《数值分析》第二讲插值法PPT课件
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数值分析2-3(牛顿插值法)差商和与牛顿插值
确定插值多项式的次数
根据已知数据点的数量确定插值多项式的最高次 数。
计算插值多项式
利用差商表，通过拉格朗日插值公式计算插值多 项式。
3
进行插值
将需要插值的x值代入插值多项式中，得到对应 的y值。
05
牛顿插值法的优缺点分析
优点
计算简单
局部性质好
相比于其他多项式插值方法，牛顿插 值法的计算过程相对简单，不需要求 解高阶方程，降低了计算的复杂度。
数值分析2-3：牛顿 插值法、差商和
目录
• 引言 • 牛顿插值法的基本概念 • 差商的计算方法 • 牛顿插值法的实现步骤 • 牛顿插值法的优缺点分析 • 实际应用案例 • 总结与展望
01
引言
主题简介
数值分析是数学的一个重要分支，主 要研究如何用数值方法解决各种数学 问题。
本章节将介绍牛顿插值法、差商和的 概念及其应用。
03
差商的计算方法
差商的递推公式
差商的递推公式
$f[x_0, x_1, ldots, x_n] = frac{f[x_1, ldots, x_n] - f[x_0, x_1, ldots, x_{n-1}]}{x_n - x_0}$
应用
通过递推公式，我们可以计算任意点之间的差商，从而得到插值多项式的导数。
在数据点附近，牛顿插值具有较好的 局部性质，能够提供较为准确的插值 结果。
适用性强
牛顿插值法适用于各种数据分布情况， 无论是线性还是非线性数据，都能得 到较好的插值结果。
缺点
全局误差较大
由于牛顿插值多项式的构造方式， 其全局误差通常较大，尤其是在 数据点较少的情况下。
对数据点敏感
如果数据点发生微小的变动，牛 顿插值多项式可能会发生较大的 变化，导致插值结果不稳定。
数值分析第二章 插值法
(j,k=0,1,…,n)
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
n1 ( x ) ( x xk ) n1 ' ( xk )
n
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 （2）k阶均差可重新写为：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x0
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
类似地称 2 f k f k 1 f k 为 xk 处的二阶差分. 一般地称 n f k n1 f k 1 n1 f k 为 xk 处的n阶差分.
• 均差与差分关系
• 牛顿前插公式
n f k (1) f nk j , j 0 j
求5、6月份的日照时间的变化规律。 • 多项式插值的存在唯一性
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子 日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.53), (31, 14.21),(61, 14.40)， 导出关于a0，a1，a2的线性方程组
a0 a1 a2 13.53 2 a0 31a1 (31) a2 14.21 2 a0 61a1 (61) a2 14.40
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
若x0,x1,…,xn 为等距节点，即xk=x0+kh (k=0,1,...,n) 时，可将牛顿插值公式简化
计算方法—插值法 (课堂PPT)
7
1 1
2 5
4 25
8 125
aa32
4
35
则，
解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2 即P3(x)=10+5x-10x2+2x3
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
.
2020/4/2
12
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
Chapter2 插值法
第二章 插 值 法
（ Interpolation） 2.1 引言
2.2 拉格朗日插值
2.3 均差与牛顿插值公式
Chapter2 插值法
2.4 埃尔米特插值
2.5 分段低次插值
2.6 三次样条插值
.
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1
2.1 引言
Chapter2 插值法
表示两个变量x,y内在关系一般由函数式 y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多 样的,有下面两种情况：
几何意义:L2(x)为过三点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)的抛物线。
方法：基函数法，构造基函数l0(x), l1(x), l2(x) (三个二次式)
使L2(x)= y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)满足插值条件。 6 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 48
.
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2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
问题的提法： 已知y=f(x)的函数表，x0, x1, x2为互异节
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
点，求一个次数不超过2的多项式 L2(x)=a0+a1x+a2x2 ：L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2
数值分析课件CH2_赖志柱201303
Numerical Analysis
2.2.1 Lagrange插值多项式
20
数值分析
Numerical Analysis
21
数值分析
Numerical Analysis
22
数值分析
Numerical Analysis
23
数值分析
Numerical Analysis
24
数值分析
Numerical Analysis
8
数值分析
Numerical Analysis
2.1.2 多项式插值
9
数值分析
Numerical Analysis
• 求插值函数 P( x) 的方法称为插值法，插值点在插 值区间内的叫内插值，否则称为外插值。
10
数值分析
Numerical Analysis
• 若 P( x) 为分段的多项式，就称为分段插值。 • 若 P( x) 为三角多项式，就称为三角插值。 • 若 P( x) 为有理分式(函数)，就称为有理插值。
• 为函数 f 在 xi 上的零阶均差(差商)，称
f [ xi , x j ]
f [ xi ] f [ x j ] xi x j
,(i j )
• 为 f 在 xi , x j 上的一阶均差(差商)，称
47
数值分析
Numerical Analysis
f [ xi , x j , xk ]
25
数值分析
Numerical Analysis
26
数值分析
Numerical Analysis
27
数值分析
Numerical Analysis
28
Ch2插值法
Ch2. 插值法§1. 插值问题引例 矿井中某处的瓦斯浓度y 与该处距地面的距离x 有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据(,)(0,1,2,,10)= i i x y i ，根据这些数据完成下列工作：(1)寻找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度；(2)估计井下600米处的瓦斯浓度。
第一个问题可归结为“已知函数在n x x x ,,,10⋅⋅⋅处的值，求函数在区间[]n x x ,0内其它点处的值”，这种问题适宜用插值方法解决。
但对第二个问题不宜用插值方法，因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。
解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下500处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系)(x f ，由)(x f 求井下600米处的瓦斯浓度。
定义 设)(x f y =在[]b a ,中1+n 个点n x x x <⋅⋅⋅<<10处的值)(i i x f y =为已知，现根据上述数据构造一个简单函数)(x p ，使i i y x p =)(，这种问题称为插值问题。
i x x p x f ),(),(,i i y x p =)(分别称为被插值函数、插值函数、插值节点和插值条件。
若)(x p 为多项式，则此问题称为多项式插值或代数插值。
定理1 在插值节点n x x x ,,,10⋅⋅⋅处，取给定值n y y y ,,,10⋅⋅⋅，且次数不高于n 的插值多项式是存在且唯一的。
证 令n n x a x a a x p +⋅⋅⋅++=10)(，则根据插值条件i i y x p =)(有下列等式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++==+⋅⋅⋅++=n n n n n n nn nn yx a x a a x p y x a x a a x p y x a x a a x p 10111101000100)()()( （关于i a 的1+n 阶线性方程组）， 其系数行列式是范德蒙（V andermonde ）行列式()011111100≠-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏≥>≥j i n j innnnn x xx x x x x x D 。
插值法概述PPT课件
则 Ln(x) yili(x) 即为
i0
拉格朗日(Lagrange) 插值多项式
若引入记号 n 1 ( x ) ( x x 0 )x (x 1 )x . .x n .)(
' n 1 ( x k ) （ x k x 0 ） .x . k . x k 1 ( ) x k ( x k 1 )x k . x . n ) ..
(3)
a0a1xna2xn2...anxnn yn
一般插值多项式的原理
令： 1
A
1
x0
x1
x0n x1n
1
xn
xnn
方程组的矩阵形式如下：
a 0
X
a
1
a
n
y0
Y
y
1
y
n
A Y X
( 4 )
n n1
由 于A (xi xj)0 i1 j0
所以方程组（4）有唯一解。
则 (x k ) 0 (k 0 ,1 ,2 ,.n )..
Lagrange插值余项与误差估计
注 R n ( x 意 ) f ( x ) L n ( 到 x ) K ( x ) n 1 ( x )
故 ( x k 有 ) 0( k 0 , 1 , 2 ,n . )且 .. ( x ) 0
插值引例
三、插值引例
实例1
标准正态分布函数 (x)
查
x0
1
2…
函
┇┇ ┇ ┇┇
数
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 … 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
表
┇┇ ┇ ┇┇
求(1.014)
实例2
插值引例
求机翼下轮廓线上一点的近似数值
i0
拉格朗日(Lagrange) 插值多项式
若引入记号 n 1 ( x ) ( x x 0 )x (x 1 )x . .x n .)(
' n 1 ( x k ) （ x k x 0 ） .x . k . x k 1 ( ) x k ( x k 1 )x k . x . n ) ..
(3)
a0a1xna2xn2...anxnn yn
一般插值多项式的原理
令： 1
A
1
x0
x1
x0n x1n
1
xn
xnn
方程组的矩阵形式如下：
a 0
X
a
1
a
n
y0
Y
y
1
y
n
A Y X
( 4 )
n n1
由 于A (xi xj)0 i1 j0
所以方程组（4）有唯一解。
则 (x k ) 0 (k 0 ,1 ,2 ,.n )..
Lagrange插值余项与误差估计
注 R n ( x 意 ) f ( x ) L n ( 到 x ) K ( x ) n 1 ( x )
故 ( x k 有 ) 0( k 0 , 1 , 2 ,n . )且 .. ( x ) 0
插值引例
三、插值引例
实例1
标准正态分布函数 (x)
查
x0
1
2…
函
┇┇ ┇ ┇┇
数
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 … 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
表
┇┇ ┇ ┇┇
求(1.014)
实例2
插值引例
求机翼下轮廓线上一点的近似数值
数值分析第2章插值法PPT课件
P(x) f(x) = y
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2.1 引言
2.1.1 插值问题
设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0,
1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的
值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一个次数不超过n的多项式
上页 1下1 页
或用直线的两点式表示为：
L1(x)y0x x0 x x11y1x x1 x x00.
记
l0(x)x x0 x x 1 1, l1(x)x x1 x x0 0.
l l 则 称 ： 0 ( x )叫 做 点 x 0的 一 次 插 值 基 函 数 1 ( x )为
点 x 1的 一 次 插 值 基 函 数
上页 下7 页
2.2 拉格朗日插值
2.2.1 基函数
考虑最简单、最基本的插值问题. 求n次插值多项式 l i(x) (i=0,1, …,n), 使其满足插值条件
Lagrange 法1736-1813
0, ji li(xj) 1, ji (j0,1, ,n ) 可知, 除 xi点外, 其余都是 li(x)的零点, 故可设 l i ( x ) A ( x x 0 ) (xx i 1)(xx i 1) ( x x n )
证 设所求的插值多项式为
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
(5-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
上页 下6 页
a0 a1x0 anx0n y0
a0
a1x1
上页 下2 页
2.1 引言
2.1.1 插值问题
设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0,
1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的
值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一个次数不超过n的多项式
上页 1下1 页
或用直线的两点式表示为：
L1(x)y0x x0 x x11y1x x1 x x00.
记
l0(x)x x0 x x 1 1, l1(x)x x1 x x0 0.
l l 则 称 ： 0 ( x )叫 做 点 x 0的 一 次 插 值 基 函 数 1 ( x )为
点 x 1的 一 次 插 值 基 函 数
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2.2 拉格朗日插值
2.2.1 基函数
考虑最简单、最基本的插值问题. 求n次插值多项式 l i(x) (i=0,1, …,n), 使其满足插值条件
Lagrange 法1736-1813
0, ji li(xj) 1, ji (j0,1, ,n ) 可知, 除 xi点外, 其余都是 li(x)的零点, 故可设 l i ( x ) A ( x x 0 ) (xx i 1)(xx i 1) ( x x n )
证 设所求的插值多项式为
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
(5-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
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a0 a1x0 anx0n y0
a0
a1x1
数值分析 第2章 插值PPT课件
1
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
§1 引 言
一、引例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
定理
对于给定的互异节点 x0 … xn, 满足 插值条件 P n(xi)yi,i0 ,...,n的 n 阶插值 多项式Pn(x)存在且唯一。
插值多项式的构造：
插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的 多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。
如何构造插值函数才能达到预期的效果呢？
15
一般插值多项式的构造方法
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温.
这就是本章要讨论的“插值问题”
3
问题驱动：汽车的刹车距离
司机驾驶汽车时需要根据车速估计汽车的刹 车距离以确保行车安全。
图2.1.1 某车型干燥路况刹车距离示意图
4
美国的某司机培训课程的有如下驾驶规则：正常的驾 驶条件下对车与车之间的距离的要求是每小时10英里的速 率可以允许一辆车的跟随距离。实现这一规则的简便方法 就是 “2秒法则”：这种方法不管车速为多少，后车司机 从前车经过某一标志开始默数“一千零一，一千零二”， 这样用英文读完就是两秒。如果你在默数完这句话前就到 了同一标志处，那么你的车和前面的车靠得太近了。
x0nan x1nan
y0 y1
（2.2.2）
1 a0 xna1 xnnan yn
13
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
§1 引 言
一、引例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
定理
对于给定的互异节点 x0 … xn, 满足 插值条件 P n(xi)yi,i0 ,...,n的 n 阶插值 多项式Pn(x)存在且唯一。
插值多项式的构造：
插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的 多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。
如何构造插值函数才能达到预期的效果呢？
15
一般插值多项式的构造方法
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温.
这就是本章要讨论的“插值问题”
3
问题驱动：汽车的刹车距离
司机驾驶汽车时需要根据车速估计汽车的刹 车距离以确保行车安全。
图2.1.1 某车型干燥路况刹车距离示意图
4
美国的某司机培训课程的有如下驾驶规则：正常的驾 驶条件下对车与车之间的距离的要求是每小时10英里的速 率可以允许一辆车的跟随距离。实现这一规则的简便方法 就是 “2秒法则”：这种方法不管车速为多少，后车司机 从前车经过某一标志开始默数“一千零一，一千零二”， 这样用英文读完就是两秒。如果你在默数完这句话前就到 了同一标志处，那么你的车和前面的车靠得太近了。
x0nan x1nan
y0 y1
（2.2.2）
1 a0 xna1 xnnan yn
13
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1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
l k 1 ( x k 1 ) 1 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 0 l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0
l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
的插值函数；
x0 , x1, ... , xn称为插值节点；
(xi, yi), i=1,2,… , n称为插值点；
[a，b]称为插值
区间
第二章：插值
§2.1 引言 1、插值的目的
数值分析
（1）通过插值找规律：
通过实验、观测等方式得到的数据寻求事物的发展规律。
y
yf(x)
y0 y1 yi
x
x 0 x 1
a0
a1x1 an
x1n
y1
(1)
a0 a1xn anxnn yn
既有 1 x0 x02 x0na0 y0
1 1
x1
xn
x12
xn2
xx1nnnaan1
y1 yn
数值分析
(2)
第二章：插值
数值分析
因为
1 x0 x02 x0n
1
x1
x12
x1n 0ij(nxj xi ) 0
xi
x n
第二章：插值
（2）通过插值求函数值
如 ysinx y
3
o
2
2
数值分析
p( x)
sinx x
2
第二章：插值
数值分析
1、插值的基本概念
设函数 yf在(x区)间 有定a,义b，且在已知点：
a x 0 x 1 上 的x 函n 数 值b 为： 如果存在一个简单函数 yp使(x)
y0, y1,, yn yi p(xi)
f (x) p( x) (xk1, yk1)
(xk , yk )
P(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)o
x
ykx xk k 1 1 x xk kx yk k 1 1 x yk k(xxk)
x k 1y k x ky k y k 1 x y k 1 x k y kx y kx k x k 1 x k
lk1(x)(x(k x 1 x xk k 1 1))x x ((k 1x kx )k)
第二章：插值
数值分析
令 P ( x ) l k 1 ( x ) y k 1 l k ( x ) y k l k 1 ( x ) y k 1
则 P ( x k 1 ) y k 1 ,P ( x k ) y k ,P ( x k 1 ) y k 1
i0,1,2, ,n
则称 p( x为) f的(插x)值函数；点
ax0 xnb
称为插值节点；包含插值称为插值法。
p( x) 可以是多项式、分段函数、三角函数等等.
第二章：插值
数值分析
2、插值多项式的存在唯一性
已知数表
x0 y0
x1 y1
xn yn
第二章：插值
xk1ykyk1xyk1xkykx xk1xk
xxk xxkk 11ykxx k1 xx kk yk1
其中记
lk(x)xxk xxkk 11 01,,
xxk xxk1
lk1(x)xx k1 xx kk 10 ,,
xxk xxk1
数值分析
第二章：插值
即
1, st ls(xt )0, st
第二章：插值
《数值分析》第二讲
数值分析
插值函数P(x)
插值与拟合 设f(x)为[a，b]上的函数，在互异点x0 , x1, ... , xn 处的函数值分
别为 y0 , y1 , … , yn , 构造的简单函数 P(x)，满足 P(xi)＝f(xi) ,
i＝0, 1, 2, …,n .
P(x)称为关于节点x0 , x1, ... , xn
令多项式 P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n 满足 P (x i)yi i 0 ,1 ,2 , ,n
即方程组 a0 a1 x0 an x0n y0
a0
a1
x1
an
x1n
y1
a0 a1xn an xnn yn
有唯一解
第二章：插值
a0 a1x0 anx0n y0
lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
o
lk1(x)(x(k x 1 x xk k 1 1))x x ((k 1x kx )k)
数值分析
(xk1, yk1) x
第二章：插值
数值分析
则 l k 1 ( x k 1 ) 1 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 0