自考概率论与数理统计基础知识

一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析：

题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下：

由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。

7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的

连续点，则存在，且。 12. 均匀分布、指数分布 P42（二级重点）选择、填空、计算题记住它们的概率密度，能够根据所给的密度函数识别它们。

13. 正态分布和一般正态分布的标准化 P44-P46（一级重点）选择、填空记住性质和公式：标准正态分布函数的性质：① ；② 概率的计算

（重点）：。

③ 14. 随机变量函数的概率分布 P50-P54（三级重点）选择、填空在连续型随机变量函数的概率分布中，要记住用直接变换法求“非单调性”随机变量函数的概率密度的方法。第三章多维随机变量及其概率分布 15. 二维离散型随机变量联合分布律和边缘分布律 P62-P64（一级重点）选择、填空、计算题对于联合分布律，记住所有概率和为1.求概率时，找到满足条件的随机点，再把对应的概率相加即可。要记住边缘分布律的求法。通过分布律会判断X,Y是否相互独立。 16. 二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度 P66-P69（一级重点）选择、填空、计算、综合；已知概率密度会求在平面区域内取值的概率，记住公式：练掌握连续型随机变量的边缘概率密度函数的求法，并能判断X,Y是否相互独立（考查的重点）。 17．二维随机变量的独立性 P73（一级重点）选择、填空、计算题考生要记住二维离散型的随机变量和二维连续型的随机变量独立性的判断。其一：与有=；其二：设为二维连续型随机变量，其概率密度为，关于与的边缘概率密度分别为和，则与相互独立的充要条件为：=。其三：一个结论

若二维随机变量服从二维正态分布，与相互独立的充要条件是。 18. 二维均匀分布、二维正态分布 P68-P71（三级重点）计算题、综合题记住这两种分布的概率密度函数，还有以下结论若二维随机变量服从二维正态分布，则随机变量与分别服从正态分布。

19. 两个随机变量函数的分布 P80-P91（三级重点）填空题记住结论并能灵活运用设相互独立，且，得。

推广：个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，

即。第四章随机变量的数字特征20. 随机变量数学期望的概念、性质与计算 P86-P94（一级重点）选择、填空、计算题首先要十分熟练的掌握数学期望的概念与性质，数学期望的性质在选择填空题中经常考到，然后要熟悉离散型和连续型随机变量及随机变量函数的数学期望的计算公式。考生一定要结合历年考试真题认真练习，做到心中有数。 21. 随机变量的方差的概念、性质及计算 P96-P103（一级重点）选择、填空、计算熟悉方差的性质和计算公式，一般用“内方减外方”来计算方差，即。在方差的性质中，要注意：常数的方差为零，所以D(X+C)=D(X)；当X,Y相互独立时，才，此时特别的。 22. 常见分布的数字特征 P104（一级重点）选择、填空、计算题提醒各位考生，书上104页的那张表所包含的内容经常考到，是考试需要重点记忆的表格之一。不仅要记清各种分布的数学期望与方差，还要记清各自的概率分布与密度函数。表格熟记在心，能够灵活运用期望与方差的性质，基本上就能轻松拿下10-20分。 23. 协方差和相关系数 P105-

P107（一级重点）选择、填空、计算题要熟悉协方差的性质与计算公式性质：；，其中为任意常数；若，则；；。计算：，。另外，要掌握相关系数的计算公式，还要知道相关系数的含义：两个随机变量的相关系数是两个随机变量间线性联系密切程度的度量，越接近1，与之间的线性关系越密切。当时，与存在完全的线性关系，即；时，之间无线性关系，此时称X,Y不相关。随机变量与不相关的充分必要条件是。注意：①若随即变量与相互独立，则，因此与不相关，反之，随机变量与不相关，但与不一定相互独立。②若二维随机变量服从二维正态分布，

与，从而与不相关的充要条件是与相互独立，因此与不相关和与相互独立都等价于。以上两点在选择题中经常出现。第五章大数定律及中心极限定理 24. 切比雪夫不等式 P116（二级重点）选择、填空记住切比雪夫不等式的两种形式。它是用来估算概率的。 25. 大数定律 P116-P119（二级重点）选择、填空考生要记住相应的公式和含义。 26. 独立同分布序列的中心极限定理 P120（二级重点）选择、填空牢记：是独立同分布随机变量序列，渐进服从正态分布。当。分大时，独立同分布的随机变量的平均值的分布近似于正态分布 27. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 P122（三级重点）填空题主要结论：在贝努利试验中，若事件发生的概率为，又设为次独立重复试验中事件发生的频数，则当充分大时，近似服从正态分布。第六章统计量与抽样分布 28. 样本均值、样本方差

P133-P134（一级重点）选择、填空要清楚样本均值、样本方差、样本标准差的计算公式。另外，要牢记结论设总体的样本，为样本均值：①若总体分布为，则的精确分布为；

②若总体分布未知（或不是正态分布），且，则当样本容量较大时，的渐近分布为，这里的渐近分布是指较大时的近似分布。 29. 三大抽样分布 P137-P141（一级重点）选择、填空记住三大分布的定义，熟悉它们的结构，无需记忆概率密度函数。牢记重要结论：；等。偏重考查卡方分布的定义式。第七章参数估计 30. 单个正态总体均值和方差的置信区间 P156-P162（一级重点）填空、应用题书上162页的表的前3行内容常考，记住各种情况下的置信区间。做题时，只要将已知条件往相应的置信区间中代入求值即可。 31. 参数的矩法估计 P145（二级重点）填空题、计算题①用样本均值去估计总体的均值，则从解出的即为，称为的矩法估计量。②用样本二阶中心矩估计总体方差，即。（用的少）。 32．参数的极大似然估计 P147（二级重点）填空、计算考生要记住极大似然估计的方法与步骤：①写出似然函数并化简②两边取对数；③令，求出的值即为的极大似然估计 33. 估计量的无偏性 P153（一级重点）选择题设是的一个估计，若，则称为的无偏估计，否则称为有偏估计。是的无偏估计，但不是的无偏估计。本知识点经常和数学期望的性质联合来考查。 34. 估计量的有效性和相合性 P152-P153（一级重点）选择、填空

（或）相合性：若是得一个估计量，若，，则称是的相合估计。有效性：设，若，是的两个无偏估计，则称比有效。其中有效性经常考。第八章假设检验 35. 假设检验的两类错误 P169（一级重点）填空熟记概念：①一类错误是：在成立的情况下，样本值落入了拒绝域中，因而被拒绝，称这种错误为第一类错误，又称为拒真错误。一般记犯第一次错误的概率为，也叫置信水平。②另一类错误是：在不成立的情况下，样本值未落入，因而被接受，称这种错误为第二类错误，又称为取伪错误。记犯第二类错误的概率为。③由此可知：，。两类错误的概率是关联的，当样本容量固定时，一类错误的概率的减少将导致另一类错误的概率的增加；要同时降低两类错误的概率，需要增大样本容量。 36. 单个正态总体的均值和方差的假设检验 P170-P181（一级重点）选择、填空、应用题要牢记教材181页表中u检验和t检验的前三行，以及分布对应的内容。这是教材中的第三个重要表格。做题时要熟记解题步骤，记住相应的统计量和拒绝域，那么剩下的就是计算了。双边检验考查的较多。第九章回归分析 37. 用最小二乘法估计回归模型中的未知参数 P187（一级重点）填空、计算题整个第九章线性回归，仅考这一个考点，记住以下几点其一：回归直线是描述与之间关系的经验公式，称为回归常数，称为回归系数。其二：求，的估计，时，自然直观的想法是对一切观测值与回归直线的偏离达到最小，故使得其三：回归直线的确定引进记号

达到最小的，，即为，。

则，。其四：散点的几何重心在回归直线上第一部分三角函数表三角函数表反三角函数表

第二部分极限极限数列极限：刘徽的“割圆术”，设有一个半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法之下，要计算其面积：方法：先做圆的内接正六边形，其面积记为，再做一内接正12边形，记其面积为再做一内接正24边形，记其面积为,如此逐次将变数加倍。。。得到数列，则当n无穷大时，有函数极限：常用的极

限公式

常用的几个公式

等比数列公式是等比数列, 当q<1时，等比数列的无穷项级数和为等差数列公式：或者：例设二维随机变量的分布函数为 , 求：（1）常数a, b, (2) 的概率

密度. 解：（1）由分布函数的性质知

从上面第二式得 , 从上面第三式得 , 再从上面第一式得 . 从而概率密度为

第三部分导数导数含义函数值的增长与自变量增长之比的极限。

重要的求导公

式 . ．．．．导数的四则运算若函数，都在点处可导，则有(ⅰ)；(ⅱ)；

(ⅲ)，．例题：解：（1）

(2) (3) （4）在概率中的应用主要是知道分布函数求密度函数，需要对分

布函数求导数。． 3 复合函数的求导链式法则两个可导函数复

合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量

的导数．在利用复合函数的求导法则解决求导问题时，应该注意以

下几点： (1)准确地把一个函数分解成几个比较简单的函数； (2)复合

函数求导后，必须把引进的中间变量换成原来的自变量．利用复合函

数的求导法则求导的步骤如下： (1)从外到里分层次，即把复合函数分

成几个简单的函数； (2)从左到右求导数，即把每一个简单函数对自身

的自变量的导数求出来； (3)利用链式求导法则，从左到右作连乘．例

题：解函数可分解为则由复合函数求导

法则有主要在第二章第四节里面用

第四部分原函数和不定积分原函数：已知有是一个定义在区间内的函数，如果存在着函数，使得对内任何一点或

那么函数就称为例如：在区间内的原函数。是在区间上的原函数。

不定积分内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不

定积分，记作，即。称为积分号，称为被积函数，称为

被积表达式，称为积分变量。基本积分公式由基本微分公式可得基本积分公式 1 (为常数)，○2

()，○3，○4， 5 ， 6，

7，○8，○9 0，， 1

11○12，， 13 . 这

些基本公式是求不定积分的基础，应熟记．求不定积分的方法一．第一

类换元法先看下例：回忆：令，定理1 （第一

类换元法）：这种方法称为凑微分法．（将

公式中的箭头作出动态效果）例1求下列不定积分 1、解

1 ，

2 令

令 = 2、由上面的解

题可发现，变量只是一个中间变量，在求不定积分的过程中，只是都要

换回到原来的积分变量。因此，在较熟练之后，可以采用不直接写出中间变

量的做法。例如：通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微

分形

式：

；；；；；

；；等

等．第二类换元法

2、分部积分法利用复合函数微分法则导出了换元积分法，它能解决许

多积分问题，但仍有许多类型的积分用换元法也不能计算，例如、、等等

本节我们用乘积的微分公式导出另一种重要的积分方法——分部积分法，可

以解决许多积分问题．设、是两个可微函数，由得．两边积分，可得即．．分部积分公式

二、特殊情况 1、用分部积分法计算．不过有时需要多次使用分部积分

法．例6

求．解

．小结： 1．对可微函数、，有分部积分公

式：．当容易求出，且比易于积分时．利用分部积分公

式易于计算． 2．要记住适合使用分部积分法的常见题型及凑微分d的

方式．如果被积函数是两类基本初等函数的乘积，使用分部积分法时进

入微分号的顺序一般为：指数函数，三角函数，幂函数，反三角函数，对数函数。第五部分定积分的基本性质定积分性质

性质1 ．这个性质可推广到有限多个函数的情形．性质2 （为常

数）．性质3 不论三点的相互位置如何，恒

有．这性质表明定积分对于积

分区间具有可加性．牛顿－莱布尼茨公式定理2 （牛顿(Newton)－

莱布尼茨(Leibniz)公式）如果函数是连续函数在区间的一个原函

数，则定积分的计算 1．定积分的分部积分

法设函数与均在区间上有连续的导数，由微分法则，可得．等

式两边同时在区间上积分，

有．定积分的分部积分公式，

例5 设在上连续，证明： (1) 若为奇函数，则(2) 若为偶函数，则

小结： 1．定积分换元积分定

理：；．．

注意：换元必换限，下限对下限，上限对上限 2．定积

分分部积分法：设函数与均在区间上有连续的导数，则有 (1) 若为

奇函数，则(2) 若． 3．对称区间上的积

分：设在上连续，则有；．广义

积分 1．设在积分区间上连续，定

义，

．变上限的积分如果在区间上连续，

则有．例一设随机变量的概率密度为

求的分布函数解当时, 当时

当时, 当时, 即的分布函数为

例二设连续型随机变量的分布函数为

求（1）的概率密度；（2）落在区间的概率解（1）（2）有

两种解法：或者, 例三设某种型号电子元件的寿命（以小时计）具有以下的概率密度

现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立）,问（1）任取1只,其

寿命大于1500小时的概率是多少？（2）任取4只,4只元件中恰有2

只元件的寿命大于1500的概率是多少？（3）任取4只,4只元件中至少有1只元件的寿命大于1500的概率是多少？解（1）. （2）各元件工作相互独立,可看作4重贝努利试验,观察各元件的寿命是否

大于1500小时. 令表示4个元件中寿命大于1500小时的元件个数,则～,所

求概率为 . (3)

所求概率为第六部分偏导数求法 1．偏导数的定

义设函数z = f (x, y)在点P(x , y)的某邻域有定义，函数z在点P(x , y)处对变量x 导数和对变量y的偏导数分别定义为 = = 更多元的函数可以类似地定义偏导数． 2．偏导数的计算对

一个自变量求偏导数时，只要把其它的自变量都当常数就行了．因此，一元

函数的求导公式与导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数． 3．高

阶偏导数对函数z = f(x, y)的偏导数再求偏导数就得到高阶偏导数，例

如 = ； =； = ；=．其中、称为混合偏导数．类

似地可以定义更高阶的偏导数．注意：1、更多元的函数可以类似地定义偏

导数． 2、计算法：对一个自变量求偏导时，只要把其他自变量都当常数就行时，把看作常量，而对求导数；

时，把看作常量，而对求导数。例1求在点处的偏导

数。 , 解法1：则

解法2：，则主要用于第三章的二维随机变量的

分布函数的求导例一设(X, Y)的概率密度为

求：关于X 及关于Y的边缘概率密度, 并判断X与Y是否相互独立. 解：

关于X的边缘概率密度当时, . 当或

时 , 所以同理当时,, 所

以X与Y不独立第七部分二重积分的性质由于二重

积分的定义与定积分的定义是类似的，因而二重积分有与定积分类似的性

质，叙述于下（假定所出现的二重积分均存在）：性质1 被积函

数的常系数因子可以提到积分号外，即 (k为常数)．特

别，令 f (x, y)≡1，则有．（D 性质2 函数和

（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），

即．性质3 如果区域D可以划分为D1与

D2，其中D1与D2除边界外无公共点，则 =＋．例 1

设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在[0, 1]服从均匀分布, Y的概率

密度为求: (1) (X, Y)的概率密度；

(2) ; (3) 解: (1)由已知X与Y相互独立, (X, Y) 例2 设的概率密度为求的分布函数. 解: 由定义5

知当x>0, y>0时

当时, 例3 设X的概率密度为

求解：

例4 设（X,Y）服从在D上的均匀分布,其中D为x轴, y轴及x+y=1所围成，求D(X D(X) = 解: 二、二重积分的计算按照二重积分的定义计算二重积分，只对少数特

别简单的被积函数和积分区域是可行的，对一般的函数和区域，这种“和式的极限”是无法直接计算的．下面我们介绍将二重积分转化为两次定积分来计算的方法，这是计算二重积分的一种行之有效的方法． 1．X—型区域上二重积分的计算设D是平面有界闭区域，若穿过D的内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点（如图示3），则称D为X—型区域．由图可知，此时区域D可以用不等式表示为

D：．图在区间[a，b]上任取一点x，过点x作与x轴垂直的直线，它与D相交于两

点，，axb．因此

经过以上两步计算，相当于在区域上累加了一

遍。．（1）由此可见，二重积分可以化为两次定积分来计算．第一次对变量y 积分，将x当作常数，积分区间是区域D的下边界的点到对应的上边界的点．第二次对x积分，它的积分限是常数．这种先对一个变量积分，再对另一个变量积分的方法，称为累次(或二次)积分法．公式（1）是先对y后对

x的累次积分公式，通常简记

为． 2．Y—型区域上二重积分的计算设D是平面有界闭区域，若穿过D的内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点（如图示4），则称D为Y—型区域．由图可知，此时区域D可以用不等式表示为 D：．图4 利用与前面相同的方法，可得先对x后对y的累次积分公式：

通常简记

为．（2）．（3） 3．一般区域上二重积分的计算如果区域D不属于上述两种类型，则二重积分不能直接利用公式(1)、(3)来计算．这时可以考虑将区域D划分成若干个小区域，使每个小区域或是X—型区域、或是Y—型区域．在每个小区域上单独算出相应的二重积分，然后利用二重积分对区域的可加性即可得所求的二重积分值．例1 计算二重积分其中D 是直线y＝1, x＝2, 及y＝x 所围的闭区域。解法1. 将D看作X–型区域, 则，过作直线平行于边界为，则

为，

解法2. 将D看作Y–型区域, 则，过作直线平行于轴，交区域左

边界为为，

则

，其中D为矩形域D：

例2 0y1．解采用先y后x的积分次序，则

1x2 ．注意：例2中的二重积分若采用先x后y的积分次序，则，函数xe先对x积分时需要用分部积分法来计算，这将使计算工作量增加（请读者自己完成，作一比较）．由此可见，计算二重积分要根被积函数选择适当的积分次

序．例3 ，其中D是由抛物线y = x和直线

x2 成的闭区域．解：易求抛物线y2 = x和直线y = x2的交点为（1，-1）和（4，2）积分区域如图示5所示．D看作Y–型区域, 采用先x后y的积分次序，则将区域D表示为 D：

y2xy+2，－1y2．故有

图．注意本例若D看作X–型区域，采用先y后x的积分次序，由于区域D的下边界曲线需要用分段函数表示：当x∈[0，1]时，；当x∈[1，4]时，．，将D划分为D1、

D2两个部分区域(如图6)，其中

D1：；． D2：由此可利用

二重积分的区域可加性计算此积

分：．图6 将D1、D2的表示式代入上式化为两个累次积分后可计算出积分结果．显然，这次序比较麻烦．例4 设D是由y = x2, y =－x和 x = 1所围成的闭区域，将二重积分I =种次序）．解区域D如图示7所示．（1）将D看作Y–型区域, 先x后y: D应表为D = D1∪D2，其中 D1：； D2

故

（两．

（2）将D看作X–型区域, 先y后x： D应表为：－xyx2，0x1．故．图

图7b 例5 ，其中D是由直线y = x, y = 1与y轴围成的闭区域．解积分区域D如图示7．我们选取先x后y 的积分次序．将D表示为： D：0xy，0y1．故有

图注意：若先对y积分后对x ，由于函数对变量y的原函数不能表为初等函数，，第一步的积分将无法计算．小结： 1．X—型区域：设区域D：．则． 2．Y—型区域：设区域D：ψ1(y) x ψ2(y), cyd．则有