2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十二) 函数模型及应用

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2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版课时达标检测(十六) 导数与函数的综合问题 Word版含解析

课时达标检测（十六）导数与函数的综合问题[一般难度题——全员必做]．(·全国卷Ⅱ)设函数()＝(－).()讨论()的单调性；()当≥时，()≤＋，求的取值范围．解：()′()＝(－－).令′()＝，得＝－－或＝－＋.当∈(－∞，－－)时，′()＜；当∈(－－，－＋)时，′()＞；当∈(－＋，＋∞)时，′()＜.所以()在(－∞，－－)，(－＋，＋∞)上单调递减，在(－－，－＋)上单调递增．()()＝(＋)(－).①当≥时，设函数()＝(－)，则′()＝－＜(＞)．因此()在[，＋∞)上单调递减，又()＝，故()≤，所以()＝(＋)()≤＋≤＋.②当＜＜时，设函数()＝－－，则′()＝－＞(＞)，所以()在[，＋∞)上单调递增，而()＝，故≥＋.当＜＜时，()＞(－)(＋)，(－)(＋)－－＝(－－－)，取＝，则∈()，(－)(＋)－－＝，故()＞＋.当≤时，取＝，则∈()，()＞(－)(＋)＝≥＋.综上，的取值范围是[，＋∞)．．(·沈阳监测)已知函数()＝ (>)，为自然对数的底数．()若过点(，())的切线斜率为，求实数的值；()当>时，求证()≥；()若在区间(，)上－<恒成立，求实数的取值范围．解：()由题意得′()＝，∴′()＝＝，∴＝.()证明：令()＝－＋()))(>)，则′()＝.令′()>，即>，解得>，令′()<，解得<<；∴()在()上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．∴()的最小值为()＝，∴()≥.()由题意可知<，化简得< ，又∈(，)，∴>).令()＝)，则′()＝－＋(),( ()，由()知，当∈(，)时，－＋>，∴′()>，即()在(，)上单调递增，∴()<()＝－.∴≥－.故实数的取值范围为[－，＋∞)．．(·海南校级联考)已知函数()＝＋，≠.()当＝时，求函数()的图象的切线斜率中的最大值；()若关于的方程()＝有解，求实数的取值范围．解：()函数()＝＋的定义域为(，＋∞)，′()＝－＋(>)．当＝时，′()＝－＋＝－＋≤，当且仅当＝时，等号成立．所以函数()的图象的切线斜率中的最大值为.()因为关于的方程()＝有解，令()＝()－＝＋－，则问题等价于函数()存在零点．′()＝－＋＝.当<时，′()<在(，＋∞)上恒成立，所以函数()在(，＋∞)上单调递减．因为()＝－>，(－)＝＋－＝－<－<，所以函数()存在零点．当>时，令′()＝，得＝′()，()随的变化情况如下表：所以＝－＋≥时，注意到()＝＋－>，所以函数()存在零点．综上，当<或≥时，关于的方程()＝有解．[中档难度题——学优生做]。

推荐学习K122018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十一) 函数与方程

课时达标检测（十一）函数与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的零点问题1．(2018·河北武邑中学基础训练)方程ln(x ＋1)－2x ＝0(x >0)的根存在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B 令f (x )＝ln(x ＋1)－2x ，则f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以函数f (x )的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.2．(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.3．(2018·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.4．关于x 的方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点，即方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是2.5．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 令2sin πx －x ＋1＝0，得2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为函数h (x )与g (x )的图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点共5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.对点练(二) 函数零点的应用问题1．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 52)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.2．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )x，f ′(x )＝0得x ＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：选D 作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a <b <c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 017，因此可得2<a ＋b ＋c <2 018，即a ＋b ＋c ∈(2，2 018)．故选D.4．(2018·孝感模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，14B.⎝⎛⎭⎫－14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤－14，12 解析：选C依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.5．(2018·广东七校联合体联考)若函数f (x )＝2x ＋a 2x －2a 的零点在区间(0,1)上，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选C 易知函数f (x )的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f (0)f (1)＝(1－2a )(2＋a 2－2a )<0，解得a >12.6．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0解析：选C 在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(图略)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝⎛⎭⎫12x >－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝⎛⎭⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0.7．(2018·龙岩质检)已知f (x )是奇函数，且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________．解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：－788．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)[大题综合练——迁移贯通]1．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，∴无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·德州模拟)已知函数f (x )＝－x 2－2x .g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3，∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. 3．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)． (1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，∴log 22x 1＋12x 2＋1<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)∵g (x )＝m ＋f (x )， ∴m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，∴log 213≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1≤log 235，故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤log 213，log 235.。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十六) 导数与函数的综合问题含解析-

课时达标检测（十六）导数与函数的综合问题[一般难度题——全员必做]1．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0，得x＝－1－2或x＝－1＋ 2.当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.①当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，则h′(x)＝－x e x＜0(x＞0)．因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，又h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.②当0＜a＜1时，设函数g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，故e x≥x＋1.当0＜x＜1时，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)＞ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－1 2，则x 0∈(0,1)，f (x 0)＞(1－x 0)(1＋x 0)2＝1≥ax 0＋1. 综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·沈阳监测)已知函数f (x )＝a ln x (a >0)，e 为自然对数的底数． (1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值； (2)当x >0时，求证f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x ； (3)若在区间(1，e)上e x a－e 1ax <0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝ax ，∴f ′(2)＝a2＝2，∴a ＝4.(2)证明：令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x －1＋1x (x >0)，则g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2.令g ′(x )>0，即a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2>0，解得x >1，令g ′(x )<0，解得0<x <1；∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (x )的最小值为g (1)＝0，∴f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x . (3)由题意可知e xa<e 1a x ，化简得x －1a <ln x ，又x ∈(1，e)，∴a >x －1ln x.令h (x )＝x －1ln x ，则h ′(x )＝ln x －1＋1x(ln x )2，由(2)知，当x ∈(1，e)时，ln x －1＋1x >0，∴h ′(x )>0，即h (x )在(1，e)上单调递增， ∴h (x )<h (e)＝e －1.∴a ≥e －1.故实数a 的取值范围为[e －1，＋∞)．3．(2018·海南校级联考)已知函数f (x )＝1x ＋k ln x ，k ≠0. (1)当k ＝2时，求函数f (x )的图象的切线斜率中的最大值； (2)若关于x 的方程f (x )＝k 有解，求实数k 的取值范围．解：(1)函数f (x )＝1x ＋k ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－1x2＋kx (x >0)．当k ＝2时，f ′(x )＝－1x 2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立．所以函数f (x )的图象的切线斜率中的最大值为1.(2)因为关于x 的方程f (x )＝k 有解，令g (x )＝f (x )－k ＝1x ＋k ln x －k ，则问题等价于函数g (x )存在零点．g ′(x )＝－1x 2＋k x ＝kx －1x 2.当k <0时，g ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为g (1)＝1－k >0，g (e1－1k )＝1e1－1k ＋k ⎝⎛⎭⎫1－1k －k ＝1e1－1k －1<1e－1<0，所以函数g (x )存在零点．当k >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1k .g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：极小值所以g ⎝⎛⎭⎫1k ＝k －k ＋k ln 1k ＝－k ln k 为函数g (x )的最小值，当g ⎝⎛⎭⎫1k >0，即0<k <1时，函数g (x )没有零点，当g ⎝⎛⎭⎫1k ≤0，即k ≥1时，注意到g (e)＝1e ＋k －k >0，所以函数g (x )存在零点．综上，当k <0或k ≥1时，关于x 的方程f (x )＝k 有解．[中档难度题——学优生做]1．(2018·广东珠海期末)已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a >0，设g (x )＝ln x ＋mx . (1)求a 的值； (2)对任意x 1>x 2>0，g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2<1恒成立，求实数m 的取值范围；(3)讨论方程g (x )＝f (x )＋ln(x ＋1)在[1，＋∞)上根的个数．解：(1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a.由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a >－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，f (x )在1－a 故由题意f (1－a )＝1－a ＝0，所以a ＝1. (2)由g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2<1知g (x 1)－x 1<g (x 2)－x 2对任意x 1>x 2>0恒成立，即h (x )＝g (x )－x ＝ln x －x ＋mx 在(0，＋∞)上为减函数．h ′(x )＝1x －1－m x 2≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以m ≥x －x 2在(0，＋∞)上恒成立，而(x －x 2)max ＝14，则m ≥14，即实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫14，＋∞. (3)由题意知方程可化为ln x ＋mx ＝x ，即m ＝x 2－x ln x (x ≥1)．设m (x )＝x 2－x ln x ，则m ′(x )＝2x －ln x －1(x ≥1)．设h (x )＝2x －ln x －1(x ≥1)，则h ′(x )＝2－1x >0，因此h (x )在[1，＋∞)上单调递增，h (x )min ＝h (1)＝1.所以m (x )＝x 2－x ln x 在[1，＋∞)上单调递增．因此当x ≥1时，m (x )≥m (1)＝1.所以当m ≥1时方程有一个根，当m <1时方程无根．2．(2017·广西陆川二模)已知函数f (x )＝ln x －mx ＋m . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，对任意的0<a <b ，求证：f (b )－f (a )b －a <1a (a ＋1).解：(1)f ′(x )＝1x －m ＝1－mx x ，x ∈(0，＋∞)，当m ≤0时，f ′(x )>0恒成立，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间；当m >0时，由f ′(x )＝1－mx x >0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1m ，由f ′(x )＝1－mx x <0，得x ∈⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞，此时f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1m ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞. 综上，当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m >0时，函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1m ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞. (2)由(1)知：当m ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝0，显然不符合题意；当m >0时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1m ＝ln 1m －1＋m ＝m －ln m －1，只需m －ln m －1≤0即可．令g (x )＝x －ln x －1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，x ∈(0，＋∞)， ∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (x )min ＝g (1)＝0.∴g (x )≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，也就是m －ln m －1≥0对m ∈(0，＋∞)恒成立，由m －ln m －1＝0，解得m ＝1.∴若f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，则m ＝1.(3)证明：f (b )－f (a )b －a ＝ln b －ln a ＋a －b b －a ＝ln b －ln a b －a －1＝ln b ab a－1·1a －1. 由(2)得f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，即ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取等号．又由0<a <b 得b a >1，∴0<ln b a <ba －1，即lnb aba －1<1. 则lnba b a －1·1a －1<1a －1＝1－a a ＝1－a 2a (1＋a )<1a (1＋a ). [较高难度题——学霸做]1．(2017·天津高考)设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f (x )＝2x 4＋3x 3－3x 2－6x ＋a 在区间(1,2)内有一个零点x 0，g (x )为f (x )的导函数．(1)求g (x )的单调区间；(2)设m ∈[1，x 0)∪(x 0,2]，函数h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )，求证：h (m )h (x 0)<0；(3)求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且p q ∈[1，x 0)∪(x 0,2]，满足⎪⎪⎪⎪p q －x 0≥1Aq 4. 解：(1)由f (x )＝2x 4＋3x 3－3x 2－6x ＋a ，可得g (x )＝f ′(x )＝8x 3＋9x 2－6x －6，进而可得g ′(x )＝24x 2＋18x －6.令g ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝14.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以g (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，⎝⎛⎭⎫14，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，14. (2)证明：由h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )，得h (m )＝g (m )(m －x 0)－f (m )， h (x 0)＝g (x 0)(m －x 0)－f (m )．令函数H 1(x )＝g (x )(x －x 0)－f (x )，则H 1′(x )＝g ′(x )(x －x 0)．由(1)知，当x ∈[1,2]时，g ′(x )>0，故当x ∈[1，x 0)时，H 1′(x )<0，H 1(x )单调递减；当x ∈(x 0,2]时，H 1′(x )>0，H 1(x )单调递增．因此，当x ∈[1，x 0)∪(x 0,2]时，H 1(x )>H 1(x 0)＝－f (x 0)＝0，可得H 1(m )>0，即h (m )>0. 令函数H 2(x )＝g (x 0)(x －x 0)－f (x )，则H 2′(x )＝g (x 0)－g (x )．由(1)知g (x )在[1,2]上单调递增，故当x ∈[1，x 0)时，H 2′(x )>0，H 2(x )单调递增；当x ∈(x 0,2]时，H 2′(x )<0，H 2(x )单调递减．因此，当x ∈[1，x 0)∪(x 0,2]时，H 2(x )<H 2(x 0)＝0，可得H 2(m )<0，即h (x 0)<0.所以h (m )h (x 0)<0. (3)证明：对于任意的正整数p ，q ，且pq ∈[1，x 0)∪(x 0,2]，令m ＝pq ，函数h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )．由(2)知，当m ∈[1，x 0)时，h (x )在区间(m ，x 0)内有零点；当m ∈(x 0,2]时，h (x )在区间(x 0，m )内有零点．所以h (x )在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为x 1，则h (x 1)＝g (x 1)⎝⎛⎭⎫p q －x 0－f ⎝⎛⎭⎫p q ＝0. 由(1)知g (x )在[1,2]上单调递增，故0<g (1)<g (x 1)<g (2)，于是⎪⎪⎪⎪p q －x 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫p q g (x 1)≥⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫p q g (2) ＝|2p 4＋3p 3q －3p 2q 2－6pq 3＋aq 4|g (2)q 4.因为当x ∈[1,2]时，g (x )>0，故f (x )在[1,2]上单调递增，所以f (x )在区间[1,2]上除x 0外没有其他的零点，而pq ≠x 0，故f ⎝⎛⎭⎫p q ≠0.又因为p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4＋3p 3q －3p 2q 2－6pq 3＋aq 4|是正整数，从而|2p 4＋3p 3q －3p 2q 2－6pq 3＋aq 4|≥1. 所以⎪⎪⎪⎪p q －x 0≥1g (2)q 4.所以只要取A ＝g (2)，就有⎪⎪⎪⎪p q －x 0≥1Aq4. 2．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32＋b －a 23. 当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab3＋1＝0，又a >0，故b ＝2a 29＋3a .因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)，故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值；当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的极值点是x 1，x 2.从而a >3. 因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2)证明：由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a.设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2.当t ∈⎝⎛⎭⎫362，＋∞时，g ′(t )>0，从而g (t )在⎝⎛⎭⎫362，＋∞上单调递增．因为a >3，所以a a >33，故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3.因此b 2>3a . (3)由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2＝4a 3－6ab 27－4ab 9＋2＝0.记f(x)，f′(x)所有极值之和为h(a)，因为f′(x)的极值为b－a 23＝－19a2＋3a，所以h(a)＝－19a 2＋3a，a>3.因为h′(a)＝－29a－3a2<0，于是h(a)在(3，＋∞)上单调递减．因为h(6)＝－72，于是h(a)≥h(6)，故a≤6. 因此a的取值范围为(3,6]．。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数江苏专版：课时

课时达标检测(十二）函数与方程[练基础小题——强化运算能力]1．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含 f (x )零点的区间是________．(填序号)①(0,1)；②(1,2)；③(2,4)；④(4，＋∞)．解析：因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．答案：③2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为________．解析：令F (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，G (x )＝cos x ，它们在同一坐标系下在区间[0,2π]上的图象如图，由两函数的交点知f (x )在区间[0,2π]上的零点个数为3.答案：33．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．解析：作出f (x )的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0.又m ＞0，解得m ＞3.答案：(3，＋∞)4．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )＜0，解得0＜a ＜3.答案：(0,3)5．(2018·天津六校联考)已知函数y ＝f (x )的图象是连续的曲线，且对应值如表：则函数y解析：依题意知f (2)＞0，f (3)＜0，f (4)＞0，f (5)＜0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．答案：3[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．设a 是方程2ln x －3＝－x 的解，则a 在的区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(3,4)；③(2,3)；④(1,2)．解析：令f (x )＝2ln x －3＋x ，则函数f (x )的零点即原方程的解，显然函数f (x )在 (0，＋∞)上递增，且f (1)＝－2＜0，f (2)＝2ln 2－1＝ln 4－1＞0，所以函数f (x )在(1,2)上有零点，即a 在区间(1,2)内．答案：④2．(2017·南京二模)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2 018x＋log 2 018x ，则函数f (x )的零点个数是________．解析：作出函数y ＝2 018x 和y ＝－log 2 018x 的图象如图所示，可知函数f (x )＝2 018x ＋log 2 018x 在x ∈(0，＋∞)上存在一个零点，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )在x ∈(－∞，0)上有且仅有一个零点，又f (0)＝0，∴函数f (x )的零点个数是3.答案：33．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有________个．解析：因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有4个．答案：44．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为________．解析：由已知条件得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x ＜0，分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的草图，观察发现有2个交点，则函数y ＝f (x )－g (x )有2个零点．答案：25．(2018·如皋四校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0，f (x ＋1)，x ＜0，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0，f (x ＋1)，x ＜0的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得当函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 的图象有两个交点，即当方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，有a ＜1.答案：(－∞，1)6．(2018·湖南衡阳模拟)函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图1所示，函数g (x )的定义域为[－2,2]，图象如图2所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝________.解析：由题图可知，若f (g (x ))＝0，则g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1.由题图2知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；g (x )＝0时，x 的值有3个；g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－32或f (x )＝32或f (x )＝0.由题图1知，使f (x )＝32与f (x )＝－32的x取值各有2个；f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7.由此可得m ＋n ＝14.答案：147．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1＜x ＜2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．解析：要求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1.∴g (x )的零点为1＋2，1. 答案：1＋2，18．(2018·河北衡水二中检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m有零点的实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，作出h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，2x ＋x ，x ＞0的图象，如图所示，观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)9．(2018·湖北优质高中联考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：题设可转化为两个函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在[－4,6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x ＝1对称，所以两个函数在x ＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x ＝1两侧分别有5个交点，所以f (x )的所有零点之和为5×2＝10.答案：1010．(2017·南通、泰州、扬州三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥a ，x 3－3x ，x ＜a .若函数g (x )＝2f (x )－ax 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：由题知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ，x ≥a ，2x 3－(6＋a )x ，x ＜a ，显然，当a ＝2时，g (x )有无穷多个零点，不符合题意；当x ≥a 时，令g (x )＝0，得x ＝0，当x ＜a 时，令g (x )＝0，得x ＝0或x 2＝6＋a2，①若a ＞0且a ≠2，则g (x )在[a ，＋∞)上无零点，在(－∞，a )上存在零点x ＝0和x ＝－6＋a2，所以6＋a2≥a ，解得0＜a ＜2； ②若a ＝0，则g (x )在[0，＋∞)上存在零点x ＝0，在(－∞，0)上存在零点x ＝－62，符合题意；③若a ＜0，则g (x )在[a ，＋∞)上存在零点x ＝0，所以g (x )在(－∞，a )上只有1个零点，因为0∈ /(－∞，a )，所以g (x )在(－∞，a )上的零点为x ＝－6＋a2，所以－6＋a 2＜a ，解得－32＜a ＜0. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，2. 答案：⎝⎛⎭⎫－32，2 二、解答题11．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1＞0，∴f (2)≤0. 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32.而当m ＝－32时，f (x )＝0在[0,2]上有两解12和2，∴m ＜－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，0＜－m －12＜2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3＜m ＜1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3＜m ＜1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知实数m 的取值范围是(－∞，－1]．12．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式．(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋2x . 又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0. (2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点，作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1，故a 的取值范围为(－1,1)．。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(四) 函数及其表示

课时达标检测（四）函数及其表示[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的定义域1．(2018·吉林省实验中学模拟)下列函数中，与函数y ＝13x的定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xx C ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x 的定义域为{x |x ≠0}；y ＝1sin x的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }；y＝ln x x 的定义域为{x |x >0}；y ＝x e x 的定义域为R ；y ＝sin x x的定义域为{x |x ≠0}．故选D.2．(2018·河南南阳一中月考)函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg (x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,0)∪(0,1]B ．(－1,1]C ．(－4，－1]D ．(－4,0)∪(0,1]解析：选A 要使函数f (x )有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤1.故选A.3．(2018·山东枣庄期末)已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[1,3]解析：选A 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，8－2x≥0，解得0≤x ≤1.故选A. 4．(2018·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)解析：选B f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，其定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0的解集，解得－9<x <1，所以f [f (x )]的定义域为(－9,1)．故选B.5．函数y ＝ln(x 2－x －m )的定义域为R ，则m 的范围是________．解析：由条件知，x 2－x －m >0对x ∈R 恒成立，即Δ＝1＋4m <0，∴m <－14.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－14 对点练(二) 函数的表示方法1．设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的解析式为( )A.21＋xB.21＋x 2C.1－x 21＋x 2D.1－x 1＋x解析：选A 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，故选A.2．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x －1 解析：选B 令1x ＝t ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.3．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.答案：2x ＋74．(2018·洛阳质检)若函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则函数g (x )的解析式为________________．解析：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3, g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的解析式为g (x )＝2x －1.答案：g (x )＝2x －1对点练(三) 分段函数1．(2018·湖北襄阳四校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (2)＝( )A.12 B ．－12C ．－3D ．3解析：选D f (2)＝f (1)＋1＝f (0)＋2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2×0＋2＝1＋2＝3.故选D.2．(2017·山东高考)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.3．(2018·江西师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x <2，2x －2－1，x ≥2.若f (2－a )＝1，则f (a )＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝22－a －2－1＝1，解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2；当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－12，舍去．综上，f (a )＝－2.故选A.4．(2018·福建泉州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D 根据题意，当a >0时，f (a )－f (－a )>0，即a 2＋a －[－3(－a )]>0，∴a 2－2a >0，解得a >2；当a <0时，f (a )－f (－a )<0，即－3a －[(－a )2＋(－a )]<0，∴a 2＋2a >0，解得a <－2.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选D.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)[大题综合练——迁移贯通]1．(1)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋2x ＋1，求f (x )的解析式；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的解析式．解：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝12(t －1)，所以f (t )＝4⎣⎡⎦⎤12(t －1)2＋2×12(t －1)＋1＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.(2)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 以－x 代替x 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．2．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十) 函数的图象及其应用含解析-

课时达标检测（十）函数的图象及其应用[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的图象1．(2018·陕西汉中教学质量检测)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x sin x 的图象大致是( )解析：选D 令f (x )＝0可得x ＝±1，或x ＝k π(k ≠0，k ∈Z)，又f (－x )＝⎝⎛⎭⎫－x ＋1x sin(－x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x sin x ＝f (x )，即函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x sin x 是偶函数，且经过点(1,0)，(π，0)，(2π，0)，(3π，0)，…，故选D. 2．(2018·甘肃南裕固族自治县一中月考)已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝log 2|x |，则函数F (x )＝f (x )·g (x )的图象大致为( )解析：选B f (x )，g (x )均为偶函数，则F (x )也为偶函数，由此排除A ，D.当x >2时，－x 2＋2<0，log 2|x |>0，所以F (x )<0，排除C ，故选B.3．(2018·安徽蚌埠二中等四校联考)如图所示的图象对应的函数解析式可能是( )A ．y ＝2x －x 2－1B ．y ＝2x sin x4x ＋1C ．y ＝x ln xD ．y ＝(x 2－2x )e x解析：选D A 中，y ＝2x －x 2－1，当x 趋于－∞时，函数y ＝2x 的值趋于0，y ＝x 2＋1的值趋于＋∞，所以函数y ＝2x－x 2－1的值小于0，故A 中的函数不满足．B 中，y ＝sin x 是周期函数，所以函数y ＝2x sin x4x ＋1的图象是以x 轴为中心的波浪线，故B 中的函数不满足．C 中，函数y ＝xln x 的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，故C 中的函数不满足．D 中，y ＝x 2－2x ，当x <0或x >2时，y >0，当0<x <2时，y <0，且y ＝e x >0恒成立，所以y ＝(x 2－2x )e x 的图象在x 趋于＋∞时，y 趋于＋∞，故D 中的函数满足．4．(2018·昆明模拟)如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O ，O 1，O 2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B →C →A →D →B 的路线运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，记点P 运动的路程为x ，设y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象是( )解析：选A 当x ∈[0，π]时，y ＝1.当x ∈(π，2π)时， O 1P ―→＝O 2P ―→－O 2O 1―→，设O 2P ―→与O 2O 1―→的夹角为θ，因为|O 2P ―→|＝1，|O 2O 1―→|＝2，θ＝x －π，所以y ＝|O 1P ―→|2＝(O 2P ―→－O 2O 1―→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，x ∈(π，2π)，此时函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增，排除C ，D.当x ∈[2π，4π)时，因为O 1P ―→＝OP ―→－OO 1―→，设OP ―→，OO 1―→的夹角为α，因为|OP ―→|＝2，|OO 1―→|＝1，α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P ―→|2＝(OP ―→－OO 1―→)2＝5－4cos α＝5－4cos 12x ，x ∈[2π，4π)，此时函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.对点练(二) 函数图象的应用问题1．(2018·福建厦门双十中学期中)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，1e B ．(－∞， e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ D ．( e ，＋∞)解析：选B 原命题等价于在x <0时，f (x )与g (－x )的图象有交点，即方程e x －12－ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解，令m (x )＝e x －12－ln(－x ＋a )，显然m (x )在(－∞，0)上为增函数．当a >0时，只需m (0)＝e 0－12－ln a >0，解得0<a <e ；当a ≤0时，x 趋于－∞，m (x )<0，x 趋于a ，m (x )>0，即m (x )＝0在(－∞，a )上有解．综上，实数a 的取值范围是(－∞，e)．2．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1,1)对称，则实数a ＝________. 解析：函数f (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1(x ≠1)，当a ＝2时，f (x )＝2，函数f (x )的图象不关于点(1,1)对称，故a ≠2，其图象的对称中心为(1，a )，即a ＝1.答案：13．(2018·绵阳诊断)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图中实线所示．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.故当x ＝4时，f (x )取最大值，又f (4)＝6，所以f (x )的最大值为6.答案：62x －x 2，若直4．已知偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是________．解析：因为f (1－x )＝f (1＋x )．所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )是偶函数，所以f (x －1)＝f (1＋x )，即f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期为2的函数．由当x ∈[0,1]时，y ＝f (x )＝2x －x 2，得x 2－2x ＋y 2＝0(y ≥0)，即(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，画出函数f (x )的大致图象如图所示．若直线y ＝k (x ＋1)与曲线y ＝f (x )切于点A ，则|k －0＋k |k 2＋1＝1，得k ＝33；若直线y ＝k (x ＋1)与曲线y ＝f (x )切于点B ，则|3k －0＋k |k 2＋1＝1，得k ＝1515.因为直线kx－y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，所以根据图象易知1515<k <33.答案：⎝⎛⎭⎫1515，335．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析：由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－13，06.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．答案：{x |－1<x ≤1}[大题综合练——迁移贯通]1．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x －1，x ∈(0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 2．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R)，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．解：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4.f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，即方程f (x )＝a 只有一个实数根，所以a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．3．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R.(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0].。

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课时达标检测（一）集合[小题对点练——点点落实]对点练(一) 集合的概念与集合间的基本关系 1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( )A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A BD ．B A 解析：选D ∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，∴B A .⊆C |C {＝B ，}0≤3－x 2＋2x |N ∈x {＝A 已知集合)拟莱州一中模·(2018．2A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 B个子集，因此集合4＝22有，共}{0,1＝}1≤x ≤3－|N ∈x {＝}0≤1)－x 3)(＋x |(N ∈x {＝A C 选解析：中元素的个数为4，选C.3．(2018·广雅中学测)(是图n Ven 的关系}0＝x ＋2x |x {＝N 和}1,0,1－{＝M ，则正确表示集合R ＝U 若全集)试B.选，故M N ，所以}1,0,1－{＝M ，而}1,0－{＝}0＝x ＋2x |x {＝N 由题意知， B 选解析：．________为的值m ，则A ∈3若，}m ＋2m 2,2＋m {＝A ．已知集合4 ，3＝m ＋2m 2且3＝2＋m 时，1＝m ，当32＝－m 或1＝m ，则3＝m ＋2m 2或3＝2＋m 由题意得解析：.32＝－m ，故3＝m ＋2m 2则，12＝2＋m 时，32＝－m 根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当 32－答案：．________是的取值范围 b －a ，则实数B ⊆A ，若]b ，a [＝B ，}16≤x 2≤|4x {＝A ．已知集合5，所4≥b ，2≤a ，所以B ⊆A ，因为[2,4]＝}4≤x ≤|2x {＝}42≤x 2≤2|2x {＝}16≤x 2≤|4x {＝A 集合解析：以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]对点练(二) 集合的基本运算)(＝N ∪M ，则}0≤x |lg x {＝N ，}x ＝2x |x {＝M ．设集合1 A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，1] ．][0,1＝N ∪M ，}1≤x ＜0|x {＝}0≤x |lg x {＝N ，}{0,1＝}x ＝2x |x {＝M A 选解析： )(＝B ∩A ，则}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B ，}1,0,1－{＝A ．若集合2 A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{0，－1} ．}{0,1＝B ∩A ，所以}{0,1＝}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B 因为 C 选解析： )(＝B ∪)A U ∁(则，}3≤y ≤|1y {＝B ，}2≤x ≤|0x {＝A ，集合R ＝U 设全集)考中原名校联·(2018．3 A ．(2,3]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)．)∞，＋1[∪0)，∞－(＝B ∪)A U ∁(以，所}3≤y ≤|1y {＝B ，}<0x 或2>x |x {＝A U ∁因为 D 选解析： 4．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉)(＝Q －P ，那么}2|<1－x ||x {＝Q ，}<1x 2|log x {＝P ，如果}Q A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3} ．由}<3x |1<x {＝Q ，所以3<x 1<得，12|<－x |由；}<2x |0<x {＝P ，所以2<x 0<得，1<x 2log 由 B 选解析：题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．∪P ．若}0≤b ＋ax ＋2x |x {＝Q ，}2>0－y －2y |y {＝P 已知集合)考河北正定中学月·(2018．5Q ＝R ，且P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1 ，所以1,3]－[＝Q ，得](2,3＝Q ∩P 及R ＝Q ∪P ．由}1－<y 或2>y |y {＝}2>0－y －2y |y {＝P A 选解析：－a ＝－1＋3，b ＝－1×3，即a ＝－2，b ＝－3，a ＋b ＝－5，故选A.6．(2018·唐山统一考) (是，则图中阴影部分表示的集合}<1x |2x {＝B ，}6<0－x 5－2x |x {＝A ，集合R ＝U 若全集)试A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1} ＝B ，所以0<x ，解得1<x 2由．}<6x 1<－|x {＝A ，所以6<x 1<－，解得06<－x 5－2x 由 C 选解析： C.选，故}<6x ≤|0x {＝A ∩)B U ∁(以，所}0≥x |x {＝B U ∁，A ∩)B U ∁(为．又题图中阴影部分表示的集合}<0x |x { )(是的取值范围m ，则实数}>4x |x {＝B ∩A ．若}m ≥x |x {＝B ，}12>0－x －2x |x {＝A ．已知集合7 A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4] 解析：选B 集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.)(为}{1,4,7合，则集}0＝21＋x 8－2x |x {＝N ，}{2,3,5＝M ，集合}<8x |0<Z ∈x {＝U ．已知全集8 )N U ∁(∩M ．A)N ∩M (U ∁．B )N ∪M (U ∁．C N ∩)M U ∁(．D ＝N ∩M ，}{3,5＝}{1,3,4,5,7∩{2,3,5}＝)N U ∁(∩M ，}{2,6＝N ，}{1,2,3,4,5,6,7＝U 由已知得 C 选解析：选，}{6＝}{2,6∩{1,4,6,7}＝N ∩)M U ∁(，}{1,4,7＝)N ∪M (U ∁，}{2,3,5,6＝N ∪M ，},3,4,5,6,7{1＝)N ∩M (U ∁，}{2 C.[大题综合练——迁移贯通]．}R ∈m ，R ∈x ，0≤4－2m ＋mx 2－2x |x {＝B ，}0≤3－x 2－2x |x {＝A ．已知集合1 (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；的取值范围．m ，求实数B R ∁⊆A 若)(2 解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，2.＝m 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3.所以，}2＋m >x 或2－m <x |x {＝B R ∁(2) ，1－<2＋m 或32>－m ，所以B R ∁⊆A 因为即m >5或m <－3. 因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 2．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．，2－≤m 解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m≤1，1－m≥3，知B ⊆A 由)(2 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得，符合题意；∅＝B 时，13≥m ，即m －1≥m 2若① ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，2m≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m≤1时，需13＜m ，即m －1＜m 2若② .13＜m ≤0即，∅或13＜m ≤0得综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．．}>1x 2|log x {＝B ，}27≤x 3≤|3x {＝A 已知集合)考江西玉山一中月·(2018．3；A ∪)B R ∁(，B ∩A 分别求)(1 (2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．，33≤x 3≤13即，72≤x 3≤3∵(1)解： ∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}．，22>log x 2log 即，1>x 2log ∵ ∴x >2，∴B ＝{x |x >2}． ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}．B R∁∴，x|x{＝}2≤A)B R∁(∴＝∪≤．}3x|x{(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A.当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；当C为非空集合时，可得1<a≤3.综上所述，a≤3.实数a的取值范围是{a|a≤3}.。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件

课时达标检测（二）命题及其关系、充分条件与必要条件[小题对点练——点点落实]对点练(一) 命题及其关系1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：选C 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.4．(2018·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________．①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x<0时，x＋1x≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④5．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________________________________________________________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角对点练(二)充分条件与必要条件1．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.2．(2018·浙江名校联考)一次函数y＝－mn x＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A．m>1，且n<1 B．mn<0C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0解析：选B因为y＝－mn x＋1n的图象经过第一、三、四象限，故－mn>0，1n<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.3．(2018·河南豫北名校联盟精英对抗赛)设a，b∈R，则“log2a>log2b”是“2a－b>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A log2a>log2b⇔a>b>0,2a－b>1⇔a>b，所以“log2a>log2b”是“2a－b>1”的充分不必要条件．故选A.4．(2018·重庆第八中学调研)定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′，∴f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.5．(2018·山西怀仁一中期中)命题“∀x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a >4C ．a ≥1D ．a >1解析：选B x 2－a ≤0⇔a ≥x 2.因为x 2∈[1,4)，所以a ≥4.故a >4是已知命题的一个充分不必要条件．故选B.6．(2018·广东梅州质检)已知命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”，且綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0,1)解析：选B 命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”为真时，Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.∴綈p 为真命题时，a >4.又∵綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，∴(3m ＋1，＋∞)是(4，＋∞)的真子集，∴3m ＋1>4，解得m >1，故选B.7．(2018·福建闽侯二中期中)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)·x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎣⎡⎦⎤12，1[a ，a ＋1]．∴a ≤12.且a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12[大题综合练——迁移贯通]1．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围．(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2.(2)要满足A ∩B ＝∅，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4.当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则a ≤2或a ≥43，即a <0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)．。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(六十二) 参数方程

课时达标检测（六十二）参数方程1．(2018·河南息县第一高级中学段测)已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)．(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t ，得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t ，得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为2x －y ＋2＝0.(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝⎛⎭⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1.2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值．解：(1)O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.3．(2018·湖北宜昌模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．解：(1)将C 的参数方程化为普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1，极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.直线l ：y ＝x 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)．(2)圆心到直线的距离d ＝|－1＋2|2＝22，∴|MN |＝21－12＝2， ∴△CMN 的面积S ＝12×2×22＝12.4．(2018·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313.(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.5．(2018·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy 中，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)可得其普通方程为y ＝k (x －1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k 的直线．由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得其直角坐标方程为x 2＋y 2＋10x －6y ＋33＝0，整理得(x ＋5)2＋(y －3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．(2)因为圆心(－5,3)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|－6k －3|1＋k 2＝|6k ＋3|1＋k2，故|PQ |的最小值为|6k ＋3|1＋k2－1，故|6k ＋3|1＋k2－1＝2，得3k 2＋4k ＝0，解得k ＝0或k ＝－43.6．(2018·湖南岳阳模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋at ，y ＝1＋t (t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，当|BD |取到最小值时，求a 的值．解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，即ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程：x 2＋y 2＝6y ，配方为：x 2＋(y －3)2＝9，圆心C (0,3)，半径r ＝3.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋at ，y ＝1＋t (t 为参数)，消去参数t 可得：x －ay ＋a ＋1＝0.(2)由直线l 经过定点P (－1,1)，此点在圆的内部，因此当CP ⊥l 时，|BD |取到最小值，则k CP ·k l ＝1－3－1－0×k l ＝－1，解得k l ＝－12.∴1a ＝－12，解得a ＝－2.7．(2018·河南六市联考)在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点M 是曲线C 1上任意一点，点N 是曲线C 2上任意一点，求|MN |的取值范围．解：(1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x .(2)将曲线C 2的方程化为标准形式为(x －1)2＋y 2＝1，它表示圆心为C 2(1,0)，半径r ＝1的圆．由题意，|MN |max ＝|MC 2|max ＋r ，|MN |min ＝|MC 2|min －r .设M (4cos φ，3sin φ)．则|MC 2|2＝(4cos φ－1)2＋(3sin φ－0)2＝7cos 2φ－8cos φ＋10. 当cos φ＝47时，|MC 2|2min ＝547；当cos φ＝－1时，|MC 2|2max ＝25.∴|MN |max ＝|MC 2|max ＋r ＝6，|MN |min ＝|MC 2|min －r ＝3427－1， ∴|MN |∈⎣⎡⎦⎤3427－1，6. 8．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ，得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .(2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得sin 2α·t 2－8cos α·t －16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2α＝64＞0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α＜0，故1|AF |＋1|BF |＝1|t 1|＋1|t 2|＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝⎛⎭⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.。

2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版课件：第十二章第一节合情推理与演绎推理

n＋1 n＋1＋5 B. ＋＝2 n＋1－4 n＋1－4 n＋1 n＋5 D. ＋＝2 n＋1－4 n＋5－4
8－ 5 8－2 5 2 解析：各等式可化为＋＝2，＋＝2； 5－4 8－5－4 2－4 8－2－4 8－7 8－10 7 10 ＋＝2，＋＝2，可归纳得一般等 7－4 8－7－4 10－4 8－10－4 8－n n 式：＋＝2，故选 A. n－4 8－n－4
答案：A
类型三]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单 5.[考点一· 个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19 个蜂巢，按此规律，以 f(n)表示第 n 个图的蜂巢总数．
部分对象具有根据某类事物的_____
特点
某种特征，推出这类事物的全部 ____ 对象都具有这种特征的推理由两类对象具有某些类似特征和
整体、部分到____ 由____ 一般由个别 ____到_____
类比其中一类对象的某些已知特征，
推理推出另一类对象也具有这些特征
的推理
特殊特殊到_____ 由____
解析：a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想 an＝n2.
答案：n2
(2)由“半径为 R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为 R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是合情推理中的________推理．
答案：类比
(3)观察下列不等式： 1 1 1 1 1 1 ① <1；② ＋ < 2；③ ＋＋ < 3. 2 2 6 2 6 12 则第 5 个不等式为____________________________________．

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课时达标检测（十二）函数模型及应用[小题对点练——点点落实]对点练(一) 基本初等函数模型1．(2018·贵州遵义期中)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．7或8解析：选B 盈利总额为21n －9－⎣⎡⎦⎤2n ＋12×n (n －1)×3＝－32n 2＋412n －9.因为其对应的函数的图象的对称轴方程为n ＝416，所以当n ＝7时取最大值，即盈利总额达到最大值．故选B.2．(2018·湖北八校联考)有一组试验数据如表所示：A ．y ＝2x ＋1－1B ．y ＝x 2－1C ．y ＝2 log 2xD ．y ＝x 3解析：选B 由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C 不正确．取x ＝2.01，代入A 选项，得y ＝2x ＋1－1>4，代入B 选项，得y ＝x 2－1≈3，代入D 选项，得y ＝x 3>8；取x ＝3，代入A 选项，得y ＝2x ＋1－1＝15，代入B 选项，得y ＝x 2－1＝8，代入D 选项，得y ＝x 3＝27，故选B.3．(2018·德阳一诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p (单位：毫克/升)不断减少，已知p 与时间t (单位：小时)满足p (t )＝p 02－t30，其中p 0为t ＝0时的污染物数量．又测得当t ∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p (60)＝( )A ．150毫克/升B ．300毫克/升C ．150ln 2毫克/升D ．300ln 2毫克/升解析：选C 因为当t ∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝12p 0－p 030－0，所以p 0＝600ln 2，因为p (t )＝p 02－t 30，所以p (60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)． 4．(2018·开封质检)用长度为24的材料设计一场地，场地为矩形，且中间用该材料加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．12解析：选A 隔墙的长为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x－3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大．5．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v ＝5log 2q10(m/s)，其中q 表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________个单位．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________m/s.解析：由题意，燕子静止时v ＝0，即5log 2q 10＝0，解得q ＝10；当q ＝80时，v ＝5log 28010＝15(m/s)．答案：10 156．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)解析：设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，解得n ≥log 215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．答案：47．(2018·漳州模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，有以下结论：①当x >1时，甲走在最前面； ②当x >1时，乙走在最前面；③当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中正确结论的序号为________．解析：甲、乙、丙、丁的路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以①不正确；当x ＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，所以②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，所以③正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以⑤正确；结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，所以④正确．答案：③④⑤对点练(二) 两类特殊函数的模型1．(2018·嘉定模拟)某市环保研究所对市中心每天环境中放射性污染情况进行调查研究后发现，一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪xx 2＋1－a ＋2a＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈⎣⎡⎦⎤0，12.如果以每天f (x )的最大值为当天的环境综合放射性污染指数，并记为M (a )，若规定当M (a )≤2时为环境综合放射性污染指数不超标，则该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，14 B.⎣⎡⎦⎤0，49 C.⎣⎡⎦⎤14，49D.⎣⎡⎦⎤49，12解析：选B 设t ＝x x 2＋1，当x ≠0时，可得t ＝1x ＋1x∈⎝⎛⎦⎤0，12，当x ＝0时，t ＝0，因而f (x )＝g (t )＝|t －a |＋2a ＋23＝⎩⎨⎧ －t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12，从而有g (0)＝3a ＋23，g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋76，g (0)－g ⎝⎛⎭⎫12＝2⎝⎛⎭⎫a －14，因而M (a )＝⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12，0≤a ≤14，g (0)，14<a ≤12，即M (a )＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12，当0≤a ≤14时，M (a )<2，当14<a ≤49时，M (a )≤2，当49<a ≤12时，M (a )>2，所以该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，49. 2.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2，若要使S 最大，则y ＝________.解析：由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，S ＝(x －2)a ＋(x －3)×b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)×y －33＝1 808－3x －83 y ＝1 808－3x －83×1 800x ＝1 808－⎣⎡⎦⎤3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x ＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40时取等号，所以当S 取得最大值时，y ＝1 80040＝45. 答案：453．(2018·广西模拟)某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________h(车身长度不计)．解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆行驶了⎝⎛⎭⎫36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ≥12，当且仅当36v 400＝400v，即v ＝2003时取等号．故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.答案：124．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y 元，则y ＝k v 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v ，即v＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．答案：40[大题综合练——迁移贯通]1．(2018·江西抚州七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元到甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿、乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？解：(1)因为甲大棚投入50万元，所以乙大棚投入150万元．所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120－200＝77.5.(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120－200＝－14x ＋42x ＋50.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20，解得20≤x ≤180，所以f (x )＝－14x ＋42x ＋50(20≤x ≤180)．令t ＝x ∈[25，6 5 ]，则f (x )＝g (t )＝－14t 2＋42t ＋50＝－14(t －82)2＋82.所以当t ＝82，即x ＝128时，f (x )max ＝82.所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为82万元． 2．(2018·山东德州期中)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧x 225＋2，0<x ≤5，x ＋192x －2，x >5.当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂的质量为m ＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？ (2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解：(1)当m ＝5时，y ＝⎩⎨⎧x 25＋10，0<x ≤5，5x ＋952x －2，x >5.当0<x ≤5时，x 25＋10≥5，显然符合题意；当x >5时，由5x ＋952x －2≥5解得5<x ≤21.综上，0<x ≤21，所以自来水达到有效净化总共可持续21天．(2)y ＝mf (x )＝⎩⎨⎧mx 225＋2m ，0<x ≤5，m (x ＋19)2x －2，x >5.当0<x ≤5时，y ＝mx 225＋2m 在区间(0,5]上单调递增，所以2m <y ≤3m ；当x >5时，y ′＝－40m(2x －2)2<0，所以函数y ＝m (x ＋19)2x －2在(5,9]上单调递减，所以7m 4≤y <3m .综上可知7m4≤y ≤3m .为使5≤y ≤10恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧7m 4≥5，3m ≤10，解得207≤m ≤103，所以应该投放的药剂质量m 的最小值为207.3．(2018·珠海模拟)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14,40]时，曲线是函数y ＝log a (t －5)＋83(a >0，且a ≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳．(1)试求p ＝f (t )的函数关系式；(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．解：(1)当t ∈(0,14]时，设p ＝f (t )＝c (t －12)2＋82(c <0)，将点(14,81)代入得c ＝－14，∴当t ∈(0,14]时，p ＝f (t )＝－14(t －12)2＋82；当t ∈(14,40]时，将点(14,81)代入y ＝log a (t －5)＋83，得a ＝13.所以p ＝f (t )＝⎩⎨⎧－14(t －12)2＋82，t ∈(0，14]，log 13(t －5)＋83，t ∈(14，40].(2)当t ∈(0,14]时，－14(t －12)2＋82≥80，解得12－22≤t ≤12＋22，所以t ∈[12－22，14]；当t ∈(14,40]时，log 13(t －5)＋83≥80，解得5<t ≤32，所以t ∈(14,32]，综上t∈[12－22，32]，即老师在t∈[12－22，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．。