2020高考数学 全国各地模拟试题分类汇编10 统计与概率 文
2020届全国各地高考试题分类汇编11 统计和概率
11 统计和概率1.（2020•北京卷）在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）． A. 5- B. 5C. 10-D. 10【答案】C【解析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可.【详解】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrrr r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-.故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 2.（2020•北京卷）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34；。
2020年普通高等学校全国统一考试数学(模拟卷)(带答案解析)
数列第17题解答题中题干的条件让学生自由选择，很多题目不再拘泥于固定题型的固定解题思路，可以对一个问题从不同的思维角度进行一题多解，发散性较强，考查知识点的深度和广度都有所增加。
三、复习建议
重视基础是关键:本次模拟卷非常注重基础题的考查，比例达到了60%，中档题的比例增加，达到了30%，难题比例10%左右。整体难度介于全国高考文数和理数之间，符合新高考数学不分文理的要求。
又由 ， ，且 ，得 .
因为 ，从而知 ，即
所以 .
又由于 ，
从而 .
故选：C.
【点睛】
本题考查棱锥体积的计算，考查线面垂直的证明，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
6 . 已知点 为曲线 上的动点， 为圆 上的动点，则 的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，并设点A到圆 的圆心C距离的平方为 ，利用导数求最值即可.
2020年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）
数学试卷
一、整体分析：
本次山东模拟试卷考查全面，涵盖高中数学的重点内容，布局合理，难易得当，包含基础题，中档题，综合题及创新题，考查对基础知识、基本技能、基本运算的掌握。试题对高中数学课程的主干知识，如函数、导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、统计概率等内容，保持了较高比例的考查，其中在题型方面有较大的变化，增加了多选题，并且删除了选做题。
故选：A
【点睛】
本题考查两动点间距离的最值问题，考查利用导数求最值，考查转化思想与数形结合思想，属于中档题.
7 . 设命题 所有正方形都是平行四边形，则 为（ ）
A．所有正方形都不是平行四边形
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷数学(浙江专用)试题(十)含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(十)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |2x ＋1>3}，B ＝{y |y ＝4－x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1，0] B ．(0，1) C ．(1，2]D ．[0，2]2．已知复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为纯虚数，差为实数，则实数a ，b 的值为( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝－3，b ＝43．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.212 B ．26C.23D ．24．当0<x <1时，f (x )＝x ln x ，则下列大小关系正确的是( ) A ．[f (x )]2<f (x 2)<2f (x ) B ．f (x 2)<[f (x )]2<2f (x ) C ．2f (x )<f (x 2)<[f (x )]2D ．f (x 2)<2f (x )<[f (x )]25．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( ) A ．15x 2 B ．20x 3 C ．21x 3D ．35x 36．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，x ≤2，则z ＝|x －y |的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．87．如图，设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为双曲线上一点(异于A 1，A 2)，且位于第一象限，以A 1A 2为直径的圆与直线P A 1交于点M ，记直线A 2M 和A 2P 的斜率分别为k 1，k 2，若k 2＋3k 1＝0，则双曲线C 的离心率e 为( )A ．4B ． 5C ．2D ．52第7题图 第8题图8．如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，BC ＝AA 1＝2，点E ，O 分别是线段C 1C ，BC 的中点，A 1F →＝13A 1A →，分别记二面角F －OB 1－E ，F －OE －B 1，F －EB 1－O 的平面角为α，β，γ，则下列结论正确的是( )A ．γ>β>αB ．α>β>γC ．α>γ>βD ．γ>α>β9．已知平面向量a ，b ，c 满足：a ·b ＝0，|c |＝1，|a －c |＝|b －c |＝5，则|a －b |的最小值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．810．已知f (x )和g (x )是两个定义在区间M 上的函数，若对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得f (x )≥f (x 0)，g (x )≥g (x 0)，且f (x 0)＝g (x 0)，则称f (x )与g (x )在区间M 上是“相似函数”．若f (x )＝2x 2＋ax ＋b 与g (x )＝x ＋4x 在⎣⎡⎦⎤1，52上是“相似函数”，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1，52上的最大值为( ) A ．4 B ．92C ．6D ．892第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________． 12．甲、乙、丙所在的公司举行年会，年会期间安排了抽奖活动，并设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖(无空奖)．抽奖方式为摸小球，在一个盒子中放有7个除颜色外完全相同的小球，其中3个红色小球，4个黄色小球，从中随机抽取3个小球，若取到3个红球，则获得特等奖，若取到3个黄球，则获得一等奖，若取得2个红球和1个黄球，则获得二等奖，其余的皆为三等奖，每人1次机会，则甲在一次抽奖中获得特等奖的概率为________，甲、乙、丙三人中抽到一等奖以上的人数的数学期望为________．13．若直线kx －y ＋4－2k ＝0恒过定点A (a ，b )，则a 、b 的值为__________，当x ＞0时，ax ＋bx 的最小值是____________．14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线垂直于直线l ：x －2y －5＝0，双曲线的一个焦点在l 上，则a ，b 的值为________，双曲线的方程为________．15．已知数列{a n }是公差为3的等差数列，且a 6＝9，数列{b n }满足a n ＋3＝b n ＋1－b n ，且b 3＝15，则数列{b n }的通项公式为b n ＝________．16．若x ，y ∈R 满足2sin 2(x ＋y －1)＝（x ＋1）2＋（y －1）2－2xyx －y ＋1，则xy 最小值为________．17.如图，已知在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝22，底面ABCD 是边长为4的正方形，M ，N 分别为AB ，AD 上的动点，若直线P A 与平面PMN 所成的角为π4，则△PMN 的面积的最小值是________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若在△ABC 中f (A )＋f (B )＝0，∠C ＝π6，求ab的值．19.(本题满分15分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，且P A ＝PB ＝PC ＝AB ＝6，CD ＝2，BC ＝23，E 为P A 中点．(1)求证：BD ⊥P A ；(2)求直线PC 与平面BDE 所成角的正弦值．20．(本题满分15分)设数列{a n }满足：a 1＝a ，a n ＋1＝2a na 2n ＋1(a >0且a ≠1，n ∈N *)． (1)证明：当n ≥2时，a n <a n ＋1<1；(2)若b ∈(a 2，1)，求证：当整数k ≥（b －a 2）（b ＋1）a 2（1－b ）＋1时，a k ＋1>b .21.(本题满分15分)F 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点M 的横坐标为2，直线l ：y ＝kx ＋14与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当12≤k ≤2时，|AB |2＋|DE |2的最小值．22．(本题满分15分)已知函数f (x )＝m (x －1)e x ＋x 2(m ∈R )． (1)若m ＝－1，求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意的x <0，不等式x 2＋(m ＋2)x >f ′(x )恒成立，求m 的取值范围； (3)当m ≤－1时，求函数f (x )在[m ，1]上的最小值．高考仿真模拟卷(十)1．解析：选C.A ＝{x |2x ＋1>3}＝(1，＋∞)，B ＝{y |y ＝4－x 2}＝[0，2]，则A ∩B ＝(1，2]．2．解析：选B.因为z 1＋z 2＝(a －3)＋(4＋b )i 是纯虚数，所以a ＝3，b ≠－4.因为z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是实数，所以b ＝4.3．解析：选B.根据三视图可知几何体为三棱锥，如图．V ＝13×12×2＝26.故选B.4．解析：选C.当0<x <1时，f (x )＝x ln x <0， 2f (x )＝2x ln x <0，f (x 2)＝x 2ln x 2<0，[f (x )]2＝(x ln x )2>0.又2f (x )－f (x 2)＝2x ln x －x 2ln x 2＝2x ln x －2x 2ln x ＝2x (1－x )ln x <0， 所以2f (x )<f (x 2)<[f (x )]2，故选C.5．解析：选B.因为(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，得(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64， 所以n ＝6，又(1＋x )6的展开式中二项式系数最大项的系数最大，所以(1＋x )6的展开式系数最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.6．解析：选B.依题画出可行域(如图中阴影部分所示)，令m ＝y －x ，则m 为直线l ：y ＝x ＋m 在y 轴上的截距，由图知在点A (2，6)处m 取最大值4，在C (2，0)处取最小值－2，所以m ∈[－2，4]，所以z 的最大值是4.7．解析：选C.由题意知，A 2M ⊥P A 1， 则kA 2M ·kP A 1＝－1，则k 1＝kA 2M ＝－1kP A 1，则k 2＋3k 1＝k 2－3kP A 1＝0，所以kP A 1·k 2＝3，设P (x 1，y 1)，则x 21a 2－y 21b2＝1，又A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，所以kP A 1·k 2＝y 1x 1＋a ·y 1x 1－a ＝y 21x 21－a2＝b 2（x 21a2－1）x 21－a 2＝b 2a2＝3， 则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋3＝4，所以e ＝2.选C. 8．解析：选D.过O 作OO 1∥CC 1交B 1C 1于点O 1，在线段OO 1上取点F 1，使得O 1F 1＝13OO 1，所以AF 綊OF 1，连接FF 1，AO ，所以四边形AOF 1F 是平行四边形，所以AO ∥FF 1，又AC ＝AB ＝1，BC ＝2，O 为BC 的中点，所以AO ⊥BC ，又AO ⊥CC 1，所以AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以FF 1⊥平面BB 1C 1C ，即点F 在平面BB 1C 1C 上的投影为F 1，过点F 1作F 1P ⊥OE 于P ，F 1Q ⊥OB 1于Q ，F 1R ⊥EB 1于R ，则tan α＝FF 1F 1Q ，tan γ＝FF 1F 1R ，tan β＝FF 1F 1P，如图，在四边形BB 1C 1C 中易得F 1P >F 1Q >F 1R ，所以tan β<tan α<tan γ，γ>α>β. 9．解析：选B.因为a ·b ＝0，所以|a ＋b |＝|a －b |，则|a －b |2＝|(a －c )－(b －c )|2＝(a －c )2＋(b －c )2－2(a －c )·(b －c )＝48＋2|a ＋b ||c |cos θ＝48＋2|a －b |cos θ(其中θ为a ＋b 与c 的夹角)，所以48－2|a －b |≤|a －b |2≤48＋2|a －b |，解得6≤|a －b |≤8，则|a －b |的最小值为6，故选B.10．解析：选C.由题意知g ′(x )＝1－4x 2⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤1，52， 令g ′(x )＜0可得1≤x ＜2，令g ′(x )＞0可得2＜x ≤52，所以g (x )max ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫g （1），g ⎝⎛⎭⎫52max＝g (1)＝5，g (x )min ＝g (2)＝4，所以g (x )＝x ＋4x 在⎣⎡⎦⎤1，52上的最小值为4，最大值为5，对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得g (x )≥g (x 0)，则g (x 0)＝g (x )min ＝4，此时x 0＝2，根据题意知f (x )min ＝f (2)＝4，二次函数f (x )＝2x 2＋ax ＋b 的顶点坐标为(2，4)，所以a ＝－8，b ＝12，所以f (x )＝2(x －2)2＋4，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1，52上的最大值f (x )max ＝f (1)＝6. 11．解析：由题图可知，函数的最小正周期为3，则ω＝2π3，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋φ，将点(0，1)代入得，2sin φ＝1，sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.答案：2π3 π612．解析：由题意可知，甲在一次抽奖中获得特等奖的概率P ＝C 33C 37＝135.甲、乙、丙在一次抽奖中获得一等奖以上的概率P ＝C 33＋C 34C 37＝17，甲、乙、丙三人抽奖即三次独立重复试验，所以满足条件的次数服从二项分布B (3，17)，所以其数学期望为3×17＝37.答案：135 3713．解析：直线方程转化为y －4＝k (x －2)，知直线过定点A (2，4)，所以a ＝2，b ＝4，ax ＋b x ＝2x ＋4x ≥22x ·4x ＝42时，当且仅当2x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立． 答案：2，4 4214．解析：由题意得－ba ＝－2，即b ＝2a ；而焦点(c ，0)在x －2y －5＝0上，所以c ＝5；双曲线中a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝5，b ＝25，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1.答案：5，25 x 25－y 220＝115．解析：因为数列{a n }是公差为3的等差数列，且a 6＝9，所以a n ＝a 6＋(n －6)×3＝3n －9(n ∈N *)，因为a n ＋3＝b n ＋1－b n ，所以b n ＋1－b n ＝3n ，所以b 2－b 1＝3，b 3－b 2＝6，b 4－b 3＝9，…，b n －b n －1＝3(n －1)，将上面n －1个等式的等号两边分别相加，得b n －b 1＝3＋6＋9＋…＋3(n －1)＝32n (n －1)，所以b 3－b 1＝15－b 1＝32×3×(3－1)，解得b 1＝6，所以b n ＝6＋32n (n －1)．答案：6＋32n (n －1)16．解析：（x ＋1）2＋（y －1）2－2xyx －y ＋1＝x 2＋y 2＋2x －2y －2xy ＋2x －y －1＝（x －y ＋1）2＋1x －y ＋1＝x －y ＋1＋1x －y ＋1∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．又因为2sin 2(x ＋y －1)∈[0，2]， 所以x －y ＋1＝1，x ＋y －1＝π2＋k π，所以x ＝y ＝（2k ＋1）π4＋12，k ∈Z ，所以xy ＝⎣⎡⎦⎤（2k ＋1）π4＋122≥（π－2）216，k ＝－1时取等号． 答案：（π－2）21617．解析：记A 到平面PMN 的距离为d ，则sin π4＝22＝d AP ＝d 22，所以d ＝2.因为V P AMN ＝V A PMN ， 所以13S △AMN ·AP ＝13S △PMN ·d ，所以S △PMN ＝2S △AMN ，则求△PMN 的面积的最小值转化为求△AMN 的面积的最小值．如图，过A 作AE ⊥MN ，交MN 于点E ，连接PE ，由P A ⊥底面ABCD ，易得平面P AE ⊥平面PMN ，则∠APE 为直线P A 与平面PMN 所成的角，即∠APE ＝π4.则AE ＝2 2.设AM ＝m ，AN ＝n ，则在Rt △AMN 中，AM ·AN ＝AE ·MN ，S △AMN ＝12mn ，即mn ＝22·m 2＋n 2≥22·2mn ，所以mn ≥16.当且仅当m ＝n ＝4时取等号， 所以S △PMN ＝2S △AMN ≥2×12×16＝8 2.答案：8218．解：(1)f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 所以f (x )的最小正周期T ＝2ππ＝π.(2)由f (A )＋f (B )＝0得2sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＝0， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫32π－2A ＝0. 整理得sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝0， 又由A ∈⎝⎛⎭⎫0，56π得2A －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，43π， 所以2A －π3＝0或2A －π3＝π，解得A ＝π6或A ＝23π，所以由正弦定理得a b ＝sin A sin B ＝sinπ6sin 23π＝33或ab ＝sin2π3sin π6＝ 3.19．解：(1)证明：因为P A ＝PB ＝PC ，Rt △ABC 中∠ABC ＝90°， 所以P 在平面ABCD 内的射影O 为AC 的中点， 连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥BD .因为在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AB ＝6，CD ＝2，BC ＝23， 所以AB BC ＝BCCD ，所以△ABC ∽△BCD ，所以AC ⊥BD .因为AC ∩PO ＝O ，所以BD ⊥平面P AC ，所以BD ⊥P A . (2)设AC 、BD 交于F ，则CF ＝3，AC ＝43，CF ＝14AC ，取PE 中点G ，连接GF 、EF ， 则PG ＝14P A ，所以FG ∥PC .所以FG 与平面BDE 所成的角即为PC 与平面BDE 所成的角， 因为P A ＝PB ＝AB ，E 为P A 中点，所以P A ⊥BE . 因为BD ⊥P A ，BD ∩BE ＝B ，所以P A ⊥平面BDE ，即GE ⊥平面BDE . 所以∠GFE 为FG 与平面BDE 所成的角． 在Rt △GEF 中，GE ＝14P A ＝32，GF ＝34PC ＝92，所以sin ∠GFE ＝GE GF ＝13，所以PC 与平面BDE 所成角的正弦值为13.20．证明：(1)由a n ＋1＝2a na 2n ＋1知，a n 与a 1的符号相同，而a 1>0，所以a n >0，所以a n ＋1＝2a n ＋1a n ≤1，当且仅当a n ＝1时，a n ＋1＝1.下面用数学归纳法证明：①因为a >0且a ≠1，所以a 2<1，a 3a 2＝2a 22＋1>1，即有a 2<a 3<1；②假设当n ＝k 时，有a k <a k ＋1<1(k ≥2，k ∈N *)，则a k ＋2＝2a k ＋1a 2k ＋1＋1＝2a k ＋1＋1a k ＋1<1且a k ＋2a k ＋1＝2a 2k ＋1＋1>1，即a k ＋1<a k ＋2<1. 综上，当n ≥2时，a n <a n ＋1<1.(2)若a k ≥b ，则由(1)知a k ＋1>a k ≥b ；若a k <b ，由0<x <1及二项式定理知(1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋…＋C n n x n ≥1＋nx ，而a 2k ＋1<b 2＋1<b ＋1，且a 2<a 3<…<a k <b <1，所以a k ＋1＝a 2·a 3a 2·a 4a 3·…·a k ＋1a k ＝a 2·2k －1（1＋a 22）（1＋a 23）…（1＋a 2k ）>a 2·(21＋b 2)k －1>a 2·(21＋b)k －1＝a 2(1＋1－b 1＋b )k －1≥a 2[1＋1－b 1＋b(k －1)]． 因为k ≥（b －a 2）（b ＋1）a 2（1－b ）＋1，所以1－b 1＋b(k －1)＋1≥b －a 2a 2＋1＝b a 2，所以a k ＋1>b . 21．解：(1)抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，设Q (a ，b )， 由题意可知b ＝p 4，则点Q 到抛物线C 的准线的距离为b ＋p 2＝p 4＋p 2＝34p ＝34，解得p ＝1，于是抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)因为M (2，1)，所以OM 垂直平分线方程为y －12＝－2⎝⎛⎭⎫x －22， 所以Q ⎝⎛⎭⎫528，14，r ＝368. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y y ＝kx ＋14得2x 2－4kx －1＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为Δ＝16k 2＋8>0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－12， |AB |2＝(1＋k 2)(4k 2＋2)，又因为Q 到l 的距离d ＝52k 81＋k 2≤104<368， 所以|DE |2＝4⎝⎛⎭⎫2732－25k 232（1＋k 2）＝278－25k 28（1＋k 2）＝258（1＋k 2）＋14， 所以|AB |2＋|DE |2＝(1＋k 2)(4k 2＋2)＋258（1＋k 2）＋14， 令t ＝1＋k 2，12≤k ≤2，则t ∈⎣⎡⎦⎤54，5， 所以|AB |2＋|DE |2＝4t 2－2t ＋258t ＋14，令g (t )＝4t 2－2t ＋258t ＋14，t ∈⎣⎡⎦⎤54，5则g ′(t )＝8t －2－258t2≥g ′⎝⎛⎭⎫54＝6>0，所以t ＝54时，g (t )min ＝132. 因此，当k ＝12时，|AB |2＋|DE |2的最小值为132.22．解：(1)当m＝－1时，f(x)＝(1－x)e x＋x2，则f′(x)＝x(2－e x)，由f′(x)>0得，0<x<ln 2，由f′(x)<0得x<0或x>ln 2，故函数的增区间为(0，ln 2)，减区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．(2)依题意，f′(x)＝mx(e x＋2m)<x2＋(m＋2)x，x<0，因为x<0，所以m e x－x－m>0，令h(x)＝m e x－x－m，则h′(x)＝m e x－1，当m≤1时，h′(x)≤e x－1<0，则h(x)在(－∞，0)上单调递减，所以h(x)>h(0)＝0，符合题意；当m>1时，h(x)在(－∞，－ln m)上单调递减，在(－ln m，0)上单调递增，所以h(x)min＝h(－ln m)<h(0)＝0，不合题意．综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．(3)f′(x)＝mx e x＋2x＝mx(e x＋2m)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln(－2m)，令g(m)＝ln(－2m)－m，则g′(m)＝－1m－1≤0，g(m)在m＝－1时取最小值g(－1)＝1＋ln 2>0，所以x2＝ln(－2m)>m.即m≤－1时，x2＝ln(－2m)>m.(ⅰ)当－2<m≤－1时，x2＝ln(－2m)>0，f(x)min＝min{f(0)，f(1)}＝min{－m，1}＝1.(ⅱ)当m＝－2时，函数f(x)在区间[m，1]上为减函数，f(x)min＝f(1)＝1.(ⅲ)当m<－2时，f(x)min＝min{f(x2)，f(1)}，f(x2)＝－2[ln(－2m)－1]＋[ln(－2m)]2＝x22－2x2＋2>1，f(1)＝1，此时f(x)min＝1.综上：f(x)min＝1.。
专题10 概率与统计 原卷版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解
专题10 概率与统计【2020年】1.（2020·新课标Ⅲ）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====2.（2020·山东卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种D. 30种3.（2020·山东卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46%D. 42%4.（2020·天津卷）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A. 10B. 18C. 20D. 365.（2020·天津卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．6.（2020·浙江卷）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．7.（2020·江苏卷）已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.8.（2020·江苏卷）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.9.（2020·新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【2019年】1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.82．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是（ ）则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【2018年】1．【2018·全国Ⅱ卷】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115D ．1182．【2018·全国Ⅰ卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3．【2018·全国Ⅲ卷】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.34．【2018·浙江卷】设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 P12p- 122p 则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小 B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小5．【2018·全国Ⅰ卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 36．【2018·江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．7．【2018·江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________． 【2017年】1．【2017·全国Ⅲ卷】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳2．【2017·全国Ⅰ卷】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π43．【2017·山东卷】从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518 B ．49 C ．59D ．7912．【2017·浙江卷】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1–p i ，i =1，2．若0<p 1<p 2<12，则A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξB ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξC ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξD ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ4．【2017·山东卷】为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 A ．160 B ．163 C ．166D ．1705．【2017·全国Ⅱ卷】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =______________．6．【2017·江苏卷】记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是______________．7．【2017·江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______________件． 【2016年】1. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）342.【2016高考新课标3理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）(A)各月的平均最低气温都在0C ︒以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于20C ︒的月份有5个3.【2016高考山东理数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） （A ）56（B ）60（C ）120（D ）1404.【2016高考新课标2理数】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n5.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6.【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .7.【2016年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 .328.【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．9.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.10.【2016高考山东理数】在[1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆22x y相交”发生(5)9的概率为.。
2020高考数学解答题核心素养题型《专题11 概率与统计综合问题》+答题指导)(解析版)
专题11 概率与统计综合问题【题型解读】几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．【例1】 (2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率． 【答案】见解析【解析】(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2.由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人． (2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝k )＝C k 4C 3－k3C 37(k ＝0,1,2,3)．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×35＝7.②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥． 由①知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)， 故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67.所以事件A 发生的概率为67.【素养解读】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式，考查分析问题和解决问题的能力，体现了数学运算和数据分析等核心素养．试题难度：中．【突破训练1】 (2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】见解析【解析】(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝0×4＋1×24＋2×4＋3×24＝12.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以这2辆车共遇到了1个红灯的概率为1148.▶▶题型二 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，常有解答题的考查，属于中档题．复习中应强化应用类习题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值，它是正确求随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性训练．【例2】 (2018·北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk ＝1”表示第k 类电影得到人们喜欢，“ξk ＝0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k ＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【答案】见解析【解析】 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A . 因为第四类电影中获得好评的电影有200×0.25＝50(部)， 所以P (A )＝50140＋50＋300＋200＋800＋510＝502 000＝0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”为事件B ，则P (B )＝0.25×(1－0.2)＋(1－0.25)×0.2＝0.35.(3)由题意可知，定义随机变量如下：ξk ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，第k 类电影没有得到人们喜欢，1，第k 类电影得到人们喜欢，则ξk 显然服从两点分布，故Dξ1＝0.4×(1－0.4)＝0.24，Dξ2＝0.2×(1－0.2)＝0.16， Dξ3＝0.15×(1－0.15)＝0.127 5，Dξ4＝0.25×(1－0.25)＝0.187 5， Dξ5＝0.2×(1－0.2)＝0.16， Dξ6＝0.1×(1－0.1)＝0.09.综上所述，Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6.【素养解读】本题考查统计中的概率计算、随机变量的方差计算，考查运算求解能力，体现了数据分析、数学运算等核心素养．试题难度：中．【突破训练2】 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【答案】见解析【解析】(1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500， 由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4， P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4， 因此X 的分布列为当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，Y ＝6n －4n ＝2n ； 若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以当n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．▶▶题型三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键．复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算．【例3】(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下．(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；附：K 2＝(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d).【答案】见解析【解析】(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”． 由题意知P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )． 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得如下列联表.K 2＝100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋0.5－0.340.068≈52.35(kg)．【素养解读】本题考查频率分布直方图、独立性检验、中位数、相互独立事件的概率，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力．主要体现了数据分析，数学运算等核心素养．【突破训练3】 (2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小(只需写出结论)． 【答案】见解析【解析】(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人． 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3.(2)由题图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C . 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 24＝16.所以ξ的分布列为故ξ的期望E (ξ)＝0×6＋1×3＋2×6＝1.(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据方差． 题型四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差等)的考查，解答题中也有所考查．【例4】 (2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t . (1)分析利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由． 【答案】见解析【解析】(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施资源额的预测值为y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)． (2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势，2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^＝99＋17.5t 可以较好地描述2010年的数据建立基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． (以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．)【素养解读】本题以统计图为背景，考查线性回归方程，考查运算求解能力和数形结合思想，体现了数学运算的核心素养．【突破训练4】 下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17(y i －y)2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n（t i －t）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2∑i ＝1n（y i －y）2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n（t i －t）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2，a ^＝y －b ^t .【答案】见解析【解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28，∑i ＝17(y i －y －)2＝0.55，∑i ＝17(t i －t －)(y i －y －)＝∑i ＝17t i y i －t －∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y －＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t －)(y i －y －)∑i ＝17(t i －t －)2＝2.8928≈0.103，a ^＝y －－b ^t －＝1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2019年对应的t ＝9代入回归方程，得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．。
【精选+详解】2020届高三数学名校试题汇编 (第1期)专题11 概率与统计 文
第十一章 概率和统计（文）一．基础题 1、【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校2020届高三上学期第一次联考】在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y0.99- 0.01 0.98 2.00则对x ,y 最适合的拟合函数是 （ ）A ．xy 2= B ．12-=x y C ．22-=x y D ． x y 2log =2.【广东省珠海市2020年9月高三摸底考试】对１００只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表由22() 5.56()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++ 附表：则下列说法正确的是：A ．在犯错误的概率不超过000.1的前提下认为“对激素敏感与性别有关”；B ．在犯错误的概率不超过000.1的前提下认为“对激素敏感与性别无关”；C ．有0095以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”；D ．有0095以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”；3.【2020届安徽省示范高中高三9月模底考试】样本中共有5个个体，其中四个值分别为雄性 雌性 总计敏感 ５０ ２５ ７５不敏感 １０ １５ ２５总计 ６０ ４０ １００2()P K k ≥ 0.0500.0100.001k 3.8416.63510.8280，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为＝（ ） A 、305 B 、65C 、2D 、24.【浙江省温州八校2020届高三9月期初联考】如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中位数为 .二．能力题1.【河北省唐山市2020学年度高三年级摸底考试】 一名小学生的年龄和身高（单位：cm)的数据如下： 年龄x 6 7 8 9 身高y 118 126 136 144由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归直线方程为$$8.8y x a =+，预测该学生10岁时的身高为(A) 154 .(B) 153 (C) 152 (D) 151参考公式：回归直线方程是：$$$,y bx a a y bx=+=-$$2.【山西大学附属中学2020届高三10月月考】学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量 为n 的样本，其频率分布直方图如图所示， 其中支出在[)60,50元的同学有30人，则n 的值为____．30100.010.0240.0361,100.nn⨯+++=∴=答案解析考点定位本题考查频率分布直方图基本知识，考查学生识图、读图能力和基本运（算力。
备战2020年高考专题数学理试题分类汇编：统计与概率
2016年高考数学理试题分类汇编 统计与概率 一、选择题 1、（2016年北京高考）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出
两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C 2、（2016年山东高考）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5, 25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 （A）56 （B）60 （C）120 （D）140
【答案】D 3、（2016年全国I高考）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A）13 （B）12 （C）23 （D）34 【答案】B 4、（2016年全国II高考）从区间0,1随机抽取2n个数1x,2x，…，nx，1y，2y，…，ny，构成n个数对11,xy，22,xy，…，,nnxy，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值
为 （A）4nm （B）2nm （C）4mn （D）2mn 【答案】C 5、（2016年全国III高考）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是
2020年高考数学文模拟试卷分类汇编：专题10立体几何Word版含解析
1.【2021高|考浙江 ,文4】设α ,β是两个不同的平面 ,l ,m 是两条不同的直线 ,且l α⊂ ,m β⊂ ( )A ．假设l β⊥ ,那么αβ⊥B ．假设αβ⊥ ,那么l m ⊥C ．假设//l β ,那么//αβD ．假设//αβ ,那么//l m【答案】A【解析】采用排除法 ,选项A 中 ,平面与平面垂直的判定 ,故正确；选项B 中 ,当αβ⊥时 ,,l m 可以垂直 ,也可以平行 ,也可以异面；选项C 中 ,//l β时 ,,αβ可以相交；选项D中 ,//αβ时 ,,l m 也可以异面.应选A.【考点定位】直线、平面的位置关系.【名师点睛】此题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答此题时要根据空间直线、平面的位置关系 ,从定理、公理以及排除法等角度 ,对个选项的结论进行确认真假.此题属于容易题 ,重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力.2.【2021高|考新课标1 ,文6】<九章算术>是我国古代内容极为丰富的数学名著 ,书中有如下问题： "今有委米依垣内角 ,下周八尺 ,高五尺 ,问：积及为米几何 ?〞其意思为： "在屋内墙角处堆放米 (如图 ,米堆为一个圆锥的四分之一 ) ,米堆底部的弧长为8尺 ,米堆的高为5尺 ,米堆的体积和堆放的米各为多少 ?〞1斛米的体积约为立方尺 ,圆周率约为3 ,估算出堆放的米有 ( )(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ,那么12384r ⨯⨯= ,所以163r = ,所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯ =3209 ,故堆放的米约为3209÷≈22 ,应选B. 【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】此题以<九章算术>中的问题为材料 ,试题背景新颖 ,解答此题的关键应想到米堆是14圆锥 ,底面周长是两个底面半径与14圆的和 ,根据题中的条件列出关于底面半径的方程 ,解出底面半径 ,是根底题.3.【2021高|考浙江 ,文2】某几何体的三视图如下列图 (单位：cm ) ,那么该几何体的体积是( )A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm【答案】C【解析】由三视图可知 ,该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2 ,高为2的正四棱锥的组合体 ,故其体积为32313222233V cm =+⨯⨯=.应选C. 【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积.【名师点睛】此题主要考查空间几何体的体积.解答此题时要能够根据三视图确定该几何体的结构特征 ,并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.此题属于中等题 ,重点考查空间想象能力和根本的运算能力.4.【2021高|考重庆 ,文5】某几何体的三视图如下列图 ,那么该几何体的体积为 ( )(A) 123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52π【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1 ,高为2的圆柱 ,再加上一个半圆锥：其底面半径为1 ,高也为1 ,构成的一个组合体 ,故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯ ,应选B.【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.【名师点睛】此题考查三视图的概念和组合体体积的计算 ,采用三视图复原成直观图 ,再利用简单几何体的体积公式进行求解.此题属于根底题 ,注意运算的准确性.5.【2021高|考陕西 ,文5】一个几何体的三视图如下列图 ,那么该几何体的外表积为 ( )A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半 ,所以该几何体的外表积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+ ,故答案选D【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的外表积.【名师点睛】1.此题考查空间几何体的三视图及几何体的外表积 ,意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征 ,再计算出几何体各个面的面积即可；3.此题属于根底题 ,是高|考常考题型.6.【2021高|考广东 ,文6】假设直线1l 和2l 是异面直线 ,1l 在平面α内 ,2l 在平面β内 ,l 是平面α与平面β的交线 ,那么以下命题正确的选项是 ( )A ．l 至||少与1l ,2l 中的一条相交B ．l 与1l ,2l 都相交C ．l 至||多与1l ,2l 中的一条相交D ．l 与1l ,2l 都不相交【答案】A【解析】假设直线1l 和2l 是异面直线 ,1l 在平面α内 ,2l 在平面β内 ,l 是平面α与平面β的交线 ,那么l 至||少与1l ,2l 中的一条相交 ,应选A ．【考点定位】空间点、线、面的位置关系．【名师点晴】此题主要考查的是空间点、线、面的位置关系 ,属于容易题．解题时一定要注意选项中的重要字眼 "至||少〞、 "至||多〞 , 否那么很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心 ,除了作理论方面的推导论证外 ,利用特殊图形进行检验 ,也可作必要的合情推理．7.【2021高|考浙江 ,文7】如图 ,斜线段AB 与平面α所成的角为60 ,B 为斜足 ,平面α上的动点P 满足30∠PAB = ,那么点P 的轨迹是 ( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C【解析】由题可知 ,当P 点运动时 ,在空间中 ,满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥 ,用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥 ,所得图形为椭圆.应选C.【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.【名师点睛】此题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答此题时要能够根据给出的线面位置关系 ,通过空间想象能力 ,得到一个无限延展的圆锥被一个与之成60角的平面截得的图形是椭圆的结论.此题属于中等题 ,重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲线的定义的理解.8.【2021高|考湖北 ,文5】12,l l 表示空间中的两条直线 ,假设p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交 ,那么 ( )A ．p 是q 的充分条件 ,但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件 ,但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件 ,也不是q 的必要条件【答案】A .【解析】假设p ：12,l l 是异面直线 ,由异面直线的定义知 ,12,l l 不相交 ,所以命题q ：12,l l 不相交成立 ,即p 是q 的充分条件；反过来 ,假设q ：12,l l 不相交 ,那么12,l l 可能平行 ,也可能异面 ,所以不能推出12,l l 是异面直线 ,即p 不是q 的必要条件 ,故应选A .【考点定位】此题考查充分条件与必要条件、异面直线 ,属根底题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机 ,重点考查空间中直线的位置关系 ,其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件 ,正确理解异面直线的定义 ,注意考虑问题的全面性、准确性.9、【2021高|考新课标1 ,文11】圆柱被一个平面截去一局部后与半球 (半径为r )组成一个几何体 ,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如下列图 ,假设该几何体的外表积为1620π+ ,那么r =( )(A )1 (B )2(C )4 (D )8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知 ,该几何体是半球与半个圆柱的组合体 ,圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱的高为2r ,其外表积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯ =2254r r π+ =16 + 20π ,解得r =2 ,应选B.【考点定位】简单几何体的三视图；球的外表积公式；圆柱的测面积公式【名师点睛】此题考查简单组合体的三视图的识别 ,是常规提 ,对简单组合体三三视图问题 ,先看俯视图确定底面的形状 ,根据正视图和侧视图 ,确定组合体的形状 ,再根据 "长对正 ,宽相等 ,高平齐〞的法那么组合体中的各个量.10.【2021高|考福建 ,文9】某几何体的三视图如下列图 ,那么该几何体的外表积等于 ( )A ．822+B ．1122+C ．1422+D ．15【答案】B【解析】由三视图复原几何体 ,该几何体是底面为直角梯形 ,高为2的直四棱柱 ,且底面直角梯形的两底分别为12， ,直角腰长为1 , 斜腰为2．底面积为12332⨯⨯= ,侧面积为2+2+4+22=8+22 , 所以该几何体的外表积为1122+ ,应选B ．【考点定位】三视图和外表积．【名师点睛】此题考查三视图和外表积计算 ,关键在于根据三视图复原体 ,要掌握常见几何体的三视图 ,比方三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体 ,并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法 ,将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体 ,属于中档题．11.【2021高|考山东 ,文9】等腰直角三角形的直角边的长为 ,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )(A )223π(B )423π( )22π ( )42π【答案】B【解析】由题意知 ,该等腰直角三角形的斜边长为22 ,2 ,所得旋转体为同底等高的全等圆锥 ,所以 ,其体积为21422)2233ππ⨯⨯=,应选B . 【考点定位】1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.【名师点睛】此题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算 ,解答此题的关键 ,是理解所得旋转体的几何特征 ,确定得到计算体积所需要的几何量.此题属于根底题 ,在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时 ,考查了考生的空间想象能力及运算能力 ,是 "无图考图〞的一道好题.12.【2021高|考湖南 ,文10】某工作的三视图如图3所示 ,现将该工作通过切削 ,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件 ,并使新工件的一个面落在原工作的一个面内 ,那么原工件材1112料的利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的体积) ( )A、89πB、827πC、224(21)π-D、28(21)π-【答案】A【考点定位】三视图、根本不等式求最||值、圆锥的内接长方体【名师点睛】运用根本不等式求最||值要紧紧抓住"一正二定三相等〞条件,此题"和为定〞是解决问题的关键.空间想象能力是解决三视图的关键,可从长方体三个侧面进行想象几何体.求组合体的体积,关键是确定组合体的组成形式及各局部几何体的特征,再结合分割法、补体法、转化法等方法求体积.13.【2021高|考北京 ,文7】某四棱锥的三视图如下列图 ,该四棱锥最||长棱的棱长为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【解析】四棱锥的直观图如下列图：AB,S A是四棱锥最||长的棱,由三视图可知 ,SC⊥平面CD222223SA SC AC SC AB BC=+=++=,应选C.【考点定位】三视图.【名师点晴】此题主要考查的是三视图 ,属于容易题．解题时一定要抓住三视图的特点 ,否那么很容易出现错误．此题先根据三视图判断几何体的结构特征 ,再计算出几何体中最||长棱的棱长即可．14【2021高|考安徽,文9】一个四面体的三视图如下列图,那么该四面体的外表积是( )(A )13+ (B )122+ (C )23+ (D )22【答案】C【解析】由该几何体的三视图可知 ,该几何体的直观图 ,如以下列图所示：其中侧面PAC ⊥底面ABC ,且PAC ∆≌ABC ∆ ,由三视图中所给数据可知：2====BC AB PC PA ,取AC 中点,O 连接BO PO , ,那么POB Rt ∆中 ,1==BO PO ⇒2=PB ∴3222212432+=⋅⋅+⋅⋅=S ,应选C . 【考点定位】此题主要考查空间几何体的三视图、锥体外表积公式.【名师点睛】在利用空间几何体的三视图求几何体的体积或者外表积时 ,一定要正确复原几何体的直观图 ,然后再利用体积或外表积公式求之；此题主要考查了考生的空间想象力和根本运算能力.【2021高|考上海 ,文6】假设正三棱柱的所有棱长均为a ,且其体积为316 ,那么=a .【答案】4【解析】依题意 ,3162321=⨯⨯⨯⨯a a a ,解得4=a . 【考点定位】等边三角形的性质 ,正三棱柱的性质.a 的正三角形的面积为243a . 15.【2021高|考天津 ,文10】一个几何体的三视图如下列图 (单位:m ),那么该几何体的体积为 3m .【答案】8π3【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为318π2π1π2(m )33⨯⨯⨯+⨯= . 【考点定位】此题主要考查三视图及几何体体积的计算.【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题根本上是高|考每年必考内容,高|考试题中三视图一般常与几何体的外表积与体积交汇.由三视图复原出原几何体,是解决此类问题的关键.16.【2021高|考四川 ,文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中 ,∠BAC ＝90° ,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形 ,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形 ,设点M ,N ,P 分别是AB ,BC ,B 1C 1的中点 ,那么三棱锥P －A 1MN 的体积是______.【答案】124【解析】由题意 ,三棱柱是底面为直角边长为1的 等腰直角三角形 ,高为1的直三棱柱 ,底面积为12 A 1 CC 1 B 1N P如图 ,因为AA 1∥PN ,故AA 1∥面PMN ,故三棱锥P －A 1MN 与三棱锥P －AMN 体积相等 ,三棱锥P －AMN 的底面积是三棱锥底面积的14 ,高为1 故三棱锥P －A 1MN 的体积为111132424⨯⨯= 【考点定位】此题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等根底知识 ,考查空间想象能力、图形分割与转换的能力 ,考查根本运算能力.【名师点睛】解决此题 ,首||先要正确画出三棱柱的直观图 ,包括各个点的对应字母所在位置 ,结合条件 ,三棱锥P －A 1MN 的体积可以直接计算 ,但转换为三棱锥P －AMN 的体积 ,使得计算更为简便 ,根本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.17.【2021高|考安徽 ,文19】如图 ,三棱锥P -ABC 中 ,PA ⊥平面ABC ,1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=.(Ⅰ )求三棱锥P -ABC 的体积；(Ⅱ )证明：在线段PC 上存在点M ,使得AC ⊥BM ,并求PM MC的值.【答案】 (Ⅰ36 (Ⅱ )13PM MC = 【解析】(Ⅰ )解：由题设AB ＝1,,2=AC 60=∠BAC A B M可得ABC S ∆︒⋅⋅⋅=60sin 21AC AB 23=. 由⊥PA 面ABC可知PA 是三棱锥ABC P -的高,又1=PA所以三棱锥ABC P -的体积6331=⋅⋅∆PA S V ABC ＝ (Ⅱ )证：在平面ABC 内 ,过点B 作AC BN ⊥ ,垂足为N ,过N 作PA MN //交PC 于M ,连接BM .由⊥PA 面ABC 知AC PA ⊥ ,所以AC MN ⊥.由于N MN BN ＝⋂ ,故⊥AC 面MBN ,又⊂BM 面MBN ,所以BM AC ⊥.在直角BAN ∆中 ,21cos =∠⋅=BAC AB AN ,从而23=-=AN AC NC .由PA MN // ,得31=NC AN MC PM ＝. 【考点定位】此题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.【名师点睛】此题将正弦定理求三角形的面积巧妙地结合到求锥体的体积之中 ,此题的第 (Ⅱ )问需要学生构造出线面垂直 ,进而利用性质定理证明出面面垂直 ,此题考查了考生的空间想象能力、构造能力和运算能力.18.【2021高|考北京 ,文18】 (本小题总分值14分 )如图 ,在三棱锥V C -AB 中 ,平面V AB ⊥平面C AB ,V ∆AB 为等边三角形 ,C C A ⊥B 且C C 2A =B = ,O ,M 分别为AB ,V A 的中点．(I )求证：V //B 平面C MO ；(II )求证：平面C MO ⊥平面V AB ；(III )求三棱锥V C -AB 的体积．【答案】 (I )证明详见解析； (II )证明详见解析； (III )33. (Ⅱ )因为AC BC = ,O 为AB 的中点 ,所以OC AB ⊥.又因为平面V AB ⊥平面C AB ,且OC ⊂平面C AB ,所以OC ⊥平面V AB .所以平面C MO ⊥平面V AB .(Ⅲ )在等腰直角三角形ACB 中 ,2AC BC ==,所以2,1AB OC ==.所以等边三角形V AB 的面积3VAB S ∆=.又因为OC ⊥平面V AB ,所以三棱锥C V -AB 的体积等于1333VAB OC S ∆⨯⨯=. 又因为三棱锥V C -AB 的体积与三棱锥C V -AB 的体积相等 ,所以三棱锥V C -AB 的体积为33. 考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.【名师点晴】此题主要考查的是线面平行、面面垂直和几何体的体积 ,属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行 ,证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．证明面面垂直的关键是证明线面垂直 ,证明线面垂直可由面面垂直得到 ,但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线 ,否那么很容易出现错误．求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等 ,此题求三棱锥的体积 ,采用了等积法．19.【2021高|考福建 ,文20】如图 ,AB 是圆O 的直径 ,点C 是圆O 上异于,A B 的点 ,PO 垂直于圆O 所在的平面 ,且1PO =OB =．(Ⅰ )假设D 为线段AC 的中点 ,求证C A ⊥平面D P O ；(Ⅱ )求三棱锥P ABC -体积的最||大值；(Ⅲ )假设2BC = ,点E 在线段PB 上 ,求CE OE +的最||小值．【答案】 (Ⅰ )详见解析； (Ⅱ )13； (Ⅲ 262+．【解析】解法一： (I )在C ∆AO 中 ,因为C OA =O ,D 为C A 的中点 ,所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面 ,所以C PO ⊥A ．因为D O PO =O ,所以C A ⊥平面D P O ．(II )因为点C 在圆O 上 ,所以当C O ⊥AB 时 ,C 到AB 的距离最||大 ,且最||大值为1．又2AB = ,所以C ∆AB 面积的最||大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO = ,故三棱锥C P -AB 体积的最||大值为111133⨯⨯=． (III )在∆POB 中 ,1PO =OB = ,90∠POB = ,所以PB ==．同理C P =,所以C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中 ,将侧面C B P 绕PB 旋转至||平面C 'B P ,使之与平面ABP 共面 ,如下列图．当O ,E ,C '共线时 ,C E +OE 取得最||小值．又因为OP =OB ,C C ''P =B ,所以C 'O 垂直平分PB ,即E 为PB中点．从而C C ''O =OE +E ==, 亦即C E +OE 的最||O A BP解法二： (I )、 (II )同解法一．(III )在∆POB 中 ,1PO =OB = ,90∠POB = ,所以45∠OPB =,PB ==．同理C P =所以C C PB =P =B ,所以C 60∠PB =．在三棱锥C P -AB 中 ,将侧面C B P 绕PB 旋转至||平面C 'B P ,使之与平面ABP 共面 ,如下列图．当O ,E ,C '共线时 ,C E +OE 取得最||小值．所以在C '∆O P 中 ,由余弦定理得：()2C 1221cos 4560'O =+-⨯+1122=+--2=+从而C 'O ==所以C E +OE 的最|| 【考点定位】1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．【名师点睛】证明直线和平面垂直可以利用判定定理 ,即线线垂直到线面垂直；也可以利用面面垂直的性质定理 ,即面面垂直到线面垂直；决定棱锥体积的量有两个 ,即底面积和高 ,当研究其体积的最||值问题时 ,假设其中有一个量确定 ,那么只需另一个量的最||值；假设两个量都不确定 ,可通过设变量法 ,将体积表示为变量的函数解析式 ,利用函数思想确定其最||值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要表达 ,通过旋转到一个平面内 ,利用两点之间距离最||短求解．20.【2021高|考广东 ,文18】 (本小题总分值14分 )如图3 ,三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直 ,D C 4P =P = ,6AB = ,C 3B =．(1 )证明：C//B 平面D P A ；(2 )证明：C D B ⊥P ；(3 )求点C 到平面D P A 的距离．【答案】 (1 )证明见解析； (2 )证明见解析； (3 )372． 【解析】试题分析： (1 )由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ,进而可证C//B 平面D P A ； (2 )先证C CD B ⊥ ,再证C B ⊥平面DC P ,进而可证C D B ⊥P ； (3 )取CD 的中点E ,连结AE 和PE ,先证PE ⊥平面CD AB ,再设点C 到平面D P A 的距离为h ,利用C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥可得h 的值 ,进而可得点C 到平面D P A 的距离．试题解析： (1 )因为四边形CD AB 是长方形 ,所以C//D B A ,因为C B ⊄平面D P A ,D A ⊂平面D P A ,所以C//B 平面D P A(2 )因为四边形CD AB 是长方形 ,所以C CD B ⊥ ,因为平面DC P ⊥平面CD AB ,平面DC P 平面CD CD AB = ,C B ⊂平面CD AB ,所以C B ⊥平面DC P ,因为D P ⊂平面DC P ,所以C D B ⊥P(3 )取CD 的中点E ,连结AE 和PE ,因为D C P =P ,所以CD PE ⊥ ,在Rt D ∆PE 中 ,22D D PE =P -E22437=-= ,因为平面DC P ⊥平面CD AB ,平面DC P 平面CD CD AB = ,PE ⊂平面DC P ,所以PE ⊥平面CD AB ,由 (2 )知：C B ⊥平面DC P ,由 (1 )知：C//D B A ,所以D A ⊥平面DC P ,因为D P ⊂平面DC P ,所以D D A ⊥P ,设点C 到平面D P A 的距离为h ,因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥 ,所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ,即CD D 136737212342S h S ∆A ∆P A ⨯⨯⨯⋅PE ===⨯⨯ ,所以点C 到平面D P A 372 【考点定位】1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.【名师点晴】此题主要考查的是线面平行、线线垂直和点到平面的距离 ,属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行 ,证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．证明线线垂直的关键是证明线面垂直 ,证明线面垂直可由面面垂直得到 ,但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线 ,否那么很容易出现错误．点到平面的距离是转化为几何体的体积问题 ,借助等积法来解决．21.【2021高|考湖北 ,文20】<九章算术>中 ,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 ,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如下列图的阳马P ABCD -中 ,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD = ,点E 是PC 的中点 ,连接,,DE BD BE .(Ⅰ )证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑 ,假设是 ,写出其每个面的直角 (只需写出结论 )；假设不是 ,请说明理由； (Ⅱ )记阳马P ABCD -的体积为1V ,四面体EBCD 的体积为2V ,求12V V 的值． 【答案】 (Ⅰ )因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形 ,有BC CD ⊥ ,而PD CD D = ,所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD = ,点E 是PC 的中点 ,所以DE PC ⊥. 而PCBC C = ,所以DE ⊥平面PBC .四面体EBCD 是一个鳖臑； (Ⅱ )124.V V = 【解析】 (Ⅰ )因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形 ,有BC CD ⊥ ,而PD CD D = ,所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD = ,点E 是PC 的中点 ,所以DE PC ⊥. 而PCBC C = ,所以DE ⊥平面PBC . 由BC ⊥平面PCD ,DE ⊥平面PBC ,可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形 ,即四面体EBCD 是一个鳖臑 ,其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠(Ⅱ )由 ,PD 是阳马P ABCD -的高 ,所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由 (Ⅰ )知 ,DE 是鳖臑D BCE -的高 , BC CE ⊥ ,所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC 中 ,因为PD CD = ,点E 是PC 的中点 ,所以22DE CE CD == ,于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ 【考点定位】此题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积 ,属中高档题.【名师点睛】以<九章算术>为背景 ,给予新定义 ,增添了试题的新颖性 ,但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算 ,其解题思路：第|一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明 ,第二问关键注意底面积和高之比 ,运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义 ,不仅考查学生解题能力 ,也增强对数学的兴趣培养 ,为空间立体几何注入了新的活力. 22.【2021高|考湖南 ,文18】 (本小题总分值12分 )如图4 ,直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形 ,,E F 分别是1,BC CC 的中点 .(I )证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；(II )假设直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45 ,求三棱锥F AEC -的体积 .【答案】 (I )略；612. 【解析】试题分析： (I )首||先证明1AE BB ⊥ ,AE BC ⊥ ,得到AE ⊥平面11B BCC ,利用面面垂直的判定与性质定理可得平面AEF ⊥平面11B BCC ； (II)设AB 的中点为D,证明直线1CA D ∠直线1AC 与平面11A ABB 所成的角 ,由题设知145CA D ∠= ,求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.试题解析： (I )如图 ,因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱 ,所以1AE BB ⊥ ,又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点 ,所以AE BC ⊥ ,因此AE ⊥平面11B BCC ,而AE ⊂平面AEF ,所以平面AEF ⊥平面11B BCC .(II )设AB 的中点为D ,连接1,A D CD ,因为ABC ∆是正三角形 ,所以CD AB ⊥ ,又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱 ,所以1CD AA ⊥ ,因此CD ⊥平面11A AB B ,于是1CA D ∠直线1AC 与平面11A ABB 所成的角 ,由题设知145CA D ∠= ,所以1A D CD =333AB == , 在1Rt AA D ∆中 ,2211312AA A D AD =-=-= ,所以11222FC AA == 故三棱锥F AEC -的体积11326332212AEC V S FC =⨯=⨯⨯= .【考点定位】柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质【名师点睛】证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质 ,注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用 ,这是证明空间垂直关系的根底．由于 "线线垂直〞 "线面垂直〞 "面面垂直〞之间可以相互转化 ,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开 ,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．求锥的体积关键在于确定其高 ,即确定线面垂直.23.【2021高|考山东 ,文18】 如图 ,三棱台DEF ABC -中 ,2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点.(I )求证：//BD 平面FGH ；(II )假设CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .【答案】证明见解析 【解析】(I )证法一：连接,.DG CD 设CD GF M ⋂=,连接MH ,在三棱台DEF ABC -中 ,2AB DE G =，分别为AC 的中点 ,可得//,DF GC DF GC = ,所以四边形DFCG 是平行四边形 ,那么M 为CD 的中点 ,又H 是BC 的中点 ,所以//HM BD , 又HM ⊂平面FGH ,BD ⊄平面FGH ,所以//BD 平面FGH .证法二：在三棱台DEF ABC -中 ,由2,BC EF H =为BC 的中点 , 可得//,,BH EF BH EF =所以HBEF 为平行四边形 ,可得//.BE HF 在ABC ∆中 ,G H ，分别为AC BC ，的中点 ,所以//,GH AB 又GH HF H ⋂= , 所以平面//FGH 平面ABED , 因为BD ⊂平面ABED , 所以//BD 平面FGH .(II)证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点 ,所以//,GH AB 由,AB BC ⊥得GH BC ⊥ ,又H 为BC 的中点 ,所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四边形 ,所以//.CF HE又CF BC ⊥ ,所以HE BC ⊥.又,HE GH ⊂平面EGH ,HE GH H ⋂= ,所以BC ⊥平面EGH , 又BC ⊂平面BCD ,所以平面BCD ⊥平面.EGH 【考点定位】1.平行关系；2.垂直关系.【名师点睛】此题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系和垂直关系 ,从证明方法看 ,起点低 ,入口宽 ,特别是第|一小题.证明过程中 ,关键是注意构造线线的平行关系、垂直关系 ,特别是注意利用平行四边形 ,发现线线关系 ,进一步得到线面关系、面面关系.此题是一道能力题 ,属于中等题 ,重点考查两空间几何体的特征及空间直线、平面的平行关系和垂直关系等根底知识 ,同时考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力.24.【2021高|考陕西 ,文18】如图1 ,在直角梯形ABCD 中 ,//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a == ,E 是AD 的中点 ,O 是OC 与BE 的交点 ,将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置 ,得到四棱锥1A BCDE -. (I)证明：CD ⊥平面1AOC ； (II)当平面1A BE ⊥平面BCDE 时 ,四棱锥1A BCDE -的体积为362 ,求a 的值.【答案】(I) 证明略 ,详见解析；(II) 6a =. 【解析】试题分析：(I) 在图1中 ,因为12AB BC AD a === ,E 是AD 的中点 ,2BAD π∠= ,所以四边形ABCE 是正方形 ,故BE AC ⊥ ,又在图2中 ,1,BE AO BE OC ⊥⊥ ,从而BE ⊥平面1AOC ,又//DE BC 且DE BC = ,所以//CD BE ,即可证得CD ⊥平面1AOC ； (II)由 ,平面1A BE ⊥平面BCDE ,且平面1A BE平面BCDE BE = ,又由(I)知 ,1AO BE ⊥ ,所以1AO ⊥平面BCDE ,即1AO 是四棱锥1A BCDE -的高 ,易求得平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅= ,从而四棱锥1A BCDE -的为311236V S A O =⨯⨯= ,323626= ,得6a =.试题解析：(I)在图1中 ,因为12AB BC AD a === ,E 是AD 的中点2BAD π∠= ,所以BE AC ⊥ ,即在图2中 ,1,BE AO BE OC ⊥⊥ 从而BE ⊥平面1AOC 又//CD BE所以CD ⊥平面1AOC .(II)由 ,平面1A BE ⊥平面BCDE , 且平面1A BE平面BCDE BE =又由(I)知 ,1AO BE ⊥ ,所以1AO ⊥平面BCDE , 即1AO 是四棱锥1A BCDE -的高 , 由图1可知,1AO AB == ,平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅= , 从而四棱锥1A BCDE -的为2311133V S AO a =⨯⨯=⨯= ,由3=,得6a =. 【考点定位】1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空间几何体的体积.【名师点睛】1.在处理有关空间中的线面平行、线面垂直等问题时 ,常常借助于相关的判定定理来解题 ,同时注意恰当的将问题进行转化；2.求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等价转化法等 ,此题是求四棱锥的体积 ,可以接使用公式法.25.【2021高|考四川 ,文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如下列图.(Ⅰ)请按字母F ,G ,H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明：直线DF ⊥平面BEG【解析】(Ⅰ)点F ,G ,H 的位置如下列图AB FH ED CG CDEABGH。
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2020全国各地模拟分类汇编（文）：统计与概率【山东省曲阜师大附中2020届高三9月检测】一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A ．18 B ．116 C ．127 D ．38【答案】C【山东省兖州市2020届高三入学摸底考试】下表是某工厂1~4月份用电量（单位：万度）月份x 1 2 3 4 用电量y4．5432．5由散点图可知，用电量y 与月份x 间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是ˆ0.7yx a =-+，则a= （ ） A ．10.5 B ．5.25 C ．5.2 D ．5.15 【答案】B【山东省兖州市2020届高三入学摸底考试】右图是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎 叶图，则得分的中位数与众数分别为（ ）A ．3与3B ．23与3C ．3与23D ．23与23 【答案】D【四川省南充高中2020届高三第一次月考文】南高老校区有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为（ ）A ．50B ．100C ．150D ．20 【答案】B【2020四川省成都市石室中学高三第一次月考】某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是,451则该单位员工总数为（ ）A ．110B ．100C ．90D ．80 【答案】B【2020四川省成都市石室中学高三第一次月考】有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率（ ） A ．521B ．27C ．13D ．821【答案】D【2020浙江省杭州师范大学附属中学高三适应文】某工厂有A,B,C 三种不同型号的产品,三种产品的数量比为3:4:7,现用分层抽方法，从中抽出一个容量为n 的样本进行检验，该样本中A 型号产品有9件，则n= . 【答案】42【2020浙江省杭州师范大学附属中学高三适应文】设))(1,(Z t t OA ∈=，)4,2(=OB ，满足4||≤OA ，则OAB ∆不是直角三角形的概率是 .【答案】4/7【四川绵阳市丰谷中学2020届高三第一次月考文】为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如下左图），已知图中从左到右的前3个小组的频率比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 。
【答案】48【四川绵阳市丰谷中学2020届高三第一次月考文】南高老校区有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为（ ） A ．50 B ．100 C ．150 D ．20【答案】B【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学2020届高三上学期联考文】若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是( )(A)112 (B) 16 (C) 14 (D) 12【答案】B【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学2020届高三上学期联考文】 (13) 某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测的元件长度 (单位：mm) 数据绘制了频率分布直方图 (如图)．若规定长度在 [97，103) 内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格品率是 ．【答案】80%【湖南省雅礼中学2020届高三第三次月考文】雅礼中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查。
现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数8001650k ==，即每16人抽取一个人，在1~16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33~48这16个数中应取的数是（ ） A ．40 B ．39 C ．38 D ．37 【答案】B【湖南省雅礼中学2020届高三第三次月考文】某公司为改善职工的出行条件，随机抽取50名职工，调查他们的居住地与公司的距离d （单位：千米）。
若样本数据分组(](](](](][0,2],2,4,4,6,6,8,8,10,10,12，由数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过．．．4千米的人数为 人。
【答案】24【湖南省雅礼中学2020届高三第三次月考文】在边长为2的正三角形ABC 中，以A 为圆心，3为半径画一弧，分别交AB ，AC 于D ，E 。
若在ABC ∆这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是 。
【答案】63π【江西省白鹭洲中学2020届高三第二次月考文】设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为91，A 发生B 不发生的概率与B 发生但A 不发生的概率要同，则事件A 发生的概率P(A)是（ ）A 、92 B 、181 C 、31 D 、32【答案】D【江西省白鹭洲中学2020届高三第二次月考文】一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________． 【答案】12【2020湖北省武汉市部分学校学年高三新起点调研测试】右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损。
则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 （ ）A ．25B ．710C ．45D ．910【答案】C【湖北省部分重点中学2020届高三起点考试】在区间[,]22ππ-上随机抽取一个数x, cos x 的值介于0和12之间的概率为（ ） A ．12 B ．23 C ．13 D ．6π【答案】C【湖北省部分重点中学2020届高三起点考试】某学校为了解高一男生的百米成绩，随机抽取了50人进行调查，右图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图。
根据该图可以估计出全校高一男生中百米成绩在[13，14]内的人数大约是140人，则高一共有男生 人.【答案】200【江苏省南通市2020届高三第一次调研测试】在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 【答案】78【江苏省南通市2020届高三第一次调研测试】若12320082009,,,,,x x x x x L 的方差为3，则12200820093(2),3(2),,3(2),3(2)x x x x ----L 的方差为 ．【答案】27【上海市南汇中学2020届高三第一次考试(月考)】一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为 【答案】2120 【2020四川省成都市石室中学高三第一次月考】（12分）在三人兵乓球对抗赛中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13。
（1）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；（2）求三人得分相同的概率；【答案】（1）1()18P A =； （2）P （B ）=736【四川省江油中学高2020届高三第一次学月考试】为庆祝祖国母亲61华诞，教育局举行“我的祖国”歌咏比赛，某中学师生踊跃报名参加．据统计，报名的学生和教师的人数之比为5∶1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛．已知教师甲被抽到的概率为，则报名的学生人数是 ． 【答案】500【四川省江油中学高2020届高三第一次学月考试】（本题满分12分）学校要用三辆校车从老校区把教职工接到校本部，已知从老校区到校本部有两条公路，校车走公路①堵车的概率为41，不堵车的概率为43；校车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1p -．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响． （1）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为167，求走公路②堵车的概率；（2）在（I ）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的辆数ξ的分布列和数学期望.【答案】解：（1………………4分 (8)分ξ的分布列为：所以1671830⋅+⋅=ξE 4813612⋅+⋅+65= ……12分 【山东省曲阜师大附中2020届高三9月检测】(本小题满分12分)现有7名数理化成绩优秀者，其中123A A A ，，数学成绩优秀，12B B ，物理成绩优秀，12C C ，化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛． （Ⅰ）求1C 被选中的概率；（Ⅱ）求1A 和1B 不全被选中的概率．【答案】解：（Ⅰ）从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122()A B C ，，， 211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，322().A B C ，，} …………3分由12个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“1C 恰被选中”这一事件，则M ={111()A B C ，，，121()A B C ，，，211()A B C ，， ，221()A B C ，，，，311()A B C ，，，321()A B C ，，}.事件M 由6个基本事件组成，因而61()122P M ==． ………………6分 （Ⅱ）用N 表示“11,A B 不全被选中”这一事件， 则其对立事件N 表示“11,A B 全被选中”这一事件，由于N ={111112()()A B C A B C ，，，，，}，事件N 有2个基本事件组成， 所以21()126P N ==， 由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=． ………………12分 【云南省建水一中2020届高三9月月考文】某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；(2) 假设在[90,100]段的学生的成绩都不相同,且都在94分以上,现用简单随机抽样方法,从100,99,98,97,96,95这6个数中任取2个数,求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.【答案】解:（Ⅰ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 80.010)005.0025.0030.0020.0(=⨯+++ 所以，抽样学生成绩的合格率是80%........6分（Ⅱ）从100,99,98,97,96,95中抽取2个数全部可能的基本结果有：)97,95(),96,95(,)98,95(，)99,95(,)100,95(,)97,96(,)98,96(,)99,96(，)100,96(,)98,97(，)99,97(,)100,97(，)99,98(，)100,98(，)100,99(．共15个基本结果．………………….9分如果这2个数恰好是两个学生的成绩,则这2个学生在[90,100]段,而[90,100]的人数是3人,不妨设这3人的成绩是97,96,95.则事件A :“2个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本结果有：)97,95(),96,95(，)97,96(.共有3个基本结果．………………….10分所以所求的概率为51153)(==A P .………………….12分 【江苏省南通市2020届高三第一次调研测试】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程$y bx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?【答案】解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分所以 43()1105P A =-=．……………………4分 答：略． …………………………5分 （2）由数据，求得12,27x y ==．……………7分由公式，求得52b =，3a y bx =-=-． …………9分 所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-． …………10分 （3）当x =10时，5ˆ103222y =⨯-=，|22－23|＜2；…………12分 同样，当x =8时，5ˆ83172y=⨯-=，|17－16|＜2．…………14分 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……15分【四川省成都外国语学校2020届高三12月月考】（12分）在盒子里有大小相同仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个。