2.5 平面向量应用举例 课件(人教A必修4)
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高一数学(人教A版)必修4课件：2-5 平面向量应用举例
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4 第二章 2.5
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课堂典例讲练
第二章 2.5
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思路方法技巧
第二章 2.5
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4 第二章 2.5
[答案] B
第二章 2.5
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第二章 2.5
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建模应用引路
第二章 2.5
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人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例》优质课课件_2
3、功的定义即是F与所产生位移S的数量值
例1：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行 包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越 小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示 的是同个问题，抽象为数学模 型如下：
用向量F1，F2，表示两个提力， 它们的合向量为F，物体的重力 用向量G来表示， F1，F2的夹 角为θ，如右图所示，只要分清 F，G和θ三者的关系，就得到 了问题得数学解释！
把物理问题转化为数学模型为： （1）
B
解（1） v =
所以
- v1 2
2
v2
= 96
v1 v
t=
d
0.5
=
v
96
60 ~~ 3.1（min）
A v2 （2）
答：行驶的航程最短时，所用的时间
是3.1min。
答（：2）行t驶=的时vd1间最= 01短.05时，60所=用3的时（间mi是n）3min v1
F
F1
F2
θ
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道： G
F1
=
2cos
θ 2
（*）
F1
通过上面的式子，有：当θ由0º到180º逐渐变大
时，θ 由0º到90º逐渐变大， 变小2，因此 ：
cos
的2θ 值由大逐渐
F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！
探究：
F
F2
F2 θ
G
cos
θ 2
（1）θ为何值时， F1 最小，最小值是多少？
答：在（*）式中，当θ =0º时，cos
例1：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行 包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越 小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示 的是同个问题，抽象为数学模 型如下：
用向量F1，F2，表示两个提力， 它们的合向量为F，物体的重力 用向量G来表示， F1，F2的夹 角为θ，如右图所示，只要分清 F，G和θ三者的关系，就得到 了问题得数学解释！
把物理问题转化为数学模型为： （1）
B
解（1） v =
所以
- v1 2
2
v2
= 96
v1 v
t=
d
0.5
=
v
96
60 ~~ 3.1（min）
A v2 （2）
答：行驶的航程最短时，所用的时间
是3.1min。
答（：2）行t驶=的时vd1间最= 01短.05时，60所=用3的时（间mi是n）3min v1
F
F1
F2
θ
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道： G
F1
=
2cos
θ 2
（*）
F1
通过上面的式子，有：当θ由0º到180º逐渐变大
时，θ 由0º到90º逐渐变大， 变小2，因此 ：
cos
的2θ 值由大逐渐
F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！
探究：
F
F2
F2 θ
G
cos
θ 2
（1）θ为何值时， F1 最小，最小值是多少？
答：在（*）式中，当θ =0º时，cos
高中数学 2.5 平面向量应用举例课件 新人教A版必修4
解析：由(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，① 得(B→C＋B→A)·A→C－A→C2＝0， 所以A→C·(B→C＋B→A－A→C)＝0.② 所以A→C·(B→C＋B→A＋C→A)＝0.③ 即A→C·(B→C＋C→A＋B→A)＝0， 所以 2 A→C·B→A＝0.
所以A→C⊥B→A.
所以∠A＝90°.
第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例
1．能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实 际问题．(重点)
2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点) 3．掌握用向量方法解决实际问题的步骤．(易混点)
1．物理学中的量与向量的关系 (1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是 __向__量____． (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是 向量的__加__减___法．
(2)若A→B∥C→D，则直线 AB 与 CD 平行．( ) 提示：× A→B∥C→D⇒直线 AB 与 CD 重合或平行．
(3)向量A→B，C→D的夹角与直线 AB，CD 的夹角不相等．( ) 提示：× A→B、C→D的夹角可能与直线 AB、CD 的夹角相
等．
1．向量在平面几何中的应用 (1)把平面几何中的线段规定方向转化为向量，这样，有关 线段的长度即转化为向量的长度(模)、射线的夹角即转化为向 量的夹角，于是平面几何中的一此证明、计算就被向量的运算 取代，这给许多问题的解决带来了方便，就是说向量为我们研 究平面几何问题提供了一种新的思想，新的工具．
所以四边形 A1A2A3A4 是平行四边形．又因为(A→1A2－A→1A 4)·A→1A3＝A→4A2·A→1A3＝0，所以A→4A2⊥A→1A3.所以四边形 A1A2A3A4 是菱形．
答案：B
2017-2018学年人教A版必修4平面向量应用举例 课件(38张)
2.5 平面向量应用举例
2.5.1 2.5.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
教学目标
1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重 点) 2．学会用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)
基础知识 教材整理 1 平面几何中的向量方法 阅读教材 P109～P110 例 2 以上内容，完成下列问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
【解析】 (1)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有 可能是∠A 或∠C 为直角． → → (2)错误．向量AB∥CD时，直线 AB∥CD 或 AB 与 CD 重合．
【答案】 (1)× (2)×
教材整理 2 向量在物理中的应用 阅读教材 P111 例 3 至 P112 例 4 以上内容，完成下列问题． 力，速度，加速度，位移 等． 1．物理问题中常见的向量有_________________________
[再练一题] 1． 如图 2－5－2 所示， 若 D 是△ABC 内的一点， 且 AB2－AC2＝DB2－DC2， 求证：AD⊥BC．
图 2－5－2
【证明】
→ → → → → 设AB＝a，AC＝b，AD＝e，DB＝c，DC＝d，则
a＝e＋c，b＝e＋d， ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2 ＝c2＋2e· c－2e· d－d2. 由已知 a2－b2＝c2－d2， ∴c2＋2e· c－2e· d－d2＝c2－d2，即 e· (c－d)＝0. → → → ∵BC＝BD＋DC＝d－c， → → ∴AD·BC＝e· (d－c)＝0， → → ∴AD⊥BC，即 AD⊥BC．
力，速度，加速度，位移的合成与分解 ． 2．向量的加减法运算体现在____________________________________ 数乘 运算． 3．动量 mv 是向量的_______ 力F 与____________________ 所产生的位移s 4．功是_______ 的数量积．
2.5.1 2.5.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
教学目标
1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重 点) 2．学会用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)
基础知识 教材整理 1 平面几何中的向量方法 阅读教材 P109～P110 例 2 以上内容，完成下列问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
【解析】 (1)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有 可能是∠A 或∠C 为直角． → → (2)错误．向量AB∥CD时，直线 AB∥CD 或 AB 与 CD 重合．
【答案】 (1)× (2)×
教材整理 2 向量在物理中的应用 阅读教材 P111 例 3 至 P112 例 4 以上内容，完成下列问题． 力，速度，加速度，位移 等． 1．物理问题中常见的向量有_________________________
[再练一题] 1． 如图 2－5－2 所示， 若 D 是△ABC 内的一点， 且 AB2－AC2＝DB2－DC2， 求证：AD⊥BC．
图 2－5－2
【证明】
→ → → → → 设AB＝a，AC＝b，AD＝e，DB＝c，DC＝d，则
a＝e＋c，b＝e＋d， ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2 ＝c2＋2e· c－2e· d－d2. 由已知 a2－b2＝c2－d2， ∴c2＋2e· c－2e· d－d2＝c2－d2，即 e· (c－d)＝0. → → → ∵BC＝BD＋DC＝d－c， → → ∴AD·BC＝e· (d－c)＝0， → → ∴AD⊥BC，即 AD⊥BC．
力，速度，加速度，位移的合成与分解 ． 2．向量的加减法运算体现在____________________________________ 数乘 运算． 3．动量 mv 是向量的_______ 力F 与____________________ 所产生的位移s 4．功是_______ 的数量积．
人教A版数学必修四课件：第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/8
最新中小学教学课件
39
谢谢欣赏！
2019/7/8
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40
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
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理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
人教版必修4 数学2.5 平面向量应用举例 课件(34张)精选ppt课件
法二：以 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐 标系，
设 B(0,0)，C(2,0)，则 A(12， 23)，D(52， 23)． 设 E(m,0)，则B→D＝(52， 23)，A→E＝(m－12，－ 23)， 由 AE⊥BD，得A→E·B→D＝0， 即52(m－12)－ 23× 23＝0， 解得 m＝45，所以 BE∶EC＝45∶65＝2∶3.
2．在四边形 ABCD 中，若A→B＋C→D＝0，A→C·B→D＝0，则四边
形为( D )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
解析：由题意可知，A→B∥C→D，|A→B|＝|C→D|，且A→C⊥B→D，
∴四边形 ABCD 为菱形．
3．已知力 F＝(2,3)作用在一物体上，使物体从 A(2,0)移动到 B(－2,3)，则 F 对物体所做的功为____1____焦耳． 解析：由已知位移A→B＝(－4,3)，∴力 F 做的功为 W＝F·A→B＝
力 F4，则 F4 等于( D ) A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
解析：为使物体平衡，即合外力为零，即 4 个向量相加等于
零向量，所以 F4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3)) ＝(1,2)．
3．一只鹰正以与水平方向成 30°角的方向向下飞行，直扑 猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度
本部分内容讲解结束
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再见
2019/12/2
(2)证明：设D→C＝λA→B(λ＞0)， ∵P→Q＝A→Q－A→P＝A→B＋B→Q－A→P ＝A→B＋12(B→D－A→C) ＝A→B＋12[(A→D－A→B)－(A→D＋D→C)] ＝A→B＋12(C→D－A→B) ＝12(C→D＋A→B)＝12(－λ＋1)A→B， ∴P→Q∥A→B，又 P，Q，A，B 四点不共线，所以 PQ∥AB.
(vip免费)高一数学(人教A版)必修4课件：2-5 平面向量应用举例
[解析] 解法一：∵A→C＝A→B＋A→D，B→D＝A→D－A→B， ∴A→C·B→D＝(A→B＋A→D)·(A→D－A→B)＝|A→D|2－|A→B|2＝0. ∴A→C⊥B→D.∴AC⊥BD.
解法二：如图，以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平 面直角坐标系，则B(0,0)．
设A(a，b)，C(c,0)，则B→A＝(a，b)，B→C＝(c,0)．
→ OB
－
→ OA
)2＝
O→B2
＋O→A2－2O→A·O→B，
又∵|O→B|＝10，|O→A|＝14，
∴A→B2＝196＋100－2×10×14×cos60°＝156，
∴|A→B|＝2 39.
∴甲、乙两人此时之间的距离为2 39km.
[答案] 2 39km
课堂典例讲练
思路方法技巧 命题方向1 向量在平面几何中的应用
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
＝6，
所以|A→C|＝ 6，即AC＝ 6.
2．向量在物理中的应用 数学中对物理背景问题主要研究下面两类： (1)力向量 力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学 习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作 用点的情况下， 可用向量求和的平行四边形法则，求两个力 的合力 ．
高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例课件新人教A版必修4
∵D 为 AB 的中点， ∴Dn2，m2 ， ∴|C→D|＝12 n2＋m2， |A→B|＝ m2＋n2， ∴|C→D|＝12|A→B|，即 CD＝12AB.
(2)∵E 为 CD 的中点，∴En4，m4 ， 设 F(x，0)，则A→E＝n4，－34m， A→F＝(x，－m)． ∵A，E，F 三点共线，∴A→F＝λA→E. 即(x，－m)＝λn4，－34m.
3．已知两恒力 F1＝(3，4)、F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点 A(20， 15)移动到点 B(7，0)，求 F1、F2 分别对质点所做的功．
解析： 设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W＝F·s. A→B＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)． W1＝F1·A→B＝(3，4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)， W2＝F2·A→B＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
用向量方法解决平面几何问题的三个步骤
1．若向量O→F1＝(1，1)，O→F2＝(－3，－2)分别表示两个力 F1，F2，则|F1＋
F2|为( )
A．(5，0)
B．(－5，0)
C. 5
D．－ 5
解析： F1＋F2＝O→F1＋O→F2＝(1，1)＋(－3，－2) ＝(－2，－1)． |F1＋F2|＝ （－2）2＋（－1）2＝ 5. 答案： C
答案： D
3．已知力F＝(2，3)作用于一物体，使物体从A(2，0)移动到B(－2，3)， 则力F对物体所做的功是________．
解析： ∵A→B＝(－4，3)， ∴W＝F·s＝F·A→B＝(2，3)·(－4，3)＝－8＋9＝1. 答案： 1
教案·课堂探究
(2)∵E 为 CD 的中点，∴En4，m4 ， 设 F(x，0)，则A→E＝n4，－34m， A→F＝(x，－m)． ∵A，E，F 三点共线，∴A→F＝λA→E. 即(x，－m)＝λn4，－34m.
3．已知两恒力 F1＝(3，4)、F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点 A(20， 15)移动到点 B(7，0)，求 F1、F2 分别对质点所做的功．
解析： 设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W＝F·s. A→B＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)． W1＝F1·A→B＝(3，4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)， W2＝F2·A→B＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
用向量方法解决平面几何问题的三个步骤
1．若向量O→F1＝(1，1)，O→F2＝(－3，－2)分别表示两个力 F1，F2，则|F1＋
F2|为( )
A．(5，0)
B．(－5，0)
C. 5
D．－ 5
解析： F1＋F2＝O→F1＋O→F2＝(1，1)＋(－3，－2) ＝(－2，－1)． |F1＋F2|＝ （－2）2＋（－1）2＝ 5. 答案： C
答案： D
3．已知力F＝(2，3)作用于一物体，使物体从A(2，0)移动到B(－2，3)， 则力F对物体所做的功是________．
解析： ∵A→B＝(－4，3)， ∴W＝F·s＝F·A→B＝(2，3)·(－4，3)＝－8＋9＝1. 答案： 1
教案·课堂探究
2018_2019高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例课件新人教A版必修4ppt版本
夹角为 60°，则 F1 的大小为______N
(D )
A．5 3
B．10
C．5 2
D．5
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－1或2
互动探究学案
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命题方向1 ⇨向量在平面几何中的应用
典例 1
[证明] ∵A→C＝A→B＋A→D，B→D＝A→D－A→B， ∴A→C·B→D＝(A→B＋A→D)·(A→D－A→B)＝|A→D|2－|A→B|2＝0． ∴A→C⊥B→D.∴AC⊥BD．
[解析] 如图，B 为原点，BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，设 A(0,2)， C(2,0)，则 D(1,0)，A→C＝(2，－2)．
设A→F＝λA→C，
2 a×a×cos则4B→F＝5B→A＋°A→F＝＋ (0,2)＋(2λ，－2λ)＝2(2λ，2－a2λ)．×(1 － 又D→A＝(－1,2)，B→F⊥D→A，∴B→F·D→A＝0， ∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝23．
1．四边形 ABCD 中，若A→B＝12D→C，则四边形 ABCD 是
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．梯形
[解析] ∵A→B＝12D→C， ∴AB∥DC 且 AB≠DC， 应为梯形．
( D)
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A
3．已知两个力 F1，F2 的夹角为 90°，它们合力大小等于 10N，合力与 F1 的
解析] (1)如图由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝c|oGs|θ，|F2| ＝|G|tanθ． 当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大． (2)由(1)，得|F1|＝c|oGs|θ． 由|F1|≤2|G|，得cosθ≥12． 又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°．
人教版2017高中数学(必修四)2.5 平面向量应用举例 PPT课件
理学中力(速度)的合成与分解，夹角及做功问题．
试一试：教材P113A组T4你会吗？
1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”
2．向量在物理学中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与 合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，即为力 F 与位移 s 的数量积， 即 W＝ F· s＝ |F||s|cos θ(θ 为 F 与 s 的夹角)．
1． 判断下列说法是否正确 (正确的打“√”， 错误的打“×” ) (1) 求力 F1 和 F2 的合力可按 照向量加法 的平行四边 形法 则．( √ ) → → (2)若△ ABC 为直角三角形，则有AB· BC＝ 0.( × ) → → (3)若向量AB∥CD ，则 AB∥ CD.( × )
解析：(1)正确．物理中的力既有大小又有方向，所以力可以 看作向量，F1， F2 的合力可按照向量加法的平行四边形法则 求解． (2)错误．因为△ ABC 为直角三角形，∠ B 并不一定是直角， 有可能是∠A 或∠C 为直角． → → (3)错误．向量AB∥ CD 时，直线 AB∥ CD 或 AB，CD 重合．
向量在几何中的应用
(1)如图，在▱ ABCD 中， E， F 在对角线 BD 上，且 BE 平行四边形 ． ＝ FD，则四边形 AECF 的形状是_____________
(2)设 P， Q 分别是梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的中点， 试用向量证明：PQ∥AB.
[解析]
→ → → → → → (1)由已知可设AB＝DC＝a， BE＝FD ＝b， 故AE＝AB
2．向量在物理中应用时要注意的三个问题 (1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽 象成数学模型． (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象． (3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题 的相关知识： ①力、速度、加速度和位移都是向量； ②力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法; ③动量 mv 是数乘向量； ④功是力 F 与在力 F 的作用下物体所产生的位移 s 的数量积．
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型解释和回答相关的物理现象．
[通一类] 2．三个力F1、F2、F3同时作用于O点且处于平衡状态，已 知F1与F3的夹角为120°，又|F1|＝|F2|＝20 N，则|F3|＝ ________. 解析：由F1＋F2＋F3＝0知F1＋F3＝－F2，
∴|F1|2＋|F3|2＋2|F1||F3|cos 120°＝|F2|2.
[小问题·大思维] 1．在物理学中，你知道哪些知识与向量的线性运算有
关系？
提示：力、速度、加速度、位移的合成与分解，实质上 就是向量的加、减运算． 2．向量方法可解决平面几何中的哪些问题？ 提示：直线的平行、垂直及三点共线的证明问题；两点 的距离(线段长度)、夹角的计算问题等．
[研一题]
[例1]
读教材·填要点
2பைடு நூலகம்5
课前预习·巧设计
第 二 章
小问题·大思维
平 面 向 量
平 面 向 量 应 用 举 例
考点一
名师课堂·一点通
考点二 考点三 解题高手
NO.1课堂强化
创新演练·大冲关
NO.2课下检测
[读教材·填要点] 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用 向量 表示问题中涉
OB 3． 已知直线 y＝x＋1 与圆 x ＋y ＝9 相交于 A， 两点， OA · B 则
2 2
[通一类]
为坐标原点)等于 A．－6 C．4
解析：设点 A，B
( B．－8 D．6
)
x2＋y2＝9， 坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立 y＝x＋1，
消去 y，得 x2＋x－4＝0①， 易知 x1，x2 是方程①的两根． 则 x1x2＝－4，x1＋x2＝－1. OB ∴ OA · ＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－8.
∵ BH ⊥ AC ， CH ⊥ AB ， AC ∴ BH · ＝0， CH · ＝0. AB ∴( AH －a)· b＝0，( AH －b)· a＝0. ∴( AH －a)· AH －b)· b＝( a.
BC 化简，得 AH · (b－a)＝0，即 AH · ＝0. ∴ AH ⊥ BC ，
∵| AB |＝4 3，| AC |＝12， ∴| AD |＝| BC |＝8 3， 4 3 3 ∴tan ∠ACB＝ ＝ ， 12 3 ∴∠CAD＝∠ACB＝30° ，∠BAD＝120° . 即船的航行速度的大小为 8 3 km/h，方向与水流方向的夹 角为 120° .
[研一题]
[例 2] 在水流速度为 4 3 km/h 的河水中，一艘船以 12 km/h 的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行 速度的大小与方向．
[自主解答] 如图所示，设 AB 表示水 流速度， AC 表示船垂直于对岸行驶的速度， 以 AB 为一边， AC 为一对角线作▱ABCD， 则 AD 就是船的航行速度．
1 PQ 1 ∴ PQ ＝ AB ，∴AB＝ . 3 3
[悟一法] 利用向量证明几何问题有两种途径： (1)基向量法：通常先选取一组基底(对于基底中的向量， 最好是已知它们的模及两者之间的夹角)，然后将问题中出
现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律运
算，最后把运算结果还原为几何关系． (2)坐标法：利用平面向量的坐标表示，可以将平面几 何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为向量坐标运 算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系，实现向
设 DC ＝λ AB (λ>0)，
PQ 本例条件下，若 AB＝3CD，试求AB的值． 1 解：∵AB＝3CD，∴λ＝ . 3
1 又 PQ ＝ (－λ＋1) AB ， 2
本例中“平行”改为“垂直”，问题不变．
解：设所求直线上任意一点 P(x，y)， 则 AP ＝(x－2，y＋1)， 由题意知 AP ⊥a， AP · a＝0， ∴5(x－2)＋(y＋1)＝0， ∴5x＋y－9＝0 即为所求．
[悟一法] 向量在解析几何中的应用，主要是解决解析几何中平行、 垂直、夹角、长度等问题．解题关键是把这些问题转化为相 应的向量问题，通过向量的运算得以解决．
量的坐标化．
[通一类]
1．如图所示，四边形 ABCD 是正方形， P 是对角线 DB 上一点，PFCE 是矩形， 证明：PA⊥EF.
证明：以点 D 为坐标原点，DC 所在直 线为 x 轴建立坐标系，设正方形的边长 为 1，| DP |＝λ(0<λ< 2)，
2 2 λ， λ)， 2 2 2 2 E(1， λ)，F( λ，0)， 2 2 2 2 于是 PA＝(－ λ，1－ λ)， 2 2 2 2 EF ＝( 2 λ－1，－ 2 λ)， 2 2 2 2 ∵ PA· ＝(－ λ)· λ－1)＋(1－ λ)· ( (－ λ) EF 2 2 2 2 2 2 2 ＝－ λ· λ－1＋1－ λ) ( 2 2 2 2 ＝－ λ×0＝0， 2 则 A(0,1)，P( ∴ PA⊥ EF ，即 PA⊥EF.
求证：△ABC的三条高交于一点． [巧思] 可先找出其中两条高线的交点，然后证明
另一个顶点与该点的连线与其对边垂直即可． [妙解一] 如图所示．
设两条高 BE、CF 交于点 H， 连结 AH 并延长与 BC 相交． 设 AB ＝a， AC ＝b， 则 BH ＝ AH －a， CH ＝ AH －b， BC ＝b－a.
及的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题 ；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与位移s的数量积．
[悟一法] 1．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为 向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所 获得的结果解释物理现象．
2．在用向量方法解决物理问题时，应作出相应的图形，
以帮助建立数学模型，分析解题思路． 3．在解题过程中要注意两方面的问题：一方面是如何 把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系 抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模
∴|F3|＝|F1|＝20 N. 答案：20 N
[研一题] [例3] 已知点A(2，－1)．求过点A与向量a＝(5,1)平
设所求直线上任意一点 P(x，y)，
行的直线方程．
[自主解答] 则 AP ＝(x－2，y＋1)． 由题意知 AP ∥a，故 5(y＋1)－(x－2)＝0， 即 x－5y－7＝0. 故过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程为 x－5y－7＝0.
即三角形的三条高线交于一点．
[妙解二]
如图所示，以 AB 所在直
线为 x 轴，以 A 为原点建立平面直角 坐标系，设 BE、CF 分别为两边上的 高线，且 B(c,0)，C(m，n)，H(m，y)， 则有 BH ＝(m－c， AC ＝(m， BC ＝(m－c， y)， n)， n)，AH ＝(m，y)． ∵ BH ⊥ AC ，∴m(m－c)＋ny＝0. BC 又∵ AH · ＝m(m－c)＋ny＝0， ∴ AH ⊥ BC . 即三角形的三条高线交于一点.
设P，Q分别是梯形ABCD的
对角线AC与BD的中点，试用向量 证明：PQ∥AB.
证明：
∵ PQ ＝ AQ － AP ＝ AB ＋ BQ － AP 1 ＝ AB ＋ ( BD － AC ) 2 1 ＝ AB ＋ [( AD － AB )－( AD ＋ DC )] 2 1 ＝ AB ＋ ( CD － AB ) 2 1 1 ＝ ( CD ＋ AB )＝ (－λ＋1) AB ， 2 2 ∴ PQ ∥ AB ，又 P、Q、A、B 四点不共线，所以 PQ∥AB.