线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结

第一章行列式

二三阶行列式

N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和

n n

n nj j j j j j j j j n

ij a a a a ...)1(21212121)

..(∑-=

（奇偶）排列、逆序数、对换

行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性

⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(

定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：

非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D

D x j j ??==、

齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：

①转置行列式：33

23133222123121

11333231232221

131211

a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =

③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零

④三线性行列式:33

2221

1211

0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

行列式运算常用方法（主要）

行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）

化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、

第二章矩阵

n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律

乘法

m l

kj ik n l kj l m ik b a b a B A *1

**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义

一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( T

T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T

T T A B AB =)((反序定理) 方幂：212

1k k k k

A A

A +=

212

(k k k k A A +=

对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……）

单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵

阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方注：把分出来的小块矩阵看成是元素

N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，

|A|=0、伴随矩阵)

2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆

倍乘阵倍加阵） ???

? ?

?=O O

O I D r

矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩

求法：1定义2转化为标准式或阶梯形

矩阵与行列式的联系与区别：

都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式

ij n n ij a k ka =

逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

矩阵的逆矩阵满足的运算律：

1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--1

(

2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且11

1)(--=

A k

kA 3、可逆矩阵A 的转置T

A 也是可逆的，且T T A A )()

(11

--=

4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111

)

(---=A B AB

但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但1

)(--+≠+B A B A A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。 5、若A 可逆，则1

--=A A

伴随矩阵：A 为N 阶方阵，伴随矩阵：???

??=22211211

A A

A A A （代数余子式）特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆）

1、分块矩阵???? ??=C O B A D 则???

? ??-=-----11111

C O BC A A

D 2、准对角矩阵??

?=43

A A A A A ，则??????

?=-----141

111

A A A A A 3、 I A A A AA ==*

4、1

-=A A A （A 可逆）

5、1

-=n A

A 6、()()A A

A A 1

=--（A 可逆） 7、()()*

T T

A A = 8、()

***

A B AB =

判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ，此时*

11A A

A =- 求逆矩阵的方法：

定义法I AA =-1

伴随矩阵法A

A A *

初等变换法()()

1||-=A I

I A n

只能是行变换

初等矩阵与矩阵乘法的关系：设()

n m ij a

A *=是

m*n 阶矩阵，则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵，等

于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A （行变左乘，列变右乘）

第三章线性方程组

消元法非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵

r(AB)=r(B)=r 当r=n 时，有唯一解；当n r ≠时，有无穷多解 r(AB)≠r(B)，无解

齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n 有非零解充要r(A)

当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个

N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组。希腊字母表示（加法数乘）

特殊的向量：行（列）向量，零向量θ，负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系: 线性组合或线性表示

向量组间的线性相关（无）：定义179P 向量组的秩：极大无关组（定义P188）

定理：如果r j j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组，则它是极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由r j j j ααα,.....,21线性表出。

秩:极大无关组中所含的向量个数。

定理：设A 为m*n 矩阵，则r A r =)(的充要条件是：A 的列（行）秩为r 。

现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系

线性组合或线性表示注：两个向量αβ，若βαk =则α是β线性组合单位向量组

任意向量都是单位向量组的线性组合零向量是任意向量组的线性组合

任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关（无）注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关含有零向量的向量组一定是线性相关若两个向量成比例，则他们一定线性相关

向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T T n T T T n T T

r r βαααααα=

判断是否为线性相关的方法：

1、定义法：设n k k k ....21，求n k k k ....21（适合维数低的）

2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关

3、分量法（n 个m 维向量组）180P ：线性相关（充要）n r T n T T

线性无关（充要）n r T n T T

=?)....(21

ααα

推论①当m=n 时，相关，则0321=T

ααα；无关，则0321≠T

ααα ②当m

推广：若向量s ααα,...,21组线性无关，则当s 为奇数时，向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时，向量组也线性相关。

定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关，则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出，且表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关。

极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在；无关的向量组的极大无关组是其本身；向量组与其极大无关组是等价的。齐次线性方程组（I ）解的结构：解为...,21αα

（I ）的两个解的和21αα+仍是它的解；（I ）解的任意倍数αk 还是它的解；

（I ）解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解，s c c c ,...,21是任意常数。非齐次线性方程组（II ）解的结构：解为...,21μμ （II ）的两个解的差21μμ-仍是它的解；

若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解，v 是其导出组AX=O 的一个解，则u+v 是（II ）的一个解。定理：

如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r 个解。

若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解，v 是其导出组AX=O 的全部解，则u+v 是（II ）的全部解。

第四章向量空间

向量的内积实向量

定义：（α，β）=n n T

b a b a b a +++=....2211αβ

性质：非负性、对称性、线性性 (α,k β)=k(α,β); (k α,k β)=2

k (α,β);

(α+β,δγ+)=(α,γ)+(α,δ)+(β,γ)+(β,δ); ),(),(

j i s

j j r i i j s

j j

r i i

i l k l

k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,

向量的长度),(ααα=

0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是（α，α）=1

单位化向量的夹角

正交向量：αβ是正交向量的充要条件是（α，β）=0 正交的向量组必定线性无关正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T

性质：1、若A 为正交矩阵，则Ａ可逆，且T A A =-1

，且1-A 也是正交矩阵；

２、若A 为正交矩阵，则1±=A ；

３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵，则ＡＢ也是正交矩阵；

４、ｎ阶矩阵Ａ＝（ij a ）是正交矩阵的充要条件是Ａ的列（行）向量组是标准正交向量；

第五章矩阵的特征值和特征向量

特征值、特征向量

A 是N 阶方阵，若数λ使AX=λX ，即（λI-A ）=0有非零解，则称λ为A 的一个特征值，此时，非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量。 |A|=n λλλ...**21

注： 1、AX=λX

2、求特征值、特征向量的方法

0=-A I λ 求i λ 将i λ代入（λI-A ）X=0求出所有非零解

3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的）

特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ???

? ??

4、特征值：若)0(≠λλ是A 的特征值则1

-A --------λ

1 则m A --------m

λ 则kA --------λk

若2

A =A 则-----------λ=0或1 若2A =I 则-----------λ=-1或1 若k A =O 则----------λ=0

迹tr(A )：迹（A ）=nn a a a +??++2211

性质：

1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的

2、A 与1

-A 有相同的特征值

3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关

4、

5、P281 相似矩阵

定义P283：A 、B 是N 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，满足B AP P =-1，则矩阵A 与B 相似，记作A~B

性质1、自身性：A~A,P=I

2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP

P =---1

11)(

3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-11

1 C BP P =-21

2- --C P P A P P =-)()(211

4、若AB ，则A 与B 同（不）可逆

5、若A~B ，则11~--B A B AP P =-1两边同取逆，1

11---=B P A P 6、若A~B ，则它们有相同的特征值。（特征值相同的矩阵不一定相似） 7、若A~B ，则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100

-=P PB A

O AP P =-1

A=O I AP P =-1

A=I I AP P λ=-1

A=I λ

矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量

注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致

2、A~^,则^与P 不是唯一的

推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值，则~^A （P281）

定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ，都有

i i K n A I r -=-)(λ

注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线。

约当形矩阵

约当块：形如????

?=λλ

λλ11

J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块；约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵???

?=n J J J J 2

（i J 是约当块）称为约当形矩阵。

定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵，即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1

。

第六章二次型

二次型与对称矩阵

只含有二次项的n 元多项式f()称为一个n 元二次型，简称二次型。标准型：形如的二次型，称为标准型。规范型：形如的二次型，称为规范型。线性变换

矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵，若存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得则称A 与B 是合同的，记作A B 。

合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、

化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项）

第一章行列式

一．行列式的定义和性质

1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义

例1行列式

111101111011

------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

测试点余子式和代数余子式的概念

解析

111101111011

------,21

21211

11111(1)

0101

211

A M +--=-=--=--=--- 答案 B

2．行列式按一行或一列展开的公式 1）1

,1,2,

;(,1,2,

ij ij ij

ij ij n

i j A a a A j n A a a A i n ========∑∑

2）11 ; 00n

n ij ik ij kj i j k j k i A A

a A a A k j k i ====??==??≠≠??

∑∑ 例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为1,2,3,-对应的余子式分别为3,2,1--则此行列式的值为 .

测试点行列式按行(列)展开的定理

解 212223

212223212223(1)23(1)(1)2(1)3(1)D A A A M M M +++=-?++=--+-+-

34310=---=-

例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问x = . 测试点行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.

解因第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x ,故1243(3)420x ?+?+-?+= 所以1x =-

3．行列式的性质 1）.T A A =

2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.

6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.

例4 已知11

121321

222331

3a a a a a a a a a =，那么111213

222331

222222a a a a a a a a a =---（） A.24- B.12- C.6-

D. 12

测试点行列式的性质

解析 11

1213111213

222321

222331

2222(2)12.222a a a a a a a a a a a a a a a a a a =?-=---- 答案 B 例5设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则2

111c b a c b a

++=（）

A ．3-

B ．1-

C ．1

D ．3

测试点行列式的性质

解

111

222222

3a b c a b a c a b c a b a c +=+=+ 故应选 D 答案 D

二．行列式的计算

1．二阶行列式和三角形行列式的计算.

2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式

测试点行列式的计算

解

1114

0231131002302103(3)61211010310

003

1111

0003

--=

=-=-=---

例7计算3阶行列式 .7

673679492493

23123

解 (1)(1)(2)

(2)(1)(3)

123233

100

233

100203249

4992004992004090.367677

300677

300607

+-+-==

= 例8 计算行列式：

x a a a

a x a a a a

x a a a a

测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.

解 333000300030

x a a a

x a a a a x a a a a a x a a x a

x a a x a D a a

x a x a a

x a x a a a a x

x a a a

x a

+++-=

=+-+-

3(3)().x a x a =+-

例9计算行列式00

000

0 00000

0n a b a b

a D a

b b a

测试点行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算

11000000 =00000

aA a b b a

+例10计算行列式6000100

050060

D =

解 3

6(1)(6)(2)(5)

(3)(4)

0001100000

(1)6!0500

00506000

D ???=

=-=- 例11设2311248

()139********

x x x D x =

问（1）()D x 中，3

x 项的系数＝？（2）方程()0D x =有几个根？试写出所有的根。测试点 1.范德蒙行列式的判别和计算公式;2.行列式按行(列)展开的定理.

解（1）3

x 项的系数5

1412

(1)13

9(32)(42)(43)21416

A ==-=----=-

(2)因为()(2)(3)(4)(32)(42)(43)D x x x x =------ 所以方程()0D x =有三个根:1232,3, 4.x x x ===

第二章矩阵

一、矩阵的概念

1.要弄清矩阵与行列式的区别

2.两个矩阵相等的概念

3.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算

1．矩阵,A B 的加、减、乘有意义的充分必要条件

例1设矩阵(1,2)A =,1234B ??= ???， 123456C ??

= ???

，则下列矩阵运算中有意义的是（）

A ．AC

B B ．AB

C C ．BAC

D ．CAB

测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件答案: B

例2设矩阵120210001A ?? ?= ? ???， 100021013B ??

= ? ???

，则2A B + =_____________.

测试点: 矩阵运算的定义

解 1202003202210042252001026027A B ?????? ? ? ?

+=+= ? ? ? ? ? ???????

例3设矩阵12A ??= ???， 23B ??= ???

，则T

A B =____________. 测试点: 矩阵运算的定义解 2(1,2)8.3T A B ??== ???

2．矩阵运算的性质

比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点.

(+ ;+;A B A AB BA B A B A B A BA AB B ±=+++=2

()()(-)--

22(); ()2k k k AB ABAB AB A B A E A A E =≠±=±+

如果AB O =，可能,.A O B O ≠≠例如1122,1122A B ????

==????

----????

都不为零，但AB O =. 3．转置对称阵和反对称阵 1）转置的性质

(); () ;()T T T T T T T T T A B A B A A ABC C B A λλ±=±==

2）若()T

A A A A ==-，则称A 为对称（反对称）阵例4矩阵,,A

C 为同阶方阵，则()T

ABC =（）

A ．T T T

A B C B ．T T T

C B A C ．T

C A B

D ．T

A C B

答案: B

例5设(1,2,3),(1,1,1),αβ==-令T

A αβ=,试求5A . 测试点矩阵乘法的一个常用技巧

解因为111222333T

A αβ?-??? ? ?==- ? ? ? ?

???,所以

5()()()()T T T T T T T T T T A αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ==

55511111111()[(1,1,1)2]2(1,1,1)222232222.33333333T T βααβ--???????? ? ?????==--=-=- ? ?????

? ?????--????????

答案 11132222.333-??

??-????-??

例6A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（） A ．T A A +

B ．T A A -

C ．T

D ．T

A A

解析 ()()T T

T T

A A A A A A A A +=+=+=+.故T

A A +为对称阵. ()()T T

A A A A A A -=-=--.故T

A A -为反对称阵. ().T T

AA AA =故T AA 为对称阵.同理T

A A 也为对称阵.

答案 B

例7已知矩阵1123A -??=?

,E 为2阶单位矩阵,令2

32,B A A E =-+求B 测试点方阵多项式的概念;

211111110323223232301B A A E ---????????

=-+=-+????????????????

1433202187690220-----????????

=-+=????????????????

4. 方阵的行列式的性质

; ; ; T n A A A A AB A B λλ===

11 ; ;.k

n k A A A A A A

--*==

= 例7设A 为n 阶方阵，λ为实数，则A λ=（）

A ．A λ

B ．A λ

C ．n A λ

D ．

A λ

答案: C 例8矩阵1212,3445A B ????== ? ?

????

，则行列式1

T A B -=___________. 解析 1

1112

(2).(3)3

T A B

A B A

B --===-?=- 答案 2

5.逆矩阵

1）方阵A 可逆(也称非异，A 满秩)的充分必要条件是0A ≠.当A 可逆时，

11A A A

. 其中方阵A 的伴随阵A *

的定义112111222212n n n

nn A A A A A A A A A A *?????

?=??????

。特别当0ad bc -≠时，1

1a b d b c d c a ad bc --????

=????--????

重要公式

AA A A A E **==；1

n A A

-*=； A *与1

A -的关系

2）重要结论：若n 阶方阵,A B 满足AB E =，则,A B 都可逆，且1

1,A B B A --==.

3）逆矩阵的性质：

11();A A --=;当0λ≠时，111111

();()A A AB B A λλ

-----=

=；11()()T T A A --=;11

A A

. 4）消去律：设方阵A 可逆，且()AB AC BA CA ==，则必有B C =.（若不知A 可逆，

仅知0A ≠结论不一定成立。） 6．分快矩阵

矩阵运算时，分快的原则：保证运算能顺利进行（包括分块矩阵和子块的运算）如

1111213111122133221

23211

2222333,,B A A A A B A B A B A B B AB A A A A B A B A B B ??

++??????===?

?????++????????

；分快矩阵的运算规则；特别是分快矩阵的转置

12111

2112122212

12T

k m T

T T k m T T T m m mk k

mk A A A A A A A A A A A A A A A A A A ????????????=????

????

??????

准对角阵的逆矩阵：如果 12,,,k A A A 都是可逆阵，则

11221k k A O O A O

O O A O O

A O O

A O

A ----?????

?????

??=????

????

???? 例9 二阶矩阵a b A c d ??= ???

，则A *

＝（）

A ．????

??--a c b d

B ．???

? ?

?--a b

c d C ．???

? ?

?--a c

b d D ．???

??--a b c d

测试点伴随矩阵的定义,二阶方阵的伴随阵答案: A

例10 三阶阵100220333A ??

?= ? ???

，则A A *

= _____________.

测试点重要公式 AA A A A E *

==.

答案6006060006E ??

??=??????

例11 200363532A ?? ?= ? ???

，则A *

=____________.

解 31

2636A A

===

例12 设A 为2阶可逆矩阵，且已知1

12(2)

34A -??

=????

，则A =（）

A ．12234??

???

B ．

121342??

????

C ．1

12234-??

D ．1

121342-??????

测试点逆矩阵的性质

解由 112(2)34A -??=????

,所以1

12234A -??=???? 故1

121342A -??

=???? 答案 D

例13设101210,325A ??

= ? ?--??

　求1A -.

测试点求逆矩阵的方法解

[]101100101100210 010012 210,325001022301AE ???? ? ?=????→--→ ? ? ? ?---????

(2)+(-2)(1)(3)+3(1)

(3)(3)(2)(2)210110010110001221001221000272171001122+-?

????????????→--???→--→????

????-??-????

所以1

511

225

117112

2A -??--????

=-????-??

注意一定要验算

例14 已知2

28,A A E O --=则1

()A E -+=_____________。

测试点关于逆矩阵的重要推论

若,A B 都是n 阶矩阵，且满足,n AB E =则,A B 都可逆，且1

1,.A

B B A --==

解由2

28A A E O --=得2

3350A A A E E +---=，即()(3)5A E A E E +-=，

即 (3)()

5A E A E E -+=，故 11

()(3).5

A E A E -+=- 答案 1

()

(3).5

A E A E -+=- 例15设A 是n 阶方阵，且2

()A E O +=，证明A 可逆. 测试点若AB E =则,A B 都可逆,且1

1,.A

B B A --==

证因为2

()A E O +=,即2

20A A E ++=,所以(2)A A E E -+=

故A 可逆,且1

(2)A

A E -=-+.

例16设n 阶方阵A 满足m

A O =，其中m 为正整数，证明E A -可逆，且

121()m E A E A A A ---=++++

分析只要检查2

1()()m E A E A A A E --++++=即可

证因为 2

1()()m E A E A A A --+++

22m E A A A A A =-+-+-+-

m E A E =-=.

故 1

21()m E A E A A A ---=++++

三、矩阵的初等变换和初等矩阵 1．初等变换的定义和性质

称矩阵的下列三种变换为初等行变换：（1）两行互换；

（2）某一行乘一个非零的数；（3）某一行的k 倍加到另一行上。

类似地可定义初等列变换，初等行变换，初等列变换统称为初等变换.

方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）

初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵A 化为标准形r E O O O ??

???

，其中r 为矩阵A 的秩. 如果矩阵A 经过有限次的初等变换变成,B 则称矩阵A 与B 等价.等价矩阵有相等的秩，从而有相等的等价标准形.

2.初等矩阵的定义和性质

1）初等矩阵的定义;初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵. 2) 初等变换和矩阵乘法之间的关系

3)对任意m n ?阶矩阵A ，总存在一系列m 阶初等阵12,,

,k P P P 和一系列n 阶初等阵12,,,,l Q Q Q 使得

1212

k l E

O PP P AQ Q Q O O ??=????

4)矩阵m n ?阶A 与B 等价的充分必要条件是存在一系列m 阶初等阵12,,

,k P P P 和一系列n 阶初等阵

12,,,,l Q Q Q 使得1212.k l PP P AQ Q Q B =

例17 下列矩阵中，是初等矩阵的为（）

A ．1000??

????

B ．011101001-??

??-?????? C ．100010101??????????

D ．010003100??????????

测试点初等矩阵的定义和性质

解析C.100010101??

????????

是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初等矩阵。答案 C

例18设三阶矩阵11

12132122233132

33a a a A a a a a a a ??

??=??????

,若存在初等矩阵P ,使得 1131

1232

133321

222331

33222,a a a a a a PA a a a a a a ---????=??????

则P = 【】 A.100010201????????-?? B.102010001-?????????? C.100210001????-?????? D.120010001-??

????????

测试点矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系答案 B

四、矩阵的k 阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法 1 矩阵的k 阶子式的概念

2 矩阵秩的概念定义O 矩阵的秩为0，对于非零矩阵A ，如果有一个r 阶子式不等于0,而所有的1r +阶子式（如果有的话）都等于0,则称矩阵A 的秩为r .显然n 阶可逆矩阵的秩等于n ，故可逆阵又称是满秩的.阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数.

3. 等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）;从而矩阵A 左乘（右乘）可逆阵其秩不变.反之两个

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

线性代数考试题库及答案(六)

线性代数考试题库及答案第一部分客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )

(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（）

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

2010-2011-2线性代数试卷及答案

东北大学考试试卷（A 卷） 2010 — 2011学年第二学期课程名称：线性代数（共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ，且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα，所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。解由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++，显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行(列)展开公式求代数余子式已知行列式41 234334461 5671122 D ==-,试求4142A A +与4344A A +、三、利用多项式分解因式计算行列式 1.计算2211 23122313 1513 19x D x -=-、 2.设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x =,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1、设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1||2 A =,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-???? 3、设A 就是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式

||.A 4、设矩阵210120001A ????=?????? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1、若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1111,,,2345 ,则行列式1||________.B E --= 2、设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1、设,,A B A B +都就是可逆矩阵,求:111().A B ---+ 2、设0002100053123004 580034600A ????????=???????? ,求1.A -

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解

《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。是同阶方阵，则有：若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。若为阶方阵，则下列结论等价可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。用初等行变换法求逆矩阵：用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。典型例题解析例1 设均为3阶矩阵，且，则。解：答案：72 因为，且

所以例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。解：答案：A 因为，所以A可进行。关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。例3 已知求。分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。解：因为得。

例4 设矩阵求。解：方法一：伴随矩阵法可逆。且由得伴随矩阵则=

方法二：初等行变换法注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。例4 设矩阵求的秩。分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。解：。

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

线性代数试卷及答案

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；

() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；

线性代数总结材料汇总情况+经典例题

线性代数知识点总结 1 行列式（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）德蒙德行列式数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：

（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵（一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

考研线性代数重点内容和典型题型

考研线性代数重点内容和典型题型线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学们学习有帮助。行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、

伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、

(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)优化试卷（一）说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式．一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）

6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l

10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)

(完整版)线性代数试卷及答案详解

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：

《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）

1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、； 5、 4； 6、 2 。三．解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分）所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分）四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分）从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分）

《线性代数》题库及答案

《线性代数》题库及答案一、选择题 1．如果D=33 32 31232221 131211 a a a a a a a a a ，则行列式33 32 31 232221 13 1211 96364232a a a a a a a a a 的值应为： A ． 6D B ．12D C ．24D D ．36D 2．设A 为n 阶方阵，R （A ）=r

20XX考研数学线代典型题型分析.doc

试题中得以体现。行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握。常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算。矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程。涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程

组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。

线性代数考试题库及答案(三)

线性代数考试题库及答案第六章二次型一、单项选择题 1．n 阶对称矩阵A 正定的充分必要条件是（）。 ()a 0A > ()b 存在阶阵C ，使T A C C = ()c 负惯性指数为零 ()d 各阶顺序主子式为正 2．设A 为n 阶方阵，则下列结论正确的是（）。 ()a A 必与一对角阵合同 ()b 若A 的所有顺序主子式为正，则A 正定 ()c 若A 与正定阵B 合同，则A 正定 ()d 若A 与一对角阵相似，则A 必与一对角阵合同 3．设A 为正定矩阵，则下列结论不正确的是（）。 ()a A 可逆 ()b 1A -正定 ()c A 的所有元素为正 ()d 任给12(,, ,)0,T n X x x x =≠均有0T X AX > 4．方阵A 正定的充要条件是（）。 ()a A 的各阶顺序主子式为正； ()b 1A -是正定阵； ()c A 的所有特征值均大于零； ()d A T A 是正定阵。 5．下列(,,)f x y z 为二次型的是（）。 ()a 222ax by cz ++ ()b 2ax by cz ++ ()c axy byz cxz dxyz +++ ()d 22ax bxy czx ++ 6．设A 、B 为n 阶方阵，12(,,,)T n X x x x =且T T X AX X BX =则A=B 的充要条件是（）。 ()a ()()r A r B = ()b T A A = ()c T B B = ()d T A A =，T B B =， 7．正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.

线性代数试题库(1)答案-(2)电子教案

线性代数试题库（1）答案一、选择题：（3×7=21分） 1.n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A ij =M ij B 。 A ij =(-1) n M ij C 。A ij =(-1)j i +M ij D 。A ij =-M ij 2．设A 是数域F 上m x n 矩阵，则齐次线性方程组AX=O （ A ） A ．当m < n 时，有非零解 B ．当m > n 时，无解C ．当m=n 时，只有零解D ．当m=n 时，只有非零解 3．在n 维向量空间V 中，如果σ，τ∈L （V ）关于V 的一个基{n αα,,1Λ}的矩阵分别为A ，B.那么对于a ，b ∈F ，a σ+b τ关于基{n αα,,1Λ}的矩阵是（ C ） A ．A+ B B ．aA+B C ．aA+bB D ．A+Bb 4．已知数域F 上的向量321,,ααα 线性无关，下列不正确的是（ D ） A 1α，2α线性无关 B ．32,αα线性无关 C ．13,αα线性无关 D ．321,,ααα中必有一个向量是其余向量的线性组合。 5．R n 中下列子集，哪个不是子空间（ C ） A ．R n B ．∑===∈n i i i n a n i R a a a 1 1}0,,1,|),,{(且ΛΛ C ．∑===∈n i i i n a n i R a a a 1 1}1,,1,|),,{(且ΛΛ D ．{0} 6．两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（ A ） A 。相似 B ．合同 C ．相等 D ．互为逆矩阵 7．向量空间R 3的如下变换中，为线性变换的是（ C ） A ．)1,1|,(|),,(1321x x x x =σ B ．),,1(),,(321321x x x x x x +=σ C ．)0,,(),,(32321x x x x x =σ D ．),,(),,(2322 21321x x x x x x =σ 二．填空题（3X10=30分） 1．当且仅当k=（-1或3）时，齐次线性方程组??? ??=++=+-=++0 9030 322132`1321x k x x kx x x x x x 有非零解 2．设A=()0,,,0321321≠=≠??? ? ? ??b b b B a a a ,则秩（AB ）为（1）。 3．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为。 4．设向量空间F 2的线性变换 ? ?? ? ?41,21,31