平方根 浙教版数学七年级上册教案

3.1 平方根(教案)浙教版 七年级上册 第三章一、教学目标1.经历平方根概念的抽象过程；2.了解平方根的概念，会用根号表示；3.理解平方根的性质；4.了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求平方根。

二、教学重点、难点重点：平方根的概念和求法。

难点：平方根的概念比较抽象复杂，并且涉及到符号表示，是本节课的难点。

三、教学过程1. 算一算232018)2(4)4(10071--÷--⨯+-（1）上述计算涉及到哪些运算？它们中互为逆运算的是哪些？（2）乘方有没有逆运算？【设计意图】以一道计算结果为711的有理数加、减、乘、除、乘方混合运算作为课前检测有三重考量，一方面可以巩固第二章所学知识，另一方面可以引出本节课的课题同时还可以极大程度上调动本节课的学习积极性（本节课执教班级为711班）。

2. 填一填 一个数的平方为：4 16 41 1.44 0 )0(≥a a 这个数是： x 3.抽象概念一般地，如果一个数的平方等于 a ，这个数叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根。

即：若 x 2 = a ,则 x 叫做 a 的平方根。

如：∵ （ ± 2 ）2 =4 , 再如：∵ 02 = 0,∴ 4的平方根是± 2 . ∴0的平方根是0.【设计意图】以学生口答表格中的问题为出发点，循序渐进用字母表示数字，由此抽象出平方根的概念，符合学生的认知规律，水到渠成。

4.例1.求下列各数的平方根： （1）49 （2）916 （3）0.36 （4）412 求一个数的平方根的运算叫做开平方。

问：根据例题的解答过程，请用两个字准确概括开平方运算与平方运算之间的关系吗？【设计意图】通过例1加深学生对平方根概念的认知，在引导学生利用平方运算求一个数的平方根的同时引出开平方运算的概念以及平方运算和开平方运算的互逆关系。

5. 说一说 说一说下面各数的平方根分别是多少？ 4 ，0， 0.01，2536，-4，-16 问：请你根据原数的正负性，结合结果的平方根个数等因素总结出一条你认为成立规律。

x 2=a(a ≥0)6.性质形成一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

【设计意图】在学生得到上面各数的平方根以后，设置具有引导作用的有效提问助推学生一步步得到平方根的性质，顺理成章。

7.练一练 判断下列说法是否正确：（1）27-没有平方根; （ ） （2）7的平方根是49； （ ）（3）（－2）²的平方根是±2； （ ） （4）若x ² = 16 ，则x = 4； （ ）（5）1 是 1的平方根;（ ） （6）1 的平方根是 1； （ ）【设计意图】巩固新知。

重点和学生一起辨析（5）和（6），感受隐藏在数学学习过程中的文字趣味性。

8.性质应用我校为了迎接元旦文艺汇演，要求每一名学生上交一份自己满意的美术作品。

711班的小王同学想裁剪出一块面积为4 dm ²的正方形画布用来完成作品。

请问他的作品的边长应是多少？问：小王的作品可以是3 dm ²的正方形画布吗？请说明你的理由。

3的平方根该如何表示？【设计意图】根据学生的学习经验，“找不到”一个数的平方刚刚好等于3，在这样的情形之下，峰回路转，引出平方根的符号表示，恰到好处。

9.表示方法（自主学习）一个正数a 的正平方根用a 表示(读做“根号a ”)； a 的负平方根用a -表示(读做“负根号a ”)，因此，一个正数a 的平方根就用a ±表示，(读做正、负根号a ”)，其中a 叫做被开方数。

如：9的平方根是± 3，即39±=±； 再如：25的负平方根是-3，即525-=- 正数的正的平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0.一个数a (a ≥0)的算术平方根记做a 。

如：4的算术平方根是2 ，即24=.对文字语言和符号语言进行说明。

9-1.我能行（自学效果检测、点拨）问题1. 数字0.000001的平方根是多少？ （请同时选择文字语言和符号语言回答这一问题。

）9-2.辨一辨（自学效果检测、点拨）问题2.请结合自学部分辨一辨下列3a a - a【设计意图】此部分可以说是本节课的重中之重，很多同学对这里提及到的三种符号往往会混淆，尤其是第一次接触，更是云里雾里。

此部分通过“先学后教”的教学模式，让学生经历自主学习在先和教师断后的模式，充分感受平方根的符号语言同文字语言的巧妙互化，突出重点，突破难点。

10. 例2：先说出下列各式的意义，再计算。

2499(1)(2)225(3)(4)7.3100411. 练习：填空⑴25±表示25的_________； ⑵16表示16的___________;⑶37-表示___________; (4) 9的算术平方根是_________;(5)（－4）2的平方根是_________ (6) 5的平方根可表示_________;(7) 3的算术平方根可表示_____; ______158)9________(259-1)8(22=+= 小贴士：a ±既可以表示结果又可以表示过程，当能开的出来时，它是过程，开不出来时它是结果。

【设计意图】知识巩固与运用，让学生对根号有个全新的认识，它既可以表示结果又可以表示过程。

识得庐山真面目才能会当凌绝小，一览众山小。

12. 议一议（1）.16的平方根是 _______ （2）平方根等于它本身的数是_______（3）.算术平方根等于它本身的数是________ （4）.算术平方根和平方根相等的数是_______（5）.若x +2和3x -14是某一个正数的两个不相等的平方根，则这个正数是_______【设计意图】此部分是本节课的易错点。

关于（1），学生极易错误地以为就是求16的平方根；关于（2），学生很有可能会认为1的平方根是1，等于它本身，符合条件；至于（5），初学者往往想不到运用平方根的性质去求出x ，当然还会有一些同学自以为求出x 就是最终的答案，殊不知题目要求我们求的是“这个正数”而非x 。

四.课堂小结（1）.一种运算+一个性质：开平方运算+平方根的性质；（2）.两个概念：平方根和算术平方根；（3）.三种特殊符号：a ，a -，a ±五.作业布置(1).阅读趣味链接--《根号的由来》，谈谈自己阅读后的感受； (2).完成作业本 3.1 平方根。

【设计意图】本部分让学生于课后自主阅读趣味链接--《根号的由来》，并谈一谈阅读后的感受，旨在让学生感受数学独特的文化魅力，培养学生的数学文化素养。

六.扩一扩(机动题）（1） _____)5(2=. （2） _____)5(2=-.（3）对于非负数a ，2)(a 等于多少？（4）对于任意数a ，2a 等于多少？（5）对于非负数a ，2)(a -等于多少？【设计意图】机动题，根据课堂实际情况决定，如若课堂上不能完成，则作为回家作业。

此部分内容的设计意图是让学生通过两个具体的实例得出其一般情形，引导学生当实在分不清结果是否有绝对值的时候，可以通过从“特殊到一般”的思路予以思考，并得出正确答案。

当然，最主要的还是帮助学生从理论的角度对三个公式的正确性加以分析以达到真正熟练掌握的目的。

七、趣味链接根号的由来现在，我们已经会用根号来表示平方根、立方根等，并感觉到使用起来既简洁又方便，你知道根号是怎样产生而又演变成现在这样的吗?古时候，埃及人用记号“”表示平方根，印度人在开平方时，在被开数的前面写ka ，阿拉伯人用表示48.1480年以后，德国人用一个点“·”来表示平方根，两个点“··”表示4次方根，三个点表示立方根，比如，·3、··3、···3就分别表示3的平方根、4次方根、立方根，到十六世纪初，可能是书写快的缘故，小点上带了一条细长的尾巴，变成了“”.1525年，路多尔夫在他的代数著作中，首先采用了根号，比如他写是2，是3，并用表示348,8.但这种写法未得到普遍的认可与采纳. 与此同时，有人采用“根”字的拉丁文radix 中第一个字母的大写R 来表示开方运算，并且后面跟着拉丁文“平方”一字的第一个字母q ，或“立方”的第一个字母c 来表示开的是多少次方.例如，现在的4352，当时有人写成R .q .4352．现在的3147+，用数学家邦别利（1526～1572年）的符号可以写成：R .c .┖7p .R .q .14┙，其中“┖ ┙”相当于今天的括号，p 相当于今天的加号（那时候，连加减号“＋”“－”还没有通用）.直到十七世纪，法国数学家笛卡尔（1596～1650年）第一个使用了现今用的根号“”.在一本书中，笛卡尔写道：“如果我想求a 2＋b 2的平方根，就写作22b a +，如果想求a 3＋b 3＋abb 的立方根，则写作abb b a c ++33.”.这是出于什么考虑呢?有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把几项连起来，前面放上根号√（不过，它比路多尔夫的根号多了一个小钩），就成为现在的根式形式.现在的立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一些书中看到符号的使用，比如25的立方根用325表示.以后，诸如等等形式的根号渐渐使用开来.由此可见，一种符号的普遍采用是多么艰难，它是人们在悠久的岁月中，经过不断改良、选择和淘汰的结果，它是数学家们集体智能的结晶。