年大连市高等数学竞赛试题B答案
年大连市高等数学竞赛
试题B答案
Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
大连市第二十三届高等数学竞赛试卷
答案（B）
5小题，每小题210分）
1.
2. 30lim
x x
→= 1/2 . 3. 0lim x x x +
→= 1 .
4. 2
cos lim x
x t dt
x
→?= 1 .
5. 若22
1lim 2,2
x x ax b
x x →--=+-则(,)(4,5
).a b =-
二、（本题10分）设?????=≠=),0(1
),0(1sin
)(3
x x x
x x f 求)(x f '.
x
x 1
sin 3=为一初等函数，这时
11cos 1sin
3)(232x x x x x x f ??? ??-??? ??
+='（6分）
当0x =时，
由于00lim ()lim 1,1||
x x x f x x x ++→→==+
而00lim ()lim 1,1||
x x x f x x x --→→==-+ 所以0x =是跳跃间断点。（5分）
当1x =时，
由于11lim ()lim 1,1||
x x x f x x x →→==+
所以1x =是可去间断点。（7分）
当1x =-时，
而1
lim (),x f x →-=∞
所以1x =-是无穷间断点。（8分）
考生注意：考试时间 150 分钟试卷总分 100 分共四页第 1页
曲线)0
(
3
16
>
=x
x
y上哪一点处的法线在y轴上的截距最在)
,
(y
x处的法线方程为)
(x
X
k
y
Y-
=
-，
因为5
2x
y='，所以
5
2
1
x
k-
=，法线方程为)
(
2
1
5
x
X
x
y
Y-
-
=
-，（4分）
整理后为6
4
5
4
53
1
2
1
2
1
2
1
2
x
x
X
x
x
x
X
y
Y+
+
-
=
+
-
=，
法线在y轴上的截距为6
43
1
2
1
x
x
b+
=。（6分）
求此函数的极值：令0
=
'b，解得1
,1
2
1
-
=
=x
x（舍去）;（8分）
20
)1(
,
10
104
6
>
=
''
+
=''b
x
x
b,
故)1(b为极小值。由于驻点唯一，知它即是最小值，因此曲线在点?
?
?
?
?
3
1
,1处的法线在y轴上截距最小。（10分）
五、（本题6分）求x x y 44cos sin +=的n 阶导数.
x x x x
22222cos sin 2)cos (sin -+=
,24cos 1211x x x ?
?? ??--=（2分）
)2
4cos(44)4sin (410π
+=?-='x x y （3分）
)2
24cos(4π
?+=''x y （4分）
所以).2
4cos(41)(π
?+=-n x y n n （6分）
六、（本题10分）讨论方程ax x =ln （其中0>a ）有几个实根
),0(,ln +∞∈-x ax x ，则a x x f -=
'1)(，故a
x 1
=为)(x f 的驻点（20)(>'x f ，当a x 1>
时，0)(<'x f ，所以)1
(a
f 为最大值。（4分） 当0)1
(>a f 时，即01ln >--a ,即e
a 10<<时，由于
-∞=-∞=∞
→→+
)(lim ,)(lim 0x f x f x x ，
所以当e
a 10<<时，此时方程有两个根。（8分）
当0)1(=a f 时，即e
a 1=时，此时方程有一个根。（9分）