2020年北京四中高考数学考前热身试卷(理科)(6月份)

2020年北京四中高考数学考前热身试卷（理科）（6月份）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．（5分）设集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x||x|≤1}，则集合A∩B＝（）A．（0，1]B．（0，1）C．（1，2）D．[1，2）

2．（5分）复数z满足z（1﹣i）＝2i，则复数z的实部与虚部之和为（）A．﹣2B．2C．1D．0

3．（5分）执行如图的程序框图，输出的S等于（）

A．B．C．D．

4．（5分）设a∈R，b＞0，则3a＞b是a＞log3b的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5．（5分）若变量x，y满足约束条件则z＝2x+y的最小值为（）A．B．C．3D．1

6．（5分）在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝6，若D点在斜边BC上，CD＝2DB，

则•的值为（）

A．48B．24C．12D．6

7．（5分）若点P（2，4）在直线（t为参数）上，则直线l的斜率为（）A．3B．2C．1D．﹣1

8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A 1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP＝x，则当x∈[1，5]时，函数y＝f（x）的值域为（）

A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]

二、填空题共6道小题，每小题5分，共30分

9．（5分）若等差数列{a n}满足，则a2019＝⋅

10．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为．

11．（5分）甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是．（用数字作答）

12．（5分）己知双曲线，则该双曲线离心率e＝，渐近线方程为．

13．（5分）在△ABC中，a＝3，，B＝2A，则cos A＝．

14．（5分）己知函数，若关于x的方程f（f（x））＝m恰有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2的取值范围为．

三、解答题共6道小题，共80分

15．（13分）已知向量＝（cos x，0），＝（0，sin x）．记函数f（x）＝（+）2+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值及取最小值时x的集合；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

16．（14分）如图，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝45°，AB＝AC＝2，M为线段AD的中点，点N满足＝2．

（Ⅰ）求证：直线PB∥平面MNC；

（Ⅱ）求证：平面MNC⊥平面PAD；

（Ⅲ）若平面PAB⊥平面PCD，求直线BP与平面PCD所成角的正弦值．

17．（13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：

根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：

学习时间t （分钟/天）t＜2020≤t＜

50

t≥50

等级一般爱好痴迷

（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；

（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；

（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差S2甲与S2乙的大小．（只需写出结论）

18．（13分）己知椭圆的一个顶点坐标为（2，0），离心率为，直线y＝x+m交椭圆于不同的两点A，B．

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）设点C（1，1），当△ABC的面积为1时，求实数m的值．

19．（14分）已知函数f（x）＝xlnx+2．

（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若函数y＝f（x）+ax在区间（e，+∞）上为单调函数，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）设函数，其中x＞0．证明：g（x）的图象在f（x）图象的下方．20．（13分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）满足：a k＜1（k＝1，2，…，n）．记A n 的前k项和为S k，并规定S0＝0．定义集合E n＝{k∈N*，k≤n|S k＞S j，j＝0，1，…，k ﹣1}．

（Ⅰ）对数列A5：﹣0.3，0.7，﹣0.1，0.9，0.1，求集合E5；

（Ⅱ）若集合E n＝{k1，k2，…，k m}（m＞1，k1＜k2＜…＜k m），证明：＜1（i ＝1，2，…，m﹣1）；

（Ⅲ）给定正整数C．对所有满足S n＞C的数列A n，求集合E n的元素个数的最小值．

2020年北京四中高考数学考前热身试卷（理科）（6月份）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．（5分）设集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x||x|≤1}，则集合A∩B＝（）A．（0，1]B．（0，1）C．（1，2）D．[1，2）

【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，

∴A∩B＝（0，1]．

故选：A．

2．（5分）复数z满足z（1﹣i）＝2i，则复数z的实部与虚部之和为（）A．﹣2B．2C．1D．0

【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）＝2i，∴z（1﹣i）（1+i）＝2i（1+i），

化为2z＝﹣2+2i，即z＝﹣1+i，

∴复数z的实部与虚部之和＝﹣1+1＝0．

故选：D．

3．（5分）执行如图的程序框图，输出的S等于（）