工边界不能兼顾静力问题和动力问题的局限, 可以更为合理而方便地模拟土木工程中需同时考虑静力影响的土-结构动力相互作用问题.参考文献1 Lysmer J, Kulemeyer R L. 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