分解因式的方法与技巧
因式分解(超全方法)
因式分解(超全方法)因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。
一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) (a+b)(a-b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a+b)(a-b)；2) a^2-b^2=(a+b)(a-b)；3) (a+b)(a-ab+b) = a^2+b^2，a^2+b^2=(a+b)(a-ab+b)；4) (a-b)(a+ab+b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a-b)(a+ab+b)。
下面再补充两个常用的公式：5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2；6) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)。
练题：已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形三、分组分解法一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am+an+bm+bn=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b)(x-5y)练题：分解因式1、a-ab+ac-bc2、xy-x-y+1二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：x-y+ax+ay=(a+1)(x-y)例4、分解因式：a-2ab+b-c=(a-b)(1-2b)-c练题：分解因式3、x-x-9y-3y^2 4、x-y-z-2yz综合练：1) x+xy-xy-y=(x-y)(1+x)2) ax-bx+bx-ax+a-b=2(a-b)3) x+6xy+9y-16a+8a-1=(x+3y-4a+1)^24) a-6ab+12b+9b-4a=-(2a-3b)^2四、十字相乘法。
初中数学因式分解的几种经典技巧
初中数学因式分解的几种经典技巧初中数学因式分解的几种经典方法因式分解是初中数学的一个重点，涉及到分式方程和一元二次方程，因此学会一些基本的因式分解方法非常必要。
下面列举了九种方法，希望对大家的研究有所帮助。
1.提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。
例如，对于方程2x-3x=0，可以进行如下因式分解：x(2x-3)=0，得到x=0或x=3/2.一个规律是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式，这对我们后面的研究有帮助。
2.公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。
建议在使用公式法前先提取公因式。
例如，对于x^2-4，可以使用平方差公式得到(x+2)(x-2)。
3.十字相乘法是做竞赛题的基本方法，但掌握了这个方法后，做平时的题目也会很轻松。
关键是将二次项系数a分解成两个因数a1和a2的积a1.a2，将常数项c分解成两个因数c1和c2的积c1.c2，并使ac正好是一次项b，那么可以直接写成结果。
例如，对于2x^2-7x+3，可以使用十字相乘法得到(x-3)(2x-1)。
总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1.a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1.c2，那么可以使用十字相乘法进行因式分解。
文章中有一些格式错误，需要修正。
另外，第四段中的一些内容似乎有问题，建议删除。
改写后的文章如下：分解因式是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。
在中学数学中，我们通常研究到七种分解因式的方法。
1.公因数法这种方法是最基础的方法之一，它的核心思想是找到表达式中的公因数。
例如，对于表达式6x+9y，我们可以找到它们的公因数3，然后将表达式简化为3(2x+3y)。
2.公式法公式法是通过运用数学公式来分解因式。
例如，对于二次三项式ax2+bx+c，我们可以使用求根公式来求出它的两个根，然后将表达式分解为(a(x-根1)(x-根2))的形式。
专题11 因式分解常用方法技巧
代数专题11 因式分解常用方法技巧一、 知识导航因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式（2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式、十字相乘法来分解（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项来分解（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解.总结：看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要相对合适。
二、 典型例题题型一 用“提公因式法”分解因式例1 分解因式：（1）282m n mn +=（2）3a （x ﹣y ）＋2b （y ﹣x ）＝变式训练1 因式分解：（1）()()39a x y y x -+-（2）2(23)23m n m n --+题型二 用“公式法”分解因式例2 因式分解：22x x -=__________；2449x -=__________；2288x x -+=_________．变式训练2 把下列各式分解因式：（1）244x x -+ （2）224()()-+-a x y b y x （3）4224817216a a b b -+（4）()()314x x -++题型三 用“十字相乘法”分解因式“提公因式法”分解因式归纳总结：1. 先确定公因式，一次把公因式全部提干净；2. 提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1不可丢掉；3. 提取的公因式带“—”号时，多项式的各项要变号.“公式法”分解因式归纳总结：分解因式与整式的乘法互为逆变形，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解成因式。
常用公式如下：平方差公式：完全平方公式：立方差公式：立方和公式：()()22a b a b a b -=+-()2222a b a ab b ±=±+()()3322a b a b a ab b -=-++()()3322a b a b a ab b +=+-+例3 因式分解：（1）3242024x x x -+-（2）226x x +-（3）ab 2﹣3ab ﹣10a（4）2314x x +-（5）2344x x --+（6）2631105x x +- 变式训练3 将下列各式分解因式：（1）261915y y ++（2）214327x x +- （3）256x x --（4）21016x x -+（5）2103x x -- “十字相乘法”分解因式归纳总结：1. 形如的二次三项式，如果有，，且，则可把多项式分解为：2. 二次项系数为1时，是相对上面标准二次三项式的简化：3. 对于齐次多项式，将一个字母当成常数处理，把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式，就可以利用十字相乘法进行因式分解2ax bx c ++mn a =pq c =mq np b +=()()2ax bx c mx p nx q ++=++()()()2x p q x pq x p x q +++=++22ax bxy cy ++题型四 用“分组分解法”分解因式例4 因式分解：（1）2221x y y ---（2）x 3＋x 2―x ―1变式训练4 （1）22929-+-=-x xy y （______）=（______）2-（______）2=（______）（______）；（2）2223-+-=x y x z y z y （______）-（______）=（______）（______）=（______）（______）（______）；（3）在多项式①2222+-+x xy y z ；②2221--+x y x ；③224441-++x y x ；④2221-++-x xy y 中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是（只写式子序号）________．题型五 用“拆项法”分解因式例5 分解因式（1）44x + （2）356x x +- （3）21636x x +- （4）444x y+变式训练5 分解因式（1）ax by bx ay +++ （2）2221xy y x +-+ （3）223x x +-（4）22x n x n -+-（5）243a a ++ “分组分解法”分解因式归纳总结：多项式含有多个单项式时，从整体看，这个多项式的各项既没有公式可提，也不能用公式法分解，但从局部看，能够提取公因式或是利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能够提取公因式或利用公式。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法因式分解是代数中的一个非常重要的概念，它可以帮助我们将一个复杂的代数表达式简化为更简单的乘积形式。
在因式分解的过程中，有许多不同的方法可以使用。
下面将介绍因式分解的十二种常见方法。
一、公因式提取法（通用方法）：公因式提取法是因式分解中最基础也是最常见的一种方法。
它的基本思想是通过提取出一个或多个公因式，将原表达式分解为因子相乘的形式。
例如，对于表达式6x+9y，可以提取出3作为公因式，从而得到3(2x+3y)。
二、配方法（分组法）：配方法是一种将高次项与低次项相乘的方法。
通过将原表达式分组，然后将每组中的项相乘，最后将各组之间的结果相加。
例如，对于表达式x^2+5x+6，可以将其写成(x^2+2x)+(3x+6)，然后将每组中的项相乘，即得到x(x+2)+3(x+2)，再进行合并得到(x+2)(x+3)。
三、分解差平方：分解差平方是一种将平方差分解为两个因数相乘的方法。
它的基本思想是将一项的平方与另一项的平方的差分解为两个因数的乘积。
例如，对于表达式x^2-4，可以将其分解为(x+2)(x-2)。
四、分解和差平方：分解和差平方是一种将平方和分解为两个因数相乘的方法。
它的基本思想是将一项的平方与另一项的平方的和分解为两个因数的乘积。
例如，对于表达式x^2+4，可以将其分解为(x+2i)(x-2i)，其中i是虚数单位。
五、完全平方差公式：完全平方差公式是一种将二次三项式分解为两个完全平方的差的方法。
它的基本形式可以表示为a^2-b^2，其中a和b可以是任意代数式。
根据完全平方差公式，可以将a^2-b^2分解为(a+b)(a-b)。
例如，对于表达式x^2-4，可以将其分解为(x+2)(x-2)。
六、分组分解法：分组分解法是一种将多项式分解为若干个二次三项式相加的方法。
它的基本思想是通过分组，将多项式分成多个二次三项式的和，然后对每个二次三项式进行因式分解。
例如，对于表达式x^3+x^2+x+1，可以将其分为(x^3+x^2)+(x+1)，然后对每个二次三项式进行因式分解，得到x^2(x+1)+1(x+1)，再进行合并得到(x^2+1)(x+1)。
因式分解的16种方法
因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：3x2x x3x1）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
因式分解的八种方法
因式分解的八种方法一、提公因式法。
这就好比是从一群小伙伴里找出那个大家都有的东西。
比如说多项式3x + 6，3就是公因式呀，提出来就变成3(x + 2)啦。
有时候公因式可能不太好找，像是4x²y - 8xy²，这里的公因式就是4xy，提出来就成了4xy(x - 2y)。
提公因式法是最基础的方法，就像盖房子的地基一样重要。
二、公式法。
这里面有好几个小公式呢。
像平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b)，超级好用。
比如说9x² - 25，9x²就是(3x)²，25就是5²，那按照公式就可以分解成(3x + 5)(3x - 5)啦。
还有完全平方公式，a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²。
像x² + 6x + 9，这里的x相当于公式里的a，3相当于b，因为2ab = 2×x×3 = 6x，所以就可以分解成(x + 3)²。
三、分组分解法。
这个方法就像是给多项式里的项分组，让每一组都能找到分解的办法。
比如说ax + ay + bx + by，咱们可以把前面两项ax + ay看成一组，提出公因式a就得到a(x + y)，后面两项bx + by看成一组，提出公因式b就得到b(x + y)，这样整个式子就变成了(a + b)(x + y)。
有时候分组可能要试几次才能找到最合适的分组方法，不过没关系呀，就当是玩拼图游戏啦。
四、十字相乘法。
这个方法很神奇呢。
对于二次三项式ax²+bx + c（a≠0），咱们要把a分解成两个因数，把c也分解成两个因数，然后交叉相乘再相加等于b。
就像x²+5x + 6，把1分解成1×1，6分解成2×3，1×3+1×2 = 5，那这个式子就可以分解成(x + 2)(x + 3)。
多项式因式分解的方法与技巧
多项式因式分解的方法与技巧多项式因式分解是数学中的一项重要技能，简单来说，就是将一个多项式分解成若干个一次式或二次式的乘积。
下面介绍一些多项式因式分解的方法与技巧。
一、因式分解的方法1.提公因式法：对于一个多项式，如果它的各项有公因式，就可以先提取公因式，再将剩下的部分分解。
2.分组法：将一个多项式中的各项进行分组，使得每组有共同的因式，然后将每组提取公因式，直到无法继续分解为止。
3.平方差公式法：如果一个多项式具有平方差公式的形式，即a^2-b^2=(a+b)(a-b)，就可以将其因式分解为(a+b)(a-b)的形式。
4.一次式因式分解公式：对于一个一次式ax+b，可以将其因式分解为a(x+m)+n的形式，其中m=-b/a，n=am+b。
5.二次式因式分解公式：对于一个二次式ax^2+bx+c，可以使用求根公式求得它的根x1,x2，再将其因式分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。
二、因式分解的技巧1.观察项数：多项式的项数越多，分解起来就越困难。
因此，如果一个多项式有很多项，可以尝试将其进行分组，然后依次分解。
2.观察系数：如果一个多项式中有一项系数为1，就可以将其与其他项配对，然后分解。
3.观察幂次：对于一个多项式，如果其中有一项为二次项，就可以考虑使用二次式因式分解公式。
4.观察符号：多项式的符号也有可能给因式分解带来便利。
例如，对于一个二次式ax^2-bx+c，如果b^2-4ac>0，就可以使用求根公式进行因式分解。
5.观察型式：有些多项式具有特殊的型式，例如完全平方式、差化积式等，可以直接应用相应的因式分解公式。
总之，因式分解需要反复练习和积累经验，只有掌握了不同的方法和技巧，才能在解决问题时更加得心应手。
高次分解因式的方法与技巧
高次分解因式的方法与技巧
高次分解因式的方法和技巧主要包括以下几点：
1. 分解因式的基本原理：要分解一个多项式，首先要找到它的一个因式，然后利用因式定理将多项式分解为两个较低次的多项式。
这个过程可以迭代进行，直到不能再继续分解为止。
2. 因式定理：利用因式定理可以将多项式f(x) 分解为一系列线性因子和一个最高次项次数较低的多项式。
因式定理是指：如果a 是f(x) 的一个根（也就是f(a)=0），那么f(x) 可以被(x-a) 整除。
3. 多项式的合并：当多项式的高次项系数很复杂时，可以尝试对高次项进行合并，用较简单的形式表示。
这样可以更容易找到因式，并进行因式分解。
4. 观察多项式的特征：对于一些常见的多项式，可以通过观察它们的特征来分解因式。
比如，一个多项式如果是一个完全平方的形式，可以通过提取平方根将其分解为两个因式的乘积。
5. 常见快速分解因式的技巧：有一些常见的分解因式的技巧可以用来快速分解高次多项式。
比如，差的平方公式可以用来分解a^2 - b^2，和的立方公式可以用来分解a^3 + b^3 等。
总之，分解高次多项式的因式需要运用一些数学技巧、基本原理和观察特征等方法。
在实际操作中，需要灵活运用这些方法，结合具体问题来选择最合适的分解因式的方法和技巧。
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分解因式的方法与技巧
分解因式的方法与技巧:
我们知道因式分解意义是把一个多项式化为几个整式积的形式，从定义中
可得知因式分解是一种化简计算的方法，因而掌握这种必备技能对于提高计算
能力，加快解题速度也必不可少；初中阶段我们常见的因式分解的方法主要有：
①提取取公因式法；
②公式法；
③十字相乘法；
④分组分解法；
而针对于一些较难的题目我们也可以灵活的运用：
①拆、添项法；②配方法；③换元法；④主元法；⑤双十字相乘法；
一、因式分解
1.定义:
把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做这个
多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2.因式分解的注意事项:
（1）若不是特别说明，一般来说分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内分解到不能再分解为止；
（2）因式分解的结果一定是乘积的形式；
（3）因式分解最后的形式是每一个因式都是整式；
二、因式分解的常用方法及分解步骤:
1.提取公因式法:
（1）公因式的概念:
形如多项式ma+mb+mc，它的各项中都有一个公共的因式m，那么我们
就把因式m叫做这个多项式各项的公因式．
（2）确定公因式的方法说明:
找系数：取多项式各项系数的最大公约数；
定字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低
次幂．
（3）提公因式法:
一般地，如果多项式的各项都有公因式，我们可以把这个公因式提取出来，然后将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，那么我们就将这种分解
因式的方法叫做提公因式法．
2.公式法:
说到公式法我们不得不回忆一下乘法公式包含的完全平方公式和平方差公
式知识：
（1）完全平方公式:
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的
积的2倍；
（2）平方差公式:
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
（1）平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
【总结强调】:
①公式左边形式上是一个二项式，且这两项的符号是相反，可以看做“一正一负”；
②每一项都可以化为某个数或式的平方的形式；
③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．
（2）完全平方公式:
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
3.十字相乘法:
一个二次三项式 ax+bx+c，若可以分解，则一定可以写成（ax+c）
（ax+c）的形式，它的系数可以写成：
十字相乘就是用试验的方法找出式子线两端的数，其实就是分解系数a，b，c，使得：
若b-4ac不是一个平方数，那么二次三项式ax+bx+c就不能再有理数范围内分解．
【例题分析】十字相乘法分解因式：
4.分组分解法:
将一个多项式分为二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以
用公式，这就是分组分解法．
5.分解因式的一般步骤:
一看有无公因式；
二看能否套公式；
十字相乘试一试；
分组分解要合适．
【例题分析】分解因式:
思路分析：观察这个多项式可知此多项式必须先去括号，进行重新分组再进行思考.
三、因式分解的高端方法
1.拆、添项法:
将多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解．
【注意】:
用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
【例题分析】分解因式:
2.换元法:
对于某些比较复杂的代数式看作一个整体，用一个字母代替，从而简化原
代数式，最后将原代数式代入．
3.配方法:
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后
再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法．属于拆项、补项
法的一种特殊情况．也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形．
4.主元法:
在分解一个含有多个字母的多项式时，选择一个字母作为主要元素，其他
的字母当做已知数，将多项式按照选定的字母按照降幂排列，然后进行恰当的
分组进行分解．
因式分解
代数学术语，指将一个多项式表示为几个多项式之积的过程与结果，数域
P 上每一个次数 n≥1 的多项式都可以惟一分解成 P 上的不可约多项式的乘积，将 P 上多项式表示成这样的乘积的过程称为多项式的因式分解，简称因式分解（或分解因式）在不同的数域上，多项式分解因式的结果可能是不同的，例如，对于 f(x)=x4-4，在数集 Q，R，C 上分解的结果分别是
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式
分解，也叫作分解因式。
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍
了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法、分组分解法和十字相乘法、待定系数法、双十字相乘法、对称多项式轮换对称多项式法、余数定理法、求根公式法、换元法、长除法、除法等。