猪肉市场预测的数学模型

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 （打印并签名）：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期： 2010 年 9 月 12 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人

评 分

备 注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1

猪肉市场预测的数学模型 摘 要 本文研究生猪存栏量，猪肉价格预测的问题，通过题目中的已知条件和要求，借助合理的假设，建立了两个数学模型。其中，模型一是利用灰色系统预测模型，即进行关联分析，对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律；模型二我们构造了模拟函数，通过最小二乘法确定参数，预测出2010年我国36个大中城市猪肉价格。 问题一，对于生猪年末存储量的预测中，由于1985年取消生猪派购、放开肉类市场生猪价格的大起大落导致了养殖效益的跌宕起伏，因此我们不考虑1985年以前的数据。我们采用了灰色系统理论中的GM(1,1)预测模型，选取1985年到2009年的25组数据进行预测，得出平均残差3.51%，符合预测标准。我们通过GM（1，1）预测出2010年生猪年末存栏量的数值为47403万头。 问题二，对于2010年我国36个大中城市猪肉价格的预测中，通过对数据的分析，我们构造的模拟函数包括表示初始价格的常数、表示总体波动的周期为4年的正弦函数和表示众多繁杂因素影响的傅里叶级数（出于计算考虑取级数前50项）。通过最小二乘法确定各参数，得出的模拟函数对已知数据完全贴合。在模型检验中，我们只用部分已知数据来确定模拟函数，发现模拟结果与未使用的数据也有很好的吻合程度。最后利用模拟函数对猪肉价格走势进行模拟。

关键词：猪肉价格 存栏量 灰色预测 模拟函数 周期波动 2

一、 问题重述 1.1. 背景资料与条件 我国是个人口大国,我国人民长期以来形成了偏好消费猪肉的生活习惯,猪肉是我国居民消费量最大的肉类。我国自1985年取消生猪派购、放开肉类市场、实行多渠道经营以后,生猪市场就始终处于周期性波动状态。生猪价格的大起大落导致了养殖效益的跌宕起伏，也对居民生活影响重大。2007年5月以来,国内猪肉价格出现大幅上涨并达到历史最高点;与此同时,其他基本消费品价格也轮番上涨。一时间猪肉价格成了各界关注的热点,并引起相关部门和国内学者的广泛关注。

1.2. 需要解决的问题 为了稳固生猪市场，保障农民的利益，对生猪产业的规模及猪肉价格做出准确预测显得尤为重要。题目要求（1）预测2007-2010年生猪年末存栏量；（2）预测2010年我国36个大中城市猪肉价格。

二、问题分析 我国人民长期以来形成了偏好消费猪肉的生活习惯，猪肉是我国居民消耗量最大的肉类。因此，猪肉价格的大起大落对我国居民的生活影响重大。由于生猪的繁殖生长具有周期性，又有疾病发生等不可预测的因素，所以单就市场规律无法达到猪肉供求的均衡，保持猪肉价格尤为重要，而其中把握和预测猪肉价格走势的信息更是重中之重，因此对问题一、二进行深入分析。

对于问题一，由于1985年取消生猪派购、放开肉类市场生猪价格的大起大落导致了养殖效益的跌宕起伏，因此我们不考虑1985年以前的数据。我们采用了灰色系统理论中的GM(1,1)预测模型对其分析和求解，通过鉴别系统因素之间法杖趋势的相异程度，进行关联分析，对原始数据进行生成处理来寻找系统变化的规律，生成有较强规律性的数据序列，建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势状况，最后，考虑1985到2009年的25组数据进行预测。

对于问题二，我们构造的模拟函数包括表示初始价格的常数、表示总体波动的周期为4年的正弦函数和表示众多繁杂因素影响的傅里叶级数（出于计算考虑取级数前50项）。通过最小二乘法确定各参数，利用模拟函数对猪肉价格走势进行模拟。

三、基本假设 1、假设消费者在一定时期内不会改变对猪肉的偏好，需求量不会发生巨大变化； 3

2、在一定时期内，不会发生重大疫情、灾害或国家政策干预等引发猪肉价格急剧变化的事件；

3、在预测期间内，饲料价格不会发生大幅上涨，保持平稳状态； 4、忽略猪肉的进出口因素影响。

四、符号说明 (1)、)0(x为参考序列 (2)、1x为一次累加序列 （3）、^x)0(为比较序列 (4)、'0x为平移后的序列 （5）、0p为初始价格

五、 模型的建立与求解 第一问： 5.1、灰色系统GM预测模型 5.1.1 模型的建立 灰色系统是既含有已知信息，又含有未知信息或非确知信息的系统。其研究的重要内容之一是如何从一个不甚明确的、整体信息不足的系统中抽象并建立起一个模型，该模型能使灰色系统的因素由不明确到明确，由知之甚少发展到知之较多提供研究基础。灰色预测是通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统未来状态作出科学的定量预测。 灰色预测的主要步骤：

记参考数据列))(),2(),1(()0()0()0()0(nxxxx )0(x

经过一次累加生成的序列))(),2(),1(()1()1()1()1(nxxxx

其中kiixkx1)0()1()()( nk,2,1 求均值生成序列： ))()1((21)()1()1()1(kxkxkz nk,3,2

则))(),2(),1(()1()1()1()1(nzzzz。 4

于是建立灰微分方程为 bkazkx)()()1()0(，nk,3,2

相应的白化微分方程为

btaxdtdx)()1()1(

则参数ba,的表达式为

1()TTaBBBYb

，(1)(1)(1)(2)1(3)1()1zzBzn，(0)(0)(0)(2)(3)()xxYxn

若令nkkzC2)1()(，nkkxD2)0()(，)()()0(2)1(kxkzEnk，22)1())((nkkzF，则参数ba,的表达式为2)1()1(CFnEnCDa 2)1(CFnCEDFb 白化微分方程bkazkx)()()1()0( 取1001xx，得时间响应函数

代入公式(1)ˆ(1)xk(1)((0))akbbxeaa 得到生成序列(1)ˆ(1)xk及模型还原值(0)ˆ(1)xk (0)ˆ

()xk

)1(ˆ)(ˆ)1(1)1(

1kxkx

应用生成序列进模型预测、用模型还原值进行检验。

5.1.2模型计算： 设原始灰色序列为85年到09年的年末存栏量，经过下列计算得到预测方程式如下：

(1)ˆ

(1)xk

(1)((0))akbbxeaa

=0123.0/34215 2334215/0.0133139.60123.0ke 5

表1 2002-2005年GM（1，1）灰色系统预测值与实际值比较 年份 预测值 实际值 残差q 相对误差ξ 1(%) 2005 2006 44025 44571 43319 41850 706.3 2720.7 0.0163 0.0650 2007 45124 43990 1134.1 0.0258 2008 45683 46264 581.1 0.0126 2009 46249 48205 19556 0.0406

由上述表格利用相对误差计算得知相对平均误差为3.51%，平均误差低于5%，误差率不大，通过检验。

通过以上预测模型，我们预测出2010年的年末存栏量是47403头。 具体程序见附录一。

第二问：

5.2、模型的建立与求解 5.2.1、模型的建立 1985年取消生猪派购、放开肉类市场、实行多渠道经营以后,生猪市场就始终处于周期性波动状态。生猪价格的大起大落导致了养殖效益的跌宕起伏，也对居民生活影响重大。2007年5月以来,国内猪肉价格出现大幅上涨并达到历史最高点。由于生猪的生产过程必须经过繁育母猪、产仔、育肥3个阶段才能完成一次循环，这个过程至少要用一年半的时间，所以由供求关系可知猪肉价格会呈现出周期为3至4年的波动状况。而在每一年中由于节日前后，尤其是春节前后是猪肉需求旺季，而平时为猪肉需求淡季，所以猪肉价格在短时间内也会出现波动，虽然每次波动的幅度和持续时间不尽相同，但还是有一定周期性。 我们用由参数未定的一系列三角函数的和组成的函数来模拟猪肉价格的走 势，并通过最小二乘法确定模拟函数的各项参数。

5.2.2、模型的计算 模拟函数为:

01sincossinNnnnftpawtantbnt



式中0p为初始价格， sinawt表示价格在大的时间范围内波动，可取波动周期为4 年，即52×4=208 周（2/208w）， 1cossinNnnnantbt表示由于各种扰动引起的波动，如前所述的节日与非节日对猪肉的需求量的差异， 还有各种其他繁多且细碎的影响因素，所以用傅里叶级数来模拟是合适的。 根据已有数据利用最小二乘法可确定上式中各参数的值，利用最后求解出的模拟函数对猪肉价格走势进行模拟。当N 较大时预测数据有不少毛刺，所以我们对预测数据进行平滑处理，即再取预测点的走势曲线为最终的预测曲线。已知数据为07-07-25 到09-06-17，所以要预测2010 年猪肉价格走势，以07-07-25