函数的单调性和导数_高中数学教师资格证面试试讲逐字稿-(2929)
函数的单调性和导数
上课之前呢，请同学们先回顾一下，必修课当中我们学过的判断函数单调性的方法都有
哪些呢？我听到有同学说利用定义法证明函数的单调性，还有同学说利用图像法，那可以根
据图像上升或下降的趋势，来判断函数的单调性。
大家都很优秀，学习数学呢，我们就需要这种精神，对于学过的知识一定要内化于心，
灵活运用，那我们发现，这两种方法操作起来，步骤都比较繁琐，那还有没有其他较为简单
的方法呢？
上节课我们学习了导数的时候说过，导数是研究函数的重要工具，那么函数的单调性，
和函数的导数之间有什么样的关系呢？这节课呢？我们就一起来讨论这个问题，请同学们看
老师多媒体呈现的这 4 个函数， y=x， y 等于 x 方， y=x3 次方，和y=1/x ，请同学们求出这4
个函数的导函数，然后拿出导学案，观察同一坐标系内，这4个函数与其对应的导函数的图
像，大家主要看看导函数的正负，与原函数的单调性有什么样的关系？
那在这里呢，老师给大家提示一下，同学们可以利用列表的方法，来呈现你们的发现，那我
们的这个表格呢，大家可以这样来列，第一列表示自变量x 的取值，第二行表示导数值f’(x)
的正负，第 3 行表示函数值 f(x)的增减，那现在，同学们开始动手操作吧。
好，时间到了，刚才老师在巡视的过程中啊，发现同学们观察的都非常仔细，那不知道你们
有没有发现什么规律呢？下面请 4 位同学，将你们的表格投影到大屏幕上来，第1排这 4
位女同学，请到黑板上来，展示你们的结果。
来，同学们，我们已经看到了这 4 位同学的答案，已经投影到了大屏幕上，那，表格做的非
常的清晰，然后一目了然的展现了我们的目标数据之间的这种关系，那同学们，你们观察这
4组表格，说一说，你们发现什么样的规律呢？啊，课代表你来说，那课代表说，他发现这
4个函数的原函数，与对应导函数之间都有一个共同的特点，那就是，导函数为正时，对应
的区间上，原函数单调增，导函数为负时，对应的区间上原函数单调减。
哦，请坐，课代表刚才总结的很精彩，将图表中呈现的规律啊，展示得淋漓尽致，很优秀啊，
那我们刚才发现的，这4个导函数与原函数之间的这种特殊关系，究竟是否具有一般性吗？
那下面我们就一起来论证一下我们刚才得出的这个结论，是否具有普遍性？请同学们看大屏
幕上呈现的这个函数，那我们在函数图像的右侧，任取一点(x0,f(x0))，那么根据导数的性质，
该点处导数值 f ’(x0)表示函数f(x)在点 (x0,f(x0))处切线的斜率，那么,在 x=x0 处，我们知道，
导数值 f ’(x0)大于 0，我们做出该点处的切线，发现她是左下右上的形式，那在这个时候，
函数值 f(x)在 x0 附近单调递增，那同样的道理，在函数图像的右侧任取一点x1，那在 x=x1处，f ’(x1)小于 0，在这种情况下，我们发现，切线是左上右下的形式，那很显然，函数值 f(x)在 x1附近单调递减，非常好啊，那到这里，我们同学就有疑问了，说我们刚才说到，函数
在 x0或 x1 处附近是单调递增或单调递减，那这样我们能不能得到 f ’(x0)大于零时， f(x)在对应的区间上单调递增的结论呢？这里呢，同学们思考一下，我们研究的这个函数，他是一个什么函数呢？对了，我们的 f(x)它的定义域是连续函数，所以说我们从附近的这个变化区域，
能够将它扩展到它的定义域内。嗯，那非常好啊，同学们，那我们这部分，相信大家都能够
理解了。
那没问题的话，下面老师给同学们总结一下，我们函数的单调性，与导数的正负之间存在的
一种这样的关系，在某个区间（a,b）内，如果 f ’(x)大于 0，那么函数 y 等于 f(x)在这个区间
内单调递增，如果f’(x)小于 0，那么函数y 等于 f(x)在这个区间内单调递减，那么老师教给
大家一个口诀，我们说，导函数看正负，原函数看增减，这个口诀大家记住了吗？好的，那
下面检测一下同学们对这节课知识的掌握情况，请同学们利用三分钟时间，独立完成多媒体
上的，这个变式题组，请第 1 排的这位同学到黑板上进行表演，我看大家都已经完成了，我
们一起来检查一下黑板上这位同学的板演结果。
大家说，有问题，好，哦，对了，这位同学忽视了我们函数的定义域，所以他最后求出的增
区间不正确，那这里呀，大家要记住一句话，我们函数问题，定义域优先，千万不能忽视定
义域，那我们这节课的重点知识基本上就要结束了。
那哪位同学能给我说一下，自己这节课有哪些收获和体会呢？好，班长，你来分享一下吧，
班长说他知道可以利用导函数快速地判断函数的单调性，而且掌握了利用导函数，求单调区间的步骤是：第 1步，确定函数 y=f(x)的定义域，第 2 步，求导函数 y’等于 f ’(x)
第 3 步，解不等式f’(x)大于零，解集在定义域的部分为单调增区间，解不等式 f ’(x)小于零，解集在定义域的部分为单调减区间。
非常棒啊，我们班长把这个步骤总结的非常的完整，希望大家在以后的求解过程中也能够熟
练的应用，那我们这节课呢，就给大家讲到这里，请同学们下课之后思考这样一个问题，如
果在某个区间内，f’(x)等于 0，那么，函数 y=f(x)有什么特点呢？
好，那我们这节课就上到这里，各位同学再见。
知识点一-导数与函数的单调性
1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间；
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高中数学教师资格证面试试讲逐字稿万能模板 1、题目：《不等式》 2、内容： 3、基本要求 （1）试讲时间10分钟 （2）学生了解并掌握不等式概念 （3）师生间有互动
教学设计逐字稿 同学们好,上课!我们的生活中不仅存在有相等关系,又存在大量的不等关系。现在同学们想想我以前学习的都有哪些不等关系呢?请一位同学来回答, 好,请坐下,这位同学说了,以前我们学习三角形边的关系,三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,这位同学回答的很好,这是我们以前接触过的不等关系。 在我们的数学中,还是存在很多别的不等关系,下面请同学们看多媒体展示的这个问题,同学们自己先读读题目,然后自己先写出数学表达的式子,一会老师请一位学生来回答, 好,老师看到同学们都已经写完了,那么现在我们请中间这位同学来回答, 好,请坐下,这位同学说的对吗?有没有不同的意见呢?大家都没做声,说明同意这位同学的做法。 那么观察可以得出这些式子都是用不等式表示出来的,那么不等式有一些什么性质呢?在学习不等式性质之前,我们先来回忆等式的性质,有哪位同学来回答呢?请后面那个举手的同学来回答, 好请坐下,这位同学说:“等式的两边加上或减去同一个数或是式子,结果仍相等: 等式的两端同时乘以或是除以同一个不为0 的数或是式子,结果仍是等式。回答的很好!说明对等式的性质掌握的很熟练。以前学习的比较实数的大小的结论是:如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b等于零,那么a=b;如果a-b是负数,那么a 下面我们一起看看不等式的性质： 这两个性质都是比较简单的,第一个只是不等式形式的一种变换,第二个我们称这是不等式的传递性。如果现在老师说把数轴上的两个不重合的点沿相同方向移动相等的距离,得到另两个新的点,得到的两点的左右位置关系不会发生改变,那请同学们思考一个,用不等式怎么表达这样一句话呢? 老师请一位同学来回答,好请坐下,这位同学回答的很棒,这就是我们要学习的第三条性质。 性质3 如果a>b,那么a+c>b+c. 这就是说不等式的两边加上同一个实数,不等式与原不等式同向。 如果现在不等式两边同时乘以同一个不为零的数,那么不等号的方向该怎样变化呢?同学们可以用一些例子来试验一下,老师现在就找一位同学来回答,哪位同学已经的到答案了呢?好,请左边那位同学来回答, 这位同学说的正确吗?哦,很棒!这位同学充分利用了分类讨论的思想,我们一定要记住对乘数正负的讨论,这也是不等式的一个重要性质 性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc.如果a>b,c<0,那ac 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 内黄一中面试 程序 报名与试讲时间：5月中旬时报名。报名与试讲之间相隔1周左右。 1、备课： 所有考生全部进入一个教室，按所报科目抽签排列序号，然后，公布各个科目的试讲题目，每个科目的考生都各自统一试题。历史试讲题目是《辛亥革命》。使用教材是人教版。抽取一号的考生准备时间是45分钟，然后试讲，后面同学继续等待，按照这一模式，后面的同学有很充足的准备时间。因此，从程序上说，是不公平的。备课教室可以带进去任何资料，但手机信号被干扰，无法与外界取得联系。 2、试讲： 考生由老师指引到指定地点试讲。可以将教材和其他备课资料带进去。然后，考生问好后，直接面对评委讲课，不允许做自我介绍。试讲时间是15分钟，但貌似没有专人计时。讲完以后平评委打分，考生可以自行离开教室。 3、等待： 因为报名时大家都把原件留在学校，因此，无论是否留用，都需要等待学校公布结果，等待时间大约是1.5小时。结束以后，未被录取的同学可以到学校报名处领取自己的文件。 鹤壁市外国语中学 程序 报名与试讲时间：报名时间是8月14号，上交自己的三证（学历、学位、教师资格证）原件。原定15号试讲，结果报名当天又说24号上午7点试讲，由于其他原因最终改为26号下午1点30分试讲。 1、备课： 1)所有考生进入一个等待教室，听老师介绍备课及试讲程序。然后进行按科目抽签， 同学按先后顺序进行讲课。每个考生备课时间40分钟，讲课时间15分钟。手机上 交。 2)轮到的考生按照相关人员的要求在指定时间，带上自己的所有东西到专门的备课教 室备课，将东西放在备课教室门口制定的位置，仅被允许带上一支笔进入备课教室。 不允许使用自己的教材和其他备课资料。使用学校专门安排的课本进行备课。老师 会为每人发一些稿纸共备课使用，然后考生抽取题目（学校原来说是题目自选，实 际上根据之后同学的反应，大家抽到的题目都相同，抽题只是形式而已，一是这样 说出去避免有人提前泄露题目，但为了评比考生的讲课水平，题目又必须要一致），然后开始进行备课。从程序上讲，大家都是公平的，不论是第一号还是后面的同学，大家都是只有40分钟准备时间，15分钟讲课时间。 3)试讲题目是试讲题目是《改革开放后的外交政策》，使用教材原来说是北师大版， 最后拿到手里却发现是大象版（豫教版），唉，怪不得我在网上找不到北师大版的 历史素材。 2、试讲： 到达指定时间，会有老师引领考生到指定教室进行试讲，试讲时不允许携带教材，只能带自己在备课时间写下的教案。学校太坏了。讲课过程中会有专人计时，讲完15分钟后，评委会提示同学讲完了，然后接受评委提问一个问题。评委中的领导会根据考生试讲的内容、讲课方式进行提问。据两名试讲政治课的同学讲，她们被提问的题目也是一样的。 3、结果： 函数的概念 1、面试备课纸 1.题目：函数的概念 2.内容： 3.基本要求： (1)要有板书; (2)试讲十分钟左右; (3)条理清晰，重点突出; (4)学生掌握函数的概念。 2、高中数学《函数的概念》教学设计 四、板书设计 3、高中数学《函数的概念》答辩题目及解析 问题：函数与映射的异同点? 【参考答案】 相同点：(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;(2)函数与映射的对应都具有方向性;(3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性。 区别：函数是一种特殊的映射，它必须是满射。它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 高中数学《奇函数》 高中数学《终边相同的角》 一、考题回顾 二、考题解析 高中数学《终边相同的角》主要教学过程及板书设计 教学过程 (一)导入新课 出示例题：在直角坐标系中，以原点为定点，X正半轴为始边，画出210°，-45°以及-150°，三个角。并判断是第几象限角? 提出问题：这三个角的终边有什么特点? 追问：按照之前学的方法，给定一个角，就有唯一一条终边与之对应，反之，对于直角坐标系中的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一? (二)生成新知 提出问题：在直角坐标系中标出210°，-150°，328°，-32°，-392°表示的角，观察他们的终边，你有什么发现? 预设：210°和-150°的终边相同。328°，-32°，-392°的终边相同。 追问并进行小组讨论：这两组终边相同的角，它们的之间有什么数量关系?终边相同的角又有什么关系? 经过讨论，学生得到这样的关系：210°-(-150°)=360°，328°-(-32°)=360°，-32°-(-392°)=360°等。由这两组角可以看出终边相同的角之间相差360°的整数倍。 追问：那么这些角，如何用我们学过的数学语言来表示出来? 预设：描述法，集合。用集合的方式更方便也更加容易理解。 设S={β|β=-32°+k·360°，k∈Z}，则328°，-392°角都是S的元素，-32°角也是S的元素(此时k=0)。因此，所有与-32°角的终边相同的角，连同-32°在内，都是集合S的元素;反过来，集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同。 所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S={β|β=k·360°+α，k∈Z}。 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和。 适时引导学生认识：①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (三)应用新知 例1.在0°—360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角。 例2.写出终边在y轴上的角的集合。 ①写出终边在x轴上的角的集合。 ②写出终边在坐标轴上的角的集合。 (四)小结作业 小结：通过这节课的学习，你有什么收获?你对今天的学习还有什么疑问吗? 作业：预习下节课新课。 板书设计 答辩题目解析 1.简述本节内容在教材中的作用与地位? 【参考答案】 本课是数学必修四三角函数中第一节的内容。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型.角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具，所以学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。 2.在本节课的教学过程中，你是如何突破难点的? 【参考答案】 学生的活动过程决定着课堂教学的成败，教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能，在这个过程上要不惜多花些时间，让学生进行操作与思考，自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式。也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}的含义。如能借助信息技术，则可以动态表现角的终边旋转的过程，更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系，让学生在动态的过程中体会，既要知道旋转量，又要知道旋转方向，才能准确刻画角的形成过程的道理，更好地了解任意角的深刻涵义。 利用导数求函数的单调区间 一学习目标： 1结合实例，找出函数的单调性与导数的关系； 2会利用导数研究函数的单调性，会求简单函数的单调区间。 二重点、难点： 重点：求函数的单调区间. 难点：求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习； 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的，同时又为导数的应用学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写） 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么？函数的单调区间怎样求？ 2.讨论以下问题 （1）求函数y=x的导数，判断其导数的符号； （2）求函数y=x2的导数，判断其导数的符号. 3.根据上述问题，思考导数的符号与函数的单调性之间的关系，并加以总结： 设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导： 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结，思考一下，函数在某个区间上是单调递增函数，是不是其导数就一定大于零呢？如果函数在某个区间上是单调递减函数，是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下？ 小测验： 1.当0>x 时，()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间（讲授学案）——冯秀转 题型：求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意：求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. （小结）求函数单调区间的步骤： 练习：求()x e x x f 2=的单调区间。 教资高中数学试讲历年真题必修一 集合与函数概念——集合函数及其表示函数的基本性质 ·1.列举法表示集合 2.子集 1. 2. 在教学过程是，我是根据学生认知的先后顺序，通过观察――讨论――再观察――再讨论，一环扣一环的教学。让学生认识子集的概念，进而举出一个特例， 让学生发现其中的不同之处，并设计分组讨论，充分参与，自己建立概念，深刻的体验使学生感受到获得新知的乐趣，从而学会子集、真子集的定义。 教学过程 (一)创设情境，导入新课 思考：实数有相等关系、大小关系，如：5=5，5<7，5>3，等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系? (二)探究新知 出示例题：观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗? 板书设计 3.并集 1. 理解并集的概念，会求两个集合的并集。在教学的过程中，采用学生独立思考和合作探究的学习方式，得出并集的定义，并理解代表元素用不同字母代替，并不影响它们之间作并集运算。 2.数形结合的思想，在得到并集的定义后，通过维恩图向学生直观的展示并集运算的意义。 4.函数概念 要求：有板书;试讲十分钟左右;条理清晰，重点突出;学生掌握函数的概念 1.函数与映射的异同点? 相同点：(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;(2)函数与映射的对应都具有方向性;(3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性。 区别：函数是一种特殊的映射，它必须是满射。它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 2.本节课的教学目标是什么? 知识与技能：能说出函数的概念、函数的三要素含义及其相互关系，会求简单函数的定义域和值域。 过程与方法：通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，从具体到抽象，从特殊到一般，提高抽象概括能力和逻辑思维能力，建立联系、对应、转化的辩证思想，强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。 情感态度与价值观：通过本节课的学习，学生能够体会数学与生活的联系;通过从实例 用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x 解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->-- 1.3.1函数的单调性与导数 [学习目标] 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次). 知识点一函数的单调性与其导数的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？ 答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减. 知识点二利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间. 知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图，函数y ＝f (x )在(a,0)和(0，b )内的图象“陡峭”，在(－∞，a )和(b ，＋∞)内的图象“平缓”. 题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e － x ； (3)f (x )＝x ＋1x . 解 (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞).∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－ 3 3(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表： ∴函数f (x )的单调递减区间为? ???0， 33，单调递增区间为??? ?3 3，＋∞. (2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞).∵f ′(x )＝(x 2)′e － x ＋x 2(e － x )′＝2x e － x －x 2e － x ＝e － x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e － x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： ∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞). ∵f ′(x )＝1－1 x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： 分层抽样 各位评委老师，大家好，我试讲的题目是《分层抽样》，下面开始我的试讲，上课，同学们好！请坐。 请同学们看老师PPT上所展示的探究题，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查 ，同学们认为应该怎样抽取样本呢？老是听到有的同学说咏随机抽样法，还有的学生说用系统抽样法，那我们一起来看一下，这两种抽样方式，对于我们这个问题，合适吗？好，你来，这位同学说，在这个问题中，高中生、初中生、小学生，有明显的样本差异性，不管是简单随机抽样，还是系统抽样法，都不能保证其公平性，叙述的非常有条理，非常棒，的却是，只有选择恰当的抽样方式，才能保证抽样公平，并且样本才具有好的代表性， 我们知道影响学生的视力的因素很复杂，恩，不同年龄段的学生，他的近视情况可能存在明显差异性，这节 课老师就带领大家一起探究一种新的抽样方法，分层抽样，接下来，请同学们继续思考，在此探究题中，这个分层应该怎么分？每一层应该抽取多少个学生？小组之间互相讨论，时间为五分钟。在老师巡视的过程中，发现同学们讨论的都很积极，一组代表，你来说一下你们组的答案，一组代表说他们分了三个层，分别是高中生，初中生，小学生，其他同学还有补充吗？其他小组还有补充吗？好，三组代表，你来，也是分别分成高中生，初中生，小学生三个层，而且每一层都抽取1%的学生，分别是24名高中生，109名初中生和110名小学生，好，老师已经把同学们所说的步骤展现到了PPT上，并且把样本数统计图进行了展示，像这种抽样方法叫做分层抽样，请同学们结合探究题，思考一下三个问题啊，1在上述抽样过程中，每一层抽取1%的学生，应该采用什么样的抽样方法？2每个学生被抽到的概率相同吗？3为什么采用这种抽样方法会比较公平？请同学们先独立思考，后,同桌交流，时间5分钟。 第一排这位女生你来说，这位女生说，分好层，每层抽取1%的学生，应该采用随机抽 导数讨论含参函数的单调性 【思想方法】 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 【典例讲解】 例1 讨论x a x x f +=)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号)I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数，即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)('， a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或，此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调 增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和 ),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0?>>)0(0)(';a x x x f -<<0)0(0)(' 此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -. 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('>+=+ =x x ax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) 指数函数及其性质教案 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如21,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一．函数的单调性 在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间： （1）3 ()23f x x x =-； （2）2 ()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->，解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时，函数为增函数；当)2 x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<，解得22x - <<.当(22 x ∈-时，函数为减函数. 反证法 之前我们已经学过数学有两类基本的证明方法，对，直接证明与间接证明，那直接证明最基本的两种方法是什么？你来，综合法与分析法。这位同学对之前的知识掌握得很扎实，那间接证明呢，嗯，老师听到有同学说反证法，那这节课老师就带领大家一起来深入研究反证法，首先看多媒体展示的有关反证法的概念，一般的假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。大家一起来看这个概念，嗯，好复杂，好，那我们一起来分析，首先先请同学们思考几个问题，第1个，假设原命题不成立，怎么理解？第2个，经过正确的推理得出矛盾，是与谁矛盾呢？小组互相讨论，时间为5分钟。 在巡视的过程中，老师发现同学们讨论的很积极，现在来汇报一下你们的讨论成果，一组代表你来说，一组代表说，他们结合之前所学的命题的相关内容得到，假设原命题不成立，就是假设原命题的否定命题成立，对于我们之前所学的知识能够内化于心灵活应用，那老师想问这句话用符号语言怎么表示啊？嗯，对，若p则q反设为若p则非q，接下来继续汇报，好，第三小组，你们小组说还可以理解为原命题的结论的反面是正确的，这组同学把我们这句话进行了很好的解释，那第2个问题呢，第四小组代表，他们得出这个矛盾，可能是所推理出的结果与已知正确的内容产生矛盾，比如已知的条件、公理、定理，或定义等，表达的很清晰，总结的也很到位，通过同学们的共同探讨，我们已经初步理解了反证法的概念，老师要提醒的是，我们运用反证法一定要注意在假设时，嗯，对，假设一定要正确，那具体应该怎么用呢？看老师PPT上展示的例4，我们一起来分析题意。 这是一道几何证明题，嗯，利用综合法可以进行证明，那反证法是否可以呢？哦，要先假设，该怎么假设呢？这位同学你来，这位同学说，假设要与原命题的结论的反面成立，那就是假设直线a与平面α有公共点，对本节课的知识理解得很到位，接下来呢，同学们共同说，嗯，要进行推理，看得到的结果与条件或定义等是否产生矛盾，刚刚我们对这道题做了思路分析。 现在请两位同学上来板书，各书写一种方法，其他同学独立思考，并做到练习本上。两位同学已书写完毕，我们一起来看，第1位同学利用我们综合法进行证明，书写规范，条 教师资格证高中数学试讲 历年真题 Revised final draft November 26, 2020 教资高中数学试讲历年真题 必修一 集合与函数概念——集合函数及其表示函数的基本性质 ·1.列举法表示集合 2.子集 1. 2. 在教学过程是，我是根据学生认知的先后顺序，通过观察――讨论――再观察――再讨论，一环扣一环的教学。让学生认识子集的概念，进而举出一个特例，让学生发现其中的不同之处，并设计分组讨论，充分参与，自己建立概念，深刻的体验使学生感受到获得新知的乐趣，从而学会子集、真子集的定义。 教学过程 (一)创设情境，导入新课 思考：实数有相等关系、大小关系，如：5=5，5<7，5>3，等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系 (二)探究新知 出示例题：观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗 板书设计 3.并集 1. 理解并集的概念，会求两个集合的并集。在教学的过程中，采用学生独立思考和合作探究的学习方式，得出并集的定义，并理解代表元素用不同字母代替，并不影响它们之间作并集运算。 2.数形结合的思想，在得到并集的定义后，通过维恩图向学生直观的展示并集运算的意义。 4.函数概念 要求：有板书;试讲十分钟左右;条理清晰，重点突出;学生掌握函数的概念 1.函数与映射的异同点? 相同点：(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;(2)函数与映射的对应都具有方向性;(3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性。 区别：函数是一种特殊的映射，它必须是满射。它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 2.本节课的教学目标是什么? 利用导数求函数单调性题型全归纳 一.求单调区间 二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式 九.函数零点个数（方程根的个数） 十.探究函数图像 一.求单调区间 例1. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解： ()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++. 则令()()g x f x '=，因为当0,1a a >≠，所以2 ()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数,又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间 解：' ()x f x e a =-，当0a ≤时，' ()0f x >，()f x 单调递增 当0a >时，由' ()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由' ()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞， 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32 ()25f x x ax x =+-+在1132 （，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减 函数，求正整数a 的取值集合 解：2 ()322f x x ax '=+- 高中数学《等差数列》试讲答辩为帮助各位考生备战教师资格面试，中公教师网整理了各学科教师资格面试试讲答辩语音示范，以下是高中数学《等差数列》试讲答辩，希望对各位考生有所帮助! 【面试备课纸】 3.基本要求： （1）要有板书； （2）试讲十分钟左右； （3）条理清晰，重点突出； （4）学生掌握等差数列的特点与性质。 【教学设计】 一、教学目标 【知识与技能】能够复述等差数列的概念，能够学会等差数列的通项公式的推导过程及蕴含的数学思想。 【过程与方法】在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，提高知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高分析问题和解决问题的能力。 【情感态度与价值观】通过对等差数列的研究，具备主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 二、教学重难点 【教学重点】 等差数列的概念、等差数列的通项公式的推导过程及应用。 【教学难点】 等差数列通项公式的推导。 三、教学过程 环节一：导入新课 教师PPT展示几道题目： 1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5一个数，可以得到数列：0，5，15，20，25 2.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92。 3.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中交情的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 教师提问学生这几组数有什么特点？学生回答从第二项开始，每一项与前一项的差都等于一个常数，教师引出等差数列。 环节二：探索新知 利用导数研究函数的单调性之二阶求导型 一、解答题（题型注释） 1．已知函数ax x xe x f x --=ln )(2． （1）当0=a 时，求函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）若0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围； （3）若0>?x ，不等式e x x e x e e x x f 1111 1)1(2+ -+≥-恒成立，求a 的取值范围． 1．（1） ln 22 e +； （2）2a ≤；（3）11(1)e e a e e ≤---． 【解析】 试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f x ln )(2-=，则21 ()(21)x f x x e x '=+- ，再求导()f x ''，可得函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）由（1）知函数)(/ x f 在),0(+∞上是 增函数，且00>?x ，使得0()0f x '=，得01 )12(0 200 =-- +a x e x x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性， 即可求解求a 的取值范围；（3）根据题意，转化为1 1ln x e x e a x x x e +-≤--对任意0>x 成 立，令e x e e x x x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围． 试题解析：（1）0=a 时，x xe x f x ln )(2-=，x e x x f x 1)12()(2/-+=∴， 01 )44()(22//>++=?x e x x f x ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，导数与函数的单调性练习题
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