高考数学试卷(四川卷理)

2006年高考数学四川卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合2{560}A x x x =-+≤，集合{213}B x x =->，则集合A B =I （ ）

（A ）{23}x x ≤≤ （B ）{23}x x ≤<

（C ）{23}x x <≤ （D ）{13}x x -<<

（2）复数3(1)i -的虚部为（ ）

（A ）3 （B ）3- （C ）2 （D ）2-

（3）已知23,1()2,1x x f x x +≠?=?=?

，下面结论正确的是（ ） （A ）()f x 在1x =处连续 （B ）(1)5f =

（C ）1lim ()2x f x -?= （D ）1

lim ()5x f x ?=

（4）已知二面角l a b --的大小为60°，m 、n 为异面直线，且m a ^、n b ^，则m 、n 所成的角为（ ）

（A ）30° （B ）60° （C ）90° （D ）120°

（5）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）

（A ）sin()6y x p =+ （B ）sin(2)6

y x p =- （C ）cos(4)3y x p =- （D ）cos(2)6

y x p =- （6）已知两定点(2,0)A -、(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）

（A ）p （B ）4p （C ）8p （D ）9p

（7）如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（ ） （A ）1213PP PP ?u u u u r u u u u r （B ）1214PP PP ?u u u u r u u u u r （C ）1215PP PP ?u u u u r u u u u r （D ）1216PP PP ?u u u u r u u u u r

（8）某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为1a 、1b 千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为2a 、2b 千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为1d 、2d 元，月初一次性购进本月用原料A 、B 各1c 、2c 千克．要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问

题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为（ ）

（A ）12112200a x a y c b x b y c x y +≥??+≥??≥??≥? （B ）1112220

a x

b y

c a x b y c x y +≤??+≤??≥??≥?

（C ）12112200a x a y c b x b y c x y +≤??+≤??≥??≥? （D ）1211220

a x a y c

b x b y

c x y +=??+=??≥??≥?

（9）直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ）

（A ）48 （B ）56 （C ）64 （D ）72

（10）已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π，B 、C 两点的球面距离是3

π，则二面角B OA C --的大小是（ ）

（A ）4π （B ）3π （C ）2

π （D ）23π （11）设a 、b 、c 分别是⊿ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，则2()a b b c =+是2A B =的（ ）

（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件

（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分又不必要条件

（12）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（ ）

（A ）1954 （B ）3554 （C ）3854 （D ）4160

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．

（13）在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 （用反三角函数表示）．

（14）设离散型随机变量ξ可能取的值为1、2、3、4，b ak k P +==)(ξ（k ＝1、2、3、4），又ξ的数学期望3=ξE ，则=+b a ．

（15）如图，把椭圆22

12516

x y +=的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分

于1P ，2P ，…，7P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127PF PF PF +++=L ．

（16）非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ?，都有a b G 盼；（2）存在e G ?，使得对一切a G ?，都有a e e a a ??，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：

○

1G ＝{非负整数}，⊕为整数的加法； ○

2G ＝{偶数}，⊕为整数的乘法； ○

3G ＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法； ○

4G ＝{二次三项式}，⊕多项式的乘法； ○

5G ＝{虚数}，⊕为复数的乘法． 其中G 关于运算为“融洽集”的是__________(写出所有“融洽集”的序号)．

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分） 已知A 、B 、C 是⊿ABC 三内角，向量(13)m =-u r ，(cos ,sin )n A A =r ，且1m n ?u r r ． （I ）求角A ；

（II ）若221sin 23cos sin B B B

+=--，求tan C ．

（18）（本小题满分12分）

某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9．所在考核是否合格相互之间没有影响．

（I ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

（II ）求这三人该课程考核都合格的概率．（结果保留三位小数）

（19）（本小题满分12分）

如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、P 分别是BC 、11A D 的中点，M 、N 分别是AE 、1CD 的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a ．

（I ）求证：MN //面ADD 1A 1；

（II ）求二面角P －AE －D 的大小；

（III ）求三棱锥P －DEN 的体积．

（20）（本小题满分12分）

已知数列{}n a ，其中11a =，23a =，112(2)n n n a a a n +-=+≥，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{ln }n a 的前n 项和为n U ．

（I ）求n U ；

（II ）设22()(0)2(!)

n U n n e F x x x n n =>，'1()()k n n k T x F x ==?（其中'()k F x 为()k F x 的导函数），计算1()lim ()

n n n T x T x +．

（21）（本小题满分12分） 已知两定点()0,21-F ，()

0,22F ，满足条件212PF PF -=uuu r uuu r 的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =-与曲线E 交于A 、B 两点．如果63AB =，且曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC +=uu r uu u r uuu r ，求m 的值和⊿ABC 的面积S ．

（22）（本小题满分14分） 已知函数22()ln (0)f x x a x x x

=++>，()f x 的导函数是'()f x ．对任意两个不相等的正数1x 、2x ，证明：

（I ）当0a ￡时， 1212()()()22

f x f x x x f ++>； （II ）当4a ￡时， 1212'()'()f x f x x x ->-．