复习提纲-复变函数与积分变换word版本
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
【绝对有用】复变函数与积分变换复习提纲
cn 是 c
cn 为边界的区域全含于 D 内，则
c
f z dz f z dz,
k 1 ck
n
其中 c 与 ck 均取正向；
1
②
f z dz 0 ，其中 由 c 及 c
(k 1, 2,
n) 所组成的复合闭路。
4
3．闭路变形原理 ：
一个在区域 D 内的解析函数 f z 沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D 内作连续
y 之间的关系如下： x y 当 x 0, arg z arctan ； x
y 0, arg z arctan 当 x 0, y 0, arg z arctan
y x ； y x
4）三角表示： z z cos i sin ，其中 arg z ；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示： z z e ，其中 arg z 。
6 ．高阶导数公式：解析函数 f z 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为
f z 2 i n dz f z0 n 1 c (z z ) n! 0
(n 1, 2 )
其中 c 为 f z 的解析区域 D 内围绕 z 0 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于 D 。 7．重要结论：
bz
。
eiz eiz eiz eiz sin z cos z , cos z , t gz , ctgz 2i 2 cos z sin z
sin z, cos z 在 z 平面内解析，且 sin z cos z, cos z sin z
5
复变函数和积分变换_复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变与积分复习提纲
勒级数和罗朗级数(P117定理四)，注意在不同点展开后是 不一样的。收敛域的求法。
第五章：判别孤立奇点类型，计算留数以及三种特殊 类型的积分
例4 求积分方程
x(t ) e|t| x( )d e|t| 的解.
斯变换，以及理解用留数定理求拉普拉斯逆变换的方法 3. 掌握微分和积分方程的拉普拉斯解法 4. 熟记若干简单的函数的拉普拉斯变换(拉普拉斯逆变换)
12..设复复数数z=z-满(co足s 3ar+gi(szin+23))=的三，角a形rg式(z-是2)(= 5
)。 ,试求z.
3
6
3．下列区域为有界单连通区域的是( )
1. 理解傅立叶积分和傅立叶变换的概念 2. 灵活应用傅里叶变换的性质(4条)和卷积定理来求傅里叶变换 3. 掌握微分和积分方程的傅立叶解法 4. 熟记若干简单的函和积分方程
1. 理解拉普拉斯变换的概念 2. 灵活应用拉普拉斯变换的性质(5条)和卷积定理来求拉普拉
f
(t)
tet
,
t
0
0, t 0.
例2 求函数f (t) cos t sin t的Fourier变换。
例3 已知 f (t) tu(t)et sin(0t), 0
证明 ℱ(f(t))＝
1
2
[(
1
j
)
*
(
(
0
)
(
0
))]
1. 复变函数积分的概念(理解，掌握积分路径与积分值的关系) 2. 灵活应用柯西古萨基本定理，复合闭路定理，柯西积分公式，
复变函数与积分变换讲义详细讲课文档
3.指数形式与三角形式
利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin,
可以将z表示成三角表示式: zr(co issin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z rei (rz,Arzg)
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
pp
1 )z 1 2 2 i; 2 )z sin ic o s . 55
建立和发展。
复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术
第五页，共21页。
中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，
热学弹性理论中平面问题的有力工具。
复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复
数领域的推广和发展。
第六页，共21页。
第一讲 复数的代数运算及几何表示
教学重点：1.复习复数的基本概念 2.计算有关复数的典型题
数之间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.17451818)和R.Argand (法国.1768-1822） 将复数用平面 向量或点来表示，以及 K. F.Gauss(德国1777-1855)
与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 a ib
为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久 疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到
yy 12
x 2
i
xy 21 x2
x y 12
x 2
(z 2
0)
2
1
2
1
2
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3
复变函数与积分变换复习纲要
复变函数与积分变换复习要点1、将i + 和66622(cos sin )ii e i πππ+==+22366611(cos sin )222i i i e e i e πππππ−===−。
2、写出函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件。
答：充要条件为：u 和v 在D 内可导，且在D 内满足C-R 方程：, u v u v x y y x∂∂∂∂==−∂∂∂∂。
3、写出解析函数()f z u iv =+的一阶导数公式。
答：(1)()u vf z i x x∂∂=+∂∂。
4、写出积分10()n C dzz z +−⎰的值。
答：当C 为包含0z 在内的正向简单闭曲线时，102,0()0, n C i n dzz z n π+=⎧=⎨−⎩⎰为其它整数；当C 不包含0z 在内时，100()n C dzz z +=−⎰。
5、写出复合闭路定理。
答：()f z 在多连通域D 内解析，C 是D 内的一条简单闭曲线，12,,,n C C C 为C 内部的n条互不包含也互不相交的简单闭曲线，且以12,,,,n C C C C 为边界的区域全含于D ，则有：12()0nC C C C f z dz −−−++++=⎰。
6、写出柯西积分公式和柯西积分的高阶导数公式。
答：柯西积分公式：001()()2Cf z f z dz iz z π=−⎰，其中C 为正向简单闭曲线，0z 在C 的内部，且()f z 在C 内和C 上处处解析。
高阶导数公式：()010!()()2()n n C n f z fz dz iz z π+=−⎰，其中C为正向简单闭曲线，0z 在C 的内部，且()f z 在C 内和C 上处处解析。
7、写出下列函数的泰勒展开式：1, , sin , cos , ln(1), (1)1z e z z z z zα++−。
答：01,(||1)1nn z z z +∞==<−∑；0,(||)!n z n z e z n +∞==<+∞∑；210(1)sin ,(||)(21)!n n n z z z n +∞+=−=<+∞+∑； 20(1)cos ,(||)(2)!n nn z z z n +∞=−=<+∞∑；1ln(1)(1),(||1)1n nn z z z n ++∞=+=−<+∑；(1),(||1)n nn z C z z αα+∞=+=<∑。
复变函数和积分变换考纲
复变函数和积分变换考纲
1.会求复数的三角表达式，幅角，模以及幅角主值的概念；
2.掌握复数的乘幂以、方根以及常用的复的初等函数；
3.判断函数解析的充要条件（柯西-黎曼定理）
4.会求复变函数的积分（一类是利用参数方程，还有一类是利用柯西-古萨定理，柯西积
分公式以及柯西积分的高阶导公式）.
5.已知调和函数u,如何求共轭调和函数v使其构成解析函数f.
6.求幂级数的收敛半径及和函数，利用间接法求常见函数的泰勒展开。
7.掌握Fourier变换，逆Fourier变换的定义，常见函数的Fourier变换以及利用Fourier变
换的性质求简单的Fourier变换；
8.掌握单位脉冲函数的性质及其Fourier变换
9.掌握Laplace变换，Laplace逆变换的定义，常见函数的Laplace变换以及Laplace变换
的性质.。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数第二章解析函数u （x, y ） iv （x, y ）可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
幕函数与根式函数3、对数函数1,（3）在单值解析分枝上：（In z ）'kz kiz ize e cosz2iz ize e sin z2i5、反三角函数（了解）掌握利用C-R 方程U x V y 掌握复变函数的导数:U y判别复变函数的可导性与解析性。
V xf'⑵匚UxiVxiU y VyU x iU yiVxn nr (cos i sin ) (cosni sinnn inr e单值函数1 i arg z2 k n nr ek =o 、 1、2、…、n-1)n 多值函数2、 指数函数：w e z e x(cos y i siny)性质：（1）单值.（2） 复平面上处处解析, (e z )'(3)以 2 i 为周期w Lnz lnz i(arg z2k ) lnz i2k（k=0、土 1、土 2 . ）性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析（3）周期性 （4）无界、复变数和复变函数U x, y 二、复变函数的极限与连续iv x, y极限 lim f (z)z z连续 lim f (z)f (z 0)z z、复变函数w f （z ） 1、 性质：（1 ）多值函数，（2） 除原点及负实轴处外解析4、三角函数:反正弦函数 wArc sin z丄L n(iz 、1 z 2) i反余弦函数 w Arccosz !Ln （z z 2 1）i性质与对数函数的性质相同。
s sLnz s[ln z| （2k arg z ） i]6、一般幂函数：z e e（k =o 、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1） 调和函数：2u （x, y ） 02） 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部） 有三种方法：a ）全微分法b ）利用C-R 方程 c）不定积分法第三章解析函数的积分一、 复变函数的积分| f z dz udx vdy i vdx udy 存在的条件。
复变函数与积分变换重点公式归纳39033
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+==二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00z f z f z z =→ 第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=ΛΛ1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zz e e =)'(（3）以i π2为周期3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln i z Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数和积分变换期末整理复习
当点 z 沿直线 z x iy0 ( x )趋于z0 时,有
f (z) z
f (z0 ) z0
1
x x
x0 x0
2
21
例4 研究 f (z) z Re z 的可导性.
当点 z 沿直线 z x0 iy ( y )趋于z0 时,有
f
(z) z
f (z0 ) z0
1
i(
y
0
y0 )
10
2)三角函数
定义 性质
sin z eiz eiz ,称为正弦函数 . 2i
cos z eiz eiz ,称为余弦函数 . 2
(1) sin z 是奇函数,cos z 是偶函数.
sin(z) sin z, cos(z) cos z.
(2) 正弦函数和余弦函数都 以 2π 为周期. sin(z 2) sin z, cos(z 2) cos z.
处解析,且
(ln z) 1 . z
15
4)幂函数
定义 设是任意复数 , 对于z 0, 用下列等式定义
z 的幂函数 : w z e Ln z (z 0).
当 是正实数时 , 补充规定 z 0 时, z 0.
性质 (1) 一般说来, z是一个无穷多值函数 . 当Ln z 取主值 ln z时, z e ln z称为幂函数 z 的主值;
设简单光滑曲线 C 的参数方程是
z z(t ) x(t ) iy(t ) (a t b)
则
C
f
( z )dz
b a
f [z(t )]
z(t )dt.
27
4. 积分的性质
设 f (z), g(z)沿曲线C连续.
(1) C f (z)dz C f (z)dz;
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复变函数与积分变换考试复习提纲
1，考试范围：复变70%，积分变换30%
2，题型：填空20%，选择20%，计算60%。
3，考试安排：18周周五上午9.55-11.30或者同周一上午9.55-11.30。
（工程类）待定
4，复习范围：首先，只考讲授过的内容，具体每章如下，复变部分：
一章，都是基本概念，所以复习范围比较抽象。
无具体要求，但是会有若干简单试题。
二章，连续，可导，解析，可微关系辨析；柯西黎曼条件，初等函数（主要是指数，对数，三角）的简单定义和简单性质。
三章，复变积分的三种算法，定义，柯西积分公式，牛顿莱布尼茨公式。
高阶导小节及其以后小节不考。
四章，简单复数列和复数项级数的收敛的判别；幂级数收敛半径的算法；泰勒级数的展开；洛朗级数的收敛判别。
五章，简单函数的奇点的找法，留数定理。
积分变换部分：
一章，4个常用的Fourier变换对；简单函数的Fourier变换的计算。
性质及其以后不考。
二章，若干个常用的Laplace变换对；简单函数的Laplace逆变换的计算；应用Laplace变换解简单的常微分方程。
其次，复习样题：以练习册为标准。
（考试时部分为原题）
P1,一，3,4；
P3，一，1,5；
P5，二；
P7，一，1，6，7，二；
P9，一，4,5，二；
P12，一，3,4,5，二；
P13，二，1,2,5,6；
P15，一，1，二，3,4,5；
P16，二；
P18，二，3，4（实际是4,5，印刷问题。
）
P19，一，二，1,2；
P21，二，1,2；
P22，二，1,2；
P26，一，二；
P29，一；
P31，二，2,3；
P32，一，1,2；。