数列知识要点梳理

知识要点梳理

知识点一：数列的概念

1、数列的定义：

数列是按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，a n，…，可简记为{a n} 注意：

（1）数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}上的函数。函数

当自变量

n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值，，…，，…，通常用代替

，于是数列的一般形式为a1，a2，…，，…，简记为。其中是数列的第n

项，也叫做通项。

（2）数列的特征：有序性。一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的顺序有关，“顺

序”是对数列本质属性的刻画。

（3）数列的定义域是离散的，因而其图象也是离散的点集。

2、数列的通项公式

一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。

注意：

①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；

②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列―1，1，―1，1，…的通项公

式可以写成，也可以写成；

③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。

3、数列的表示：

(1)列举法：如-2，-5，-8，…

注意：数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。

(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。

(3)解析式法：用数列的通项公式a n=f(n)，n∈N*或其他式子表示的数列。

4、数列的分类：

（1）按项数：有限数列和无限数列；

（2）按单调性：递增数列、递减数列（递增数列与递减数列统称为单调数列）；

（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列、无界数列；

（4）其他数列：摆动数列、常数列。

5、数列的递推式：

如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。

注意：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。

6、通项与前n项和的关系：

任意数列的前n项和；

注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：

（1）求，

（2）求出当n≥2时的，

（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，

否则就只能写成分段的形式。

知识点二：等差数列

1．概念与特征

定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称作等差数列特征：（常数），或者（）。

注意：｛｝为等差数列(n∈N※)－=d (n2, n∈N※)（ d 为常数）

2．通项公式：

；

注意：

①方程观点：公式中、、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。

②函数观点：等差数列{}中，，是关于n 的一次函数(或

常数函数)，一次项系数k为公差d。

③几何意义：点(n，)共线；

当k=d>0时，{}为递增数列；

当k=d<0时，{}为递减数列；

当k=d=0时，{}为常数列。

3．前n项和公式：

；

注意：

①方程观点：公式中有三个就可以利用方程得出余下的二个。

②函数观点：,为n的二次函数且常数项为0

4．等差中项

若a、b、c成等差数列，则b称为a与c的等差中项，正数m、n的等差中项也叫它们的算术平均数。

5. 等差数列的主要性质：

（1）通项公式的推广：

（2）若，则；

特别，若，则

说明：这条性质，还可以推广到有三项、四项……等情形。使用该性质时，一要注意等式两边下标和相等，二要注意等式两边和的项数应是一样多。

（3）等差数列中，若

.

（4）公差为d的等差数列中，连续k项和，…组成新的等差数列。

6．判定一个数列为等差数列的常用方法

①定义法：（常数）是等差数列；

②中项公式法：是等差数列；

③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；

④前n项和公式法：（A，B为常数）是等差数列。

注意：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。

7．常用结论

（1）等差数列，前n项和为

①当n为奇数时，；；；

②当n为偶数时，；；。

（2）等差数列，前n项和为，则（m、n∈N*，且m≠n）。

（3）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则。

（4）等差数列中，公差d，依次每k项和：，，成等差数列，新公差

。

（5）等差数列中

①若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式组来确定n；

②若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n 项和公式

来确定n。

知识点三：等比数列

1．概念与特征：

定义：从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列。

特征：（q为不等于零的常数），或者。

注意：｛｝为等比数列

2．通项公式：

注意：

①方程观点：知二求一；

②函数观点：

时，是关于n的指数型函数；

时，是常数函数；

③几何意义：函数的图象上一群孤立的点

当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；

当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列；

当时，等比数列是摆动数列；

当时，等比数列是非零常数列。

3．前n项和公式：

，

注意：

方程观点：公式的五个量中，知三可求二.

4．等比中项

若a，b，c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且，正数m、n的等比中项为。

5．等比数列的主要性质：

（1）通项公式的推广：

（2）若，则.

特别，若，则

说明：类似于等差数列，这条性质，还可以推广到有三项、四项……等情形。使用该性质时，一要注意等式两边下标和相等，二要注意等式两边作积的项数应是一样多。

（4）等比数列中，若

.

（5）公比为q的等比数列中，连续k项和，…组成新的等比数列。

6．判定数比数列的常用方法

（1）定义法：（q是不为0的常数，n∈N*）是等比数列；

（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数n∈N*）是等比数列；

（3）中项公式法：（，）是等比数列。

7．常用结论

（1）等比数列，前n项和为，当n为偶数时，。

（2）等比数列中，公比为q,依次每k项和：，，…成公比为q k的等比数列。

（3）若为正项等比数列，则（a＞0且a≠1）为等差数列；反之，若

为等差数列，

则（a＞0且a≠1）为等比数列。

（4）等比数列前n项积为，则

知识点四：常见的数列求和方法

1．公式法：

如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和。

2．分组求和法：

将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：a n=2n+3n.

3．裂项相消求和法：

把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.

若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,

则，如a n=

4．错位相减求和法：

通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中

是公差d≠0等差数列，是公比q≠1等比数列，如a n=(2n-1)2n.

一般步骤：

，则

所以有

所以有

5．倒序相加法求和

首尾对称项之和构成新的特殊数列的求和。如a n=

6．并项法：

适用于正负交替出现的数列求和。

知识点五：由递推关系求数列通项公式的常用方法

1．累加法：

当数列的递推公式是，可以利用叠加的方法求数列的通项公式.

，

则，，…，

注意：，若为常数，则数列是等差数列，用等差数列的通项公式；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列，用上述累加法.

2．累乘法：

当数列的递推公式是，，可以利用叠乘的方法求数列的通项公式.

，，

则，，…，

注意：，，若为常数，则数列是等比数列，用等比数列的通项公式；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列，用上述累乘法.

3．转化法

通过变化递推关系式，将非等差等比数列转化为与等差或等比有关的数列求得通项公式的方法。

常用的两种转化途径：

①凑配、消项变换：一般地，对已知数列的项满足，（

为常数，

）,则可设得，利用已知得即

，从

而将数列转化为求等比数列的通项，或消常数项转化为

的形

式。

②倒数变换：形如的递推关系式，两边同时取倒转化，再求的通项.

知识点六：数列应用问题

数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.

建立数学模型的一般方法步骤.

①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：

⑴明确问题属于哪类应用问题；

⑵弄清题目中的主要已知事项；

⑶明确所求的结论是什么.

②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译

成数学语言，将数量关系用数学式子表达.

③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数

关系、方程、不等式）.

规律方法指导

2、数列的项与通项

数列的通项是通项公式的简称，它是表示数列中的各项的通式，是函数解析式；而数列的项是指整个数列中的某一或某几项，是组成数列的各个元素，是函数值。

3、数列与函数

函数是非空数集到非空数集的映射，其定义域可以是实数集R或R的有限子集；而数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或正整数集的有限子集。

函数的图象可以是平滑的连续的曲线也可以是间断的点；而数列的图象是一系列不连续的点。

（d为常数）

（q为非零常数）

；

，则，则

5、解本单元题型的常用数学思想

①函数思想：数列是特殊的函数,有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合思想。

②方程思想：等差、等比数列中，、、、()、“知三求二”，体现了方程(组)思

想、消元思想、整体思想．

③分类讨论思想：求等比数列的前项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了

分类讨论的思想