数值分析 插值法

n 个零点.
依此类推，ϕ ( n+1) (t )在 (a, b)内至少有一个零点，记为
ξ ∈ ( a , b ) ，使
ϕ ( n +1) (ξ ) = f ( n +1) (ξ ) − (n + 1)! K ( x) = 0,
21
于是
f ( n +1) (ξ ) K ( x) = , ξ ∈ (a, b), 且依赖于 x. (n + 1)!
Ln ( x ) =
∑y
k =0
n
k
l k ( x ).
18
3.
插值余项与误差估计
若在 [ a , b] 上用 Ln (x) 近似 f (x ) ， 则其截断误差为
Rn ( x) = f ( x) − Ln ( x), 也称为插值多项式的余项 余项. 余项
(n) 定理2 定理2 设 f ( x) 在 [ a, b] 上连续， f ( n+1) ( x) 在 (a, b) 内
（点斜式）， （两点式），
L1 ( x ) =
xk +1 − x x − xk yk + yk +1 xk +1 − xk xk +1 − xk
由两点式看出， 1 ( x) 是由两个线性函数 L
lk ( x ) = x − xk +1 , xk − xk +1 lk +1 ( x ) = x − xk xk +1 − xk
k k
∑y
k =0
n
k
l k ( x ).
∑y
k =0
n
l (x j ) = y j
( j = 0,1, L , n).
称为拉格郎日（Lagrange)插值多项式 而线性插值与抛物线插值是 n=1 和 n=2 的特殊情形 若引入记号
ωn +1 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − xn ),
24
L1 ( x ) = y k +
y k +1 − y k ( x − xk ) xk +1 − xk
（点斜式），
例1 已知 sin 0.32 = 0.314567, sin 0.34 = 0.333487,
sin 0.36 = 0.352274, 用线性插值及抛物插值计算 sin 0.3367
22
当 n = 1 时，线性插值余项为
R1 ( x) = 1 1 f ′′(ξ )ω2 ( x ) = f ′′(ξ )( x − x0 )( x − x1 ), 2 2
ξ ∈ ( x0 , x1 ).
当 n = 2 时，抛物插值余项为
R2 ( x) = 1 f ′′′(ξ )( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ), 6
1, k = j; 显然它满足条件. l j ( xk ) = 0, k ≠ j. ( j , k = 0,1, L, n)
于是，满足条件的插值多项式 Ln(x)
Ln ( x ) =
可表示为
∑y
k =0
n
பைடு நூலகம்
k
l k ( x ).
16
由 lk (x) 的定义，知
Ln ( x j ) =
Ln ( x ) =
第 2 章
插 值 法
1
2.1 引
言
设函数 y = f (x) 在区间 [a, b]上有定义，且已知在点
a ≤ x0 < x1 < L < xn ≤ b上的值 y0 , y1 , L , y n ，若存在一简单
函数 P (x )， 使
P ( xi ) = yi (i = 0,1, L , n)
成立，就称 P (x )为 f (x)的插值函数 插值函数，点 x0 , x1 , L, x称为插 插值函数 插 n 值节点，包含节点的区间 [a, b]称为插值区间 插值区间，求插值函数 值节点 插值区间
14
定义1 定义1 若 n 次多项式 L j ( x ) ( j = 0,1, L , n) 在 n + 1 个节点
x0 < x1 < L < xn 上满足条件
1, k = j; l j ( xk ) = ( j , k = 0,1, L , n) 0, k ≠ j.
就称这 n + 1 个 n次多项式 l0 ( x), l1 ( x), L , ln ( x) 为节点 x0 , x1 , L , xn 上的 n 次插值基函数. 次插值基函数
y1 − y0 = y+ (0.3367 − x0 ) x1 − x0
= 0.314567 + 0.01892 × 0.0167 0.02
= 0.330365.
26
其截断误差
R1 ( x ) ≤ M2 ( x − x0 )( x − x1 ) , 2
其中
M 2 = max f ′′( x ) = max − sin x = sin x1 ≤ 0.3335,
将它代入，
就得到余项表达式.
余项表达式只有在 f (x) 的高阶导数存在时才能应用. 但 ξ 在 (a, b)内的具体位置通常不可能给出， 如果可以求出 max f ( n +1) ( x) = M n +1 , 那么插值多项式 Ln (x) a < x <b 逼近 f (x) 的截断误差限是
Rn ( x) ≤ M n +1 ωn +1 ( x) . (n + 1)!
15
与前面的推导类似，n 次插值基函数为
( x − x0 ) L ( x − xk −1 )( x − xk +1 ) L ( x − xn ) lk ( x ) = ( xk − x0 ) L ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 ) L ( xk − xn )
( k = 0,1, L , n).
3
从几何上看，插值法就是确定曲线 y = P (x) ，使其通过 给定的 n + 1 个点 ( xi , yi ), i = 0,1, L, n ，并用它近似已知曲线
y = f (x) . 见图2-1.
图2-1
4
本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样 条插值函数； 讨论插值多项式 P ( x )的存在唯一性、收敛性及误差估计 等.
存在，节点 a ≤ x0 < x1 < L < xn ≤ b, Ln ( x) 是满足条件 的插值多项式，则对任何 x ∈ [ a, b] ，插值余项
f ( n +1 (ξ ) Rn ( x) = f ( x) − Ln ( x) = ω n +1 ( x), ( n + 1)!
ξ ∈ (a, b)
称 lk (x) 及 lk +1 ( x) 为线性插值基函数 图形见图2-3. 线性插值基函数， 线性插值基函数
12
图2-3
13
2.
n次插值多项式
根据插值的定义 Ln (x) 应满足
Ln ( x j ) = y j ( j = 0,1, L , n).
为构造 Ln (x)， 先定义 n 次插值基函数.
ξ ∈ ( x0 , x2 ).
23
根据定理2， 可得
f ( x) = x m , m = 0,1,L , n, 若令
∑x
k =0
n
m k k
l ( x) = x m ,
m = 0,1, L , n.
若取 m = 0 ，则
∑l
k =0
n
k
( x) = 1 .
它可用来检验函数组 {lk ( x ), k = 0,1, L , n}的正确性.
P (x ) 的方法称为插值法 插值法. 插值法
2
若 P (x ) 是次数不超过 n 的代数多项式， 即
P ( x ) = a0 + a1 x + L + an x n ,
其中 ai 为实数，就称 P ( x )为插值多项式 插值多项式，相应的插值法 插值多项式 称为多项式插值 多项式插值. 多项式插值 若 P ( x )为分段的多项式，就称为分段插值 分段插值. 分段插值 若 P ( x )为三角多项式 ，就称为三角插值 三角插值. 三角插值 本章只讨论多项式插值与分段插值.
x0 ≤ x ≤ x1 x0 ≤ x ≤ x1
于是
R1 (0.3367) = sin 0.3367 − L1 (0.3367)
1 ≤ × 0.3335 × 0.0167 × 0.0033 2
≤ 0.92 × 10 −5.
27
用抛物插值计算，由公式得
sin 0.3367 ≈ y0 ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x0 )( x − x2 ) + y1 ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) + y2 ( x − x0 )( x − x1 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
19
.
证明 由给定条件知 Rn (x) 在节点 xk (k = 0,1, L , n) 上为零，即 Rn ( xk ) = 0 (k = 0,1, L , n)， 于是
Rn ( x) = K ( x)( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − xn ) = K ( x)ω n +1 ( x),
9
yk = f ( xk ), yk +1 = f ( xk +1 ) ，
其几何意义就是通过两点( xk , yk ), ( xk +1 , yk +1 ) 的直线. 如图2-2.