各种多属性决策方法

f2 x1
x4
x*
x5
x3 x6
x0
x2
f1 图1 理想解和负理想解示意图
2、TOPSIS 的算法步骤
(1 ) 用向量规范化的方法求
得规范决策矩阵 。
设多属性决策问题的决
理想解x*是一个方案集X中并不存在的虚拟的最佳方案， 它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好的值；而负理 想解x0则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵 中该属性最差的值。在n维空间中，将方案集X中的各备选 方案xi与理想解x*和负理想解x0的距离进行比较，既靠近理 想解又远离负理想解的方案就是方案集X中的最佳方案；并 可以据此排定方案集X中各备选方案的优先序。TOPSIS法的 思路可以用下图来说明。
各种多属性决策方法
路漫漫其悠远
少壮不努力，老大徒悲伤
例1学校扩建问题。设某地区现有6所学校，由于无法完 全容纳该地区适龄儿童，需要扩建其中的一所。在扩建 时既要满足学生就近入学的要求，又要使扩建的费用尽 可能小。(至于所扩建学校的教学质量我们稍后再考 虑。)经过调研，获得如下表所示的决策矩阵。
学校序号 1 2 3 4 5 6
zij=yij/yjmax
(1)
采用上式进行数据预处理时，经过变换的最差属性值不一定为
0，最佳属性值为1。
若j为成本型属性，可以令
zij=1-yij/yjmax
(2)
经过(2)变换后的最佳属性值不一定为1，最差为0。成本型属
性也可以用下式进行变换：
zij’=yjmin/yij
(2’)
用式(2’)变换后的属性最差不一定为0,最佳为1,且是非线性变换。
zij
yijyj ym j axyj
(1.00M)M
(7)
其中，
y j
1 m
m i1
yij
是各方案属性j的均值，m为方案
个数，M的取值可在0.5-0.75之间。
６、专家打分数据的预处理
有时某些性能指标很难或根本不能用适当的统计数据来衡 量其优劣。通常要请若干个同行专家对被评价对象按指标打分。 再用各专家打分的平均值作为相应指标的属性并据此确定被评 价对象的优劣。
(2)无量纲化。多目标间的不可公度性，要求仅用数值的大 小来反映属性值的优劣。
(3)归一化。即把表中数均变换到[0,1]区间上。
数据处理的本质是要给出某个指标的属性值在决策人 评价方案优劣时的实际价值。
1、线性变换 Z若=j{为原zi效j}始,i益=的1型,…决属,m性策,j，=矩1则,…阵,为n。Y设={yyjmij}ax是, 变决策换矩后阵的第决j列策中矩的阵最记大值为。
为了改变无形中造成的各专家意见重要性不同的状况，使 各位专家的意见在评价中起同样的重要作用，应该把所有专家 的打分值规范到相同的分值区间[M0,M*]。M0和M*的选值不同 对评价结果并无影响，只要所有专家的打分值都规范到该区间 就行。具体算法为
zijM0(M*M0)yym jij axyym jm j inin (8)
y*j )
若y0j yij y*j 若y'j' yij y*j
(5)
0
其他
变换后的属性值zij与原属性值yij之间的函数图形为一般 梯形。
4、向量规范化
无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化均用下
式进行变换：
m
zij yij /
yij2
i1
(6)
这种变换也是线性的，但是它与前面介绍的几种变换不同，
费用/(万元) 60 50 44 36 44 30
平均就读距离/(km) 1.0 0.8 1.2 2.0 1.5 2.4
例2 研究生院评估。为了客观地评价我国研究生教育的实际状 况和各研究生院的教学质量，国务院学位委员会办公室组织过 一次研究生院的评估。为了取得经验，先选5所研究生院，收 集有关数据资料进行了试评估。下表中所给出的是为了介绍各 种数据预处理方法的需要而选的几种典型属性和经过调整了的 数据。
2、标准0-1变换
对于线性变换，属性值进行线性变换后，若属性j的最 优值为1，则最差值一般不为0;若最差值为0,最优值就往往 不为1。为了使每个属性变换后的最优值为1且最差值为0, 可以进行标准0-1变换。对效益型属性j,令
z ij
y ij
y
m j
in
y
m j
a
x
Baidu Nhomakorabea
y
m j
in
j为成本型属性时 ， 令
j 人均专著 生师比y2 科研经费 逾期毕业
i
y1/(本/人)
y3/(万元/年) 率y4/(%)
1
0.1
5
5000
4.7
2
0.2
7
4000
2.2
3
0.6
10
1260
3.0
4
0.3
4
3000
3.9
5
2.8
2
284
1.2
2 数据预处理
数据预处理又称属性值的规范化，主要有三个作用：
(1)属性值有多种类型。有的属性值越大越好。有的属性 值越小越好，有的属性值越接近于某个值越好。因此，需 要对决策矩阵中的数据进行预处理，使表中任一属性下性 能越优的方案变换后的属性值越大。
从变换后属性值的大小上无法分辨属性值的优劣。它的最 大特点是，规范化后，各方案的同一属性值的平方和为1， 因此常用于计算各方案与某种虚拟方案(如理想点或负理 想点)的欧式距离的场合。
5、原始数据的统计处理
有些时候某个目标的各方案属性值往往相差极大，
或者由于某种特殊原因只有某个方案特别突出。如果 按一般方法对这些数据进行预处理，该属性在评价中 的作用将被不适当地夸大。为此可以采用类似于评分 法的统计平均方法。方法之一是设定一个百分制平均 值M，将方案集X中各方案该属性的均值定位于M，再 用下式进行变换：
z ij
y
m j
a
x
y ij
y
m j
a
x
y
m j
in
(3) (4)
3、最优值为给定区间时的变换 设给定的最优属性区间为[yj0,yj*],yj’为无法容忍下限，
yj’’为无法容忍上限，则
1(y0j yij)/(y0j y'j) 若y'j yij y0j
1
zij
1(yij
y*j )/(y'j'
若选M0=0,M*=1，上式就与效益型属性的标准0-1变换式(3)相 同。
9.5 TOPSIS法
1、TOPSIS法的解题思路
TOPSIS 是 逼 近 理 想 解 的 排 序 方 法 (technique for order preference by similarity to ideal solution)，它借助多属性问题 的理想解和负理想解给方案集X中各方案排序。