永嘉县X中学七年级数学下册 第八章 二元一次方程组知识点归纳 新人教版
新人教版七年级数学下册《八章 二元一次方程组 小结 构建知识体系》课件_12
解：∵ x y 2 (2 x 3 y 5)2 0 而 x y 2 0, (2 x 3 y 5)2 0
D
即
x y 2=0 2x 3 y 5 0
解得：
x y
1 5 9
5
归纳：若几个非负数的和为0， 则这几个非负数都为0.
5、三元一次方程组： (1)方程组含有三个未知数 (2)并且含有未知数的项的次数都是1 (3)三个整式方程
代入加减，消元化归
【问题2】下列方程中，是二元一次方程的有（ A ） ① 2x 3y ，② 2x 3 y 4 0，③ 2x 3y 4z 0 ，
④ 2x 3xy 0 ，⑤ 2x 3y 6 3y． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3(x-1)=4(y-4)， 5(y-1)=3(x+5).
解： 化简整理得
3x-4y=-13， ① 3x-5y=-20 ， ②
由① - ②得 y=7, 把y=7代入①得 3x=28-16+3,
解得x=5.
由此可得二元一次方程组的解为
x=5， y=7.
代入加减，消元化归
【问题3】解下列方程组：
4 x y 1 31 y -2，
为__y__x _2 4__;用含y的式子表x___x=_2_y+_4____.
3、用加减法解方程的步骤？
主要步骤： ①变形——把二元一次方程组的两个方程中同 一个未知数的系数变成相反或相等 ②加减——把这两个方程的两边相加或者相减。 ③求解——分别求出两个未知数的值 ④写解——写出方程组的解
4.方程组
2x 3x
3y 5y
七年级初一数学 第八章 二元一次方程组知识归纳总结及解析
七年级初一数学 第八章 二元一次方程组知识归纳总结及解析一、选择题1．方程()()218235m n m x n y ---++=是二元一次方程，则（ ）A ．23m n =⎧⎨=⎩B ．23m n =-⎧⎨=-⎩C ．23m n =⎧⎨=-⎩D ．23m n =-⎧⎨=⎩2．小明去商店购买A B 、两种玩具，共用了10元钱，A 种玩具每件1元，B 种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A 种玩具的数量多于B 种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ）A ．5种B ．4种C ．3种D ．2种3．已知()11n a a n d +-=（n 为自然数），且25a =，514a =，则15a 的值为（ ）. A ．23 B ．29 C ．44 D ．534．用一块A 型钢板可制成2块C 型钢板、3块D 型钢板；用一块B 型钢板可制成1块C 型钢板、4块D 型钢板．某工厂现需14块C 型钢板、36块D 型钢板，设恰好用A 型钢板x 块，B 型钢板y 块，根据题意，则下列方程组正确的是（ ）A ．2143436x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．3214436x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．2314436x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2144336x y x y +=⎧⎨+=⎩ 5．若45x y =-⎧⎨=-⎩是方程27x ky +=的解，则k 是（ ）． A ．3 B ．5 C ．-3 D ．以上都不对6．某次数学竞赛共出了25题，评分标准如下：答对一题加4分，答错一题扣1分，不答记0分，已知小杰不答的题比答错的题多2道，总分是74分，则他答对了（ ） A ．16题 B ．17题 C ．18题 D ．19题7．如图，已知直线AB 、CD 被直线AC 所截，AB ∥CD ，E 是平面内任意一点（点E 不在直线AB 、CD 、AC 上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC 的度数可能是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④8．小兰：“小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？”小红：“哦，…，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了 5 支笔和 10 本笔记本共花了 42 元钱，第二次买了 10 文笔和 5 本笔记本共花了 30 元钱．”请根据小红与小兰的对话，求得小红所买的笔和笔 记本的价格分别是( )A ．0.8 元／支，2.6 元／本B ．0.8 元／支，3.6 元／本C ．1.2 元／支，2.6 元／本D ．1.2 元／支，3.6 元／本9．若a 为方程250x x +-=的解，则22015a a ++的值为（ ）A ．2010B ．2020C ．2025D ．201910．《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x 人，买鸡的钱数为y ，依题意可列方程组为（ ）A ．8374x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．8374x y x y -=⎧⎨-=⎩C ．8374x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．8374x y x y -=⎧⎨+=⎩ 二、填空题11．一片草原上的一片青草，到处长的一样密、一样快．20头牛在96天可以吃完，30头牛在60天可以吃完，则70头牛吃完这片青草需__________天．12．若m =m =________．13．冬季降至，贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件，无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏，“让冬天不冷让爱心永驻”，重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物，本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干，自愿者将所有衣物分成若干A 、B 、C 类组合，由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区，一个A 类组合含有60件棉衣，80件防寒服和50件羽绒服；一个B 类组合含有40件棉衣，40件防寒服；一个C 类组合含有40件棉衣，60件防寒服，50件羽绒服；求防寒服一共捐赠了_____件．14． 已知21x y =⎧⎨=⎩，是二元一次方程组81mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则m+3n 的平方根为______． 15．已知点 C 、D 是线段AB 上两点（不与端点A 、B 重合），点A 、B 、C 、D 四点组成的所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB 的长度为__________________ .16．已知a 、b 、c 分别是一个三位数的百位、十位、个位上的数字，且a 、b 、c 满足（|a ﹣2|+|a ﹣4|）（|b |+|b ﹣3|）（|c ﹣1|+|c ﹣6|）＝60，则这个三位数的最大值为_____．17．綦江中学初二在数学竞赛活动中举行了“一题多解”比赛，按分数高低取前60名获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，现调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，则调整后一等奖比二等奖平均分数多______分．18．历代数学家称《九章算术》为“算经之首”.书中有这样一道题的记载，译文为：今有5只雀、6只燕，分别聚集在一起称重，称得雀重，燕轻．若将一只雀、一只燕交换位置，则重量相等；将5只雀、6只燕放在一起称量，则总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设雀每只重x 斤，燕每只重y 斤，则可列方程组为________________19．在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的916种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的1940．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是____．20．小纪念册每本5元，大纪念册每本7元．小明买这两种纪念册共花142元，则两种纪念册共买______本．三、解答题21．对x ，y 定义一种新运算T ，规定()22,ax by T x y a y+=+（其中a ，b 是非零常数且0x y +≠），这里等式右边是通常的四则运算．如：()223193,1314a b a b T ⨯+⨯+==+，()24,22am b T m m +-=-． （1）填空：()4,1T =_____（用含a ，b 的代数式表示）；（2）若()2,02T -=-且()5,16T -=．①求a 与b 的值；②若()()310,33,310T m m T m m --=--，求m 的值．22．如图①，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，直线OC 上所有的点坐标(,)x y ，都是二元一次方程40x y -=的解，直线AC 上所有的点坐标(,)x y ，都是二元一次方程26x y +=的解，过C 作x 轴的平行线，交y 轴与点B ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）如图②，点M 、N 分别为线段BC ，OA 上的两个动点，点M 从点C 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点N 从点O 以每秒1．5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒，且0＜t ＜4，试比较四边形MNAC 的面积与四边形MNOB 的面积的大小．23．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（a,a ），点B 的坐标（b,c ），且a 、b 、c 满足34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩. (1)若a 没有平方根，判断点A 在第几象限并说明理由.(2)连AB 、OA 、OB ，若△OAB 的面积大于5而小于8，求a 的取值范围；(3)若两个动点M （2m,3m-5），N(n-1,-2n-3)，请你探索是否存在以两个动点M 、N 为端点的线段MN ∥AB ，且MN=AB ．若存在，求出M 、N 两点的坐标；若不存在，请说明理由.24．方程组1327x y x y +=-⎧-=⎨⎩的解满足210(x ky k -=是常数)， ()1求k 的值．()2直接写出关于x ，y 的方程()1213k x y -+=的正整数解25．对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号}max{,?a b 表示a 、b 中的较大值， }min{,?a b 表示a 、b 中的较小值.如： }max{2,4?4=， }min{2,4?2=， 按照这个规定，解方程组： }}1{,?{?3{39,311?4max x x y min x x y -=++=. 26．“一带一路”是对古丝绸之路的传承和提升，让中国和世界的联系更紧密，电气设备是“一带一路”沿线国家受青睐的商品。
七年级数学下册 第八章 二元一次方程组小结与复习课件 (新版)新人教版.ppt
审
某校七年级（1）班共46人，前段时间有一位同学身 患重病，其余同学献爱心为其捐款，共捐得156元，捐款 情况见下表。由于记录的同学不小心，造成捐款3元和4元 的人数看不清楚了。请你根据表格提供的信息，求出捐款 3元和4元的人数分别是多少？
第八章 二元一次方程组 小结与复习
知识梳理
请你带着下面问题，复习一下全章内容吧
1.回顾二元一次方程组的解法，“代入”与 “加减”的目的是什么？ 2.比较解三元一次方程组与二元一次方程组 的联系与区别； 3.你能说说用方程组解决实际问题的基本思 路吗？
知识梳理—章节结构图
实际问题 设未知数，列方程组 数学问题（二或三 元一次方程组）
2. 今年“清明节”小长假期间，某市外来与外出 旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30% 和20%，去年同期外来旅游的人数比外出旅游的人 数多20万人.求该市今年外来和外出旅游的人数？
列
3.小白在拼图时，发现8个一样大的小长方形，恰好 可以拼成一个大长方形，如甲图所示，小明看见了说 “我来试一试”，结果小明七拼八凑，拼成一个如乙 图的正方形，中间留下一个洞，恰好是边长2mm的小 正方形，你能算出小长方形的长和宽吗？
捐款（元） 人数
2 34 5
5
7
设
有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5， 如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原 数的和是143，求这个两位数？
解：设原数个位上的数字为x，十位上的数字为y， 则
列
1.某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15 个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如 何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？
数学七年级下册第八章知识点
数学七年级下册第八章知识点数学考试要注重计算，很多孩子成绩丢分在计算上，解题步骤没有问题，但是计算的过程中出现马虎的问题，导致丢分，影响整体成绩。
下面是整理的数学七年级下册第八章知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
数学七年级下册第八章知识点(1)二元一次方程组的概念由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。
注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元(一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0 的二元方程)。
(2)二元一次方程组的解二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数。
3)二元一次方程组的解法●a.代入消元法代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一。
通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法。
步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x 的代数式表示出来，即写成y = ax + b 的形式;② y = ax + b 代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程;③解这个一元一次方程，求出x 的值;④回代求解：把求得的x 的值代入y = ax + b 中求出y 的值，从而得出方程组的解。
●b.加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一。
加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程(组)经常用到的方法。
步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等;②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值。
2019年七年级数学下册第八章二元一次方程组知识点归纳(新版)新人教版
第八章二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
1.二元一次方程：含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。
2．方程组：有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
8.2 消元——解二元一次方程组
二元一次方程组有两种解法：一种是代入消元法,一种是加减消元法.
1．代入消元法：把二元一次方程中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
2．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
8.3 实际问题与二元一次方程组
实际应用：审题→设未知数→列方程组→解方程组→检验→作答。
关键：找等量关系
常见的类型有：分配问题、追及问题、顺流逆流、药物配制、行程问题
顺流逆流公式：
8.4 三元一次方程组的解法
三元一次方程组：方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程组，像这样的方程组叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元。
把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。
1。
初一数学下册(人教版)第八章二元一次方程8.1组知识点总结含同步练习题及答案
2. 已知 { x = 2, 是方程 kx − y = 3 的解，那么 k 值是 (
y=1
)
D．−1
A．2
答案： A
B．−2
C．1
3. 若方程组 { 3x + y = k + 1, 的解 x = −3 ， y = 2 ，则 k 的取值是 (
x + 3y = 3
)
D．−6
A．−4
答案： C
B．−5
C．−8
初一数学下册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案
第八章 二元一次方程组 8.1 二元一次方程组
Hale Waihona Puke 一、学习任务 1. 掌握二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念． 2. 会判定所给的未知数的值是不是方程或方程组的解． 3. 提高逻辑思维和分析解决问题的能力． 二、知识清单
二元一次方程（组）
三、知识讲解
解：A．
{
B. { x = 6,
y=1 D. { x = 2, y=3
四、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
1. 下列各式中是二元一次方程的是 ( A．3x − 2y = 9
答案： A
)
C．
B．2x + y = 6z
1 + 2 = 3y x
D．x − 3 = 4y 2
1.二元一次方程（组） 描述： 二元一次方程 含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是 1 ，并且等号两边都是整式的方程叫做二元一次方 程（linear equation in two unknowns）．其一般形式是 ax + by + c = 0（a ≠ 0，b ≠ 0 ）． 方程组 两个或两个以上的方程的组合叫做方程组．能同时满足方程组中每个方程的未知数的值，称为方 程组的解．求出它所有解的过程称为解方程组． 二元一次方程组 有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是 1 ，等号两边都是整式，并且一共有两个方程， 像这样的方程组叫做二元一次方程组（system of linear equations in two unknowns）． 例题： 下列方程中，是二元一次方程的是（ A. xy + 4x = 7 解：C． 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ A. { xy = 1, B. π + x = 7 ） C. x + 3y = 2 D.
七年级数学下册第八章二元一次方程组小结与复习教学课件(新版)新人教版
专题二 二元一次方程与二元一次方程组的解
【例2】已知x=1,y=-2是二元一次方程组 ax-2y=3，的
x-by=4
解，求a,b的值.
解： 把x=1,y=-2代入二元一次方程组得
a+4=3， 1+2b=4，
n= 1 .
2m-1=1，
解析： 由二元一次方程的定义可得：
3n-2m=1， 解得： m=1，
n=1.
【归纳拓展】首先理解二元一次方程或二元一次方 程组定义的几大因素，并且通过定义得到需要的等 式，由等式得到最后的求解.
【迁移应用1】
已知方程(m-3) x n 1+(n+2) y m 2 8 =0是关于x、y的二元一 次方程，求m、n的值.
（提示：
x y
2k 4k
6，）
5.A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行到B地,乙从B 地出发步行到A地.两人同时出发,4小时相遇,6小时后,甲 所余路程为乙所余路程的2倍,求两人的速度.
解:设甲、乙的速度分别为x千米/时和y千米/时.
4x4y36，
依题意可得:4y2x2(4x2y)，解得
把③代入①可得 3(4y-4)-6y=18， 解得y=5.
把y=5代入③得 x=16. 由此可得
x=16， y=5.
答：原有汽车16辆，原规定完成的天数为5天.
【归纳拓展】利用方程的思想解决实际问题时， 1.首先要找准等量关系式，找等量关系式前要注意题干
中提到的等量关系的语句， 2.根据等量关系列得方程,
第八章 二元一次方程组
小结与复习
知识网络
人教版七年级数学下第八章 二元一次方程组归类总结
第八章二元一次方程组【基础知识疏理】1．二元一次方程含有个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫作二元一次方程。
2．二元一次方程的一个解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。
温馨提示：二元一次方程的的解有无数个，但在限定条件的情况下，它的解会变成有限个或一个.如求方程x+y=2的正整数解只有一个，即 .3．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的，叫作这个二元一次方程组的解。
4．二元一次方程组的解法有: 和 .⑴代入法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
规律点拨一般来说，用代入法解二元一次方程组的步骤如下：①求表示式：从方程组中选一个系数比较简单的方程（最好是系数为1），将此方程中一个未知数，例如 y用含x的代数式表示出来，如写成y=ax+b的形式；②代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；③解一元一次方程：求出x的值；④回代得解：将求出的x的值代入y=ax+b中，求出y的值。
⑵加减法：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。
规律点拨用加减法解二元一次方程组的步骤如下：①变换系数：即把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其绝对值相等；②加减消元：即把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④回代得解：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。
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二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
2.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解基本思路：未知数又多变少。
消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、把x、y的值用｛联立起来即“联”加减消元法：像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+②2x=14 即 x=7 把x=7带入①得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y =-2 为方程组的解用加减消元法解二元一次方程组的解6、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
7、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
8、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。
9、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。
10、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1, 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得x=1 所以:x=1, y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2， (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n 原方程可写为m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 所以x+5=6,y-4=2 所以x=1, y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（三）另类换元例3， x:y=1:4 5x+6y=29令x=t, y=4t 方程2可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4★重点★一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）☆内容提要☆二、解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c 2．a=b←→ac=bc (c≠0)三、解法1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。
2．元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法六、列方程（组）解应用题列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。
一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。
在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。
因此，列方程是解应用题的关键。
二元一次方程组练习题一、选择题：1．下列方程中，是二元一次方程的是（）A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1x+4y=6 D．4x=24y-2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．228 423119 (23754624)x yx y a b xB C Dx y b c y x x y+= +=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩3．二元一次方程5a－11b=21 （）A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（）A．3333...2422 x x x xB C Dy y y y==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（）A．－1 B．－2 C．－3 D．3 26．方程组43235x y kx y-=⎧⎨+=⎩的解与x与y的值相等，则k等于（）7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1x+y=5；④x=y；⑤x2－y2=2⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+xA．1 B．2 C．3 D．48．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，•则下面所列的方程组中符合题意的有（）A．246246216246... 22222222 x y x y x y x yB C Dy x x y y x y x+=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=+=+=+⎩⎩⎩⎩二、填空题9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________．10．在二元一次方程－12x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．11．若x3m－3－2y n－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．12．已知2,3xy=-⎧⎨=⎩是方程x－ky=1的解，那么k=_______．13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．15．以57xy=⎧⎨=⎩为解的一个二元一次方程是_________．16．已知2316x mx yy x ny=-=⎧⎧⎨⎨=--=⎩⎩是方程组的解，则m=_______，n=______．三、解答题17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）•有相同的解，求a的值．18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？19．二元一次方程组437(1)3x ykx k y+=⎧⎨+-=⎩的解x，y的值相等，求k．20．已知x ，y 是有理数，且（│x │－1）2+（2y+1）2=0，则x －y 的值是多少？21．已知方程12x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，•使它与已知方程所组成的方程组的解为41x y =⎧⎨=⎩．22．根据题意列出方程组：（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，•问明明两种邮票各买了多少枚？（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；•若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？23．方程组2528x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是否满足2x －y=8？满足2x －y=8的一对x ，y 的值是否是方程组2528x y x y +=⎧⎨-=⎩的解？24．（开放题）是否存在整数m ，使关于x 的方程2x+9=2－（m －2）x 在整数范围内有解，你能找到几个m 的值？你能求出相应的x 的解吗？题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题5、 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套题型二、列二元一次方程组解决行程问题2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。
相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？3、一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，那么一木筏由甲地漂流到乙地需要多长时间？题型三、列二元一次方程解决商品问题4、在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。
求A、B 商品打折前的价格。
题型四、列二元一次方程组解决工程问题5、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？题型五：列二元一次方程组解决增长问题6、某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校生将增加10%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？有理数的大小比较1．[2017·丽水]在数1，0，－1，－2中，最大的数是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 2．下列各组有理数的大小比较中，错误的是( ) A ．＋(－3.8)>－2.5 B ．－(－10.7)>8.6C ．－(＋2.1)<0D ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋56<163．比较大小：－103____－3.3；－56____－78.4．比较下列各组数的大小： (1)－1315和－58；(2)－78和－87；(3)－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋227和－|－3.14|. 5．比较下列各组数的大小：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪35与⎪⎪⎪⎪⎪⎪－25； (2)－|－7|和－(－7)； (3)|－4|与－4； (4)|－(－3)|与－|－3|； (5)－89与－79；(6)－58与－711.6．在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． －(＋2)，－|－1|，112，0，－(－3.5)．解：如答图，，第6题答图)故－(＋2)＜－|－1|＜0＜112＜－(－3.5)．7如图，四个实数m 、n 、p 、q 在数轴上对应的点分别为M 、N 、P 、Q ，若n 、q 互为相反数，则m 、n 、p 、q 四个实数中，绝对值最大的一个是( )A ．pB ．qC ．mD ．n8．如图，若点A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于A.－A.1的大小关系表示正确的是( )A ．a<1<－aB ．a<－a<1C ．1<－a<aD ．－a<a<1 9．现有一组数：3、－112、－1、0.(1)将以上各数表示在数轴上，并用“＜”连接； (2)求出以上各数的绝对值，并用“＞”连接．10．将－1819，－198199，－1 9981 999按从大到小的顺序排列起来．参考答案 1.D 2. A 3. < >4. 解：(1)因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1315>⎪⎪⎪⎪⎪⎪－58，又因为两个负数，绝对值大的反而小，所以－1315<－58. (2)因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－78<⎪⎪⎪⎪⎪⎪－87.又因为两个负数，绝对值大的反而小，所以－78>－87.(3)因为－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋227＝－227，－|－3.14|＝－3.14，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－227>|－3.14|，又因为两个负数，绝对值大的反而小，所以－227<－3.14，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋227<－|－3.14|.5. 解：(1)因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪35＝35，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－25＝25，35＞25，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪35＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪－25. (2)因为－|－7|＝－7<0，－(－7)＝7＞0， 所以－|－7|＜－(－7)．(3)因为|－4|＝4＞0，－4＜0，所以|－4|＞－4. (4)因为|－(－3)|＝3＞0，－|－3|＝－3＜0， 所以|－(－3)|＞－|－3|.(5)因为－89＜0，－79＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－89＝89＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪－79＝79，所以－89＜－79.(6)因为－58＝－5588＜0，－711＝－5688＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5588＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5688，所以－58＞－711.6. 解：如答图，第6题答图故－(＋2)＜－|－1|＜0＜112＜－(－3.5)．7.A 8.A9. 解：(1)在数轴上表示为：第9题答图根据图示知－112＜－1＜0＜3；(2)它们的绝对值分别为3，112，1，0，且112＞3＞1＞0.10. 解：－1819＋1＝119，－198199＋1＝1199，－1 9981 999＋1＝11 999.因为119>1199>11 999，所以－1819＋1>－198199＋1>－1 9981 999＋1，即－1819>－198199>－1 9981 999平行线的判定一、判断题（1）同位角一定相等；（ ）（2）两条直线被三条直线所截，如果同错角相等，则这两条直线平行；（ ）（3）长方形对边互相平行；（ ）（4）如图，如果︒=∠45A ，要使AB a //，则必须有︒=∠451．（ ）二、填空题1．如图，21l l 、和3l相交，1∠和2∠是______角，1∠和3∠是______角，2∠和3∠是______角，2∠和4∠是______角．2．如图，直线AB.CD.GH 相交于M 点，EF 、GH 相交于N 点，则和ENG ∠是同位角的有_____________________，和ENG ∠是内错角的有_________，和ENG ∠是同旁内角的有____________________．3．如果两条直线被第三条直线所截，要使这两条直线平行，角的条件必须有________或__________或________．4．如图：C ∠的同位角是______，B ∠的内错角是______，EAC ∠的同旁内角是______．三、解答题1．如图：︒=∠+∠∠=∠∠=∠18031,42,41，找出其中互相平行的直线，并说明理由．2．如图，已知DE平分AFBDF,∠平分BAC∠，且21∠=∠，试说明ACDF//．3．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行吗？如果平行请说明理由．参考答案一、判断题（1）× （2）√ （3）√ （4）√二、填空题1．（1）同位，对顶，内错，同旁内2．GMC ∠和BMN AMG ∠∠,和CMN DMN ∠∠,和AMN ∠3．内错角相等、同位角相等、同旁内角互补4．C ∠∠∠,2,1三、解答题1．b a n m l // //// 理由（略）2．说明：因为22,12∠=∠∠=∠BAC BDF ，又因为21∠=∠，所以BAC BDF ∠=∠，所以AC DF //，根据是同位角相等，两直线平行．3．平行，根据是同位角都是直线，或内错角都是直角，即相等，两直线平行，或根据同旁内角都是直角所以互补，故两直线平行．。